Оператор Лапласа – Бельтрами

Для любой дважды дифференцируемой вещественнозначной функции f, определенной на Евклидово пространство R, оператор Лапласа (также известный как лапласиан) переводит f в дивергенцию его векторного поля gradient, которое представляет собой сумму n вторых производных функции f по каждому вектору ортонормированного базиса для R . В области дифференциальной геометрии этот оператор обобщается для работы с функциями, определенными на подмногообразиях в евклидовом пространстве и, в более общем смысле, на римановом и псевдоримановом коллекторы. Этот более общий оператор получил название оператор Лапласа – Бельтрами, в честь Пьера-Симона Лапласа и Эухенио Бельтрами. Как и лапласиан, оператор Лапласа – Бельтрами определяется как дивергенция градиента и представляет собой линейный оператор, переводящий функции в функции. Оператор может быть расширен для работы с тензорами как дивергенция ковариантной производной. В качестве альтернативы оператор может быть обобщен для работы с дифференциальными формами с использованием дивергенции и внешней производной. Результирующий оператор называется оператором Лапласа – де Рама (назван в честь Жоржа де Рама ).

• 1 Подробности
• 2 Формальная самосопряженность
• 3 Собственные значения оператора Лапласа – Бельтрами (теорема Лихнеровича – Обаты)
• 4 Тензорный лапласиан
• 5 Оператор Лапласа – де Рама
• 6 Примеры
• 7 См. Также
• 8 Примечания
• 9 Ссылки

Оператор Лапласа – Бельтрами, как и лапласиан, представляет собой расхождение градиент :

$\Delta \; f\; =\; \nabla \; \cdot \; \nabla \; f.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; f\; =\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; nabla\; f.\}$

Возможна явная формула в локальных координатах.

Предположим сначала, что M - ориентированное риманово многообразие. Ориентация позволяет задать определенную форму объема на M, заданную в ориентированной системе координат x как

$vol\; n:\; =\; |\; г\; |\; dx\; 1\; \wedge \; \cdots \; \wedge \; dxn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{vol\}\; \_\; \{n\}:\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{|\; g\; |\}\}\; \backslash ;\; dx\; ^\; \{1\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; cdots\; \backslash \; wedge\; dx\; ^\; \{n\}\}$

где | g | : = | det (g ij) | - абсолютное значение детерминанта метрического тензора , а dx - 1-формы, образующие двойственный базис к базисным векторам

$\partial \; i:\; =\; \partial \; \partial \; xi\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{i\}:\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{i\}\}\}\}$

касательного пространства $T\; p\; M\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{p\}\; M\}$и $\wedge \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; wedge\}$является продуктом клина.

Дивергенция векторного поля X на многообразии затем определяется как скалярная функция со свойством

$(\nabla \; \cdot \; X)\; vol\; n:\; =\; LX\; vol\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; X)\; \backslash \; operatorname\; \{\; vol\}\; \_\; \{n\}:\; =\; L\_\; \{X\}\; \backslash \; operatorname\; \{vol\}\; \_\; \{n\}\}$

где L X - производная Ли вдоль вектора поле X. В локальных координатах получаем

$\nabla \; \cdot \; X\; =\; 1\; |\; г\; |\; \partial \; я\; (|\; г\; |\; Икс\; я)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; X\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{|\; g\; |\}\}\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{i\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{|\; g\; |\; \}\}\; X\; ^\; \{i\}\; \backslash \; right)\}$

где подразумевается нотация Эйнштейна, так что повторяющийся индекс i суммируется.

Градиент скалярной функции ƒ - это векторное поле grad f, которое может быть определено с помощью внутреннего произведения $⟨\cdot ,\; \cdot ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; cdot,\; \backslash \; cdot\; \backslash \; rangle\}$на коллекторе, как

$⟨grad\; \; f\; (x),\; vx⟩\; =\; df\; (x)\; (vx)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; operatorname\; \{grad\}\; f\; (x),\; v\_\; \{x\}\; \backslash \; rangle\; =\; df\; (x)\; (v\_\; \{x\})\}$

для всех векторов v x, закрепленных в точке x в касательном пространстве TxM многообразие в точке x. Здесь dƒ - внешняя производная функции ƒ; это аргумент принятия 1-формы v x. В локальных координатах

$(grad\; \; f)\; я\; =\; \partial \; if\; =\; gij\; \partial \; jf\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; operatorname\; \{grad\}\; f\; \backslash \; right)\; ^\; \{i\}\; =\; \backslash \; partial\; ^\; \{i\}\; f\; =\; g\; ^\; \{ij\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{j\}\; f\}$

где g - компоненты, обратные метрическому тензору, так что gg jk = δ k с δ k дельта Кронекера.

