Риманова связность на поверхности

В математике, то риманова связность на поверхности или римановой 2-многообразия относится к нескольким собственных геометрических структур, обнаруженных Леви-Чивита, Эли Картан и Герман Вейль в начале двадцатого века: параллельный перенос, ковариантной производной и формы связности. В нынешнем виде эти концепции с принципиальными комплектами получили только в 1950-х годах. Классический подход девятнадцатого века к дифференциальной геометрии поверхностей, во многом благодаря Карлу Фридриху Гауссу, был переработан в этой современной структуре, которая обеспечивает естественные условия для классической теории движущейся системы отсчета, а также римановой геометрии высшей системы. -мерные римановы многообразия. Этот отчет предназначен как введение в теорию связей.

• 1 Исторический обзор
• 2 Ковариантная производная
• 3 Оператор кривизны
• 4 Геодезические
• 5 Параллельный транспорт
• 6 Ортонормированный пучок кадров
• 7 Основное подключение
• 8 структурные уравнения Картана
• 9 Голономия и кривизна
• 10 Пример: 2-сфера
• 11 Встроенные поверхности
• 12 уравнений Гаусса – Кодацци
• 13 Руководство по чтению
• 14 См. Также
• 15 заметок
• 16 Ссылки
• 17 Внешние ссылки

Туллио Леви-Чивита (1873–1941) Эли Картан (1869–1951) Герман Вейль (1885–1955)

После классической работы Гаусса по дифференциальной геометрии поверхностей и последующего появления концепции риманова многообразия, инициированной Бернхардом Риманом в середине девятнадцатого века, геометрическое понятие связи, разработанное Туллио Леви-Чивита, Эли Картаном и Германом Вейлем в начале двадцатого века представлял собой крупный прорыв в дифференциальной геометрии. Введение параллельного переноса, ковариантных производных и форм связи дало более концептуальный и единообразный способ понимания кривизны, позволяя делать обобщения на многомерные многообразия; сейчас это стандартный подход в учебниках для выпускников. Он также предоставил важный инструмент для определения новых топологических инвариантов, называемых характеристическими классами, с помощью гомоморфизма Черна – Вейля.

Хотя Гаусс был первым, кто изучил дифференциальную геометрию поверхностей в евклидовом пространстве E ³, понятие риманова пространства было введено только в хабилитационной брошюре Римана 1854 года. Кристоффель представил свои одноименные символы в 1869 году. Тензорное исчисление было разработано Риччи, который опубликовал систематическое рассмотрение Леви-Чивиты в 1901 году. Геометрическую интерпретацию ковариантного дифференцирования тензоров дал Леви-Чивита (1917), который ввел понятие параллельного переноса. на поверхностях. Его открытие побудило Вейля и Картана ввести различные понятия связи, включая, в частности, понятие аффинной связи. Подход Картана был перефразирован Эресманном на современном языке основных связок, после чего предмет быстро принял свою нынешнюю форму благодаря вкладам Черна, Амброуза и Зингера, Кобаяши, Номидзу, Лихнеровича и других.

Связи на поверхности можно определять разными способами. Риманова связность или связность Леви-Чивита, пожалуй, легче всего понять с точки зрения подъема векторных полей, рассматриваемых в качестве первого порядка дифференциальные операторы, действующие на функции на многообразии, для дифференциальных операторов на участках расслоения реперов. В случае вложенной поверхности этот подъем очень просто описывается в терминах ортогональной проекции. В самом деле, векторные расслоения, ассоциированные с расслоением реперов, - это все подслои тривиальных расслоений, которые простираются до объемлющего евклидова пространства; дифференциальный оператор первого порядка всегда может быть применен к части тривиального пакета, в частности, к части исходного подгруппы, хотя результирующий раздел может больше не быть частью подгруппы. Это можно исправить, проецируя ортогонально.

Риманова связность также может быть охарактеризована абстрактно, независимо от вложения. Уравнения геодезических легко записать в терминах римановой связности, которая может быть локально выражена через символы Кристоффеля. Вдоль кривой на поверхности соединение задает дифференциальное уравнение первого порядка в связке кадров. Монодромии этого уравнения определяет параллельный перенос для связи, понятие, введенное в этом контексте Леви-Чивита. Это дает эквивалентный, более геометрический способ описания соединения как путей подъема в многообразии к путям в связке кадров. Это формализует классическую теорию «подвижной системы отсчета», одобренную французскими авторами. Подъем петель вокруг точки порождает группу голономии в этой точке. Гауссова кривизна в точке может быть восстановлена ​​путем параллельного переноса вокруг все более мелких петель в точке. Эквивалентно кривизна может быть вычислена непосредственно бесконечно малым образом в терминах скобок Ли поднятых векторных полей.

Подход Картан, используя соединение 1-форму на раму пучок из M, дает третий способ понять риманов соединения, которое особенно легко описать для встроенной поверхности. Благодаря результату Кобаяши (1956), позже обобщенному Нарасимханом и Рамананом (1961), риманова связность на поверхности, вложенной в евклидово пространство E ^3, является всего лишь обратным ходом при отображении Гаусса римановой связности на S ². Используя отождествление S ² с однородным пространством SO (3) / SO (2), 1-форма связности является просто компонентом 1-формы Маурера – Картана на SO (3). Другими словами, все сводится к правильному пониманию 2-сферы.

Основная статья: Ковариантная производная Векторное поле на торе

Для поверхности M, вложенной в E ³ (или, в более общем смысле, в евклидово пространство более высокой размерности), существует несколько эквивалентных определений векторного поля X на M:

• гладкое отображение M в E ^3, принимающее значения в касательном пространстве в каждой точке;
• вектор скорости из локального потока на М ;
• дифференциальный оператор первого порядка без постоянного члена в любой локальной карте на M ;
• вывод из C ^∞ ( М).

Последнее условие означает, что присвоение f ↦ Xf на C ^∞ ( M) удовлетворяет правилу Лейбница

${\ Displaystyle X (fg) = (Xf) g + f (Xg).}$

Пространство всех векторных полей ( M) образует модуль над C ^∞ ( M), замкнутый относительно скобки Ли ${\ Displaystyle {\ mathcal {X}}}$

${\ Displaystyle [X, Y] е = X (Yf) -Y (Xf)}$

с C ^∞ ( M) -значная скалярное произведение ( X, Y), который кодирует риманова метрика на М.

Поскольку ( M) является подмодулем в C ^∞ ( M, E ³) = C ^∞ ( M) E ³, оператор X I определен на ( M), принимая значения в C ^∞ ( M, E ³). ${\ Displaystyle {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle \ otimes}$ ${\ displaystyle \ otimes}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {X}}}$

Пусть Р будет гладкое отображение из М в М 3 ( R) такой, что Р ( р) является ортогональной проекцией на Е ³ на касательном пространстве р. Таким образом, для единичного вектора нормали n p в точке p, однозначно определенного с точностью до знака, и v в E ³, проекция задается формулой P ( p) ( v) = v - ( v n p) n p.

Поточечное умножение на P дает C ^∞ ( M) -модульное отображение C ^∞ ( M, E ³) на ( M). Назначение ${\ Displaystyle {\ mathcal {X}}}$

${\ Displaystyle \ nabla _ {X} Y = P ((X \ otimes I) Y)}$

определяет оператор на ( M), называемый ковариантной производной, удовлетворяющий следующим свойствам ${\ displaystyle \ nabla _ {X}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {X}}}$

1. ${\ displaystyle \ nabla _ {X}}$является C ^∞ ( М) -линейный в Х
2. ${\ displaystyle \ nabla _ {X} (fY) = (Xf) Y + f \ nabla _ {X} Y}$ (Правило Лейбница для вывода модуля)
3. ${\ Displaystyle X (Y, Z) = (\ nabla _ {X} Y, Z) + (Y, \ nabla _ {X} Z)}$( совместимость с метрикой )
4. ${\ displaystyle \ nabla _ {X} Y- \ nabla _ {Y} X = [X, Y]}$ (свойство симметрии).

