Спин-взвешенные сферические гармоники

В специальных функциях, тема в математике, Взвешенные по спину сферические гармоники являются обобщением стандартных сферических гармоник и, как обычные сферические гармоники, являются функциями на сфере. В отличие от обычных сферических гармоник, спин-взвешенные гармоники - это U(1) калибровочные поля, а не скалярные поля : математически они принимают значения в комплексе линейный пакет. Взвешенные по спину гармоники организованы по степени l, как обычные сферические гармоники, но имеют дополнительный спиновый вес s, который отражает дополнительную симметрию U (1). Специальная основа гармоник может быть получена из сферических гармоник Лапласа Y lm и обычно обозначается sYlm, где l и m - обычные параметры, знакомые по стандартным сферическим гармоникам Лапласа. В этом особом базисе взвешенные по спину сферические гармоники появляются как фактические функции, потому что выбор полярной оси фиксирует неоднозначность калибровки U (1). Взвешенные по спину сферические гармоники могут быть получены из стандартных сферических гармоник путем применения операторов повышения и понижения спина. В частности, взвешенные по спину сферические гармоники спинового веса s = 0 - это просто стандартные сферические гармоники:

$0\; Y\; l\; m\; =\; Y\; l\; m.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\}\; \_\; \{0\}\; Y\_\; \{lm\}\; =\; Y\_\; \{lm\}\; \backslash .\}$

Пространства взвешенных по спину сферических гармоник были впервые идентифицированы в связи с теорией представления Группа Лоренца (Гельфанд, Минлос и Шапиро 1958). Впоследствии они были независимо повторно открыты Ньюманом и Пенроузом (1966) и применены для описания гравитационного излучения, и снова Ву и Ян (1976) как таковые. называемые «монопольными гармониками» при исследовании монополей Дирака.

• 1 Спин-взвешенные функции
  • 1.1 Оператор ð
• 2 Спин-взвешенные гармоники
• 3 Представление в виде функций
• 4 Ортогональность и полнота
• 5 Расчет
• 6 Первые несколько спин-взвешенных сферических гармоник
  • 6.1 Спин-вес s = 1, степень l = 1
• 7 Связь с матрицами вращения Вигнера
• 8 Тройной интеграл
• 9 См. также
• 10 Ссылки

Рассмотрим сферу S как встроенную в трехмерное евклидово пространство R. В точке x на сфере положительно ориентированный ортонормированный базис из касательных векторов в x представляет собой пару a, bвекторов такие, что

$x\; \cdot \; a\; =\; x\; \cdot \; b\; =\; 0\; a\; \cdot \; a\; =\; b\; \cdot \; b\; =\; 1\; a\; \cdot \; b\; =\; 0\; x\; \cdot \; (a\; \times \; b)>0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{\; x\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; =\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{\; b\}\; =\; 1\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; =\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{b\})>0,\; \backslash \; конец\; \{выровненный\}\}\}$

где первая пара уравнений утверждает, что a и b касаются в точке x, вторая пара утверждает, что a и b являются единичными векторами, предпоследнее уравнение, что a и b равны ортогонально, и окончательное уравнение (x, a, b) является правым базисом R.

Спин-весовая функция s f - это функция, принимающая в качестве входных данных точку x множества S и положительно ориентированный ортонормированный базис касательных векторов в x, такие что

$f\; (x,\; (соз\; \; \theta )\; a\; -\; (грех\; \; \theta )\; б,\; (грех\; \; \theta )\; a\; +\; (соз\; \; \theta )\; б)\; =\; eis\; \theta \; е\; (х,\; а,\; Ь)\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\},\; (\backslash \; cos\; \backslash \; theta)\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; -\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta)\; \backslash \; mathbf\; \{b\},\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta)\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; +\; (\backslash \; cos\; \backslash \; theta)\; \backslash \; mathbf\; \{\; b\}\; \{\backslash \; bigr)\}\; =\; e\; ^\; \{равно\; \backslash \; theta\}\; f\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; \backslash \; mathbf\; \{a\},\; \backslash \; mathbf\; \{b\})\}$

для каждого угла поворота θ.

