Обозначения в общей теории относительности
Формализм Ньюмана – Пенроуза (NP) - это набор обозначений, разработанный Эзрой Т. Ньюман и Роджером Пенроузом для общей теории относительности (ОТО). Их нотация - это попытка трактовать общую теорию относительности в терминах спинорной нотации, которая вводит сложные формы обычных переменных, используемых в ОТО. Формализм NP сам по себе является частным случаем формализма тетрад , где тензоры теории проецируются на полный векторный базис в каждой точке пространства-времени. Обычно этот векторный базис выбирается для отражения некоторой симметрии пространства-времени, что приводит к упрощенным выражениям для физических наблюдаемых. В случае формализма NP выбранный векторный базис представляет собой набор из четырех нулевых векторов - двух действительных и комплексно-сопряженной пары. Два действительных члена асимптотически направлены радиально внутрь и радиально наружу, и формализм хорошо приспособлен для рассмотрения распространения излучения в искривленном пространстве-времени. Часто используются скаляры Вейля, производные от тензора Вейля. В частности, можно показать, что один из этих скаляров - в соответствующем кадре - кодирует исходящее гравитационное излучение асимптотически плоской системы.
Ньюман и Пенроуз ввели следующие функции в качестве первичных величин, используя эту тетраду:
- Двенадцать комплексных спиновых коэффициентов (в трех группах), которые описывают изменение тетрады от точки к точке: .
- Пять сложных функций кодирование тензоров Вейля в тетрадном базисе: .
- Десять функций, кодирующих тензоры Риччи в четырехмерном базисе: (настоящий); (сложный).
Во многих ситуациях - особенно в алгебраически особых пространствах-времени или вакуумных пространствах-времени - формализм Ньюмана – Пенроуза значительно упрощается, так как многие функций стремятся к нулю. Это упрощение позволяет более легко доказывать различные теоремы, чем использование стандартной формы уравнений Эйнштейна.
В этой статье мы будем использовать только тензорную, а не спинориальную версию NP-формализма, потому что первая проще для понимания и более популярна в соответствующих статьях. Можно сослаться на исх. за единую формулировку этих двух версий.
Содержание
- 1 Нулевая тетрада и соглашение о знаках
- 2 NP-величины и тетрадные уравнения
- 2.1 Четыре оператора ковариантной производной
- 2.2 Двенадцать спиновых коэффициентов
- 2.3 Уравнения переноса: ковариантные производные тетрадных векторов
- 2.3.1 Интерпретация из и
- 2.4 Коммутаторы
- 2.5 Скаляры Вейля – NP и Риччи – NP
- 3 Эйнштейн – Максвелл –Уравнения НП
- 3.1 Уравнения поля НП
- 3.2 Скаляры Максвелла – НП, уравнения Максвелла в формализме НП
- 4 Применение формализма НП к полю гравитационного излучения
- 4.1 Излучение от конечного источника
- 5 См. также
- 6 Примечания
- 7 Ссылки
- 8 Внешние ссылки
Нулевые тетрады и знаковые соглашения
Формализм разработан для четырехмерного пространства-времени с метрикой лоренцевой сигнатуры. В каждой точке вводится тетрада (набор из четырех векторов). Первые два вектора, и , просто пара стандартных (реальных) нулевых векторов таких, что . Например, мы можем мыслить в терминах сферических координат и принимать как исходящий нулевой вектор, а в качестве входящего нулевого вектора. Затем создается комплексный нулевой вектор путем объединения пары реальных ортогональных единичных пространственно-подобных векторов. В случае сферических координат стандартный выбор:
Комплексное сопряжение этого вектора образует четвертый элемент тетрады.
Для формализма NP используются два набора соглашений о сигнатуре и нормализации: и . Первый - оригинальный, который был принят, когда был разработан формализм NP, и широко использовался в физике черных дыр, гравитационных волнах и различных других областях общей теории относительности. Однако именно последнее соглашение обычно используется в современном исследовании черных дыр с квазилокальных точек зрения (таких как изолированные горизонты и динамические горизонты). В этой статье мы будем использовать для систематического обзора формализма NP (см. также ссылки).
Важно отметить, что при переключении с чтобы , определения спиновых коэффициентов, скаляры Weyl-NP и скаляры Ricci-NP должны изменить свои знаки; таким образом, уравнения Эйнштейна-Максвелла можно оставить без изменений.
В формализме NP комплексная нулевая тетрада содержит два действительных нулевых (со) вектора и два комплексных нулевых (со) вектора . Будучи нулевыми (со) векторами, самонормализация естественно исчезает,
. ,
, поэтому используются следующие две пары кросс-нормализации
.
в то время как сокращения между двумя парами также исчезают,
. .
Здесь индексы можно повышать и понижать с помощью глобального metric , которое, в свою очередь, можно получить с помощью
.
NP-величины и тетрадные уравнения
Четыре оператора ковариантной производной
В соответствии с практикой формализма использования отдельных неиндексированных символов для каждого компонента объекта, оператор ковариантной производной выражается с помощью четырех отдельных символов (), которые называют направленный оператор ковариантной производной для каждого направления тетрад. Учитывая линейную комбинацию тетрадных векторов, , оператор ковариантной производной в направление равно .