Первые три свойства заявляют, что это аффинное соединение, совместимое с метрикой, иногда также называемое эрмитовым или метрическим соединением. Последнее свойство симметрии говорит о том, что тензор кручения ${\ displaystyle \ nabla}$

${\ Displaystyle T (X, Y) = \ nabla _ {X} Y- \ nabla _ {Y} X- [X, Y]}$

тождественно обращается в нуль, так что аффинная связность не имеет кручения.

Назначение однозначно определяется этими четырьмя условиями и называется римановой связностью или связностью Леви-Чивиты. ${\ displaystyle \ nabla}$

Хотя риманова связность была определена с использованием вложения в евклидово пространство, это свойство уникальности означает, что на самом деле это внутренний инвариант поверхности.

Его существование можно доказать непосредственно для общей поверхности, отметив, что из четырех свойств следует формула Кошуля

${\ displaystyle 2 (\ nabla _ {X} Y, Z) = X \ cdot (Y, Z) + Y \ cdot (X, Z) -Z \ cdot (X, Y) + ([X, Y], Z) + ([Z, X], Y) + (X, [Z, Y]),}$

так что это зависит только от метрики и уникально. С другой стороны, если это используется в качестве определения, легко проверить, что четыре свойства, указанные выше, выполняются. ${\ displaystyle \ nabla _ {X} Y}$${\ displaystyle \ nabla _ {X} Y}$

Для u изометрическое вложение M в E ³, касательные векторы и дают матрицу. Это положительно определенная матрица. Его обратное также положительно определенно симметрично, с матрицей. Обратное также имеет уникальный положительно определенный квадратный корень с матрицей. Обычно проверяют, что образуют ортонормированный базис касательного пространства. В этом случае проекция на касательное пространство задается так, что ${\ displaystyle u_ {1} = \ partial _ {x}}$${\ displaystyle u_ {2} = \ partial _ {y} u}$${\ displaystyle 2 \ times 2}$${\ displaystyle g_ {ij} = u_ {i} \ cdot u_ {j}}$${\ displaystyle g ^ {ij}}$${\ displaystyle h_ {ij}}$${\ displaystyle e_ {i} = \ sum _ {j} h_ {ij} u_ {j}}$${\ Displaystyle P (p) (v) = \ sum (v, e_ {i}) e_ {i}}$

${\ displaystyle \ nabla _ {\ partial _ {i}} \ partial _ {j} u = P (p) (\ partial _ {i} \ partial _ {i} u) = \ sum _ {k} (\ partial _ {i} \ partial _ {j} u, e_ {k}) e_ {k} = \ sum _ {k, \ ell, m} (\ partial _ {i} \ partial _ {j} u) \ cdot (\ partial _ {\ ell} u) h_ {k \ ell} h_ {km} \ partial _ {m} u = \ sum _ {\ ell, m} (\ partial _ {i} \ partial _ {j } u) \ cdot (\ partial _ {\ ell} u) g ^ {\ ell m} \ partial _ {m} u.}$

Таким образом, где ${\ displaystyle \ nabla _ {\ partial _ {i}} \ partial _ {j} = \ sum _ {k} \ Gamma _ {ij} ^ {k} \ partial _ {k}}$

${\ displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {k} = {1 \ over 2} \ sum _ {\ ell} g ^ {k \ ell} \ left (\ partial _ {i} (\ partial _ {j} u \ cdot \ partial _ {\ ell} u) + \ partial _ {j} (\ partial _ {i} u \ cdot \ partial _ {\ ell} u) - \ partial _ {\ ell} (\ partial _ {i} u \ cdot \ partial _ {j} u) \ right.}$

Поскольку это дает другой способ получения символов Кристоффеля : ${\ displaystyle g_ {ij} = u_ {i} \ cdot u_ {j}}$

${\ displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {k} = {1 \ over 2} \ sum _ {\ ell} g ^ {k \ ell} (\ partial _ {i} g_ {j \ ell} + \ partial _ {j} g_ {i \ ell} - \ partial _ {\ ell} g_ {ij}).}$

Формулы для ковариантной производной также могут быть получены из локальных координат ( x, y) без использования изометрических вложений. Принимая и ' как векторные поля, связь может быть выражена чисто в терминах метрики с использованием символов Кристоффеля: ${\ displaystyle \ partial _ {x}}$${\ displaystyle \ partial _ {y}}$${\ displaystyle \ nabla}$

${\ displaystyle \ nabla _ {\ partial _ {i}} \ partial _ {j} = \ sum _ {k} \ Gamma _ {ij} ^ {k} \ partial _ {k}.}$

Чтобы получить формулу, можно применить формулу Кошуля с X, Y и Z, установленными в 's; в этом случае все скобки Ли коммутируют. ${\ displaystyle \ partial _ {я}}$

Смотрите также: тензор римановой кривизны

Тензор кривизны может быть определена с помощью ковариантных производных с использованием оператора кривизны:

${\ displaystyle R (X, Y) = \ nabla _ {X} \ nabla _ {Y} - \ nabla _ {Y} \ nabla _ {X} - \ nabla _ {[X, Y]}.}$

Поскольку присвоение C ^∞ ( M) -линейно по каждой переменной, то R ( x, Y) p является эндоморфизмом в точке p. Для X и Y линейно независимых векторов касательных при р, ${\ Displaystyle (X, Y, Z) \ mapsto R (X, Y) Z}$

${\ Displaystyle К = {(р (X, Y) Y, X) \ над (X, X) (Y, Y) - (X, Y) ^ {2}}}$

не зависит от выбора базиса и называется гауссовой кривизной в точке p. Тензор кривизны Римана задается

${\ Displaystyle R (X, Y, Z, W) = (R (X, Y) Z, W).}$

Чтобы проверить независимость K, достаточно заметить, что она не меняется при элементарных преобразованиях, переводящих ( X, Y) в ( Y, X), ( λ X, Y) и ( X + Y, Y). Это, в свою очередь, опирается на тот факт, что оператор Р ( Х, Y) является косого сопряженный. Из кососопряженности следует, что ( R ( X, Y) Z, Z) = 0 для всех Z, что следует из того, что

${\ Displaystyle (р (X, Y) Z, Z) = Икс (\ nabla _ {Y} Z, Z) -Y (\ nabla _ {X} Z, Z) - (\ nabla _ {[X, Y ]} Z, Z) = {1 \ over 2} (XY (Z, Z) -YX (Z, Z) - [X, Y] (Z, Z)) = 0.}$

Основная статья: Геодезические

Если c ( t) - путь в M, то уравнения Эйлера для того, чтобы c была геодезической, можно записать более компактно как

${\ displaystyle \ nabla _ {\ dot {c}} {\ dot {c}} = 0.}$

См. Также: параллельный транспорт Параллельный перенос вектора вокруг геодезического треугольника на сфере. Длина перемещаемого вектора и угол, который он составляет с каждой стороной, остаются постоянными.

