Уравнение Кортевега – де Фриза

редактировать

Математическая модель волн на мелководье

Кноидальная волна решение уравнения Кортевега – де Фриза уравнение в терминах квадрата эллиптической функции Якоби cn (и со значением параметра m = 0,9).

Численное решение уравнения КдФ ut+ uux+ δ uxxx= 0 (δ = 0,022) с начальным условием u(x, 0) = cos (π x). Его расчет проводился по схеме Забуски – Крускала. Начальная косинусная волна превращается в последовательность волн уединенного типа.

В математике уравнение Кортевега – де Фриза (КдВ) является математической моделью волн на мелководье. Это особенно примечательно как прототипный пример точно решаемой модели, то есть нелинейного дифференциального уравнения в частных производных, решения которого могут быть точно и точно определены. КдВ может быть определено с помощью преобразования обратной задачи рассеяния . Математическая теория, лежащая в основе уравнения КдФ, является предметом активных исследований. Уравнение КдФ было впервые введено Буссинеском (1877, сноска на странице 360) и повторно открыто Дидериком Кортевегом и Густавом де Фризом ( 1895).

Содержание

1 Определение
2 Солитонные решения
3 Интегралы движения
4 Слабые пары
5 Принцип наименьшего действия
6 Долговременная асимптотика
7 История
8 Приложения и соединения
- 8.1 Уравнение КдВ и уравнение Гросса – Питаевского
9 Варианты
- 9.1 q-аналоги
10 См. Также
11 Примечания
12 Ссылки
13 Внешние ссылки

Определение

Уравнение КдФ является нелинейным, дисперсионным уравнением в частных производных для функции $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ из двух вещественных переменных, пространства x и времени t:

∂ t ϕ + ∂ x 3 ϕ - 6 ϕ ∂ x ϕ = 0 { \ Displaystyle \ partial _ {t} \ phi + \ partial _ {x} ^ {3} \ phi -6 \, \ phi \, \ partial _ {x} \ phi = 0 \,}

{\ displaystyle \ partial _ {t} \ phi + \ partial _ {x} ^ {3} \ phi -6 \, \ phi \, \ partial _ {x} \ phi = 0 \,}

с ∂ x и ∂ t, обозначающие частные производные по x и д т.

Константа 6 перед последним членом условна, но не имеет большого значения: можно использовать умножение t, x и $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ на константы чтобы сделать коэффициенты любого из трех членов равными любой заданной ненулевой константе.

Солитонные решения

Рассмотрим решения, в которых фиксированная форма волны (заданная f (X)) сохраняет свою форму при движении вправо с фазовой скоростью c. Такое решение дается выражением $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ (x, t) = f (x - ct - a) = f (X). Подстановка его в уравнение КдФ дает обыкновенное дифференциальное уравнение

- cdfd X + d 3 fd X 3 - 6 fdfd X = 0, {\ displaystyle -c {\ frac {df} {dX}} + { \ frac {d ^ {3} f} {dX ^ {3}}} - 6f {\ frac {df} {dX}} = 0,}

{\ displaystyle -c { \ frac {df} {dX}} + {\ frac {d ^ {3} f} {dX ^ {3}}} - 6f {\ frac {df} {dX}} = 0,}

или, интегрируя по X,

- cf + d 2 fd X 2 - 3 f 2 = A {\ displaystyle -cf + {\ frac {d ^ {2} f} {dX ^ {2}}} - 3f ^ {2} = A}

{\ displaystyle -cf + {\ frac {d ^ {2} f} {dX ^ {2}}} - 3f ^ {2} = A}

где A - постоянная интегрирования. Интерпретируя вышеприведенную независимую переменную X как виртуальную переменную времени, это означает, что f удовлетворяет уравнению движения Ньютона частицы единичной массы в кубическом потенциале

V (f) = - (f 3 + 1 2 cf 2 + A f) {\ displaystyle V (f) = - \ left (f ^ {3} + {\ frac {1} {2}} cf ^ {2} + Af \ right)}

{\ displaystyle V (f) = - \ left (f ^ {3} + {\ frac {1} {2}} cf ^ {2} + Af \ right)}

Если

A = 0, c>0 {\ displaystyle A = 0, \, c>0}

A=0,\,c>0

тогда потенциальная функция V (f) имеет локальный максимум при f = 0, имеется решение, в котором f (X) начинается в этой точке в «виртуальном времени» −∞, в конечном итоге скользит вниз до локального минимума, затем возвращается на другую сторону, достигая такой же высоты, затем меняет направление на противоположное, вверх на локальном максимуме снова в момент времени ∞. Другими словами, f (X) стремится к 0 при X → ± ∞. Это характерная форма решения уединенной волны.