Операторы определены как. .
который уменьшить до при действии на скалярные функции.
Двенадцать спиновых коэффициентов
В формализме NP вместо использования индексных обозначений, как в, каждый коэффициент вращения Риччи в нулевой тетраде присваивается строчная греческая буква, которая составляет 12 комплексных спиновых коэффициентов (в трех группах),
. .
.
. . .
Спиновые коэффициенты являются основными величинами в формализме NP, с помощью которых все другие величины NP (как определено ниже) могут быть вычислены косвенно с использованием уравнений поля NP. Таким образом, формализм NP иногда также называют формализмом спиновых коэффициентов.
Уравнения переноса: ковариантные производные тетрадных векторов
Шестнадцать направленных ковариантных производных тетрадных векторов иногда называют уравнениями переноса / распространения, возможно, потому, что производные равны нулю, когда тетрадный вектор распространяется параллельно или транспортируется в направлении оператора производной.
Эти результаты в этой точной записи даны ODonnell:. . . .
. . .
. . .
. . .
Интерпретация из и
Два уравнения для ковариантной производной реального вектора нулевой тетрады в его собственном направлении указывают, касается ли вектор геодезической, и если да, то имеет ли геодезическая аффинный параметр.
Вектор нулевого касательного касается аффинно параметризованной нулевой геодезической, если , то есть если вектор не изменяется в результате параллельного распространения или транспортировки в его собственном направлении.
показывает, что касается геодезической тогда и только тогда, когда , и касается аффинно параметризованной геодезической, если дополнительно . Аналогичным образом показывает, что является геодезическим тогда и только тогда, когда , и имеет аффинную параметризацию, когда .
(Комплексные векторы нулевых тетрад и необходимо разделить на пространственноподобные базисные векторы и прежде, чем спросить, касаются ли один или оба из них касательно пространственно-подобных геодезических.)
Коммутаторы
совместимость с метриками или Свобода кручения ковариантной производной преобразуется в коммутаторы производной по направлению ves,
. . . .
, откуда следует, что
. . . .
Примечание: (i) Приведенные выше уравнения можно рассматривать либо как следствия коммутаторов, либо как комбинации уравнений переноса; (ii) В этих подразумеваемых уравнениях векторы можно заменить ковекторами, и уравнения остаются в силе.
Скаляры Вейля – NP и Риччи – NP
10 независимых компонентов тензора Вейля могут быть закодированы в 5 сложных скаляров Вейля-NP,
.
10 независимых компонентов тензора Риччи закодированы в 4 вещественных скаляра , , , и 3 комплексных скаляра (с их комплексными конъюгатами),
.
. .
В этих определениях может быть заменен его бесследной частью или тензором Эйнштейна потому что нормализации отношений. Кроме того, сокращается до для электровакуума ().
Уравнения Эйнштейна – Максвелла – НП
Уравнения поля NP
В комплексной нулевой тетраде тождества Риччи приводят к следующим уравнениям поля NP, связывающим спиновые коэффициенты, Weyl-NP и скаляры Риччи-НП (напомним, что в ортогональной тетраде коэффициенты вращения Риччи будут соответствовать первому и второму структурным уравнениям Картана ),
. Эти уравнения в различных обозначениях можно найти в нескольких текстах. Обозначения у Фролова и Новикова идентичны и набор соответствует пиксель за пикселем (Springer, похоже, использует в основном аналогичный пакет LaTex).. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Кроме того, Вейль -NP скаляры и скаляры Ricci-NP можно вычислить косвенно из приведенных выше уравнений поля NP после получения спиновых коэффициентов, а не напрямую с использованием их определений.
Скаляры Максвелла – НП, уравнения Максвелла в формализме НП
Шесть независимых компонентов 2-формы Фарадея-Максвелла (т.е. тензор напряженности электромагнитного поля ) можно закодировать в три комплексных скаляра Максвелла-NP
.
и, следовательно, восемь реальных Максвелла уравнения и (как ) можно преобразовать в четыре сложных уравнения,
. . . .
. with the Ricci-NP scalars related to Maxwell scalars by
.
It is worthwhile to point out that, the supplementary equation is only valid for electromagnetic fields; for example, in the case of Yang-Mills fields there will be where are Yang-Mills-NP scalars.
To sum up, the aforementioned transportation equations, NP field equations and Maxwell-NP equations together constitute the Einstein-Maxwell equations in Newman–Penrose formalism.
Applications of NP formalism to gravitational radiation field
The Weyl scalar was defined by Newman Penrose as
(note, however, that the overall sign is arbitrary, and that Newman Penrose worked with a "timelike" metric signature of ). In empty space, the Einstein Field Equations reduce to . From the definition of the Weyl tensor, we see that this means that it equals the Riemann tensor, . We can make the standard choice for the tetrad at infinity:
In transverse-traceless gauge, a simple calculation shows that linearized gravitational waves are related to components of the Riemann tensor as
assuming propagation in the direction. Combining these, and using the definition of above, we can write
Far from a source, in nearly flat space, the fields and encode everything about gravitational radiation propagating in a given direction. Thus, we see that encodes in a single complex field everything about (outgoing) gravitational waves.