Учитывая кривую в евклидовой плоскости и вектор в начальной точке, вектор можно перемещать по кривой, требуя, чтобы движущийся вектор оставался параллельным исходному и той же длины, то есть он должен оставаться постоянным вдоль кривой. Если кривая замкнута, вектор не изменится при повторном достижении начальной точки. Хорошо известно, что это невозможно на общей поверхности, поскольку сфера является наиболее известным случаем. На самом деле обычно невозможно одновременно идентифицировать или «распараллелить» все касательные плоскости такой поверхности: единственные параллелизуемые замкнутые поверхности - это те, которые гомеоморфны тору.

Параллельный перенос всегда можно определить по кривым на поверхности, используя только метрику на поверхности. Таким образом, касательные плоскости вдоль кривой могут быть идентифицированы с использованием внутренней геометрии, даже если сама поверхность не является параллелизируемой.

Параллельный перенос по геодезическим, «прямым линиям» поверхности, легко определить. Вектор в касательной плоскости переносится по геодезической как единственное векторное поле постоянной длины и составляющее постоянный угол с вектором скорости геодезической.

Для общей кривой ее геодезическая кривизна измеряет, насколько кривая отклоняется от геодезической; он определяется как скорость, с которой вектор скорости кривой вращается на поверхности. В свою очередь, геодезическая кривизна определяет, как векторы в касательных плоскостях вдоль кривой должны вращаться во время параллельной транспортировки.

Векторное поле v ( t) вдоль кривой единичной скорости c ( t) с геодезической кривизной k g ( t) называется параллельным вдоль кривой, если

• он имеет постоянную длину
• угол θ ( t), который он образует с вектором скорости, удовлетворяет${\ Displaystyle {\ точка {c}} (т)}$

${\ Displaystyle {\ точка {\ theta}} (т) = - к_ {г} (т)}$

Это дает предыдущее правило для параллельного перемещения по геодезической, потому что в этом случае k g = 0, поэтому угол θ ( t) должен оставаться постоянным. Существование параллельного переноса следует из стандартных теорем существования обыкновенных дифференциальных уравнений. Вышеупомянутое дифференциальное уравнение можно переписать в терминах ковариантной производной как

${\ Displaystyle \ набла _ {\ точка {с}} v = 0}$

Это уравнение еще раз показывает, что параллельный перенос зависит только от метрической структуры, поэтому является внутренним инвариантом поверхности. Параллельный транспорт может быть немедленно расширен до кусочных кривых C ¹.

Когда M - поверхность, вложенная в E ³, это последнее условие может быть записано в терминах проекционно-значной функции P как

${\ Displaystyle Р (с (т)) {\ точка {v}} (т) = 0}$

или другими словами:

Вектор скорости v должен быть нормальным к поверхности.

Арнольд предположил, что, поскольку параллельный перенос на геодезическом отрезке легко описывается, параллельный перенос на произвольной кривой C ¹ может быть построен как предел параллельного переноса на аппроксимирующем семействе кусочно-геодезических кривых.

Это уравнение еще раз показывает, что параллельный перенос зависит только от метрической структуры, поэтому он является внутренним инвариантом поверхности; это еще один способ записать обыкновенное дифференциальное уравнение с учетом геодезической кривизны c. Параллельный транспорт может быть немедленно расширен до кусочных кривых C ¹.

Ковариантная производная, в свою очередь, может быть восстановлена ​​из параллельного переноса. Фактически, можно вычислить в точке p, взяв кривую c через p с касательной X, используя параллельный перенос для просмотра ограничения Y на c как функцию в касательном пространстве в p, а затем взяв производную. ${\ displaystyle \ nabla _ {X} Y}$

См. Также: Подключение (основной пакет)

Пусть M - поверхность, вложенная в E ³. Ориентации на поверхности означает, что «направленный наружу» нормальный единичный вектор п определяется в каждой точке поверхности и, следовательно, определитель может быть определен на касательных векторов V и W в этой точке:

${\ displaystyle \ mathrm {det} ({\ mathbf {v}}, {\ mathbf {w}}) = ({\ mathbf {v}} \ times {\ mathbf {w}}) \ cdot {\ mathbf { n}},}$

используя обычное скалярное тройное произведение на E ³ (само по себе определитель).

Упорядоченный базис или шкала v, w в касательном пространстве называется ориентированным, если функция det ( v, w) положительна.

• Касательное расслоение из M состоит из пара ( р, v) в М х Е 3, такие, что v лежит в касательной плоскости к М в р.
• Рама расслоение Е из М состоит из троек ( р, е 1, е 2) с е 1, е 2 ориентированный ортонормированный базис касательной плоскости в р.
• Окружности пучок из M состоит из пар ( р, V) с || v || = 1. Он идентичен расслоению реперов, потому что для каждого единичного касательного вектора v существует единственный касательный вектор w с det ( v, w) = 1.

Так как группа вращений в плоскости SO (2) действует просто транзитивно на ориентированных ортонормреперов в плоскости, то отсюда следует, что он также действует на раме или круговыми пучков М. Определения касательного расслоения, единичного касательного расслоения и (ориентированного ортонормированного) расслоения реперов E можно распространить на произвольные поверхности обычным способом. Существует аналогичное отождествление между двумя последними, которые снова становятся основными SO (2) -связями. Другими словами:

Расслоение фреймов является главным расслоением со структурной группой SO (2).

Также существует соответствующее понятие параллельного транспорта в настройке пакетов кадров:

Каждую непрерывно дифференцируемую кривую в M можно поднять до кривой в E таким образом, что касательное векторное поле поднятой кривой является подъемом касательного векторного поля исходной кривой.

Это утверждение означает, что любой кадр на кривой можно параллельно перемещать по кривой. В этом и заключается идея «движущихся рамок». Поскольку любой единичный касательный вектор может быть однозначно завершен для ориентированного фрейма, параллельный перенос касательных векторов подразумевает (и эквивалентен) параллельный перенос фреймов. Подъем геодезической в M оказывается геодезической в E для метрики Сасаки (см. Ниже). Кроме того, Гаусс карты М в S ² индуцирует естественное отображение между ассоциированными рамными пучками, который является эквивариантным за действия SO (2).

Идея Картана представить связку кадров в качестве центрального объекта явилась естественным завершением теории движущихся систем отсчета, разработанной во Франции Дарбу и Гурса. Он также повторил параллельные события в Альберта Эйнштейна «с теорией относительности. Объекты, входящие в формулы Гаусса, такие как символы Кристоффеля, могут получить естественную геометрическую интерпретацию в этой структуре. В отличие от более интуитивно понятного нормального пучка, легко визуализируемого как трубчатая окрестность вложенной поверхности в E ³, связка кадров является внутренним инвариантом, который может быть определен независимо от вложения. Когда есть вложение, оно также может быть представлено как подрасслоение евклидового кадра расслоение Е ³ х SO (3), сам по себе является подмногообразием из Х ³ х M 3 ( R).

См. Также: Форма подключения и Подключение (основной пакет)

Теория связей, согласно Эли Картану, а затем Чарльзу Эресманну, вращается вокруг:

• главное расслоение E ;
• внешнее дифференциальное исчисление из дифференциальных форм на Е.

Все «естественные» векторные расслоения, связанные с многообразием M, такие как касательное расслоение, кокасательное расслоение или внешние расслоения, могут быть построены из расслоения реперов, используя теорию представлений структурной группы K = SO (2), компактного матричная группа.