Точнее решение равно

ϕ (x, t) = - 1 2 csech 2 [c 2 (x - ct - a)] {\ displaystyle \ phi (x, t) = - {\ frac {1} {2}} \, c \, \ mathrm {sech} ^ {2} \ left [{{\ sqrt {c}} \ over 2} (xc \, ta) \ right]}

{\ displaystyle \ phi (x, t) = - {\ frac {1} {2}} \, c \, \ mathrm {sech} ^ {2} \ left [{{ \ sqrt {c}} \ over 2} (xc \, ta) \ right]}

, где sech означает гиперболический секанс, а a - произвольная константа. Это описывает движущийся вправо солитон.

Интегралы движения

Уравнение КдФ имеет бесконечно много интегралов движения (Miura, Gardner Kruskal 1968), которые не меняются со временем. Их можно явно указать как

∫ - ∞ + ∞ P 2 n - 1 (ϕ, ∂ x ϕ, ∂ x 2 ϕ,…) dx {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty } P_ {2n-1} (\ phi, \, \ partial _ {x} \ phi, \, \ partial _ {x} ^ {2} \ phi, \, \ ldots) \, {\ text {d} } x \,}

\ int _ {{- \ infty}} ^ {{+ \ infty}} P _ {{2n-1}} (\ phi, \, \ partial _ { x} \ phi, \, \ partial _ {x} ^ {2} \ phi, \, \ ldots) \, {\ text {d}} x \,

где многочлены P n рекурсивно определены как

P 1 = ϕ, P n = - d P n - 1 dx + ∑ i = 1 n - 2 P i P n - 1 - i для n ≥ 2. {\ displaystyle {\ begin {align} P_ {1} = \ phi, \\ P_ {n} = - {\ frac {dP_ {n-1}} {dx}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n-2} \, P_ {i} \, P_ {n-1-i} \ quad {\ text {for}} n \ geq 2. \ end {align}}}

{\ begin {align} P_ {1} = \ phi, \\ P_ {n} = - {\ frac {dP _ {{n-1}}} {dx}} + \ sum _ {{i = 1}} ^ {{n- 2}} \, P_ {i} \, P _ {{n-1-i}} \ quad {\ text {for}} n \ geq 2. \ end {align}}

Первые несколько интегралов движения:

масса $∫ ϕ dx, {\ displaystyle \ int \ phi \, {\ text {d}} x,}$ $\ int \ phi \, {\ text {d}} x,$
импульс $∫ ϕ 2 dx, {\ displaystyle \ int \ phi ^ {2} \, {\ text {d}} x,}$ $\ int \ phi ^ {2} \, {\ text {d }} x,$
энергия $∫ 2 ϕ 3 - (∂ x ϕ) 2 dx. {\ displaystyle \ int 2 \ phi ^ {3} - \ left (\ partial _ {x} \ phi \ right) ^ {2} \, {\ text {d}} x.}$ ${\ displaystyle \ int 2 \ phi ^ {3} - \ left (\ partial _ {x} \ phi \ right) ^ {2} \, {\ text {d}} x.}$

Только нечетные- пронумерованные члены P (2n + 1) приводят к нетривиальным (то есть ненулевым) интегралам движения (Dingemans 1997, стр. 733).

Пары Лакса

Уравнение КдФ

∂ t ϕ = 6 ϕ ∂ x ϕ - ∂ x 3 ϕ {\ displaystyle \ partial _ {t} \ phi = 6 \, \ phi \, \ partial _ {x} \ phi - \ partial _ {x} ^ {3} \ phi}

\ partial _ {t} \ phi = 6 \, \ phi \, \ partial _ {x} \ phi - \ partial _ {x} ^ {3} \ phi

можно переформулировать как уравнение Лакса

L t = [L, A] ≡ LA - AL {\ displaystyle L_ {t} = [L, A] \ Equiv LA-AL \,}

L_ {t} = [L, A] \ Equiv LA-AL \,

с L a оператор Штурма – Лиувилля :

L = - ∂ x 2 + ϕ, A Знак равно 4 ∂ Икс 3 - 3 [ϕ ∂ x + ∂ x ϕ] {\ displaystyle {\ begin {align} L = - \ partial _ {x} ^ {2} + \ phi, \\ A = 4 \ partial _ {x} ^ {3} -3 \ left [\ phi \, \ partial _ {x} + \ partial _ {x} \ phi \ right] \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} L = - \ partial _ {x} ^ {2} + \ phi, \\ A = 4 \ partial _ {x} ^ {3} -3 \ left [\ phi \, \ partial _ {x} + \ partial _ {x } \ phi \ right] \ end {align}}}

и это составляет бесконечное число первых интегралов уравнения КдФ (Lax 1968).