Radiation from a finite source
Using the wave-generation formalism summarised by Thorne, we can write the radiation field quite compactly in terms of the, and spin-weighted spherical harmonics :
Здесь верхние индексы с префиксом указывают производные по времени. То есть мы определяем
Компоненты и - это массовые и текущие мультиполи соответственно. - сферическая гармоника спин-веса -2.
См. Также
Примечания
Ссылки
- ^ Эзра Т. Ньюман и Роджер Пенроуз (1962). «Подход к гравитационному излучению методом спиновых коэффициентов». Журнал математической физики. 3 (3): 566–768. Bibcode : 1962JMP..... 3..566N. doi : 10.1063 / 1.1724257. Оригинальная статья Ньюмана и Пенроуза, которая вводит формализм и использует его для получения результатов в качестве примера.
- ^ Эзра Т. Ньюман, Роджер Пенроуз. Errata: подход к гравитационному излучению методом спиновых коэффициентов. Журнал математической физики, 1963, 4 (7): 998.
- ^ Чандрасекхар, С. (1998). Математическая теория черных дыр (изд. Oxford Classics Series). Издательство Оксфордского университета. п. 40. ISBN 0-19850370-9. Проверено 31 мая 2019 г.
Формализм Ньюмана – Пенроуза представляет собой тетрадный формализм со специальным выбором базисных векторов.
- ^Saul Teukolsky (1973). «Возмущения вращающейся черной дыры». Астрофизический журнал. 185 : 635–647. Bibcode : 1973ApJ... 185..635T. doi : 10.1086 / 152444.
- ^ Питер О'Доннелл. Введение в 2-спиноры в общей теории относительности. Сингапур: World Scientific, 2003.
- ^Субраманян Чандрасекар. Математическая теория черных дыр. Чикаго: University of Chikago Press, 1983.
- ^Дж. Б. Гриффитс. Встречающиеся плоские волны в общей теории относительности. Oxford: Oxford University Press, 1991.
- ^Иван Бут. Границы черной дыры. Канадский журнал физики, 2005, 83 (11): 1073-1099. [arxiv.org/abs/gr-qc/0508107 arXiv: gr-qc / 0508107v2]
- ^Абхай Аштекар, Кристофер Битл, Ежи Левандовски. Геометрия типовых изолированных горизонтов. Classical and Quantum Gravity, 2002, 19 (6): 1195-1225. arXiv: gr-qc / 0111067v2
- ^Абхай Аштекар, Бадри Кришнан. Горизонты динамики: энергия, угловой момент, потоки и законы баланса. Physical Review Letters, 2002, 89 (26): 261101. [arxiv.org/abs/gr-qc/0207080 arXiv: gr-qc / 0207080v3]
- ^Абхай Аштекар, Бадри Кришнан. Динамические горизонты и их свойства. Physical Review D, 2003, 68 (10): 104030. [arxiv.org/abs/gr-qc/0308033 arXiv: gr-qc / 0308033v4]
- ^ Джереми Брансом Гриффитс, Иржи Подольски. Точное пространство-время в общей теории относительности Эйнштейна. Кембридж: Cambridge University Press, 2009. Глава 2.
- ^ Валерий П. Фролов, Игорь Д. Новиков. Физика черной дыры: основные концепции и новые разработки. Берлин: Springer, 1998. Приложение E.
- ^Абхай Аштекар, Стивен Фэрхерст, Бадри Кришнан. Изолированные горизонты: гамильтонова эволюция и первый закон. Physical Review D, 2000, 62 (10): 104025. Приложение B. gr-qc / 0005083
- ^Роберт М. Уолд (1984). Общая теория относительности.
- ^Э. Т. Ньюман, К. П. Тод. Асимптотически плоское пространство-время, Приложение A.2. In A Held (редактор): Общая теория относительности и гравитации: сто лет спустя после рождения Альберта Эйнштейна. Том (2), стр. 27. Нью-Йорк и Лондон: Plenum Press, 1980.
- ^Торн, Кип С. (апрель 1980 г.). «Мультипольные разложения гравитационного излучения» (PDF). Ред. Мод. Phys. 52 (2): 299–339. Bibcode : 1980RvMP... 52..299T. doi : 10.1103 / RevModPhys.52.299.Общее описание математического формализма, используемого в литературе по гравитационному излучению.
- Уолд, Роберт (1984). Общая теория относительности. Издательство Чикагского университета. ISBN 0-226-87033-2.Уолд рассматривает более сжатую версию формализма Ньюмана – Пенроуза в терминах более современной спинорной нотации.
- С. У. Хокинг и Дж. Ф. Р. Эллис (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-226-87033-2.Хокинг и Эллис используют формализм в своем обсуждении конечного состояния коллапсирующей звезды.
Внешние ссылки