Теорема о положительной энергии

Теорема о положительной энергии (также известная как теорема о положительной массе ) относится к набору основополагающих результатов в общей теории относительности и дифференциальной геометрии. Его стандартная форма, вообще говоря, утверждает, что гравитационная энергия изолированной системы неотрицательна и может быть равна нулю только тогда, когда в системе нет гравитирующих объектов. Хотя эти утверждения часто считаются в основном физическими по своей природе, их можно формализовать как математические теоремы, которые могут быть доказаны с использованием методов дифференциальной геометрии, уравнений в частных производных и геометрическая теория меры.

Ричард Шен и Шинг-Тунг Яу в 1979 и 1981 годах первыми дали доказательства теоремы о положительной массе. Эдвард Виттен в 1982 году дал наброски альтернативного доказательства, которые позже были тщательно проработаны математиками. Виттен и Яу были награждены медалью Филдса по математике частично за их работу по этой теме.

Неточная формулировка теоремы Шен-Яу / Виттена о положительной энергии гласит следующее:

Учитывая асимптотически плоский набор исходных данных, можно определить энергию-импульс каждой бесконечной области как элемент пространство Минковского. При условии, что исходный набор данных является геодезически полным и удовлетворяет доминирующему энергетическому условию, каждый такой элемент должен находиться в причинном будущем источника. Если любая бесконечная область имеет нулевую энергию-импульс, то исходный набор данных тривиален в том смысле, что он может быть геометрически вложен в пространство Минковского.

Смысл этих терминов обсуждается ниже. Существуют альтернативные и неэквивалентные формулировки для разных понятий энергии-импульса и для разных классов наборов исходных данных. Не все эти формулировки были строго доказаны, и в настоящее время открытая проблема, верна ли вышеуказанная формулировка для исходных наборов данных произвольной размерности.

Содержание

• 1 Обзор
• 2 Наборы исходных данных
• 3 Концы асимптотически плоских наборов исходных данных
• 4 Формальные утверждения
  • 4.1 Schoen and Yau (1979)
  • 4.2 Schoen and Яу (1981)
  • 4.3 Виттен (1981)
  • 4.4 Расширения и замечания
• 5 Приложения
• 6 Ссылки

Обзор

Первоначальное доказательство теоремы для ADM масса была предоставлена ​​Ричардом Шоном и Шинг-Тунг Яу в 1979 году с использованием вариационных методов и минимальных поверхностей. Эдвард Виттен дал другое доказательство в 1981 году, основанное на использовании спиноров, вдохновленное теоремами о положительной энергии в контексте супергравитации. Расширение теоремы для массы Бонди было дано Людвигсеном и Джеймсом Викерсом, Гэри Горовицем и Малкольмом Перри, а также Шоном и Яу.

Гэри Гиббонс, Стивен Хокинг, Горовиц и Перри доказали расширение теоремы на асимптотически анти-де-Ситтеровское пространство-время и на теорию Эйнштейна – Максвелла. Масса асимптотически анти-де-Ситтеровского пространства-времени неотрицательна и равна нулю только для анти-де-Ситтеровского пространства-времени. В теории Эйнштейна – Максвелла для пространства-времени с электрическим зарядом $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$и магнитным зарядом $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \}$, масса пространства-времени удовлетворяет (в гауссовых единицах )

$M\; \ge \; Q\; 2\; +\; P\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; \backslash \; geq\; \{\backslash \; sqrt\; \{Q\; ^\; \{2\}\; +\; P\; ^\; \{2\}\}\},\}$

с равенством для решений Majumdar –Papapetrou экстремальных черных дыр.