Принцип наименьшего действия

Уравнение Кортевега – де Фриза

∂ t ϕ + 6 ϕ ∂ x ϕ + ∂ x 3 ϕ = 0, {\ displaystyle \ partial _ {t} \ phi +6 \ phi \, \ partial _ {x} \ phi + \ partial _ {x} ^ {3} \ phi = 0, \,}

{\ displaystyle \ partial _ {t} \ phi +6 \ phi \, \ partial _ {x} \ phi + \ partial _ {x} ^ {3} \ phi = 0, \,}

- уравнение Эйлера – Лагранжа движения, полученного из плотности лагранжиана, $L {\ displaystyle {\ mathcal {L}} \,}$ ${\ mathcal {L}} \,$

L: = 1 2 ∂ x ψ ∂ t ψ + (∂ x ψ) 3 - 1 2 (∂ Икс 2 ψ) 2 (1) {\ Displaystyle {\ mathcal {L}}: = {\ frac {1} {2}} \ partial _ {x} \ psi \, \ partial _ {t} \ psi + \ left (\ partial _ {x} \ psi \ right) ^ {3} - {\ frac {1} {2}} \ left (\ partial _ {x} ^ {2} \ psi \ right) ^ {2} \ quad \ quad \ quad \ quad (1) \,}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}}: = {\ frac {1} {2}} \ partial _ {x } \ psi \, \ partial _ {t} \ psi + \ left (\ partial _ {x} \ psi \ right) ^ {3} - {\ frac {1} {2}} \ left (\ partial _ { x} ^ {2} \ psi \ right) ^ {2} \ quad \ quad \ quad \ quad (1) \,}

с $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ , определяемым как

ϕ: = ∂ ψ ∂ х. {\ displaystyle \ phi: = {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}}. \,}

{\ displaystyle \ phi: = {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}}. \,}

Вывод уравнений Эйлера – Лагранжа

Поскольку лагранжиан (уравнение (1)) содержит вторые производные, уравнение Эйлера – Лагранжа движения для этого поля равно

∂ μ μ (∂ L ∂ (∂ μ μ ψ)) - ∂ μ (∂ L ∂ (∂ μ ψ)) + ∂ L ∂ ψ знак равно 0. (2) {\ displaystyle \ partial _ {\ mu \ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu \ mu) } \ psi)}} \ right) - \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ psi)}} \ right) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ psi}} = 0. \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad (2) \,}

\ partial _ {{\ mu \ mu}} \ left ({\ frac { \ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {{\ mu \ mu}} \ ps i)}} \ right) - \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ psi)}} \ right) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ psi}} = 0. \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad (2) \,

где $∂ {\ displaystyle \ partial}$ $\ partial$ является производной по компоненту $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ .

Сумма по $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ подразумевается, поэтому выражение (2) действительно читается как

∂ tt (∂ L ∂ (∂ tt ψ)) + ∂ xx (∂ L ∂ (∂ xx ψ)) - ∂ t (∂ L ∂ (∂ t ψ)) - ∂ x (∂ L ∂ (∂ x ψ)) + ∂ L ∂ ψ = 0. (3) {\ displaystyle \ partial _ {tt} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {tt} \ psi)}} \ right) + \ partial _ {xx } \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {xx} \ psi)}} \ right) - \ partial _ {t} \ left ({\ frac { \ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {t} \ psi)}} \ right) - \ partial _ {x} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L} }} {\ partial (\ partial _ {x} \ psi)}} \ right) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ psi}} = 0. \ quad \ quad ( 3) \,}

\ partial _ {{tt}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {{tt}} \ psi)}} \ right) + \ partial _ {{xx}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {{xx}} \ psi)}} \ right) - \ partial _ {t} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L} }} {\ partial (\ partial _ {t} \ psi)}} \ right) - \ partial _ {x} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}}} {\ partial (\ partial _ {x} \ psi)}} \ right) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ psi}} = 0. \ quad \ quad (3) \,

Оцените пять членов уравнения (3), подставив уравнение (1),

∂ tt (∂ L ∂ (∂ tt ψ)) = 0 {\ displaystyle \ partial _ {tt } \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {tt} \ psi)}} \ right) = 0 \,}

\ partial _ {{tt}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {{tt}} \ psi)}} \ right) = 0 \,

∂ xx (∂ L ∂ (∂ xx ψ)) знак равно ∂ xx (- ∂ xx ψ) {\ displaystyle \ partial _ {xx} \ left ({\ frac {\ parti al {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {xx} \ psi)}} \ right) = \ partial _ {xx} \ left (- \ partial _ {xx} \ psi \ right) \,}