Объединяя определения градиента и дивергенции, формула для оператора Лапласа – Бельтрами, примененная к скалярной функции ƒ, имеет вид в локальных координатах

$\Delta \; f\; =\; 1\; |\; г\; |\; \partial \; я\; (|\; g\; |\; g\; i\; j\; \partial \; j\; f).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; f\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{|\; g\; |\}\}\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{i\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{|\; g\; |\}\}\; g\; ^\; \{ij\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{\; j\}\; f\; \backslash \; right).\}$

Если M не ориентирован, то приведенный выше расчет выполняется точно так, как представлено, за исключением того, что вместо формы объема необходимо заменить элемент объема (a плотность, а не форма). На самом деле ни градиент, ни дивергенция не зависят от выбора ориентации, поэтому сам оператор Лапласа – Бельтрами не зависит от этой дополнительной структуры.

Внешняя производная d и −. являются формальными сопряженными в том смысле, что для ƒ функция с компактным носителем

$\int \; M\; df\; (X)\; vol\; n\; =\; -\; M\; f\; \nabla \; \cdot \; X\; vol\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{M\}\; df\; (X)\; \backslash \; operatorname\; \{vol\}\; \_\; \{n\}\; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{M\}\; f\; \backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; X\; \backslash \; operatorname\; \{vol\}\; \_\; \{n\}\}$(доказательство)

где последнее равенство является применением Теорема Стокса. Дуализация дает

$\int \; M\; е\; \Delta \; h\; vol\; n\; =\; -\; \int \; M\; ⟨df,\; dh⟩\; vol\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{M\}\; f\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; h\; \backslash ,\; \backslash \; operatorname\; \{vol\}\; \_\; \{n\}\; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{M\}\; \backslash \; langle\; df,\; dh\; \backslash \; rangle\; \backslash ,\; \backslash \; operatorname\; \{vol\}\; \_\; \{n\}\}$

(2)

для всех функций ƒ и h с компактным носителем. Наоборот, (2) полностью характеризует оператор Лапласа – Бельтрами в том смысле, что это единственный оператор с таким свойством.

Как следствие, оператор Лапласа – Бельтрами отрицательный и формально самосопряженный, что означает, что для функций с компактным носителем ƒ и h,

$\int \; M\; f\; \Delta \; h\; vol\; n\; =\; -\; \int \; M\; ⟨df,\; dh⟩\; vol\; n\; =\; \int \; M\; h\; \Delta \; f\; vol\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{M\}\; f\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; h\; \backslash \; operatorname\; \{vol\}\; \_\; \{n\}\; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{M\}\; \backslash \; langle\; df,\; dh\; \backslash \; rangle\; \backslash \; operatorname\; \{vol\}\; \_\; \{n\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{M\}\; h\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; f\; \backslash \; operatorname\; \{vol\}\; \_\; \{n\}.\}$

Поскольку оператор Лапласа – Бельтрами, как определено таким образом, является отрицательным, а не положительным, часто он определяется с помощью противоположный знак.