Определение Картана связности может быть понято как способ подъема векторных полей на М в векторных полей на раме расслоения E инварианта под действием структурной группы K. Так как параллельный перенос был определен как способ подъема кусочен C ¹ путь от М к Е, это автоматически вызывает бесконечно способ поднять векторные полей или касательные векторы из М в Е. В точке выберите путь с заданным касательным вектором и затем сопоставьте его с касательным вектором поднятого пути. (Для векторных полей кривые можно рассматривать как интегральные кривые локального потока.) Таким образом, любое векторное поле X на M может быть поднято до векторного поля X * на E, удовлетворяющего

• X * - векторное поле на E ;
• отображение X ↦ X * является C ^∞ ( M) -линейным;
• X * K -инвариантно и индуцирует векторное поле X на C ^∞ ( M) C ^∞ ( E).${\ displaystyle \ subset}$

Здесь K действует как периодический поток на E, поэтому канонический образующий A его алгебры Ли действует как соответствующее векторное поле, называемое вертикальным векторным полем A *. Из приведенных выше условий следует, что в касательном пространстве произвольной точки в E лифты X * покрывают двумерное подпространство горизонтальных векторов, образуя дополнительное подпространство к вертикальным векторам. Каноническая риманова метрика Шигео Сасаки на E определяется путем создания ортогональных горизонтальных и вертикальных подпространств, что дает каждому подпространству его естественный внутренний продукт.

Горизонтальные векторные поля допускают следующую характеризацию:

• Каждый К -инвариантным горизонтальный векторное поле на Е имеет вид X * для уникального векторного поля X на М.

Этот «универсальный подъем» затем немедленно индуцирует подъемы к векторным расслоениям, связанным с E, и, следовательно, позволяет восстанавливать ковариантную производную и ее обобщение на формы.

Если σ является представлением K в конечномерном векторном пространстве V, то ассоциированное векторное расслоение E X K V над M имеет C ^∞ ( M) -модуль сечений, который можно отождествить с

${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (E, V) ^ {K},}$

пространство всех гладких функций ξ:  E  →  V, K -эквивариантных в том смысле, что

${\ Displaystyle \ xi (x \ cdot g) = \ sigma (g ^ {- 1}) \ xi (x)}$

для всех х  ∈  E и г  ∈  K.

Тождественное представление SO (2) на R ² соответствует касательному расслоению М.

Ковариантная производная определяется на инвариантном сечении ξ формулой ${\ displaystyle \ nabla _ {X}}$

${\ displaystyle \ nabla _ {X} \ xi = (X ^ {*} \ otimes I) \ xi.}$

Соединение на расслоении кадра также может быть описано с использованием K -инвариантный дифференциала 1-формой на Е.

Расслоение реперов E является трехмерным многообразием. Пространство p -форм на E обозначается Λ ^p ( E). Это допускает естественное действие структурной группы K.

Для связности на главном расслоении E, соответствующей поднятию X ↦ X * векторных полей на M, существует единственная форма связности ω в

${\ displaystyle \ Lambda ^ {1} (E) ^ {K}}$,

пространство K -инвариантных 1-форм на E таких, что

${\ displaystyle \ omega (X ^ {*}) = 0}$

для всех векторных полей X на M и

${\ displaystyle \ omega (A ^ {*}) = 1,}$

для векторного поля A * на E, соответствующего канонической образующей A поля. ${\ displaystyle {\ mathfrak {k}}}$

И наоборот, подъемник X * однозначно характеризуется следующими свойствами:

• X * K -инвариантно и индуцирует X на M ;
• ω ( Х *) = 0.

См. Также: Форма кривизны

На расслоении E поверхности M есть три канонических 1-формы:

• Форма связности ω, инвариантная относительно структурной группы K = SO (2)
• Две тавтологические 1-формы θ 1 и θ 2, преобразующиеся согласно базисным векторам тождественного представления K

Если π: E M - естественная проекция, 1-формы θ 1 и θ 2 определяются формулами ${\ displaystyle \ rightarrow}$

${\ Displaystyle \ тета _ {я} (Y) = (d \ pi (Y), e_ {i})}$

где Y - векторное поле на E, а e 1, e 2 - касательные векторы к M ортонормированной системы отсчета.

Эти 1-формы удовлетворяют следующим структурным уравнениям, полученным в этой формулировке Картаном:

${\ displaystyle d \ theta _ {1} = \ omega \ wedge \ theta _ {2}, \, \, d \ theta _ {2} = - \ omega \ wedge \ theta _ {1}}$

( Первые структурные уравнения)

${\ displaystyle d \ omega = - (К \ circ \ pi) \ theta _ {1} \ клин \ theta _ {2}}$

( Второе структурное уравнение)

где К является гауссовой кривизны на М.

Основная статья: Голономия

Параллельный перенос в пучке кадра может использоваться, чтобы показать, что гауссова кривизна поверхности M измеряет величину вращения, полученный путем перевода векторов вокруг маленьких кривых в М. Голономия - это как раз то явление, которое возникает, когда касательный вектор (или ортонормированная система отсчета) параллельно переносится по замкнутой кривой. Вектор, достигнутый при замыкании цикла, будет поворотом исходного вектора, то есть он будет соответствовать элементу группы вращения SO (2), другими словами, углу по модулю 2π. Это голономия петли, потому что угол не зависит от выбора начального вектора.

Геометрическая интерпретация скобки Ли двух векторных полей

Эта геометрическая интерпретация кривизны опирается на подобных геометрической части скобки Ли двух векторных полей на E. Пусть U 1 и U 2 - векторные поля на E с соответствующими локальными потоками α t и β t.

• Начиная с точки A, соответствующей x в E, пройдите по интегральной кривой для U 1 до точки B в.${\ displaystyle {\ sqrt {s}}}$${\ Displaystyle \ альфа _ {\ sqrt {s}} (х)}$
• Проезд от B, идя по интегральной кривой для U 2 до точки C на.${\ displaystyle {\ sqrt {s}}}$${\ displaystyle \ beta _ {\ sqrt {s}} \ alpha _ {\ sqrt {s}} (x)}$
• Путешествие из C, перейдя по интегральной кривой для U 1 в точку D в.${\ displaystyle - {\ sqrt {s}}}$${\ displaystyle \ alpha _ {- {\ sqrt {s}}} \ beta _ {\ sqrt {s}} \ alpha _ {\ sqrt {s}} (x)}$
• Путешествие из D, перейдя по интегральной кривой для U 2 до точки Е в.${\ displaystyle - {\ sqrt {s}}}$${\ displaystyle \ beta _ {- {\ sqrt {s}}} \ alpha _ {- {\ sqrt {s}}} \ beta _ {\ sqrt {s}} \ alpha _ {\ sqrt {s}} ( Икс)}$

В общем случае конечная точка Е будет отличаться от начальной точки А. Как с 0, конечной точкой Е будет проследить кривой через A. Скобка Ли [ U 1, U 2 ], при х именно касательный вектор к этой кривой в точке А. ${\ displaystyle \ rightarrow}$

Чтобы применить эту теорию, введем векторные поля U 1, U 2 и V на расслоении реперов E, двойственные 1-формам θ 1, θ 2 и ω в каждой точке. Таким образом

${\ displaystyle \ omega (U_ {i}) = 0, \, \ theta _ {i} (V) = 0, \, \ omega (V) = 1, \, \ theta _ {i} (U_ {j }) = \ delta _ {ij}.}$

Кроме того, V инвариантна относительно K и U 1, U 2 преобразуется по представлению идентичности K.

Из структурных уравнений Картана вытекают следующие скобки Ли:

${\ Displaystyle [V, U_ {1}] = U_ {2}, \, \, \, \, [V, U_ {2}] = - U_ {1}, \, \, \, \, [U_ {1}, U_ {2}] = (K \ circ \ pi) V}$

К последнему из этих уравнений применима геометрическая интерпретация скобки Ли. Так как со ( U я) = 0, то потоками α т и β т в Х лифтах по параллельному переносу их проекций в M.