Исходные наборы данных

набор исходных данных состоит из риманова многообразия (M, g) и симметричного 2-тензорного поля k на M. Говорят, что исходный набор данных ( M, g, k):

• является симметричным по времени, если k равно нулю
• является максимальным, если trk = 0
• удовлетворяет доминирующее энергетическое состояние if

$R\; g\; -\; |\; k\; |\; g\; 2\; +\; (tr\; g\; \; k)\; 2\; \ge \; 2\; |\; div\; g\; \; k\; -\; d\; (tr\; g\; \; k)\; |\; g,\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ^\; \{g\; \}\; -\; |\; k\; |\; \_\; \{g\}\; ^\; \{2\}\; +\; (\backslash \; operatorname\; \{tr\}\; \_\; \{g\}\; k)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; geq\; 2\; \{\backslash \; big\; |\}\; \backslash \; operatorname\; \{div\}\; ^\; \{g\}\; kd\; (\backslash \; operatorname\; \{tr\}\; \_\; \{g\}\; k)\; \{\backslash \; big\; |\}\; \_\; \{g\},\}$

где R обозначает скалярную кривую на рисунке of g.

Обратите внимание, что симметричный по времени набор исходных данных (M, g, 0) удовлетворяет доминирующему энергетическому условию тогда и только тогда, когда скалярная кривизна g неотрицательна. Говорят, что лоренцево многообразие (M, g) является разверткой набора исходных данных (M, g, k), если существует (обязательно пространственноподобное) вложение M в M гиперповерхности вместе с непрерывное векторное поле единичной нормали, такое, что индуцированная метрика - g, а вторая фундаментальная форма относительно данной единичной нормали - k.

Это определение основано на лоренцевой геометрии. Для лоренцево многообразия (M, g) размерности n + 1 и пространственноподобного погружения f из связного n-мерного многообразия M в M, имеющего тривиальное нормальное расслоение, можно рассматривать индуцированную риманову метрику g = fg, а также вторая фундаментальная форма k функции f относительно любого из двух вариантов непрерывного векторного поля единичной нормали вдоль f. Тройка (M, g, k) - это исходный набор данных. Согласно уравнениям Гаусса-Кодацци,

$G\; ¯\; (\nu ,\; \nu )\; =\; 1\; 2\; (R\; g\; -\; |\; k\; |\; g\; 2\; +\; (tr\; g\; \; k)\; 2)\; G\; ¯\; (\; \nu ,\; \cdot )\; =\; d\; (tr\; g\; \; k)\; -\; div\; g\; k.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; overline\; \{G\}\}\; (\backslash \; nu,\; \backslash \; nu)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; Big\; (\}\; R\; ^\; \{g\}\; -\; |\; k\; |\; \_\; \{g\}\; ^\; \{2\}\; +\; (\backslash \; operatorname\; \{tr\}\; ^\; \{g\}\; k)\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; Big)\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; overline\; \{G\}\}\; (\backslash \; nu,\; \backslash \; cdot)\; =\; d\; (\backslash \; operatorname\; \{tr\}\; ^\; \{g\}\; k)\; -\; \backslash \; operatorname\; \{div\}\; ^\; \{g\}\; k.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где G обозначает тензор Эйнштейна Ric - 1 / 2Rg g и ν обозначают непрерывное векторное поле единичной нормали вдоль f, используемое для определения k. Таким образом, доминирующее энергетическое условие, данное выше, в этом лоренцевом контексте идентично утверждению о том, что G (ν, ⋅), рассматриваемая как векторное поле вдоль f, является временноподобным или нулевым и ориентирована в том же направлении, что и ν.

Концы асимптотически плоских наборов исходных данных

В литературе существует несколько различных понятий «асимптотически плоских», которые не являются взаимно эквивалентными. Обычно он определяется в терминах весовых пространств Гёльдера или весовых пространств Соболева.

Однако есть некоторые особенности, общие практически для всех подходов. Один рассматривает исходный набор данных (M, g, k), который может иметь или не иметь границы; пусть n обозначает его размерность. Требуется, чтобы существовало такое компактное подмножество K в M, что каждая связная компонента дополнения M - K диффеоморфна дополнению замкнутого шара в евклидовом пространстве. Такие компоненты связности называются концами M.