Пусть M обозначает компактное риманово многообразие без края. Мы хотим рассмотреть уравнение собственных значений,

$-\; \Delta \; u\; =\; \lambda \; u,\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; Delta\; u\; =\; \backslash \; lambda\; u,\}$

где $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$- собственная функция, связанная с собственным значением $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$. Используя доказанную выше самосопряженность, можно показать, что собственные значения $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$действительны. Компактность многообразия M позволяет показать, что собственные значения дискретны и, кроме того, векторное пространство собственных функций, связанных с данным собственным значением $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$, то есть все собственные подпространства конечномерны. Обратите внимание, что, взяв постоянную функцию в качестве собственной функции, мы получаем $\lambda \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; =\; 0\}$- собственное значение. Кроме того, поскольку мы рассмотрели $-\; \Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; Delta\}$, интегрирование по частям показывает, что $\lambda \; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \backslash \; geq\; 0\}$. Точнее, если мы умножим собственное значение eqn. через собственную функцию $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$и интегрировать полученное уравнение. на $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$получаем (используя запись $d\; V\; =\; vol\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; dV\; =\; \backslash \; operatorname\; \{vol\}\; \_\; \{n\}\}$)

$-\; \int \; M\; \Delta \; uud\; V\; =\; \lambda \; \int \; M\; u\; 2\; d\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{M\}\; \backslash \; Delta\; u\; \backslash \; u\; \backslash \; dV\; =\; \backslash \; lambda\; \backslash \; int\; \_\; \{M\}\; u\; ^\; \{2\}\; \backslash \; dV\}$

Выполнение интегрирование по частям или что то же самое, что использование теоремы о расходимости для члена слева, и поскольку $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$не имеет границы, мы получаем

$-\; \int \; M\; \Delta \; uud\; V\; =\; \int \; M\; |\; \nabla \; u\; |\; 2\; d\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{M\}\; \backslash \; Delta\; u\; \backslash \; u\; \backslash \; dV\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{M\}\; |\; \backslash \; nabla\; u\; |\; ^\; \{\; 2\}\; \backslash \; dV\}$

Соединяя последние два уравнения, получаем

$\int \; M\; |\; \nabla \; u\; |\; 2\; d\; V\; =\; \lambda \; \int \; M\; u\; 2\; d\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{M\}\; |\; \backslash \; nabla\; u\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; dV\; =\; \backslash \; lambda\; \backslash \; int\; \_\; \{M\}\; u\; ^\; \{2\}\; \backslash \; dV\}$

Из последнего уравнения заключаем, что $\lambda \; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \backslash \; geq\; 0\}$.

Фундаментальный результат Андре Лихнерович утверждает, что: Для компактного n-мерного риманова многообразия без границы с $n\; \ge \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; geq\; 2\}$. Предположим, что Ricc i кривизна удовлетворяет нижней границе:

$Ric\; \; (X,\; X)\; \ge \; \kappa \; g\; (X,\; X),\; \kappa >0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Ric\}\; (X,\; X)\; \backslash \; geq\; \backslash \; kappa\; g\; (X,\; X),\; \backslash \; kappa>0,\}$

где $g\; (\cdot ,\; \cdot )\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (\backslash \; cdot,\; \backslash \; cdot)\}$- метрический тензор, а $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$- любой касательный вектор на многообразии $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$. Тогда первое положительное собственное значение $\lambda \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\}$уравнения на собственные значения удовлетворяет нижней границе:

$\lambda \; 1\; \ge \; n\; n\; -\; 1\; \kappa .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; \backslash \; geq\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{n-1\}\}\; \backslash \; kappa.\}$

Эта нижняя граница точна и достигается на сфере $S\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{S\}\; ^\; \{n\}\}$. Фактически на $S\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{S\}\; ^\; \{2\}\}$собственное подпространство для $\lambda \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\}$является трехмерным и охватывается ограничением координатных функций $x\; 1,\; x\; 2,\; x\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; x\_\; \{3\}\}$из $R\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\}$до $S\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{S\}\; ^\; \{2\}\}$. Используя сферические координаты $(\theta ,\; \varphi )\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; theta,\; \backslash \; phi)\}$, на $S\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{S\}\; ^\; \{2\}\}$двумерная сфера, заданная

$x\; 3\; =\; cos\; \; \varphi \; =\; u\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{3\}\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; phi\; =\; u\_\; \{1\},\}$

, которую легко увидеть из формула для сферического лапласиана, показанная ниже

$-\; \Delta \; S\; 2\; u\; 1\; =\; 2\; u\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; Delta\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{S\}\; ^\; \{2\}\}\; u\_\; \{1\}\; =\; 2u\_\; \{1\}\}$

Таким образом, нижняя оценка в теореме Лихнеровича достигается по крайней мере в двух измерениях.