Неформально идея заключается в следующем. Начальная точка A и конечная точка E существенно отличаются элементом SO (2), то есть углом поворота. Площадь, ограниченная проектируемым путем в M, составляет приблизительно. Таким образом, в пределе s 0 угол поворота, деленный на эту площадь, стремится к коэффициенту V, то есть к кривизне. ${\ displaystyle {\ sqrt {s}} \ cdot {\ sqrt {s}} = s}$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$

Это рассуждение уточняется в следующем результате.

Пусть f - диффеоморфизм открытого диска на плоскости в M и пусть ∆ - треугольник в этом круге. Тогда угол голономии петли, образованной изображением под f периметра треугольника, определяется интегралом гауссовой кривизны изображения под f внутренней части треугольника.

В символах угол голономии по модулю 2π равен

${\ Displaystyle \ тета = \ int _ {е (\ Delta)} К}$

где интеграл по форме площади на M.

Этот результат подразумевает связь между гауссовой кривизной, потому что по мере того, как треугольник сжимается в размере до точки, отношение этого угла к площади стремится к гауссовой кривизне в точке. Результат может быть доказан комбинацией теоремы Стокса и структурных уравнений Картана и может, в свою очередь, использоваться для получения обобщения теоремы Гаусса о геодезических треугольниках на более общие треугольники.

Один из других стандартных подходов к кривизне через ковариантную производную определяет разницу ${\ displaystyle \ nabla _ {X}}$

${\ Displaystyle R (X, Y) = \ nabla _ {X} \ nabla _ {Y} - \ nabla _ {Y} \ nabla _ {X} - \ nabla _ {[X, Y]}}$

как поле эндоморфизмов касательного расслоения - тензор кривизны Римана. Поскольку индуцировано поднятым векторным полем X * на E, использование векторных полей U i и V и их скобок Ли более или менее эквивалентно этому подходу. Вертикальное векторное поле W = A *, соответствующее каноническому образующему A из, также может быть добавлено, поскольку оно коммутирует с V и удовлетворяет [ W, U 1 ] = U 2 и [ W, U 2 ] = - U 1. ${\ displaystyle \ nabla _ {X}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {k}}}$

Смотрите также: Неголономная система и Геометрическая фаза

К дифференциальной геометрии 2-сферы можно подойти с трех разных точек зрения:

• аналитическая геометрия, поскольку 2-сфера является подмногообразием в E ³ ;
• теория групп, поскольку компактная матричная группа SO (3) транзитивно действует на 2-сфере как непрерывная группа симметрий;
• классическая механика, поскольку жесткая 2-сфера может катиться по плоскости.

S ² можно отождествить с единичной сферой в E ³

${\ Displaystyle S ^ {2} = \ {a \ in E ^ {3} \ двоеточие \ | a \ | = 1 \}.}$

Его касательное расслоение T, единичное касательное расслоение U и ориентированное ортонормированное расслоение реперов E имеют вид

${\ Displaystyle T = \ {(a, v) \ двоеточие \ | a \ | = 1, \, a \ cdot v = 0 \},}$

${\ Displaystyle U = \ {(a, v) \ двоеточие \ | a \ | = 1, \, \ | v \ | = 1, \, a \ cdot v = 0 \},}$

${\ displaystyle E = \ {(a, e_ {1}, e_ {2}) \ двоеточие (e_ {1} \ times e_ {2}) \ cdot a = 1, \, \ | a \ | = 1, \, \ | e_ {i} \ | = 1, \, a \ cdot e_ {i} = 0, \, e_ {1} \ cdot e_ {2} = 0 \}.}$

Карта, отправляющая ( a, v) в ( a, v, a x v), позволяет идентифицировать U и E.

Позволять

${\ Displaystyle Q (а) v = (v \ cdot а) а}$

- ортогональная проекция на вектор нормали в точке a, так что

${\ Displaystyle P (а) = IQ (а)}$

ортогональная проекция на касательное пространство в точке a.

Группа G = SO (3) действует вращением на E ^3, оставляя S ² инвариантным. Стабилизатора подгруппы К вектора (1,0,0) в Е 3, могут быть идентифицированы с SO (2) и, следовательно,

S ² можно отождествить с SO (3) / SO (2).

Это действие распространяется на действие на T, U и E, заставляя G действовать на каждый компонент. G действует транзитивно на S ² и просто транзитивно на U и E.

Действие SO (3) на E коммутирует с действием SO (2) на E, которое вращает шкалы

${\ displaystyle (e_ {1}, e_ {2}) \ mapsto (\ cos \ theta \, e_ {1} - \ sin \ theta \, e_ {2}, \ sin \ theta \, e_ {1} + \ cos \ theta \, e_ {2}).}$

Таким образом, Е становится главным расслоением со структурной группой K. Принимая G - орбита точки ((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)), пространство Е может быть идентифицирован с G. При таком отождествлении действия G и K на E становятся левым и правым переводом. Другими словами:

Ориентированных ортонормированный репер пучок S ², могут быть идентифицированы с SO (3).

Алгебра Ли из SO (3) состоит из всех кососимметрических вещественных 3 х 3 матриц. присоединенное действие на G сопряжением на воспроизводит действие G на Е ³. Группа SU (2) имеет 3-мерную алгебру Ли, состоящую из сложных косоэрмитов бесследных 2 х 2 матрицы, которая изоморфна. Присоединенное действие SU (2) факторы через его центр, матрицы ± I. В этих идентификаций, SU (2) проявляется в виде двойной крышкой из SO (3), так что SO (3) = SU (2) / ± я. С другой стороны, SU (2) диффеоморфен 3-сфере, и при таком отождествлении стандартная риманова метрика на 3-сфере становится существенно единственной биинвариантной римановой метрикой на SU (2). При факторизации по ± I SO (3) может быть отождествлен с вещественным проективным пространством размерности 3 и сам имеет существенно единственную биинвариантную риманову метрику. Геометрическое экспоненциальное отображение для этой метрики в точке I совпадает с обычной экспоненциальной функцией на матрицах, и, таким образом, геодезические, проходящие через I, имеют вид exp Xt, где X - кососимметричная матрица. В этом случае метрика Сасаки согласуется с этой биинвариантной метрикой на SO (3). ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Действие группы G на себя, а значит, и на C ^∞ ( G) левым и правым сдвигом индуцирует бесконечно малые действия группы на C ^∞ ( G) векторными полями ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ Displaystyle \ лямбда (Х) е (г) = {д \ над dt} е (е ^ {- Xt} г) | _ {т = 0}, \, \, \ rho (X) f (г) = {d \ over dt} f (ge ^ {Xt}) | _ {t = 0}.}$

Правое и левое инвариантные векторные поля связаны формулой

${\ displaystyle \ lambda (X) f (g) = - \ rho (g ^ {- 1} Xg) f (g).}$

Векторных полей X ( X) и ρ ( X) коммутируют с правой и левой перевод и дать все правые и левые инвариантные векторные поля на G. Поскольку C ^∞ ( S ²) = C ^∞ ( G / K) можно отождествить с C ^∞ ( G) ^K, функция, инвариантная относительно правого сдвига K, операторы λ ( X) также индуцируют векторные поля Π ( X) на S ².