Формальные утверждения

Schoen and Yau (1979)

Пусть (M, g, 0) - симметричный во времени набор исходных данных, удовлетворяющий преобладающему энергетическому условию. Предположим, что (M, g) - ориентированное трехмерное гладкое риманово многообразие с краем и что каждая граничная компонента имеет положительную среднюю кривизну. Предположим, что оно имеет один конец и асимптотически является Шварцшильдом в следующем смысле:

Предположим, что K - открытое предкомпактное подмножество M такое, что существует диффеоморфизм Φ: ℝ - B 1 (0) → M - K, и предположим, что существует такое число m, что симметричный 2-тензор

$hij\; =\; (\Phi \; \ast \; g)\; ij\; -\; \delta \; ij\; -\; m\; 2\; |\; х\; |\; \delta \; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{ij\}\; =\; (\backslash \; Phi\; ^\; \{\backslash \; ast\}\; g)\; \_\; \{ij\}\; -\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{m\}\; \{2\; |\; x\; |\}\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\; \}\}$

на ℝ - B 1 (0) таково, что для любых i, j, p, q функции $|\; х\; |\; 2\; час\; я\; j\; (х),\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; x\; |\; ^\; \{2\}\; h\_\; \{ij\}\; (x),\}$$|\; х\; |\; 3\; \partial \; п\; час\; я\; j\; (x),\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; x\; |\; ^\; \{3\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{p\}\; h\_\; \{ij\}\; (x),\}$и $|\; х\; |\; 4\; \partial \; p\; \partial \; qhij\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; x\; |\; ^\; \{4\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{p\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{q\}\; h\_\; \{ij\}\; (x)\}$все ограничены.

Теорема Шена и Яу утверждает, что m должно быть неотрицательным. Если, кроме того, функции $|\; х\; |\; 5\; \partial \; п\; \partial \; q\; \partial \; rhij\; (x),\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; x\; |\; ^\; \{5\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{p\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{q\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{r\}\; h\_\; \{ij\}\; (x),\}$$|\; х\; |\; 5\; \partial \; п\; \partial \; q\; \partial \; р\; \partial \; shij\; (x),\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; x\; |\; ^\; \{5\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{p\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{q\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{r\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{s\}\; h\_\; \{ij\; \}\; (x),\}$и $|\; х\; |\; 5\; \partial \; п\; \partial \; q\; \partial \; р\; \partial \; s\; \partial \; thij\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; x\; |\; ^\; \{5\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{p\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{q\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{r\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{s\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; h\_\; \{ij\}\; (x)\}$ограничены для любых $i,\; j,\; p,\; q,\; r,\; s,\; t,\; \{\backslash \; displaystyle\; i,\; j,\; p,\; q,\; r,\; s,\; t,\}$, то m должно быть положительным, если граница M не пуста и (M, g) изометричен ℝ с его стандартной римановой метрикой.

Обратите внимание, что условия на h утверждают, что h вместе с некоторыми из его производных малы, когда x велик. Поскольку h измеряет дефект между g в координатах Φ и стандартным представлением t = константного среза метрики Шварцшильда, эти условия являются количественной оценкой термина «асимптотически Шварцшильд». Это можно интерпретировать в чисто математическом смысле как сильную форму «асимптотически плоской», где коэффициент при | x | часть расширения метрики объявляется постоянной кратной евклидовой метрики, в отличие от общего симметричного 2-тензора.

Отметим также, что теорема Шена и Яу, как указано выше, на самом деле (несмотря на внешность) является сильной формой случая "множественных концов". Если (M, g) - полное риманово многообразие с несколькими концами, то приведенный выше результат применим к любому единственному концу при условии, что на каждом другом конце есть сфера положительной средней кривизны. Это гарантировано, например, если каждый конец асимптотически плоский в указанном выше смысле; можно выбрать большую координатную сферу в качестве границы и удалить соответствующий остаток от каждого конца, пока не получится риманово многообразие с краем с одним концом.

