Теорема Гольдберга – Сакса

редактировать

Теорема Голдберга – Сакса является результатом теории общей теории относительности Эйнштейна о вакуумных решениях уравнений поля Эйнштейна, связывающих существование определенный тип конгруэнции с алгебраическими свойствами тензора Вейля.

Точнее, теорема утверждает, что вакуумное решение уравнений поля Эйнштейна допускает несдвигающее нулевая геодезическая конгруэнция тогда и только тогда, когда тензор Вейля алгебраичен lly special.

Теорема часто используется при поиске алгебраически специальных вакуумных решений.

Содержание

1 Лучи без сдвига
2 Теорема
3 Важность и примеры
4 Линеаризованная гравитация
5 См. Также
6 Ссылки

Лучи без сдвига

Луч - это семейство геодезических светоподобных кривых. Это касательное векторное поле $la {\ displaystyle l ^ {a}}$ $l ^ a$ имеет нулевое значение и геодезическое: $lala = 0 {\ displaystyle l_ {a} l ^ {a} = 0}$ ${\ displaystyle l_ {a} l ^ {a} = 0}$ и $фунт ∇ bla = 0 {\ displaystyle l ^ {b} \ nabla _ {b} l ^ {a} = 0}$ ${\ displaystyle l ^ {b} \ nabla _ {b} l ^ {a} = 0}$ . В каждой точке есть (неуникальный) двумерный пространственный слой касательного пространства, ортогональный к $l a {\ displaystyle l ^ {a}}$ $l ^ a$ . Он охватывает комплексный нулевой вектор $ma {\ displaystyle m ^ {a}}$ $m ^ {a}$ и его комплексное сопряжение $m ¯ a {\ displaystyle {\ bar {m}} ^ {a }}$ ${\ bar {m}} ^ {a}$ . Если метрика положительна по времени, то метрика, проецируемая на срез, будет иметь вид $g ~ ab = - mam ¯ b - m ¯ amb {\ displaystyle {\ tilde {g}} ^ {ab} = - m ^ {a } {\ bar {m}} ^ {b} - {\ bar {m}} ^ {a} m ^ {b}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {g}} ^ {ab} = - m ^ {a} {\ bar {m }} ^ {b} - {\ bar {m}} ^ {a} m ^ {b}}$ . Голдберг и Сакс рассмотрели проекцию градиента на этом срезе.

$A a b = g ~ a p g ~ b q ∇ p l q = z m ¯ a m b + z ¯ m a m ¯ b + σ ¯ m a m b + σ m ¯ a m ¯ b. {\ displaystyle A ^ {ab} = {\ tilde {g}} ^ {ap} {\ tilde {g}} ^ {bq} \ nabla _ {p} l_ {q} = z {\ bar {m}} ^ {a} m ^ {b} + {\ bar {z}} m ^ {a} {\ bar {m}} ^ {b} + {\ bar {\ sigma}} m ^ {a} m ^ { b} + \ sigma {\ bar {m}} ^ {a} {\ bar {m}} ^ {b}.}$ ${\ displaystyle A ^ {ab} = {\ tilde {g}} ^ {ap} {\ tilde { g}} ^ {bq} \ nabla _ {p} l_ {q} = z {\ bar {m}} ^ {a} m ^ {b} + {\ bar {z}} m ^ {a} {\ бар {m}} ^ {b} + {\ bar {\ sigma}} m ^ {a} m ^ {b} + \ sigma {\ bar {m}} ^ {a} {\ bar {m}} ^ {b}.}$

Луч не имеет сдвига, если $σ = 0 {\ displaystyle \ sigma = 0}$ $\ sigma = 0$ . Интуитивно это означает, что небольшая тень, отбрасываемая лучом, сохранит свою форму. Тень может вращаться и увеличиваться / уменьшаться, но не искажаться.

Теорема

Вакуумная метрика, $R ab = 0 {\ displaystyle R_ {ab} = 0}$ $R _ {{ab}} = 0$ , алгебраически особенная тогда и только тогда, когда она содержит нулевую геодезическую конгруэнцию без сдвига; касательный вектор подчиняется $k [a C b] ijckikj = 0 {\ displaystyle k _ {[a} C_ {b] ijc} k ^ {i} k ^ {j} = 0}$ ${\ displaystyle k _ {[a} C_ {b] ijc} k ^ { я} к ^ {j} = 0}$ .