\ partial _ {{xx}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {{xx}} \ psi)}} \ right) = \ partial _ {{xx}} \ left (- \ partial _ {{xx}} \ psi \ right) \,

∂ T (∂ L ∂ (∂ t ψ)) = ∂ T (1 2 ∂ x ψ) {\ displaystyle \ partial _ {t} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L }}} {\ partial (\ partial _ {t} \ psi)}} \ right) = \ partial _ {t} \ left ({\ frac {1} {2}} \ partial _ {x} \ psi \ справа) \,}

\ partial _ {t} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {t} \ psi)}} \ right) = \ partial _ {t} \ left ({\ frac {1} {2}} \ partial _ {x} \ psi \ right) \,

∂ Икс (∂ L ∂ (∂ x ψ)) = ∂ x (1 2 ∂ t ψ + 3 (∂ x ψ) 2) {\ displaystyle \ partial _ {x} \ left ( {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {x} \ psi)}} \ right) = \ partial _ {x} \ left ({\ frac {1} {2 }} \ partial _ {t} \ psi +3 (\ partial _ {x} \ psi) ^ {2} \ right) \,}

\ partial _ {x} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {x} \ psi)}} \ right) = \ partial _ {x} \ left ({\ frac {1} { 2}} \ partial _ {t} \ psi +3 (\ partial _ {x} \ psi) ^ {2} \ right) \,

∂ L ∂ ψ = 0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ psi}} = 0 \,}

{\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ psi}} = 0 \,

Помните определение $ϕ = ∂ x ψ {\ displaystyle \ phi = \ partial _ {x} \ psi \, }$ $\ phi = \ partial _ {x} \ psi \,$ , поэтому используйте это, чтобы упростить приведенные выше термины,

∂ xx (- ∂ xx ψ) = - ∂ xxx ϕ {\ displaystyle \ partial _ {xx} \ left (- \ partial _ { xx} \ psi \ right) = - \ partial _ {xxx} \ phi \,}

\ partial _ {{ хх}} \ влево (- \ partial _ {{xx}} \ psi \ right) = - \ partial _ {{xxx}} \ phi \,

∂ t (1 2 ∂ x ψ) = 1 2 ∂ t ϕ {\ displaystyle \ partial _ {t} \ left ({\ frac {1} {2}} \ partial _ {x} \ psi \ right) = {\ frac {1} {2}} \ partial _ {t} \ phi \,}

\ partial _ {t} \ left ({\ frac {1} {2}} \ partial _ {x} \ psi \ right) = {\ frac {1} {2}} \ partial _ {t} \ phi \,

∂ x (1 2 ∂ t ψ + 3 (∂ x ψ) 2) = 1 2 ∂ t ϕ + 3 ∂ x (ϕ) 2 = 1 2 ∂ t ϕ + 6 ϕ ∂ x ϕ {\ displaystyle \ partial _ {x} \ left ({\ frac {1} {2}} \ partial _ {t} \ psi +3 (\ partial _ {x} \ psi) ^ {2} \ right) = {\ frac {1 } {2}} \ partial _ {t} \ phi +3 \ partial _ {x} (\ phi) ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \ partial _ {t} \ phi +6 \ phi \ partial _ {x} \ phi \,}

\ partial _ {x} \ left ({\ frac {1} {2}} \ partial _ {t} \ psi +3 (\ partial _ {x} \ psi) ^ {2} \ right) = {\ frac {1} {2} } \ partial _ {t} \ phi +3 \ partial _ {x} (\ phi) ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \ partial _ {t} \ phi +6 \ phi \ partial _ {x} \ phi \,

Наконец, вставьте эти три ненулевых члена обратно в уравнение (3), чтобы увидеть

(- ∂ xxx ϕ) - (1 2 ∂ t ϕ) - (1 2 ∂ T ϕ + 6 ϕ ∂ x ϕ) знак равно 0, {\ displaystyle \ left (- \ partial _ {xxx} \ phi \ right) - \ left ({\ frac {1} {2}} \ partial _ {t} \ phi \ right) - \ left ({\ frac {1} {2}} \ partial _ {t} \ phi +6 \ phi \ partial _ {x} \ phi \ right) = 0, \,}

\ left (- \ partial _ {{xxx}} \ phi \ right) - \ left ({\ frac {1} {2}} \ partial _ {t} \ phi \ right) - \ left ({\ frac {1} {2}} \ partial _ {t} \ phi +6 \ phi \ partial _ {x} \ phi \ right) = 0, \

что в точности соответствует уравнению КдФ

∂ t ϕ + 6 ϕ ∂ x ϕ + ∂ x 3 ϕ = 0. {\ displaystyle \ partial _ {t} \ phi +6 \ phi \, \ partial _ {x} \ phi + \ partial _ {x} ^ {3} \ phi = 0. \,}

\ partial _ {t} \ phi +6 \ phi \, \ partial _ {x} \ phi + \ partial _ {x} ^ {3} \ phi = 0. \,

Долговременная асимптотика

Можно показать, что любое достаточно быстро убывающее гладкое решение в конечном итоге будет светится в конечную суперпозицию солитонов, движущихся вправо, и распадающуюся дисперсную часть, движущуюся влево. Это было впервые замечено Забуски и Крускал (1965) и может быть строго доказано с помощью нелинейного анализа наискорейшего спуска для колебательных задач Римана – Гильберта.