И наоборот, Морио Обата доказал, что если n-мерное компактное риманово многообразие без границы было таково, что для первого положительного собственного значения $\lambda \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\}$один имеет,

$\lambda \; 1\; =\; nn\; -\; 1\; \kappa ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{n-1\}\}\; \backslash \; kappa,\}$

тогда многообразие изометрично n-мерной сфере $S\; n\; (1\; /\; \kappa )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{S\}\; ^\; \{n\}\; (1\; /\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; kappa\}\})\}$, сфера радиусом $1\; /\; \kappa \; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; kappa\}\}\}$. Доказательства всех этих утверждений можно найти в книге Исаака Чавела. Аналогичные точные оценки справедливы и для других геометрий и для некоторых вырожденных лапласианов, связанных с этими геометриями, такими как лапласиан Кона (после Joseph J. Kohn ) на компактном CR-многообразии. Имеются приложения к глобальному вложению таких CR-многообразий в $C\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{n\}.\}$

Оператор Лапласа – Бельтрами может быть записан с использованием следа (или сокращения) повторяемого ковариантная производная, связанная со связностью Леви-Чивита. Гессиан (тензор) функции $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$- это симметричный 2-тензор

$Hess\; f\; \in \; \Gamma \; (T\; \ast \; M\; \otimes \; T\; \ast \; M)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; t\_dv\; \{Hess\}\}\; f\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; Gamma\}\; (\{\backslash \; mathsf\; \{T\}\}\; ^\; \{*\}\; M\; \backslash \; otimes\; \{\backslash \; mathsf\; \{T\}\}\; ^\; \{*\}\; M)\; \}$, $Гесс\; е:\; =\; \nabla \; 2\; е\; \equiv \; \nabla \; \nabla \; е\; \equiv \; \nabla \; df\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; t\_dv\; \{Hess\}\}\; f:\; =\; \backslash \; набла\; ^\; \{2\}\; е\; \backslash \; экв\; \backslash \; набла\; \backslash \; набла\; ф\; \backslash \; экв\; \backslash \; набла\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; f\}$,

где df обозначает (внешнюю) производную функции f.

Пусть X i будет базисом касательных векторных полей (не обязательно индуцированных системой координат). Тогда компоненты Hess f задаются формулой

$(Hess\; f)\; ij\; =\; Hess\; f\; (X\; i,\; X\; j)\; =\; \nabla \; X\; i\; \nabla \; X\; jf\; -\; \nabla \; \nabla \; X\; i\; X\; jf\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; t\_dv\; \{Hess\; \}\}\; f)\; \_\; \{ij\}\; =\; \{\backslash \; t\_dv\; \{Hess\}\}\; f\; (X\_\; \{i\},\; X\_\; \{j\})\; =\; \backslash \; nabla\; \_\; \{X\_\; \{i\}\}\; \backslash \; nabla\; \_\; \{X\_\; \{j\}\}\; f-\; \backslash \; nabla\; \_\; \{\backslash \; nabla\; \_\; \{X\_\; \{i\}\}\; X\_\; \{j\}\}\; f\}$

Легко видеть, что это тензорно трансформируется, поскольку оно линейно по каждому из аргументов X i, X к. Тогда оператор Лапласа – Бельтрами является следом (или сжатием ) гессиана относительно метрики:

$\Delta \; f:\; =\; tr\; \nabla \; df\; \in \; C\; \infty \; (M)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; f:\; =\; \backslash \; mathrm\; \{tr\}\; \backslash \; nabla\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; f\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathsf\; \{C\}\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (M)\}$.