Это теорема первоначально заявлено Голдбергом и Саксом. Хотя они сформулировали это в терминах касательных векторов и тензора Вейля, доказательство намного проще в терминах спиноров. Уравнения поля Ньюмана-Пенроуза дают естественную основу для исследования классификации Петрова, поскольку вместо доказательства $k [a C b] ijckikj = 0 {\ displaystyle k _ {[a} C_ {b] ijc } k ^ {i} k ^ {j} = 0}$ ${\ displaystyle k _ {[a} C_ {b] ijc} k ^ { я} к ^ {j} = 0}$ , можно просто доказать $Ψ 0 = Ψ 1 = 0 {\ displaystyle \ Psi _ {0} = \ Psi _ {1 } = 0}$ ${\ displaystyle \ Psi _ {0} = \ Psi _ {1} = 0}$ . Для этих доказательств предположим, что у нас есть вращающаяся рамка с $o A {\ displaystyle o ^ {A}}$ ${\ displaystyle o ^ {A}}$ , флагшток которой выровнен по лучу без сдвига $la {\ displaystyle l ^ {a}}$ $l ^ a$ .

Доказательство того, что луч без сдвига подразумевает алгебраическую специальность : если луч геодезический и не имеет сдвига, то $ε + ε ¯ = κ = σ = 0 {\ displaystyle \ varepsilon + {\ bar {\ varepsilon}} = \ kappa = \ sigma = 0}$ ${\ displaystyle \ varepsilon + {\ bar {\ varepsilon}} = \ kappa = \ sigma = 0}$ . Сложный поворот $o A → ei θ o A {\ displaystyle o ^ {A} \ rightarrow e ^ {i \ theta} o ^ {A}}$ ${\ displaystyle o ^ {A} \ rightarrow е ^ {я \ тета} о ^ {A}}$ не влияет на $la { \ displaystyle l ^ {a}}$ $l ^ a$ и может установить $ε = 0 {\ displaystyle \ varepsilon = 0}$ $\ varepsilon = 0$ для упрощения вычислений. Первое полезное уравнение NP: $D σ - δ κ = 0 {\ displaystyle D \ sigma - \ delta \ kappa = 0}$ ${\ displaystyle D \ sigma - \ delta \ kappa = 0}$ , что сразу дает $Ψ 0 = 0 {\ displaystyle \ Psi _ {0} = 0}$ $\ Psi _ {0} = 0$ .

Чтобы показать, что $Ψ 1 = 0 {\ displaystyle \ Psi _ {1} = 0}$ ${\ displaystyle \ Psi _ {1} = 0}$ , примените коммутатор $δ D - D δ {\ displaystyle \ delta DD \ delta}$ ${\ displaystyle \ delta DD \ delta}$ к нему. Идентификация Бьянки дает необходимые формулы: $D Ψ 1 = 4 ρ Ψ 1 {\ displaystyle D \ Psi _ {1} = 4 \ rho \ Psi _ {1}}$ ${ \ Displaystyle D \ Psi _ {1} = 4 \ rho \ Psi _ {1}}$ и $δ Ψ 1 знак равно (2 β + 4 τ) Ψ 1 {\ displaystyle \ delta \ Psi _ {1} = (2 \ beta +4 \ tau) \ Psi _ {1}}$ ${\ displaystyle \ delta \ Psi _ {1} = (2 \ beta +4 \ тау) \ Psi _ {1}}$ . Работа с алгеброй этого коммутатора покажет $Ψ 1 2 = 0 {\ displaystyle \ Psi _ {1} ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle \ Psi _ {1} ^ {2} = 0}$ , что завершает эту часть доказательства.