История

История уравнения КдФ началась с экспериментов Джона Скотта Рассела в 1834 году, за которыми последовали теоретические исследования лорда Рэлея и Джозефа Буссинеска около 1870 года и наконец, Кортевег и Де Фрис в 1895 году.

Уравнение КдФ после этого мало изучалось, пока Забуски и Крускал (1965) не обнаружили численно, что его решения, казалось, при больших временах разлагались на набор «солитонов»: хорошо разделенные уединенные волны. Более того, похоже, что солитоны почти не изменяют форму, проходя друг через друга (хотя это может вызвать изменение их положения). Они также установили связь с более ранними численными экспериментами Ферми, Паста, Улама и Цинго, показав, что уравнение КдФ является континуальным пределом системы FPUT. Разработка аналитического решения с помощью обратного преобразования рассеяния была проведена в 1967 году Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой.

Уравнение КдФ теперь тесно связано с Принцип Гюйгенса.

Приложения и связи

Уравнение КдФ имеет несколько связей с физическими проблемами. Помимо того, что оно является определяющим уравнением струны в задаче Ферми – Паста – Улама – Цинго в континуальном пределе, оно приближенно описывает эволюцию длинных одномерных волн во многих физических условиях, включая:

мелководные волны со слабыми нелинейными восстанавливающими силами,
длинными внутренними волнами в стратифицированном по плотности океане,
ионно-акустический волны в плазме,
акустические волны на кристаллической решетке.

Уравнение КдФ также может быть решено с использованием обратного преобразования рассеяния, например применяемых к нелинейному уравнению Шредингера.

уравнению КдФ и уравнению Гросса – Питаевского

Рассмотрение упрощенных решений вида

ϕ (x, t) = ϕ (x ± t) {\ displaystyle \ phi (x, t) = \ phi (x \ pm t)}

\ phi (x, t) = \ phi (x \ pm t)

мы получаем уравнение КдВ как

± ∂ x ϕ + ∂ x 3 ϕ + 6 ϕ ∂ x ϕ = 0 { \ displaystyle \ pm \ partial _ {x} \ phi + \ partial _ {x} ^ {3} \ phi +6 \, \ phi \, \ partial _ {x} \ phi = 0 \,}

\ pm \ partial _ {x} \ phi + \ partial _ {x} ^ {3} \ phi +6 \, \ phi \, \ partial _ {x} \ phi = 0 \,

или

± ∂ Икс ϕ + ∂ Икс (∂ Икс 2 ϕ + 3 ϕ 2) = 0 {\ Displaystyle \ pm \ partial _ {x} \ phi + \ partial _ {x} (\ partial _ {x} ^ {2} \ phi +3 \ phi ^ {2}) = 0 \,}

\ pm \ partial _ {x} \ phi + \ partial _ {x} (\ partial _ {x} ^ {2} \ phi +3 \ phi ^ {2}) = 0 \,

Интегрируя и принимая частный случай, когда константа интегрирования равна нулю, получаем:

- ∂ x 2 ϕ - 3 ϕ 2 = ± ϕ {\ displaystyle - \ partial _ {x} ^ {2} \ phi -3 \ phi ^ {2} = \ pm \ phi \,}

- \ partial _ {x} ^ {2} \ phi -3 \ phi ^ {2} = \ pm \ phi \,

, который является $λ = 1 {\ displaystyle \ lambda = 1}$ $\ lambda = 1$ частный случай обобщенного стационарного уравнения Гросса – Питаевского (GPE)

- ∂ x 2 ϕ - 3 ϕ λ ϕ = ± ϕ {\ displaystyle - \ partial _ {x} ^ {2} \ phi -3 \ phi ^ {\ lambda} \ phi = \ pm \ phi \,}

- \ partial _ {x} ^ {2} \ phi -3 \ phi ^ {{\ lambda}} \ phi = \ pm \ phi \,

Следовательно, для определенного класса решений обобщенного GPE ( $λ = 4 { \ displaystyle \ lambda = 4}$ $\ lambda = 4$ для истинного одномерного конденсата и $λ = 2 {\ displaystyle \ lambda = 2}$ $\lambda=2$ при использовании трехмерного уравнения в одном измерении) два уравнения равны одному. Кроме того, если взять случай $λ = 3 {\ displaystyle \ lambda = 3}$ ${\ displaystyle \ lambda = 3}$ со знаком минус и $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ действительный, единица получает привлекательное самовзаимодействие, которое должно приводить к a.