Пусть A, B, C - стандартный базис, задаваемый формулой ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 0 amp; 1 amp; 0 \\ - 1 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 \ end {pmatrix}}, \, \, B = {\ begin {pmatrix} 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 1 \\ 0 amp; -1 amp; 0 \ end { pmatrix}}, \, \, C = {\ begin {pmatrix} 0 amp; 0 amp; 1 \\ 0 amp; 0 amp; 0 \\ - 1 amp; 0 amp; 0 \ end {pmatrix}}.}$

Их скобки Ли [ X, Y ] = XY - YX имеют вид

${\ Displaystyle [A, B] = C, \, \, [B, C] = A, \, \, [C, A] = B.}$

Векторные поля X ( A), X ( B), λ ( С) образуют базис касательного пространства в каждой точке G.

Аналогично левые инвариантные векторные поля Р ( А), ρ ( B), ρ ( С) образуют базис касательного пространства в каждой точке G. Пусть α, b, g соответствующий двойственный базис левых инвариантных 1-форм на G. Из скобок Ли следуют уравнения Маурера – Картана

${\ Displaystyle d \ альфа = \ бета \ клин \ гамма, \, \, d \ бета = \ гамма \ клин \ альфа, \, \, d \ гамма = \ альфа \ клин \ бета.}$

Это также соответствующие компоненты формы Маурера – Картана

${\ displaystyle \ omega _ {G} = g ^ {- 1} dg,}$

левоинвариантная матричнозначная 1-форма на G, удовлетворяющая соотношению

${\ displaystyle d \ omega _ {G} = - (g ^ {- 1} dg \, g ^ {- 1}) dg = - \ omega _ {G} \ wedge \ omega _ {G}.}$

Внутренний продукт на определяется ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ Displaystyle (X, Y) = \ mathrm {Tr} \, XY ^ {T}}$

инвариантен относительно присоединенного действия. Пусть π ортогональная проекция на подпространство, порожденное А, то есть на, алгебру Ли К. Для X in подъем векторного поля Π ( X) с C ^∞ ( G / K) на C ^∞ ( G) задается формулой ${\ displaystyle {\ mathfrak {k}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ Displaystyle \ Pi (X) ^ {*} f (g) = - \ rho (\ pi (g ^ {- 1} Xg)) f (g)}$

Этот подъемник G -эквивариантное на векторных полей вида П ( X) и имеет единственное расширение до более общих векторных полей на G / K.

Левая инвариантная 1-форма α - это форма связности ω на G, соответствующая этому поднятию. Две другие 1-формы в структурных уравнениях Картана задаются формулами θ 1 = β и θ 2 = γ. Сами структурные уравнения представляют собой просто уравнения Маурера – Картана. Другими словами;

Структурные уравнения Картана для SO (3) / SO (2) сводятся к уравнениям Маурера – Картана для левоинвариантных 1-форм на SO (3).

Поскольку α - форма связи,

• вертикальные векторные поля на G имеют вид f λ ( A) с f в C ^∞ ( G);
• горизонтальные векторные поля на G имеют вид f 1 λ ( B) + f 2 λ ( C) с f i в C ^∞ ( G).

Существование базисных векторных полей λ ( A), λ ( B), λ ( C) показывает, что SO (3) распараллеливаема. Это не относится к SO (3) / SO (2) по теореме волосатой шаром : S ² не допускает каких - либо нигде не исчезающей векторных полей.

Параллельная транспортировка в связке рам составляет подъем пути от SO (3) / SO (2) к SO (3). Это может быть выполнено путем прямого решения матричного обыкновенного дифференциального уравнения («уравнения переноса») вида g t = A g, где A ( t) является кососимметричным, а g принимает значения в SO (3).

На самом деле это эквивалентно и удобнее поднимать путь от SO (3) / O (2) к SO (3). Обратите внимание, что O (2) является нормализатором SO (2) в SO (3), а фактор-группа O (2) / SO (2), так называемая группа Вейля, является группой порядка 2, действующей на SO (3) / SO (2) = S ² в качестве антиподальной карты. Фактор SO (3) / O (2) - вещественная проективная плоскость. Его можно отождествить с пространством проекций Q ранга один или два в M 3 ( R). Принимая Q как проекцию ранга 2 и полагая F = 2 Q - I, модель поверхности SO (3) / O (2) задается матрицами F, удовлетворяющими F ² = I, F = F ^T и Tr F = 1. Взяв F 0 = diag (–1,1,1) в качестве базовой точки, каждую F можно записать в виде g F 0 g ⁻¹.

Учитывая путь F ( т), обыкновенное дифференциальное уравнение с начальным условием, имеет уникальный С ¹ решением г ( т) со значениями в G, давая подъем параллельного переноса F.${\ displaystyle g_ {t} g ^ {- 1} = F_ {t} F / 2}$${\ displaystyle g (0) = I}$

Если Q ( t) - соответствующий путь проекций ранга 2, то условия для параллельного переноса следующие:

${\ displaystyle Q = gQ_ {0} g ^ {- 1}, \, \, Q_ {0} g ^ {- 1} {\ dot {g}} Q_ {0} = 0}$

Установить = ½ F т F. Поскольку F ² = I и F симметрична, A кососимметрична и удовлетворяет QAQ  = 0.

Единственное решение g ( t) обыкновенного дифференциального уравнения

${\ displaystyle {\ dot {g}} = Ag \,}$

с начальным условием g (0) = I, гарантированным теоремой Пикара – Линделёфа, должен иметь константу g ^Tg и, следовательно, I, поскольку

${\ displaystyle {d \ over dt} (g ^ {T} g) = {\ dot {g}} ^ {T} g + g ^ {T} {\ dot {g}} = g ^ {T} ( A ^ {T} + A) g = 0.}$

Кроме того,

${\ Displaystyle F (т) = г (т) F (0) г (т) ^ {- 1} \,}$

поскольку g ⁻¹Fg имеет производную 0:

${\ displaystyle {d \ over dt} (g ^ {- 1} Fg) = - g ^ {- 1} {\ dot {g}} g ^ {- 1} Fg + g ^ {- 1} {\ dot {F}} g + g ^ {- 1} F {\ dot {g}} = g ^ {- 1} (- {\ dot {g}} g ^ {- 1} F + {\ dot {F}} + F {\ dot {g}} g ^ {- 1}) g = 0.}$

Следовательно, Q = g Q 0 g ⁻¹. Из условия QAQ = 0 следует Q g t g ⁻¹ Q = 0 и, следовательно, Q 0 g ⁻¹ g t Q 0 = 0.

Существует еще один кинематический способ понимания параллельного переноса и геодезической кривизны в терминах «качения без проскальзывания или скручивания». Хотя он хорошо известен дифференциальным геометрам с начала двадцатого века, он также применялся к задачам инженерии и робототехники. Рассмотрим двумерную сферу как твердое тело в трехмерном пространстве, катящееся без скольжения или скручивания по горизонтальной плоскости. Точка контакта будет описывать кривую на плоскости и на поверхности. В каждой точке контакта разные касательные плоскости сферы можно отождествить с самой горизонтальной плоскостью и, следовательно, друг с другом.

• Обычная кривизна плоской кривой - это геодезическая кривизна кривой, начерченной на сфере.
• Такое обозначение касательных плоскостей вдоль кривой соответствует параллельному переносу.

Это особенно легко визуализировать для сферы: именно так мрамор можно катать по идеально плоской столешнице.

Роли плоскости и сферы можно поменять местами, чтобы получить альтернативную, но эквивалентную точку зрения. Сфера считается неподвижной, и плоскость должна катиться без скольжения и скручивания по заданной кривой на сфере.