Schoen and Yau (1981)

Пусть (M, g, k) будет исходным набором данных, удовлетворяющим доминирующему энергетическому условию. Предположим, что (M, g) - ориентированное трехмерное гладкое полное риманово многообразие (без края); Предположим, что у него конечное число концов, каждый из которых асимптотически плоский в следующем смысле.

Предположим, что $K\; \subset \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; \backslash \; subset\; M\}$- это открытое предкомпактное подмножество, такое что $M\; \setminus \; K\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; \backslash \; smallsetminus\; K\}$имеет конечное число компонент связности $M\; 1,\dots ,\; M\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; M\_\; \{n\},\}$и для каждого $я\; знак\; равно\; 1,\dots ,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; =\; 1,\; \backslash \; ldots,\; n\}$существует диффеоморфизм $\Phi \; i:\; R\; 3\; \setminus \; B\; 1\; (0)\; \to \; M\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; \_\; \{i\}:\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; smallsetminus\; B\_\; \{1\}\; (0)\; \backslash \; to\; M\_\; \{i\}\}$такой, что симметричный 2-тензор $hij\; =\; (\; \Phi \; \ast \; g)\; ij\; -\; \delta \; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{ij\}\; =\; (\backslash \; Phi\; ^\; \{\backslash \; ast\}\; g)\; \_\; \{ij\}\; -\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}\}$удовлетворяет следующим условиям:

• $|\; х\; |\; час\; я\; J\; (Икс),\; \{\backslash \; Displaystyle\; |\; Икс\; |\; H\_\; \{ij\}\; (х),\}$$|\; х\; |\; 2\; \partial \; п\; час\; я\; j\; (x),\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; x\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{p\}\; h\_\; \{ij\}\; (x),\}$и $|\; х\; |\; 3\; \partial \; p\; \partial \; qhij\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; x\; |\; ^\; \{3\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{p\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{q\}\; h\_\; \{ij\}\; (x)\}$ограничены для всех $я,\; j,\; p,\; q.\; \{\backslash \; displaystyle\; i,\; j,\; p,\; q.\}$

Также предположим, что

• $|\; х\; |\; 4\; R\; \Phi \; i\; \ast \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; x\; |\; ^\; \{4\}\; R\; ^\; \{\backslash \; Phi\; \_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; ast\}\; g\}\}$и $|\; х\; |\; 5\; \partial \; p\; R\; \Phi \; i\; \ast \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; x\; |\; ^\; \{5\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{p\}\; R\; ^\; \{\backslash \; Phi\; \_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; ast\}\; g\}\}$ограничены для любой $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$
• $|\; х\; |\; 2\; (\Phi \; я\; *\; К)\; я\; J\; (Икс),\; \{\backslash \; Displaystyle\; |\; х\; |\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; Phi\; \_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; Ast\}\; k)\; \_\; \{ij\}\; (x),\}$$|\; х\; |\; 3\; \partial \; п\; (\Phi \; я\; *\; К)\; ij\; (x),\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; x\; |\; ^\; \{3\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{p\}\; (\backslash \; Phi\; \_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; ast\}\; k)\; \_\; \{ij\}\; (x),\}$и $|\; х\; |\; 4\; \partial \; п\; \partial \; q\; (\Phi \; i\; \ast \; k)\; ij\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; x\; |\; ^\; \{4\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{p\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{q\}\; (\backslash \; Phi\; \_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; ast\}\; k)\; \_\; \{ij\}\; (x)\}$для любого $p,\; q,\; i,\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; p,\; q,\; i,\; j\}$
• $|\; х\; |\; 3\; ((\Phi \; i\; \ast \; k)\; 11\; (x)\; +\; (\Phi \; \ast \; k)\; 22\; (x)\; +\; (\Phi \; i\; \ast \; k)\; 33\; (x))\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; x\; |\; ^\; \{3\}\; ((\backslash \; Phi\; \_\; \{\; i\}\; ^\; \{\backslash \; ast\}\; k)\; \_\; \{11\}\; (x)\; +\; (\backslash \; Phi\; ^\; \{\backslash \; ast\}\; k)\; \_\; \{22\}\; (x)\; +\; (\backslash \; Phi\; \_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; ast\}\; k)\; \_\; \{33\}\; (x))\}$ограничено.