Следуя Eastwood Tod (1982), обозначьте совокупность всех s-функций спин-весов с помощью B (s). Конкретно, они понимаются как функции f на C \ {0}, удовлетворяющие следующему закону однородности при комплексном масштабировании

$f\; (\lambda \; z,\; \lambda \; ¯\; z\; ¯)\; =\; (\lambda \; ¯\; \lambda )\; sf\; (z,\; z\; ¯).\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; left\; (\backslash \; lambda\; z,\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; lambda\}\}\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; lambda\}\}\; \{\backslash \; lambda\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{s\}\; f\; \backslash \; left\; (z,\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\; \backslash \; right).\}$

Это имеет смысл при условии, что s является полуцелым числом.

Абстрактно, B (s) изоморфно гладкому векторному расслоению , лежащему в основе антиголоморфного векторного расслоения O (2s) поворота Серра на комплексной проекционной прямой CP. Участком последнего расслоения является функция g на C \ {0}, удовлетворяющая условию

$g\; (\lambda \; z,\; \lambda \; ¯\; z\; ¯)\; =\; \lambda \; ¯\; 2\; s\; g\; (z,\; z\; ¯).\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \backslash \; left\; (\backslash \; lambda\; z,\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; lambda\}\}\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; lambda\}\}\; ^\; \{2s\}\; g\; \backslash \; left\; (z,\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\; \backslash \; right).\}$

При таком ag мы можем получить s-функцию спинового веса, умножив на подходящую степень эрмитовой формы

$P\; (z,\; z\; ¯)\; =\; z\; \cdot \; z\; ¯.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; left\; (z,\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\; \backslash \; right)\; =\; z\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}.\}$

В частности, f = Pg является s-функцией спинового веса. Связь взвешенной по спину функции с обычной однородной функцией является изоморфизмом.

Оператор ð

Пакеты спиновых весов B снабжены дифференциальным оператором ð (eth ). Этот оператор по сути является оператором Dolbeault, после того, как были выполнены подходящие идентификации,

$\partial :\; O\; (2\; с)\; ¯\; \to \; E\; 1,\; 0\; \otimes \; O\; (2\; с)\; ¯\; \cong \; O\; (2\; с)\; ¯\; \otimes \; O\; (-\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial:\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathbf\; \{O\}\; (2s)\}\}\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; ^\; \{1,0\}\; \backslash \; otimes\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathbf\; \{O\}\; (2s)\}\; \}\; \backslash \; cong\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathbf\; \{O\}\; (2s)\}\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{O\}\; (-2).\}$

Таким образом, для f ∈ B (s),

$ð\; е\; знак\; равно\; def\; P\; -\; s\; +\; 1\; \partial \; (P\; sf)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eth\; f\; \backslash \; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; text\; \{def\}\}\; \{=\}\}\; \backslash \; P\; ^\; \{-\; s\; +\; 1\}\; \backslash \; partial\; \backslash \; left\; (\; P\; ^\; \{s\}\; f\; \backslash \; right)\}$

определяет функцию спинового веса s + 1.

Так же, как обычные сферические гармоники Собственные функции оператора Лапласа-Бельтрами на сфере, s-гармоники спиновых весов являются собственными определениями для оператора Лапласа-Бельтрами, действующего на связки E (s) спин-весовых s-функций.

Взвешенные по спину гармоники могут быть представлены как функции на сфере, если точка на сфере выбрана в качестве северного полюса. По определению функция η со спиновым весом s преобразуется при вращении вокруг полюса следующим образом:

$\eta \; \to \; e\; i\; s\; \psi \; \eta .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; \backslash \; rightarrow\; e\; ^\; \{is\; \backslash \; psi\}\; \backslash \; eta.\}$

Работая в стандартных сферических координатах, мы можем определить конкретный оператор ð, действующий на функцию η, как:

$ð\; \eta \; =\; -\; (sin\; \; \theta )\; s\; \{\partial \; \partial \; \theta \; +\; i\; sin\; \; \theta \; \partial \; \partial \; \varphi \}\; [(sin\; \; \theta )\; -\; s\; \eta ].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eth\; \backslash \; eta\; =\; -\; \backslash \; left\; (\backslash \; sin\; \{\backslash \; theta\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{s\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; theta\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{i\}\; \{\backslash \; sin\; \{\backslash \; theta\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; phi\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\backslash \; sin\; \{\backslash \; theta\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; s\}\; \backslash \; eta\; \backslash \; right].\}$

Это дает нам другую функцию от θ и φ. (Оператор ð фактически является оператором ковариантной производной в сфере.)