Точнее, это означает

$\Delta \; f\; (x)\; Знак\; равно\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; N\; \nabla \; df\; (Икс\; я,\; Икс\; я)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; f\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; nabla\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; f\; (X\_\; \{i\},\; X\_\; \{i\})\}$,

или в терминах метрики

$\Delta \; f\; =\; \sum \; ijgij\; (Hess\; f)\; ij.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; f\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{ij\}\; g\; ^\; \{ij\}\; (\{\backslash \; t\_dv\; \{Hess\}\}\; f)\; \_\; \{ij\}.\}$

В абстрактных индексах оператор часто пишется

$\Delta \; f\; =\; \nabla \; a\; \nabla \; af\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; f\; =\; \backslash \; nabla\; ^\; \{a\}\; \backslash \; nabla\; \_\; \{a\}\; f\}$

при условии, что подразумевается, что этот след на самом деле является следом тензор Гессе.

Поскольку ковариантная производная канонически продолжается до произвольных тензоров, оператор Лапласа – Бельтрами, определенный на тензоре T формулой

$\Delta \; T\; =\; gij\; (\nabla \; X\; i\; \nabla \; X\; j\; T\; -\; \nabla \; \nabla \; Икс\; я\; Икс\; J\; T)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Delta\; T\; =\; g\; ^\; \{ij\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; nabla\; \_\; \{X\_\; \{i\}\}\; \backslash \; nabla\; \_\; \{X\_\; \{j\}\}\; T-\; \backslash \; nabla\; \_\; \{\backslash \; nabla\; \_\; \{\; X\_\; \{i\}\}\; X\_\; \{j\}\}\; T\; \backslash \; right)\}$

четко определено.

В более общем плане можно определить лапласианский дифференциальный оператор на сечениях пучка дифференциальных форм на псевдориманово многообразие. На римановом многообразии это эллиптический оператор, а на лоренцевом многообразии он гиперболический. Оператор Лапласа – де Рама определяется следующим образом:

$\Delta \; =\; d\; \delta \; +\; \delta \; d\; =\; (d\; +\; \delta )\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; =\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; delta\; +\; \backslash \; delta\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; =\; (\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; +\; \backslash \; delta)\; ^\; \{2\},\; \backslash ;\}$

где d - это внешняя производная или дифференциал, а δ - кодифференциал, действующий как (- 1) ∗ d ∗ на k-формах, где ∗ - звезда Ходжа.

. При вычислении оператора Лапласа – Бельтрами над скалярной функцией f имеем δf = 0, так что

$\Delta \; f\; =\; \delta \; df.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; f\; =\; \backslash \; delta\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; f.\}$

С точностью до знака оператор Лапласа – де Рама эквивалентен предыдущему определению оператора Лапласа – Бельтрами при действии на скалярная функция; подробности см. в proof. На функциях оператор Лапласа – де Рама фактически является отрицательным по отношению к оператору Лапласа – Бельтрами, поскольку обычная нормализация кодифференциала гарантирует, что оператор Лапласа – де Рама (формально) положительно определен, тогда как оператор Лапласа – Бельтрами обычно отрицательный. Знак - это просто условность, и оба они распространены в литературе. Оператор Лапласа – де Рама более существенно отличается от тензорного лапласиана, ограниченного действием на кососимметричные тензоры. Помимо случайного знака, эти два оператора отличаются тождеством Вайтценбека, которое явно включает тензор кривизны Риччи.

Многие примеры оператора Лапласа – Бельтрами могут быть проработано явно.

Евклидово пространство

В обычных (ортонормированных) декартовых координатах x на евклидовом пространстве метрика сводится к дельте Кронекера, и поэтому $|\; г\; |\; Знак\; равно\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; |\; г\; |\; =\; 1\}$. Следовательно, в этом случае

$\Delta \; f\; =\; 1\; |\; г\; |\; \partial \; i\; |\; г\; |\; \partial \; если\; знак\; равно\; \partial \; я\; \partial \; если\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Delta\; f\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{|\; g\; |\}\}\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{i\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{|\; g\; |\}\}\; \backslash \; partial\; ^\; \{i\; \}\; f\; =\; \backslash \; partial\; \_\; \{i\}\; \backslash \; partial\; ^\; \{i\}\; f\}$

, который является обычным лапласианом. В криволинейных координатах, таких как сферические или цилиндрические координаты, можно получить альтернативные выражения.

. Аналогично, оператор Лапласа – Бельтрами, соответствующий метрика Минковского с сигнатурой (- + + +) - это даламбертиан.