Варианты

Было изучено множество различных вариаций уравнений КдФ. Некоторые из них перечислены в следующей таблице.

Имя	Уравнение
Кортевег – де Фрис (KdV)	$∂ tu + ∂ x 3 u + 6 u ∂ xu = 0 {\ displaystyle \ displaystyle \ partial _ {t} u + \ partial _ {x} ^ {3} u + 6u \ partial _ {x} u = 0}$ ${\ displaystyle \ displaystyle \ partial _ {t} u + \ partial _ {x} ^ {3} u + 6u \ partial _ {x} u = 0}$
KdV (цилиндрический)	$∂ tu + ∂ x 3 u - 6 u ∂ xu + 1 2 tu = 0 {\ displaystyle \ displaystyle \ partial _ {t} u + \ partial _ {x} ^ {3} u-6u \ partial _ {x} u + {\ tfrac {1} {2t}} u = 0}$ ${\ displaystyle \ displaystyle \ partial _ {t} u + \ partial _ {x} ^ {3} u-6u \ partial _ {x} u + {\ tfrac {1} {2t}} u = 0}$
KdV (деформированный)	$∂ tu + ∂ x (∂ x 2 u - 2 η u 3 - 3 u (∂ xu) 2 2 (η + u 2)) = 0 {\ displaystyle \ displaystyle \ partial _ {t } u + \ partial _ {x} \ left ({\ frac {\ partial _ {x} ^ {2} u-2 \ eta u ^ {3} -3u (\ partial _ {x} u) ^ {2} } {2 (\ eta + u ^ {2})}} \ right) = 0}$ ${\ displaystyle \ displaystyle \ partial _ {t} u + \ partial _ {x} \ left ({\ frac {\ partial _ {x} ^ {2} u-2 \ eta u ^ { 3} -3u (\ partial _ {x} u) ^ {2}} {2 (\ eta + u ^ {2})}} \ right) = 0}$
KdV (обобщенный)	$∂ tu + ∂ x 3 u = ∂ x 5 u {\ displaystyle \ displaystyle \ partial _ {t} u + \ partial _ {x} ^ {3} u = \ partial _ {x} ^ {5} u}$ $\ displaystyle \ partial _ {t} u + \ partial _ {x} ^ {3 } u = \ partial _ {x} ^ {5} u$
KdV (обобщенное)	$∂ tu + ∂ x 3 u + ∂ xf ( u) = 0 {\ displaystyle \ displaystyle \ partial _ {t} u + \ partial _ {x} ^ {3} u + \ partial _ {x} f (u) = 0}$ $\ displaystyle \ partial _ {t} u + \ partial _ {x} ^ {3} u + \ partial _ {x} f (u) = 0$
Дарвиши, Хейбари и Хани (2007 г.) ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFDarvishiKheybariKhani2007 (help )	$∂ t u + ∂ x {35 u 4 + 70 (u 2 ∂ x 2 u + u (∂ xu) 2) + 7 (2 u ∂ x 4 u + 3 (∂ x 2 u) 2 + 4 ∂ x ∂ x 3 u) + ∂ x 6 u} = 0 {\ displaystyle {\ begin {align} \ partial _ {t} u + \ partial _ {x} \ left \ {35u ^ {4} +70 \ left (u ^ { 2} \ partial _ {x} ^ {2} u + u \ left (\ partial _ {x} u \ right) ^ {2} \ right) \ right. \\ \ left. \ Quad +7 \ left (2u \ partial _ {x} ^ {4} u + 3 \ left (\ partial _ {x} ^ {2} u \ right) ^ {2} +4 \ partial _ {x} \ partial _ {x} ^ {3} u \ right) + \ partial _ {x} ^ {6} u \ right \} = 0 \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ partial _ {t} u + \ partial _ {x} \ left \ {35u ^ {4} +70 \ left (u ^ {2} \ partial _ {x} ^ {2} u + u \ left (\ par tial _ {x} u \ right) ^ {2} \ right) \ right. \\ \ left. \ quad +7 \ left (2u \ partial _ {x} ^ {4} u + 3 \ left (\ частично _ {x} ^ {2} u \ right) ^ {2} +4 \ partial _ {x} \ partial _ {x} ^ {3} u \ right) + \ partial _ {x} ^ {6} u \ right \} = 0 \ end {align}}}$
	$∂ tu + ∂ x 3 u ± 6 u 2 ∂ xu = 0 {\ displaystyle \ displaystyle \ partial _ {t} u + \ partial _ {x} ^ {3} u \ pm 6u ^ {2} \ partial _ {x} u = 0}$ ${\ displaystyle \ displaystyle \ partial _ {t} u + \ partial _ {x} ^ {3} u \ pm 6u ^ {2 } \ partial _ {x} u = 0}$