Важным свойством новой функции ðη является то, что если η имеет спиновый вес s, то ðη имеет спиновый вес s + 1. Таким образом, оператор увеличивает спиновый вес функции на 1. Аналогичным образом мы можем определить оператор ð, который понизит спиновый вес функции на 1:

$ð\; ¯\; \eta \; =\; -\; (sin\; \; \theta )\; -\; s\; \{\partial \; \partial \; \theta \; -\; я\; sin\; \; \theta \; \partial \; \partial \; \varphi \}\; [(sin\; \; \theta )\; s\; \eta ].\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; eth\}\}\; \backslash \; eta\; =\; -\; \backslash \; left\; (\backslash \; sin\; \{\backslash \; theta\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; s\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; theta\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{i\}\; \{\backslash \; sin\; \{\backslash \; theta\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; phi\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\backslash \; sin\; \{\backslash \; theta\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{s\}\; \backslash \; eta\; \backslash \; right].\}$

Взвешенные по спину сферические гармоники затем определяются в терминах обычных сферических гармоник как:

Функции sYlmтогда имеют свойство преобразования со спиновым весом s.

Другие важные свойства включают следующее:

$ð\; (s\; Y\; l\; m)\; =\; +\; (l\; -\; s)\; (l\; +\; s\; +\; 1)\; s\; +\; 1\; Y\; l\; m;\; ð\; ¯\; (s\; Y\; l\; m)\; =\; -\; (l\; +\; s)\; (l\; -\; s\; +\; 1)\; s\; -\; 1\; Y\; l\; m;\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; eth\; \backslash \; left\; (\{\}\; \_\; \{s\}\; Y\_\; \{lm\}\; \backslash \; right)\; =\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{(ls)\; (l\; +\; s\; +\; 1)\}\}\; \backslash ,\; \{\}\; \_\; \{s\; +\; 1\}\; Y\_\; \{lm\};\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; eth\}\}\; \backslash \; left\; (\{\}\; \_\; \{s\}\; Y\_\; \{lm\}\; \backslash \; right)\; =\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{(l\; +\; s)\; (\; l-s\; +\; 1)\}\}\; \backslash ,\; \{\}\; \_\; \{s-1\}\; Y\_\; \{lm\};\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Гармоники ортогональны по всей сфере :

$\int \; S\; 2\; s\; Y\; lms\; Y\; ¯\; l\; \prime \; m\; \prime \; d\; S\; =\; \delta \; ll\; \prime \; \delta \; мм\; \prime ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{S\; ^\; \{2\}\}\; \{\}\; \_\; \{s\}\; Y\_\; \{lm\}\; \backslash ,\; \{\}\; \_\; \{s\}\; \{\backslash \; bar\; \{Y\}\}\; \_\; \{l\text{'}m\; \text{'}\}\; \backslash ,\; dS\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{ll\text{'}\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{mm\; \text{'}\},\}$

и удовлетворяют отношению полноты

$\sum \; lms\; Y\; ¯\; lm\; (\theta \; \prime ,\; \varphi \; \prime )\; s\; Y\; lm\; (\theta ,\; \varphi )\; =\; \delta \; (\varphi \; \prime \; -\; \varphi )\; \delta \; (cos\; \; \theta \; \prime \; -\; cos\; \; \theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{lm\}\; \{\}\; \_\; \{s\}\; \{\backslash \; bar\; \{Y\}\}\; \_\; \{lm\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; theta\; \text{'},\; \backslash \; phi\text{'}\; \backslash \; right)\; \{\}\; \_\; \{s\}\; Y\_\; \{lm\}\; (\backslash \; theta,\; \backslash \; phi)\; =\; \backslash \; delta\; \backslash \; left\; (\backslash \; phi\; \text{'}-\; \backslash \; phi\; \backslash \; right)\; \backslash \; delta\; \backslash \; left\; (\backslash \; cos\; \backslash \; theta\text{'}\; -\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \; right)\}$

Эти гармоники могут быть явно вычислены несколькими способами. Очевидное рекурсивное отношение возникает в результате многократного применения повышающих или понижающих операторов. Формулы для прямого расчета были получены Goldberg et al. (1967) ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFGoldbergMacfarlaneNewmanRohlich1967 (help ). Обратите внимание, что в их формулах используется старый выбор для фазы Кондона – Шортли. Выбранное ниже соглашение, например, согласуется с Mathematica.