Вывод состоит в том, что энергия ADM каждого $M\; 1,\dots ,\; M\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; M\_\; \{n\},\}$определяется как

$E\; (M\; i)\; =\; 1\; 16\; \pi \; lim\; r\; \to \; \infty \; \int \; |\; х\; |\; =\; r\; \sum \; p\; =\; 1\; 3\; \sum \; q\; =\; 1\; 3\; (\partial \; q\; (\Phi \; i\; \ast \; g)\; p\; q\; -\; \partial \; p\; (\Phi \; i\; \ast \; g)\; q\; q)\; x\; p\; |\; х\; |\; d\; ЧАС\; 2\; (Икс),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{E\}\}\; (M\_\; \{i\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{16\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; lim\; \_\; \{r\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\; |\; x\; |\; =\; r\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{p\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{q\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{q\}\; (\backslash \; Phi\; \_\; \{i\}\; ^\; \{\; \backslash \; ast\}\; g)\; \_\; \{pq\}\; -\; \backslash \; partial\; \_\; \{p\}\; (\backslash \; Phi\; \_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; ast\}\; g)\; \_\; \{qq\}\; \{\backslash \; big)\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{p\}\}\; \{\; |\; x\; |\}\}\; \backslash ,\; d\; \{\backslash \; mathcal\; \{H\}\}\; ^\; \{2\}\; (x),\}$

неотрицательно. Кроме того, предположим дополнительно, что

• $|\; х\; |\; 4\; \partial \; п\; \partial \; q\; \partial \; rhij\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; x\; |\; ^\; \{4\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{p\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{q\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{r\}\; h\_\; \{ij\}\; (x)\}$и $|\; х\; |\; 4\; \partial \; п\; \partial \; р\; \partial \; s\; \partial \; thij\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; x\; |\; ^\; \{4\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{p\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{r\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{s\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; h\_\; \{ij\}\; (x)\}$ограничены для любого $i,\; j,\; p,\; q,\; r,\; s,\; \{\backslash \; displaystyle\; i,\; j,\; p,\; q,\; r,\; s,\}$

предположение что $E\; (M\; i)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{E\}\}\; (M\_\; \{i\})\; =\; 0\}$для некоторого $i\; \in \; \{1,\dots ,\; n\}\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; in\; \backslash \; \{1,\; \backslash \; ldots,\; n\; \backslash \}\}$подразумевает, что n = 1, что M диффеоморфно ℝ и что пространство Минковского ℝ является развитием исходного набора данных ( М, г, к).

Виттен (1981)

Пусть $(M,\; g)\; \{\backslash \; displaystyle\; (M,\; g)\}$ориентированное трехмерное гладкое полное риманово многообразие. (без границы). Пусть $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$будет гладким симметричным 2-тензором на $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$такой, что

$R\; g\; -\; |\; k\; |\; g\; 2\; +\; (tr\; g\; \; k)\; 2\; \ge \; 2\; |\; div\; g\; \; k\; -\; d\; (tr\; g\; \; k)\; |\; г\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ^\; \{g\}\; -\; |\; k\; |\; \_\; \{g\}\; ^\; \{2\}\; +\; (\backslash \; operatorname\; \{tr\}\; \_\; \{g\}\; k)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; geq\; 2\; \{\backslash \; big\; |\}\; \backslash \; operatorname\; \{div\}\; ^\; \{g\}\; kd\; (\backslash \; operatorname\; \{tr\}\; \_\; \{g\}\; k)\; \{\backslash \; big\; |\}\; \_\; \{g\}\; ^\; \{2\}.\}$