Доказательство того, что алгебраическая специальность подразумевает луч без сдвига : Предположим, $o A {\ displaystyle o_ {A}}$ ${\ displaystyle o_ {A}}$ является вырожденным множителем $Ψ ABCD {\ displaystyle \ Psi _ {ABCD}}$ ${\ displaystyle \ Psi _ {ABCD}}$ . Хотя это вырождение может быть n-кратным (n = 2..4), и доказательство будет функционально таким же, возьмите его за 2-кратное вырождение. Тогда проекция $o B o C o D Ψ A B C D = 0 {\ displaystyle o ^ {B} o ^ {C} o ^ {D} \ Psi _ {ABCD} = 0}$ ${\ displaystyle o ^ {B} o ^ {C} o ^ {D} \ Psi _ {ABCD} = 0}$ . Тождество Бианки в вакуумном пространстве-времени: $∇ AA ′ Ψ ABCD = 0 {\ displaystyle \ nabla ^ {AA '} \ Psi _ {ABCD} = 0}$ $\nabla ^{AA'}\Psi _{ABCD}=0$ , поэтому применяя производную к проекция даст $o A o B ∇ AA ′ o B = 0 {\ displaystyle o_ {A} o_ {B} \ nabla ^ {AA '} o ^ {B} = 0}$ $o_{A}o_{B}\nabla ^{AA'}o^{B}=0$ , что эквивалентно $κ = σ = 0. {\ displaystyle \ kappa = \ sigma = 0.}$ ${\ displaystyle \ kappa = \ sigma = 0.}$ Таким образом, сравнение не имеет сдвига и почти геодезическое: $D la = (ε + ε ¯) ла {\ displaystyle Dl_ {a} = (\ varepsilon + {\ bar {\ varepsilon}}) l_ {a}}$ ${\ displaystyle Dl_ {a} = (\ varepsilon + {\ bar {\ varepsilon}}) l_ {a}}$ . Существует подходящее изменение масштаба $o A {\ displaystyle o ^ {A}}$ ${\ displaystyle o ^ {A}}$ , которое сделает это сопоставление геодезическим и, следовательно, луч без сдвига. Сдвиг векторного поля инвариантен при изменении масштаба, поэтому он останется без сдвига.

Важность и примеры

В пространстве-времени типа D Петрова есть два алгебраических вырождения. По теореме Гольдберга-Сакса тогда есть два свободных от сдвига луча, которые указывают вдоль этих вырожденных направлений. Поскольку уравнения Ньюмана-Пенроуза записываются в основе с двумя действительными нулевыми векторами, существует естественный базис, упрощающий уравнения поля. Примерами таких пространств-времени вакуума являются метрика Шварцшильда и метрика Керра, которые описывают невращающуюся и вращающуюся черную дыру соответственно. Именно это алгебраическое упрощение делает возможным решение метрики Керра вручную.

В случае Шварцшильда с симметричными во времени координатами два свободных от сдвига луча равны. $l μ ∂ μ = ± (1-2 M r) - 1 ∂ t + ∂ r. {\ displaystyle l ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} = \ pm \ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right) ^ {- 1} \ partial _ {t} + \ частичное _ {r}.}$ ${\ displaystyle l ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} = \ pm \ left (1 - {\ frac {2M} {r}} \ right) ^ { -1} \ partial _ {t} + \ partial _ {r}.}$

При преобразовании координат $(t, r, θ, φ) → (t ∓ r ∗, r, θ, φ) {\ displaystyle (t, r, \ theta, \ varphi) \ rightarrow (t \ mp r ^ {*}, r, \ theta, \ varphi)}$ ${\ displaystyle (t, r, \ theta, \ varphi) \ стрелка вправо (t \ mp r ^ {*}, r, \ t heta, \ varphi)}$ где $r ∗ {\ displaystyle r ^ {*}}$ $r ^ {*}$ - координата черепахи, это упрощается до $l μ ∂ μ = ∂ r {\ displaystyle l ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} = \ partial _ {r}}$ ${\ displaystyle l ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} = \ partial _ {r}}$ .

Линеаризованная гравитация

Дэйн и Морески показали, что соответствующая теорема не будет выполняться в линеаризованной гравитации, то есть при решении линеаризованных уравнений поля Эйнштейна допускающий нулевую конгруэнцию без сдвига, то это решение не обязательно должно быть алгебраически специальным.

См. Также

Ссылки