Более полезной из формул Голдберга и др. Является следующая:

$s\; Y\; l\; m\; (\theta ,\; \varphi )\; =\; (-\; 1)\; m\; (l\; +\; m)!\; (л\; -\; м)!\; (2\; l\; +\; 1)\; 4\; \pi \; (l\; +\; s)!\; (л\; -\; с)!\; sin\; 2\; l\; \; (\theta \; 2)\; \times \; \sum \; r\; =\; 0\; l\; -\; s\; (l\; -\; sr)\; (l\; +\; sr\; +\; s\; -\; m)\; (-\; 1)\; l\; -\; r\; -\; seim\; \varphi \; cot\; 2\; r\; +\; s\; -\; m\; \; (\theta \; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\}\; \_\; \{s\}\; Y\_\; \{lm\}\; (\backslash \; theta,\; \backslash \; phi)\; =\; \backslash \; left\; (-1\; \backslash \; right)\; ^\; \{m\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{(l\; +\; m)!\; (lm)!\; (2l\; +\; 1)\}\; \{4\; \backslash \; pi\; (l\; +\; s)!\; (Ls)!\}\}\}\; \backslash \; Sin\; ^\; \{2l\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; times\; \backslash \; sum\; \_\; \{r\; =\; 0\}\; ^\; \{ls\}\; \{ls\; \backslash \; choose\; r\}\; \{l\; +\; s\; \backslash \; choose\; r\; +\; sm\}\; \backslash \; left\; (-1\; \backslash \; right)\; ^\; \{lrs\}\; e\; ^\; \{im\; \backslash \; phi\}\; \backslash \; cot\; ^\; \{2r\; +\; sm\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,.\}$

Записная книжка Mathematica, в которой используется эта формула для вычисления произвольных сферических гармоник, взвешенных по спину, находится здесь.

Согласно фазовому соглашению здесь:

$s\; Y\; ¯\; lm\; =\; (-\; 1)\; s\; +\; m\; -\; s\; Y\; l\; (-\; m)\; s\; Y\; lm\; (\pi \; -\; \theta ,\; \varphi \; +\; \pi )\; =\; (-\; 1)\; l\; -\; s\; Y\; lm\; (\theta ,\; \varphi ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\}\; \_\; \{s\}\; \{\backslash \; bar\; \{Y\}\}\; \_\; \{lm\}\; =\; \backslash \; left\; (-1\; \backslash \; right)\; ^\; \{s\; +\; m\}\; \{\}\; \_\; \{-\; s\}\; Y\_\; \{l\; (-m)\}\; \backslash \backslash \; \{\}\; \_\; \{s\}\; Y\_\; \{lm\}\; (\backslash \; pi\; -\; \backslash \; theta,\; \backslash \; phi\; +\; \backslash \; pi)\; =\; \backslash \; left\; (-1\; \backslash \; right)\; ^\; \{l\}\; \{\}\; \_\; \{\; -s\}\; Y\_\; \{lm\}\; (\backslash \; theta,\; \backslash \; phi).\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Аналитические выражения для первых нескольких ортонормированных спин-взвешенных сферических гармоник :

Спин-вес s = 1, степень l = 1

$1\; Y\; 10\; (\theta ,\; \varphi )\; =\; 3\; 8\; \pi \; sin\; \; \theta \; 1\; Y\; 1\; \pm \; 1\; (\theta ,\; \varphi )\; =\; -\; 3\; 16\; \pi \; (1\; \mp \; соз\; \; \theta )\; е\; \pm \; я\; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\}\; \_\; \{1\}\; Y\_\; \{10\}\; (\backslash \; theta,\; \backslash \; phi)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{\; 8\; \backslash \; pi\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \backslash \; \{\}\; \_\; \{1\}\; Y\_\; \{1\; \backslash \; pm\; 1\}\; (\backslash \; theta,\; \backslash \; phi)\; =\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{16\; \backslash \; pi\; \}\}\}\; (1\; \backslash \; mp\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta)\; \backslash ,\; e\; ^\; \{\backslash \; pm\; i\; \backslash \; phi\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

$D\; -\; msl\; (\varphi ,\; \theta ,\; -\; \psi )\; знак\; равно\; (-\; 1)\; м\; 4\; \pi \; 2\; l\; +\; 1\; s\; Y\; lm\; (\theta ,\; \varphi )\; eis\; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \_\; \{-\; ms\}\; ^\; \{l\}\; (\backslash \; phi,\; \backslash \; theta,\; -\; \backslash \; psi)\; =\; \backslash \; left\; (-1\; \backslash \; right)\; ^\; \{m\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\}\; \{2l\; +\; 1\}\}\}\; \{\}\; \_\; \{s\}\; Y\_\; \{lm\}\; (\backslash \; theta,\; \backslash \; phi)\; e\; ^\; \{равно\; \backslash \; psi\}\}$

Это соотношение позволяет спиновым гармоникам вычисляться с использованием рекурсивных соотношений для D-матриц.