Предположим, что $K\; \subset \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; \backslash \; subset\; M\; \}$- это открытое предкомпактное подмножество, такое что $M\; \setminus \; K\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; \backslash \; smallsetminus\; K\}$имеет конечное число компонент связности $M\; 1,\dots ,\; M\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; M\_\; \{n\},\}$и для каждого $\alpha \; =\; 1,\dots ,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; 1,\; \backslash \; ldots,\; n\}$существует диффеоморфизм $\Phi \; \alpha :\; R\; 3\; \setminus \; B\; 1\; (0)\; \to \; M\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; \_\; \{\backslash \; alpha\}:\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; smallsetminus\; B\_\; \{\; 1\}\; (0)\; \backslash \; to\; M\_\; \{i\}\}$такой, что симметричный 2-тензор $hij\; =\; (\Phi \; \alpha \; \ast \; g)\; ij\; -\; \delta \; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{ij\}\; =\; (\backslash \; Phi\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; ^\; \{\backslash \; ast\}\; g)\; \_\; \{ij\}\; -\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}\}$удовлетворяет следующим условиям:

• $|\; х\; |\; час\; я\; J\; (Икс),\; \{\backslash \; Displaystyle\; |\; Икс\; |\; H\_\; \{ij\}\; (х),\}$$|\; х\; |\; 2\; \partial \; п\; час\; я\; j\; (x),\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; x\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{p\}\; h\_\; \{ij\}\; (x),\}$и $|\; х\; |\; 3\; \partial \; p\; \partial \; qhij\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; x\; |\; ^\; \{3\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{p\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{q\}\; h\_\; \{ij\}\; (x)\}$ограничены для всех $я,\; j,\; p,\; q.\; \{\backslash \; displaystyle\; i,\; j,\; p,\; q.\}$
• $|\; х\; |\; 2\; (\Phi \; \alpha \; \ast \; К)\; ij\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; x\; |\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; Phi\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; ^\; \{\backslash \; ast\}\; k)\; \_\; \{ij\}\; (x)\}$и $|\; х\; |\; 3\; \partial \; п\; (\Phi \; \alpha \; \ast \; К)\; ij\; (x),\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; x\; |\; ^\; \{3\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{p\}\; (\backslash \; Phi\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; ^\; \{\backslash \; ast\}\; k)\; \_\; \{ij\}\; (\; x),\}$ограничены для всех $i,\; j,\; p.\; \{\backslash \; displaystyle\; i,\; j,\; p.\}$

Для каждого $\alpha \; =\; 1,\dots ,\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; 1,\; \backslash \; ldots,\; n,\}$определите энергию ADM и импульс на

$E\; (M\; \alpha )\; =\; 1\; 16\; \pi \; lim\; r\; \to \; \infty \; \int \; |\; х\; |\; =\; r\; \sum \; p\; =\; 1\; 3\; \sum \; q\; =\; 1\; 3\; (\partial \; q\; (\Phi \; \alpha \; \ast \; g)\; p\; q\; -\; \partial \; p\; (\Phi \; \alpha \; \ast \; g)\; q\; q)\; x\; p\; |\; х\; |\; d\; ЧАС\; 2\; (Икс),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{E\}\}\; (M\; \_\; \{\backslash \; alpha\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{16\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; lim\; \_\; \{r\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; int\; \_\; \{|\; x\; |\; =\; r\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{p\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{q\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{q\}\; (\backslash \; Phi\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; ^\; \{\backslash \; ast\}\; g)\; \_\; \{pq\}\; -\; \backslash \; partial\; \_\; \{p\}\; (\backslash \; Phi\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; ^\; \{\backslash \; ast\}\; g)\; \_\; \{qq\}\; \{\backslash \; big)\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{p\; \}\}\; \{|\; x\; |\}\}\; \backslash ,\; d\; \{\backslash \; mathcal\; \{H\}\}\; ^\; \{2\}\; (x),\}$