кдВ (изменено изменено)	$∂ tu + ∂ x 3 u - 1 8 (∂ xu) 3 + (∂ xu) (A eau + B + C e - au) = 0 {\ displaystyle \ displaystyle \ partial _ {t} u + \ partial _ {x} ^ {3} u - {\ tfrac {1} {8}} (\ partial _ {x} u) ^ {3} + (\ partial _ {x} u) (Ae ^ {au} + B + Ce ^ {- au}) = 0}$ ${\ displaystyle \ displaystyle \ partial _ {t } u + \ partial _ {x} ^ {3} u - {\ tfrac {1} {8}} (\ partial _ {x} u) ^ {3} + (\ partial _ {x} u) (Ae ^ {au} + B + Ce ^ {- au}) = 0}$
KdV (сферический)	$∂ tu + ∂ x 3 u - 6 u ∂ xu + 1 tu = 0 {\ displaystyle \ displaystyle \ partial _ {t} u + \ partial _ {x} ^ {3} u-6u \ partial _ {x} u + {\ tfrac {1} {t}} u = 0}$ ${\ displaystyle \ displaystyle \ partial _ {t} u + \ partial _ {x} ^ {3} u-6u \ partial _ {x} u + {\ tfrac {1} {t}} u = 0}$
	${∂ tu Знак равно 6 u ∂ xu - ∂ x 3 u + 3 w ∂ x 2 w ∂ tw = 3 (∂ xu) w + 6 u ∂ xw - 4 ∂ x 3 w {\ displaystyle \ displaystyle {\ begin {cases} \ partial _ {t} u = 6u \ partial _ {x} u- \ partial _ {x} ^ {3} u + 3w \ partial _ {x} ^ {2} w \\\ partial _ {t} w = 3 (\ partial _ {x} u) w + 6u \ partial _ {x} w-4 \ partial _ {x} ^ {3} w \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle \ displaystyle {\ begin {case} \ partial _ {t} u = 6u \ partial _ {x} u- \ partial _ {x} ^ {3} u + 3w \ partial _ {x} ^ {2} w \\\ partial _ { t} w = 3 (\ partial _ {x} u) w + 6u \ partial _ {x} w-4 \ partial _ {x} ^ {3} w \ end {case}}}$
КдВ (переходный)	$∂ tu + ∂ Икс 3 U - 6 е (T) U ∂ XU знак равно 0 {\ Displaystyle \ Displaystyle \ partial _ {t} u + \ partial _ {x} ^ {3} u-6f (t) u \ partial _ { x} u = 0}$ ${\ displaystyle \ displaystyle \ partial _ {t} u + \ partial _ {x} ^ {3} u-6f (t) u \ partial _ {x} u = 0}$
KdV (переменные коэффициенты)	$∂ tu + β tn ∂ x 3 u + α tnu ∂ xu = 0 {\ displaystyle \ displaystyle \ partial _ {t} u + \ beta t ^ { n} \ partial _ {x} ^ {3} u + \ alpha t ^ {n} u \ partial _ {x} u = 0}$ ${\ displaystyle \ displaystyle \ partial _ {t} u + \ beta t ^ {n} \ partial _ {x} ^ {3} u + \ alpha t ^ {n} u \ partial _ {x} u = 0}$
Уравнение Кортевега – де Фриза – Бюргерса	$∂ tu + μ ∂ x 3 U + 2 U ∂ XU - ν ∂ Икс 2 U знак равно 0 {\ Displaystyle \ Displaystyle \ partial _ {t} u + \ mu \ partial _ {x} ^ {3} u + 2u \ partial _ {x} u- \ nu \ partial _ {x} ^ {2} u = 0}$ ${\ displaystyle \ displaystyle \ partial _ {t} u + \ mu \ partial _ {x} ^ {3} u + 2u \ partial _ {x} u- \ ню \ partial _ {х} ^ {2} и = 0}$
неоднородный KdV	$∂ tu + α u + β ∂ xu + γ ∂ x 2 u = A i (x), u ( Икс, 0) знак равно е (Икс) {\ Displaystyle \ partial _ {t} u + \ alpha u + \ beta \ partial _ {x} u + \ gamma \ partial _ {x} ^ {2} u = Ai (x), \ quad u (x, 0) = f (x)}$ ${\ displaystyle \ partial _ {t} u + \ альфа и + \ бета \ частичный _ {х} и + \ гамма \ частичный _ {х} ^ {2} и = Ai (х), \ quad и (х, 0) = е (х)}$

q-аналоги

Для q-аналога уравнения КдВ, см. Frenkel (1996) ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFFrenkel1996 (help ) и Khesin, Lyubashenko Roger (1997) harvtxt ошибка: нет цели: CITEREFKhesinLyubashenkoRoger1997 (справка ).