Когда поверхность M вложена в E ³, отображение Гаусса из M S ² продолжается до SO (2) -эквивариантного отображения между связками ортонормированных реперов E SO (3). Действительно, триада, состоящая из касательного репера и вектора нормали, дает элемент SO (3). ${\ displaystyle \ rightarrow}$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$

В 1956 году Кобаяши доказал, что:

Под расширенной гауссова отображения, соединение на SO (3) индуцирует связность на Е.

Это означает, что формы ω, θ 1 и θ 2 на E получаются вытягиванием форм на SO (3); и что подъемные пути от М к Е могут быть достигнуты путем отображения пути к 2-сфере, поднимая путь к SO (3), а затем отходил на лифт на E. Таким образом, для встроенных поверхностей 2-сфера с основным соединением на ее связке каркасов обеспечивает «универсальную модель», прототип универсальных связок, обсуждаемых в Narasimhan amp; Ramanan (1965). Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFNarasimhanRamanan1965 ( помощь )

В более конкретных терминах это позволяет явно описывать параллельный перенос с помощью уравнения переноса. Параллельный перенос по кривой c ( t), где t принимает значения в [0,1], начиная с касательной к касательному вектору v 0, также сводится к нахождению карты v ( t) из [0,1] в R ³ такой, что

• v ( t) - касательный вектор к M в c ( t) с v (0) = v 0.
• вектор скорости по нормали к поверхности в точке с ( т), т.е. Р ( с ( т)) v ( т) = 0.${\ Displaystyle {\ точка {v}} (т)}$

У этого всегда есть единственное решение, называемое параллельным переносом v 0 вдоль c.

Существование параллельного переноса можно вывести с помощью аналитического метода, описанного для SO (3) / SO (2), который из пути в проекции Q ( t) второго ранга, начинающиеся в Q 0, произвел путь g ( t) в SO (3) начиная с I такие, что

${\ displaystyle Q = gQ_ {0} g ^ {- 1}, \, \, \, Q_ {0} g ^ {- 1} {\ dot {g}} Q_ {0} = 0.}$

g ( t) - единственное решение уравнения переноса

g t g −1 = ½ F t F

с g (0) = I и F = 2 Q - I. Применяя это с Q ( t) = P ( c ( t)), следует, что, учитывая касательный вектор v 0 в касательном пространстве к M в точке c ( 0) вектор v ( t) = g ( t) v 0 лежит в касательном пространстве к M в точке c ( t) и удовлетворяет уравнению

${\ Displaystyle P (c (t)) {\ dot {v}} (t) = 0.}$

Следовательно, это в точности параллельный перенос v по кривой c. В этом случае длина вектора v ( t) постоянна. В более общем случае, если вместо v 0 взять другой начальный касательный вектор u 0, внутреннее произведение ( v ( t), u ( t)) будет постоянным. Касательные пространства вдоль кривой c ( t), таким образом, канонически идентифицируются как внутренние пространства продукта параллельным переносом, так что параллельный перенос дает изометрию между касательными плоскостями. Условие на вектор скорости можно переписать в терминах ковариантной производной как ${\ Displaystyle {\ точка {v}} (т)}$

${\ Displaystyle \ набла _ {\ точка {с}} v = 0}$

определяющее уравнение для параллельного переноса.

Кинематический способ понимания параллельного переноса для сферы в равной степени относится к любой замкнутой поверхности в Й ³ рассматриваются как твердое тело в трехмерном пространстве прокатки без скольжения или скручиваний на горизонтальную плоскости. Точка контакта будет описывать кривую на плоскости и на поверхности. Что касается сферы, обычная кривизна плоской кривой равна геодезической кривизне кривой, начерченной на поверхности.

Этот геометрический способ рассмотрения параллельного транспорта также может быть напрямую выражен на языке геометрии. Конверт из касательных плоскостей к М вдоль кривой с представляет собой поверхность с нулевым гауссову кривизну, что по теореме Миндинг, в должны быть локально изометрична евклидовой плоскости. Эта идентификация позволяет определить параллельный перенос, потому что в евклидовой плоскости все касательные плоскости отождествляются с самим пространством.

Существует еще один простой способ построения формы связности ω, используя вложение M в E ³.

Касательные векторы е 1 и е 2 кадра на М определяют гладкие функции из Е со значениями в R ³, так что каждый дает 3-вектор функций и, в частности, от 1 представляет собой 3-вектор 1-форм на Е.

Форма подключения задается

${\ displaystyle \ omega = de_ {1} \ cdot e_ {2}}$

взяв обычное скалярное произведение на 3-векторы.

См. Также: уравнения Гаусса – Кодацци.

Когда M вложено в E ³, две другие 1-формы ψ и χ могут быть определены на расслоении реперов E с помощью оператора формы. Действительно, отображение Гаусса индуцирует K -эквивариантное отображение E в SO (3), расслоение реперов S ² = SO (3) / SO (2). Форма ω является обратным вызовом одной из трех правоинвариантных форм Маурера – Картана на SO (3). 1-формы ψ и χ определяются как обратные вызовы двух других.

Эти 1-формы удовлетворяют следующим структурным уравнениям:

${\ Displaystyle \ пси \ клин \ тета _ {1} + \ чи \ клин \ тета _ {2} = 0}$

( уравнение симметрии)

${\ Displaystyle д \ омега = \ пси \ клин \ чи}$

( Уравнение Гаусса)

${\ displaystyle d \ psi = \ chi \ wedge \ omega, \, \, d \ chi = \ omega \ wedge \ psi}$

( Уравнения Кодацци)

Уравнения Гаусса – Кодацци для χ, ψ и ω непосредственно следуют из уравнений Маурера – Картана для трех правоинвариантных 1-форм на SO (3).

Один из наиболее полных вводных обзоров предмета, показывающий историческое развитие от периода до Гаусса до наших дней, сделан Бергером (2004). Рассмотрение римановой связи на уровне выпускников можно найти у Singer amp; Thorpe (1967), do Carmo (1976) и O'Neill (1997). Доступное введение в подход Картана к связям с использованием движущихся систем отсчета можно найти в Ivey amp; Landsberg (2003) и Sharpe (1997). Классическое рассмотрение связей можно найти в Kobayashi amp; Nomizu (1963).