$P\; (M\; \alpha )\; p\; =\; 1\; 8\; \pi \; lim\; r\; \to \; \infty \; \int \; |\; х\; |\; =\; r\; \sum \; q\; =\; 1\; 3\; ((\Phi \; \alpha \; \ast \; k)\; p\; q\; -\; ((\Phi \; \alpha \; \ast \; k)\; 11\; +\; (\Phi \; \alpha \; \ast \; k)\; 22\; +\; (\Phi \; \alpha \; \ast \; k)\; 33)\; \delta \; p\; q)\; x\; q\; |\; х\; |\; d\; H\; 2\; (х).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{P\}\}\; (M\; \_\; \{\backslash \; alpha\})\; \_\; \{p\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{8\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; lim\; \_\; \{r\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; int\; \_\; \{|\; x\; |\; =\; r\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{q\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; (\backslash \; Phi\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; ^\; \{\backslash \; ast\}\; k)\; \_\; \{pq\}\; -\; \{\backslash \; big\; (\}\; (\backslash \; Phi\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; ^\; \{\backslash \; ast\}\; k)\; \_\; \{11\}\; +\; (\backslash \; Phi\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; ^\; \{\backslash \; ast\}\; k)\; \_\; \{22\}\; +\; (\backslash \; Phi\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; ^\; \{\backslash \; ast\}\; k)\; \_\; \{33\}\; \{\backslash \; big)\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{pq\}\; \{\backslash \; big)\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{q\}\}\; \{|\; x\; |\}\}\; \backslash ,\; d\; \{\backslash \; mathcal\; \{H\}\}\; ^\; \{2\; \}\; (x).\}$

Для каждого $\alpha \; =\; 1,\dots ,\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; 1,\; \backslash \; ldots,\; n,\}$рассматривайте это как вектор $(P\; (M\; \alpha )\; 1,\; P\; (M\; \alpha )\; 2,\; P\; (M\; \alpha )\; 3,\; E\; (M\; \alpha ))\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; text\; \{P\}\}\; (M\; \_\; \{\backslash \; alpha\})\; \_\; \{1\},\; \{\backslash \; text\; \{P\}\}\; (M\; \_\; \{\backslash \; alpha\})\; \_\; \{2\},\; \{\backslash \; text\; \{P\}\}\; (M\; \_\; \{\backslash \; alpha\})\; \_\; \{3\},\; \{\backslash \; text\; \{E\}\}\; (M\; \_\; \{\backslash \; alpha\}))\}$в пространстве Минковского. Вывод Виттена состоит в том, что для каждого $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$это обязательно непространственноподобный вектор, указывающий на будущее. Если этот вектор равен нулю для любого $\alpha ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha,\}$, тогда $n\; =\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 1,\}$$M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$диффеоморфен $R\; 3,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\},\}$и максимальному глобально гиперболическому развитию исходного набора данных $(\; M,\; g,\; k)\; \{\backslash \; displaystyle\; (M,\; g,\; k)\}$имеет нулевую кривизну.