Тройной интеграл в случае, когда s 1 + s 2 + s 3 = 0 задается с помощью символа 3-j :

$\int \; S\; 2\; s\; 1\; Y\; j\; 1\; m\; 1\; s\; 2\; Y\; j\; 2\; m\; 2\; s\; 3\; Y\; j\; 3\; m\; 3\; =\; (2\; j\; 1\; +\; 1)\; (2\; j\; 2\; +\; 1)\; (2\; j\; 3\; +\; 1)\; 4\; \pi \; (j\; 1\; j\; 2\; j\; 3\; м\; 1\; м\; 2\; м\; 3)\; (j\; 1\; j\; 2\; j\; 3\; -\; s\; 1\; -\; s\; 2\; -\; s\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{S\; ^\; \{2\}\}\; \backslash ,\; \{\}\; \_\; \{s\_\; \{1\}\}\; Y\_\; \{j\_\; \{1\}\; m\_\; \{1\}\}\; \backslash ,\; \{\}\; \_\; \{s\_\; \{2\}\}\; Y\_\; \{j\_\; \{2\}\; m\_\; \{2\}\}\; \backslash ,\; \{\}\; \_\; \{s\_\; \{3\}\}\; Y\_\; \{j\_\; \{3\}\; m\_\; \{3\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (2j\_\; \{1\}\; +1\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (2j\_\; \{2\}\; +1\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (2j\_\; \{3\}\; +1\; \backslash \; right)\}\; \{4\; \backslash \; pi\}\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; j\_\; \{1\}\; j\_\; \{2\}\; j\_\; \{3\}\; \backslash \backslash \; m\_\; \{1\}\; m\_\; \{2\}\; m\_\; \{3\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; j\_\; \{1\}\; j\_\; \{2\}\; j\_\; \{3\}\; \backslash \backslash \; -\; s\_\; \{1\}\; -\; s\_\; \{2\}\; -\; s\_\; \{3\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

• Сферический базис

• Дрей, Тевиан (май 1985 г.), «Взаимосвязь между монополями. гармоники и сферические гармоники, взвешенные по спину », J. Math. Phys., Американский институт физики, 26 (5): 1030–1033, Bibcode : 1985JMP.... 26.1030D, doi : 10.1063 / 1.526533.
• Иствуд, Майкл; Тод, Пол (1982), «Эдт - дифференциальный оператор на сфере», Математические слушания Кембриджского философского общества, 92 (2): 317–330, Bibcode : 1982MPCPS..92..317E, doi : 10.1017 / S0305004100059971.
• Гельфанд, IM ; ; Шапиро, З. Я. (1958), Представления группы обращения и группы Лоренца, их применения, Государства. Издат. Физ.-мат. Лит., Москва, MR 0114876 ; (1963) Представления групп вращения и Лоренца и их приложения (перевод). Macmillan Publishers.
• Goldberg, J. N.; Macfarlane, A.J.; Newman, E.T.; Рорлих, Ф.; Сударшан, E.C.G (ноябрь 1967 г.), "Spin-s Spherical Harmonics и", J. Math. Phys., Американский институт физики, 8 (11): 2155–2161, Bibcode : 1967JMP..... 8.2155G, doi : 10.1063 / 1.1705135 (Примечание: как упоминалось выше, в этой статье используется выбор для фазы Кондона-Шортли, которая больше не является стандартной.)
• Newman, ET ; Пенроуз Р. (май 1966 г.), «Заметка о группе Бонди-Мецнера-Сакса», J. Math. Phys., Американский институт физики, 7 (5): 863–870, Bibcode : 1966JMP..... 7..863N, doi : 10.1063 / 1.1931221.
• Ву, Тай Цун; Ян, Чен Нин (1976), «Монополь Дирака без струн: монопольные гармоники», Nuclear Physics B, 107 (3): 365–380, Bibcode : 1976NuPhB. 107..365W, doi :10.1016/0550-3213(76)90143-7, MR 0471791.