сферический лапласиан

Сферический лапласиан - это оператор Лапласа – Бельтрами на (n - 1) -сфера с ее канонической метрикой постоянной секционной кривизны 1. Удобно рассматривать сферу как изометрически вложенную в R как единичную сферу с центром в начале координат. Тогда для функции f на S сферический лапласиан определяется следующим образом:

$\Delta \; S\; n\; -\; 1\; f\; (x)\; =\; \Delta \; f\; (x\; /\; |\; x\; |)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \_\; \{S\; ^\; \{n-1\}\; \}\; f\; (x)\; =\; \backslash \; Delta\; f\; (x\; /\; |\; x\; |)\}$

где f (x / | x |) - однородное расширение нулевой степени функции f до R - {0 }, а $\Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\}$- лапласиан внешнего евклидова пространства. Конкретно это подразумевается известной формулой для евклидова лапласиана в сферических полярных координатах:

$\Delta \; f\; =\; r\; 1\; -\; n\; \partial \; \partial \; r\; (rn\; -\; 1\; \partial \; f\; \partial \; r)\; +\; r\; -\; 2\; \Delta \; S\; n\; -\; 1\; ф.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; f\; =\; r\; ^\; \{1-n\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; \backslash \; left\; (r\; ^\; \{n-1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\; \}\; \backslash \; right)\; +\; r\; ^\; \{-\; 2\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{S\; ^\; \{n-1\}\}\; f.\}$

В более общем плане можно сформулировать аналогичный трюк, используя нормальный пакет для определения оператор Лапласа – Бельтрами любого риманова многообразия, изометрически вложенного как гиперповерхность евклидова пространства.

Можно также дать внутреннее описание оператора Лапласа – Бельтрами на сфере в нормальной системе координат. Пусть (ϕ, ξ) - сферические координаты на сфере относительно определенной точки p сферы («северный полюс»), то есть геодезические полярные координаты относительно p. Здесь ϕ представляет собой измерение широты вдоль геодезической с единичной скоростью от точки p, а ξ - параметр, представляющий выбор направления геодезической в ​​S. Тогда сферический лапласиан имеет вид:

$\Delta \; S\; n\; -\; 1\; f\; (\xi ,\; \varphi )\; знак\; равно\; (грех\; \; \varphi )\; 2\; -\; N\; \partial \; \partial \; \varphi \; ((грех\; \; \varphi )\; n\; -\; 2\; \partial \; е\; \partial \; \varphi )\; +\; (грех\; \; \varphi )\; -\; 2\; \Delta \; \xi \; е\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \_\; \{S\; ^\; \{n-\; 1\}\}\; f\; (\backslash \; xi,\; \backslash \; phi)\; =\; (\backslash \; sin\; \backslash \; phi)\; ^\; \{2-n\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; phi\}\}\; \backslash \; left\; ((\backslash \; sin\; \backslash \; phi)\; ^\; \{n\; -2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; phi\}\}\; \backslash \; right)\; +\; (\backslash \; sin\; \backslash \; phi)\; ^\; \{-\; 2\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{\backslash \; xi\}\; f\}$

где $\Delta \; \xi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \_\; \{\backslash \; xi\}\}$- оператор Лапласа – Бельтрами на обычной единичной (n - 2) -сфере. В частности, для обычной 2-сферы с использованием стандартных обозначений полярных координат получаем:

$\Delta \; S\; 2\; f\; (\theta ,\; \varphi )\; =\; (sin\; \; \varphi )\; -\; 1\; \partial \; \partial \; \varphi \; (sin\; \; \varphi \; \partial \; f\; \partial \; \varphi )\; +\; (грех\; \; \varphi )\; -\; 2\; \partial \; 2\; \partial \; \theta \; 2\; е\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \_\; \{S\; ^\; \{2\}\}\; f\; (\backslash \; theta,\; \backslash \; phi)\; =\; (\backslash \; sin\; \backslash \; phi)\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; phi\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sin\; \backslash \; phi\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; phi\}\}\; \backslash \; right)\; +\; (\backslash \; sin\; \backslash \; phi)\; ^\; \{-\; 2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\}\}\; f\}$