Расширения и примечания

Согласно приведенным выше утверждениям, вывод Виттена сильнее, чем вывод Шена и Яу. Однако третья статья Шона и Яу показывает, что их результат 1981 г. следует из результатов Виттена, сохранив только дополнительное предположение, что $|\; х\; |\; 4\; R\; \Phi \; i\; \ast \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; x\; |\; ^\; \{4\}\; R\; ^\; \{\backslash \; Phi\; \_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; ast\}\; g\}\}$и $|\; х\; |\; 5\; \partial \; p\; R\; \Phi \; i\; \ast \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; x\; |\; ^\; \{5\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{p\}\; R\; ^\; \{\backslash \; Phi\; \_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; ast\}\; g\}\}$ограничены для любой $стр.\; \{\backslash \; displaystyle\; p.\}$Также необходимо отметить, что результат Шона и Яу 1981 года основан на их результате 1979 года, что доказано противоречием; их расширение их результата 1981 г. также противоречит. Напротив, доказательство Виттена логически прямое, показывая энергию ADM непосредственно как неотрицательную величину. Кроме того, доказательство Виттена в случае $tr\; g\; \; k\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{tr\}\; \_\; \{g\}\; k\; =\; 0\}$можно без особых усилий распространить на многомерные многообразия, при топологическом условии, что многообразие допускает спиновую структуру. Результат и доказательство Шона и Яу 1979 года могут быть распространены на случай любой размерности меньше восьми. Совсем недавно результат Виттена с использованием методов Шона и Яу (1981) был распространен на тот же контекст. В итоге: следуя методам Шена и Яу, теорема о положительной энергии была доказана в размерности меньше восьми, а вслед за Виттеном она была доказана в любой размерности, но с ограничением на спиновые многообразия.

По состоянию на апрель 2017 года Шон и Яу выпустили препринт, который доказывает общий многомерный случай в частном случае $tr\; g\; \; k\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{tr\}\; \_\; \{\; g\}\; k\; =\; 0,\}$без каких-либо ограничений по размерности или топологии. Однако он еще не появился (по состоянию на май 2020 г.) в академических журналах.

Приложения

• В 1984 году Шон использовал теорему о положительной массе в своей работе, которая завершила решение проблемы Ямабе.
• Теорема о положительной массе использовалась в Хьюберте Брэе доказательство неравенства Римана Пенроуза.

Литература

• Шен, Ричард; Яу, Шинг-Тунг (1979). «О доказательстве гипотезы о положительной массе в общей теории относительности». Сообщения по математической физике. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 65 (1): 45–76. doi : 10.1007 / bf01940959. ISSN 0010-3616.
• Шон, Ричард; Яу, Шинг-Тунг (1981). «Доказательство теоремы о положительной массе. II». Сообщения по математической физике. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 79 (2): 231–260. doi : 10.1007 / bf01942062. ISSN 0010-3616.
• Виттен, Эдвард (1981). «Новое доказательство теоремы о положительной энергии». Сообщения по математической физике. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 80 (3): 381–402. doi : 10.1007 / bf01208277. ISSN 0010-3616.
• Людвигсен, М; Викерс, Дж. АГ (1981-10-01). «Позитивная масса Бонди». Журнал физики A: математический и общий. IOP Publishing. 14 (10): L389 – L391. doi : 10.1088 / 0305-4470 / 14/10/002. ISSN 0305-4470.
• Horowitz, Gary T.; Перри, Малкольм Дж. (1982-02-08). «Гравитационная энергия не может стать отрицательной». Письма с физическим обзором. Американское физическое общество (APS). 48 (6): 371–374. DOI : 10.1103 / Physrevlett.48.371. ISSN 0031-9007.
• Шон, Ричард; Яу, Шинг Тунг (1982-02-08). «Доказательство того, что масса Бонди положительна». Письма с физическим обзором. Американское физическое общество (APS). 48 (6): 369–371. doi : 10.1103 / Physrevlett.48.369. ISSN 0031-9007.
• Gibbons, G.W.; Хокинг, С. У.; Horowitz, G.T.; Перри, М. Дж. (1983). «Теоремы о положительной массе для черных дыр». Сообщения по математической физике. 88 (3): 295–308. MR 0701918.

Учебники

• Шоке-Брюа, Ивонн. Общая теория относительности и уравнения Эйнштейна. Оксфордские математические монографии. Oxford University Press, Oxford, 2009. xxvi + 785 pp. ISBN 978-0-19-923072-3
• Уолд, Роберт М. Общая теория относительности. University of Chicago Press, Chicago, IL, 1984. xiii + 491 pp. ISBN 0-226-87032-4