• Дифференциальная геометрия поверхностей

• Адамс, Дж. Франк (1983), Лекции по группам Ли, University of Chicago Press, ISBN   0226005305
• Александров, АД ; Залгаллер В.А. (1967), Внутренняя геометрия поверхностей, Переводы математических монографий, 15, Американское математическое общество
• Арнольд В.И. (1989), Математические методы классической механики, Springer-Verlag, ISBN   0-387-96890-3
• Бергер, Марсель (2004), Панорамный вид римановой геометрии, Springer-Verlag, ISBN   3-540-65317-1
• Картан, Эли (1983), Геометрия римановых пространств, Math Sci Press, ISBN   978-0-915692-34-7 ; переведено из 2-го издания Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann (1951) Джеймса Глейзбрука.
• Картан, Эли (2001), Риманова геометрия в ортогональной системе отсчета (из лекций, прочитанных Э Картаном в Сорбонне в 1926–27), World Scientific, ISBN   9810247478, перевод с русского В. В. Гольдберга с предисловием С. С. Черна.
• Шоке-Брюа, Ивонн ; Девитт-Моретт, Сесиль; Диллард-Блейк, Маргарет (1982), Анализ, многообразия и физика. Часть I. Основы, Северная Голландия, ISBN   0-444-82647-5
• Дарбу, Гастон (1890), Leçons sur la théorie générale des поверхностей, Готье-Виллар Том I, Том II, Том III, Том IV
• ду Карму, Манфредо П. (1976), Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей, Прентис-Холл, ISBN   0-13-212589-7
• ду Карму, Манфредо П. (1992), Риманова геометрия, Биркхойзер, ISBN   0-8176-3490-8
• Драйвер, Брюс К. (1995), Пособие по римановой геометрии и стохастическому анализу пространств путей (PDF), Лекции, прочитанные в ETH, Цюрих
• Эйзенхарт, Лютер П. (2004), Трактат о дифференциальной геометрии кривых и поверхностей, Дувр, ISBN   0486438201 Полный текст 1909 года (сейчас не защищен авторскими правами)
• Эйзенхарт, Лютер П. (1947), Введение в дифференциальную геометрию с использованием тензорного исчисления, Princeton Mathematical Series, 3, Princeton University Press
• Эйлер, Леонард (1760 г.), « Исследования по курбюру поверхностей», Mémoires de l'académie des Sciences de Berlin (опубликовано в 1767 г.), 16: 119–143.
• Эйлер, Леонард (1771), «De solidis quorum superficiem in planum explicare licet», Новые комментарии Academiae Scientiarum Petropolitanae, 16: 3–34.
• Гаусс, Карл Фридрих (1827), Общие исследования криволинейных поверхностей, Нью-Йорк: Raven Press (опубликовано в 1965 году)перевод AMHiltebeitel и JCMorehead; "Disquisitiones generales около superficies curvas", Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores Vol. VI (1827), стр. 99–146.
• Грей, Альфред; Аббена, Эльза; Саламон, Саймон (2006), Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей с помощью Mathematica, CRC Press, ISBN   1584884487
• Хан, Цин; Хун, Цзя-Син (2006), Изометрическое вложение римановых многообразий в евклидовы пространства, Американское математическое общество, ISBN   0-8218-4071-1
• Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметричные пространства, Academic Press, ISBN   0-12-338460-5
• Гильберт, Дэвид ; Кон-Фоссен, Стефан (1952), Геометрия и воображение (2-е изд.), Нью-Йорк: Челси, ISBN   978-0-8284-1087-8.
• Ivey, Thomas A.; Ландсберг, Дж. М. (2003), Картан для начинающих: дифференциальная геометрия с помощью движущихся рамок и внешних систем, Аспирантура по математике, 61, Американское математическое общество, ISBN   0-8218-3375-8
• Якобовиц, Ховард (1972), "Локальные изометрические вложения поверхностей в четырехмерное евклидово пространство", Indiana Univ. Математика. J., 21 (3): 249-254, DOI : 10,1512 / iumj.1971.21.21019
• Клингенберг, Вильгельм; Сасаки, Сигео (1975), "О связке касательных сфер двумерной сферы", Tôhoku Mathematical Journal, 27 (1): 49–56, doi : 10.2748 / tmj / 1178241033
• Клингенберг, Вильгельм (1982), риманова геометрия, исследования де Грюйтера по математике, 1, де Грюйтер, ISBN   3-11-008673-5
• Кобаяси, Сочичи (1956), "Индуцированные связи и вложенное риманово пространство", Nagoya Math. J., 10: 15-25, DOI : 10,1017 / S0027763000000052
• Kobayashi, Shochichi (1957), "Теория соединений", Annali ди Matematica Пура ред Applicata, Series 4, 43 (1): 119-194, DOI : 10.1007 / BF02411907,
• Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1963), Основы дифференциальной геометрии, т. Я, Wiley Interscience, ISBN   0470496487
• Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1969), Основы дифференциальной геометрии, т. II, Wiley Interscience, ISBN   0470496487
• Крейсциг, Эрвин (1991), Дифференциальная геометрия, Дувр, ISBN   0486667219
• Леви-Чивита, Туллио (1917), "Nozione di parallelismo in una varietà qualunque", Rend. Circ. Мат. Палермо, 42 (1): 173-205, DOI : 10.1007 / BF03014898
• Милнор, Джон В. (1963), теория Морса, Анналы математических исследований, 51, Princeton University Press, ISBN   0691080089
• Нарасимхан, MS ; Раманан, С. (1961), "Существование универсальных связей", Amer. J. Math., The Johns Hopkins University Press, 83 (3): 563-572, DOI : 10.2307 / 2372896, ЛВП : 10338.dmlcz / 700905, JSTOR   2372896
• Нарасимхан, MS ; Рамадас, Т.Р. (1979), "Геометрия калибровочных полей SU (2)", Comm. Математика. Phys., 67 (2): 121-136, DOI : 10.1007 / BF01221361
• Нельсон, Эдвард (1969), Темы в динамике - I: Потоки, математические заметки, Princeton University Press
• О'Нил, Барретт (1997), Элементарная дифференциальная геометрия, Academic Press, ISBN   0-12-526745-2
• Петерсен, Питер (2016), Риманова геометрия, Тексты для выпускников по математике, 171 (3-е изд.), Springer, ISBN   9783319266541
• Позняк, Э.Г. (1973), "Изометрические вложения двумерных римановых метрик в евклидовы пространства", УМН. Обзоры, 28 (4): 47-77, DOI : 10,1070 / RM1973v028n04ABEH001591
• Прессли, Эндрю (2001), Элементарная дифференциальная геометрия, серия Springer для студентов-математиков, Springer-Verlag, ISBN   1-85233-152-6
• Сасаки, Шигео (1958), "О дифференциальной геометрии касательных расслоений римановых многообразий", Tôhoku Mathematical Journal, 10 (3): 338–354, doi : 10.2748 / tmj / 1178244668
• Шарп, Ричард В. (1997), Дифференциальная геометрия: Обобщение Картаном программы Эрлангена Кляйна, Springer-Verlag, ISBN   0387947329
• Певец, Исадор М. ; Торп, Джон А. (1967), Конспект лекций по элементарной топологии и геометрии, Springer-Verlag, ISBN   0-387-90202-3
• Штернберг, Шломо (1964), Лекции по дифференциальной геометрии, Прентис-Холл
• Струик, Дирк Ян (1988), Лекции по классической дифференциальной геометрии: второе издание, Довер, ISBN   0486656098
• Топоногов, Виктор А. (2005), Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей: Краткое руководство, Springer-Verlag, ISBN   0817643842
• Валирон, Жорж (1986), Классическая дифференциальная геометрия кривых и поверхностей, Math Sci Press, ISBN   0915692392 Полный текст книги
• Варадараян, VS (1984), Группы Ли, алгебры Ли и их представления, Springer-Verlag, ISBN   0387909699
• Уилсон, Пелхам (2008), искривленное пространство: от классической геометрии к элементарной дифференциальной геометрии, Cambridge University Press, ISBN   978-0-521-71390-0

• Калаби, Эухенио, Основы дифференциальной геометрии поверхностей, Часть I (PDF), Пенсильванский университет
• Калаби, Эухенио, Основы дифференциальной геометрии поверхностей, Часть II (PDF), Пенсильванский университет
• Калаби, Эухенио, Основы дифференциальной геометрии поверхностей, Часть III (PDF), Пенсильванский университет
• Калаби, Эухенио, Основы дифференциальной геометрии поверхностей, Часть IV (PDF), Пенсильванский университет
• Калаби, Эухенио, Основы дифференциальной геометрии поверхностей, Часть V (PDF), Пенсильванский университет
• Калаби, Эухенио, Основы дифференциальной геометрии поверхностей, Части VI и VII (PDF), Пенсильванский университет
• Калаби, Эухенио, Основы дифференциальной геометрии поверхностей, Часть VIII, Пенсильванский университет