Гиперболическое пространство

Подобный метод работает в гиперболическом пространстве. Здесь гиперболическое пространство H может быть вложено в n-мерное пространство Минковского, вещественное векторное пространство с квадратичной формой

$q\; (x)\; =\; x\; 1\; 2\; -\; x\; 2\; 2\; -\; \cdots \; -\; xn\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; (x)\; =\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; -x\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; cdots\; -x\_\; \{n\}\; ^\; \{2\}.\}$

Тогда H - это подмножество будущего нулевой конус в пространстве Минковского, заданный как

$H\; n\; =\; \{x\; \mid \; q\; (x)\; =\; 1,\; x\; 1>1\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; \{x\; \backslash \; mid\; q\; (x)\; =\; 1,\; x\_\; \{1\}>1\; \backslash \}.\; \backslash ,\}$

Затем

$\Delta \; H\; n\; -\; 1\; f\; =\; ◻\; е\; (Икс\; /\; Q\; (Икс)\; 1/2)\; |\; ЧАС\; N\; -\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Delta\; \_\; \{H\; ^\; \{N-1\}\}\; f\; =\; \backslash \; left.\; \backslash \; Box\; f\; \backslash \; left\; (x\; /\; q\; (x)\; ^\; \{1/2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{H\; ^\; \{n-1\}\}\}$

Здесь $f\; (x\; /\; q\; (x)\; 1/2)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\; /\; q\; (x)\; ^\; \{1/2\})\}$- однородное расширение нулевой степени f до внутренней части будущего нулевого конуса, а □ - волновой оператор

$◻\; =\; \partial \; 2\; \partial \; Икс\; 1\; 2\; -\; \cdots \; -\; \partial \; 2\; \partial \; Xn\; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Box\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; \backslash \; cdots\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; partial\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{n\}\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Оператор также может быть записан в полярных координатах. Пусть (t, ξ) - сферические координаты на сфере относительно конкретная точка p на H (скажем, центр диска Пуанкаре ). Здесь t представляет собой гиперболическое расстояние от p, а ξ параметр представляет При выборе направления геодезической в ​​S. Тогда гиперболический лапласиан имеет вид:

$\Delta \; H\; n\; -\; 1\; f\; (t,\; \xi )\; =\; sinh\; \; (t)\; 2\; -\; n\; \partial \; \partial \; t\; (sinh\; \; (t)\; N\; -\; 2\; \partial \; е\; \partial \; T)\; +\; зп\; \; (т)\; -\; 2\; \Delta \; \xi \; е\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Delta\; \_\; \{H\; ^\; \{п-1\}\}\; е\; (т,\; \backslash \; xi)\; =\; \backslash \; зп\; (т)\; ^\; \{\; 2-n\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sinh\; (t)\; ^\; \{n-2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; sinh\; (t)\; ^\; \{-\; 2\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{\backslash \; xi\}\; f\}$

где $\Delta \; \xi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \_\; \{\backslash \; xi\}\}$- оператор Лапласа-Бельтрами на обыкновенной единице (n - 2) -сфере. В частности, для гиперболической плоскости с использованием стандартных обозначений полярных координат получаем:

$\Delta \; H\; 2\; f\; (r,\; \theta )\; =\; sinh\; \; (r)\; -\; 1\; \partial \; \partial \; r\; (sinh\; \; (r)\; \partial \; f\; \partial \; r)\; +\; зп\; \; (г)\; -\; 2\; \partial \; 2\; \partial \; \theta \; 2\; е\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Delta\; \_\; \{H\; ^\; \{2\}\}\; f\; (г,\; \backslash \; theta)\; =\; \backslash \; sinh\; (г)\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sinh\; (r)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; sinh\; (r)\; ^\; \{-\; 2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\}\}\; f\}$

• Ковариантная производная
• Операторы Лапласа в дифференциальной геометрии
• Оператор Лапласа

• Flanders, Harley (1989), Differential forms with applications to the Physical Sciences, Dover, ISBN 978-0-486-66169-8
• Jost, Jürgen (2002), Риманова геометрия и геометрический анализ, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-42627-2.
• Соломенцев, ED; Шикин, Е. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press