См. Также

Примечания

Ссылки

Буссинеск, Дж. (1877), Essai sur la theorie des eaux courantes, Memoires presentes par divers savants `l'Acad. des Sci. Inst. Nat. France, XXIII, pp. 1–680
de Jager, E.M. (2006). «О происхождении уравнения Кортевега – де Фриза». arXiv : math / 0602661v1.
Dingemans, MW (1997), Распространение водной волны на неровном дне, Advanced Series on Ocean Engineering, 13, World Scientific, Сингапур, ISBN 981-02-0427-2, 2 части, 967 страниц
Дразин, PG (1983), Солитоны, Лондонское математическое общество Lecture Note Series, 85, Cambridge: Cambridge University Press, стр. viii + 136, doi : 10.1017 / CBO9780511662843, ISBN 0-521-27422-2, MR 0716135
Грунерт, Катрин; Тешл, Джеральд (2009), «Долговременная асимптотика для уравнения Кортевега-де Фриза посредством нелинейного наискорейшего спуска», Math. Phys. Анальный. Геом., 12 (3), стр. 287–324, arXiv : 0807.5041, Bibcode : 2009MPAG...12..287G, doi : 10.1007 / s11040-009-9062-2, S2CID 8740754
Каппелер, Томас ; Пёшель, Юрген (2003), KdV KAM, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Фольге. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. A Series of Modern Surveys in Mathematics], 45, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-3-662 -08054-2, ISBN 978-3-540-02234-3, MR 1997070
Кортевег, DJ; де Фрис, Г. (1895), «Об изменении формы длинных волн, продвигающихся в прямоугольном канале, и о новом типе длинных стационарных волн», Philosophical Magazine, 39 (240): 422–443, doi : 10.1080 / 14786449508620739
Лакс, П. (1968), «Интегралы нелинейных уравнений эволюции и уединенных волн», Коммуникации по чистой и прикладной математике, 21 (5): 467–490, doi : 10.1002 / cpa.3160210503
Майлз, Джон У. (1981), «Уравнение Кортевега – Де Фриза: историческое эссе», Journal of Fluid Mechanics, 106 : 131–147, Bibcode : 1981JFM... 106.. 131M, doi : 10.1017 / S0022112081001559.
Miura, Robert M.; Gardner, Clifford S.; Краскал, Мартин Д. (1968), «Уравнение Кортевега – де Фриза и обобщения. II. Существование законов сохранения и постоянных движения», J. Math. Phys., 9 (8): 1204–1209, Bibcode : 1968JMP..... 9.1204M, doi : 10.1063 / 1.1664701, MR 0252826
Тахтаджян, Л.А. (2001) [1994], Математическая энциклопедия, EMS Press
Забуски, Нью-Джерси; Крускал, М. Д. (1965), "Взаимодействие" солитонов "в бесстолкновительной плазме и повторение начальных состояний", Phys. Rev. Lett., 15 (6): 240–243, Bibcode : 1965PhRvL..15..240Z, doi : 10.1103 / PhysRevLett.15.240

Внешние ссылки

Викискладе есть медиафайлы, связанные с уравнением Кортевега – де Фриза.

уравнением Кортевега – де Вриза в EqWorld: The World of Математические уравнения.
Уравнение Кортевега – де Фриза в NEQwiki, энциклопедии нелинейных уравнений.
Цилиндрическое уравнение Кортевега – де Фриза в EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Модифицированный Кортевег – де Уравнение Фриза в EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Модифицированное уравнение Кортевега – де Фриза в NEQwiki, энциклопедии нелинейных уравнений.
Weisstein, Eric W. "Korteweg –Уравнение ДеВриеса ". MathWorld.
Вывод уравнения Кортевега – де Фриза для узкого канала.
Трехсолитонное решение уравнения КдВ - [1]
Три солитона (нестабильно) Решение уравнения КдВ - [2]
Математические аспекты уравнений типа Кортевега – де Фриза обсуждаются в Dispersive PDE Wiki.
Солитоны от Кортевега – де Фриза Уравнение С.М. Блиндера, The Wolfram Demonstrations Project.
Солитоны и нелинейные волновые уравнения