Решения уравнений поля Эйнштейна

редактировать

Статья списка Викимедиа

В соответствующих случаях в этой статье будет использоваться обозначение абстрактного индекса.

Решения уравнений поля Эйнштейна - это пространство-время, которые являются результатом решения Эйнштейна. уравнения поля (EFE) общей теории относительности. Решение уравнений поля дает многообразие Лоренца. Решения широко классифицируются как точные и неточные.

Уравнения поля Эйнштейна:

G ab + Λ gab = κ T ab, {\ displaystyle G_ {ab} + \ Lambda g_ {ab} \, = \ kappa T_ {ab},}

{\ displaystyle G_ {ab} + \ Lambda g_ {ab} \, = \ kappa T_ {ab },}

где $G ab {\ displaystyle G_ {ab}}$ $G _ {{ab}}$ - это тензор Эйнштейна, $Λ {\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ - космологическая постоянная (иногда принимаемая равной нулю для простоты), $gab {\ displaystyle g_ {ab}}$ $g_{ab}$ - это метрический тензор, $κ {\ displaystyle \ kappa}$ $\ каппа$ - константа, а $T ab {\ displaystyle T_ {ab}}$ ${\ displaystyle T_ {ab}}$ - тензор энергии-напряжения.

Уравнения поля Эйнштейна связывают тензор Эйнштейна с тензором напряжения-энергии, который представляет собой распределение энергии, импульса и напряжения в пространственно-временном многообразии. Тензор Эйнштейна строится из метрического тензора и его частных производных; таким образом, при заданном тензоре энергии-импульса уравнения поля Эйнштейна представляют собой систему из десяти уравнений в частных производных, в которых может быть решен метрический тензор.

Содержание

1 Решение уравнений
2 Точные решения
- 2.1 Внешняя ссылка
3 Неточные решения
4 Приложения
5 См. Также
6 Ссылки

Решение уравнений

Важно понимать, что одних уравнений поля Эйнштейна во многих случаях недостаточно для определения эволюции гравитационной системы. Они зависят от тензора энергии-импульса, который зависит от динамики вещества и энергии (например, траекторий движущихся частиц), которая, в свою очередь, зависит от гравитационного поля. Если кого-то интересует только предел слабого поля теории, динамика материи может быть вычислена с использованием методов специальной теории относительности и / или ньютоновских законов гравитации, а затем полученный тензор энергии-импульса может быть вставлен в уравнения поля Эйнштейна. Но если требуется точное решение или решение, описывающее сильные поля, эволюцию метрики и тензора энергии-импульса необходимо решать вместе.

Для получения решений соответствующие уравнения представляют собой процитированный выше EFE (в любой форме) плюс уравнение неразрывности (для определения эволюции тензора напряжения-энергии):

T ab ; б = 0. {\ displaystyle T ^ {ab} {} _ {; b} \, = 0 \,.}

T ^ {ab} {} _ {; b} \, = 0 \,.

Этого явно недостаточно, так как имеется только 14 уравнений (10 из уравнений поля и 4 из уравнения неразрывности) для 20 неизвестных (10 метрических компонент и 10 компонент тензора энергии-импульса). Уравнения состояния отсутствуют. В самом общем случае легко увидеть, что требуется как минимум еще 6 уравнений, а возможно, и больше, если есть внутренние степени свободы (например, температура), которые могут изменяться в пространстве-времени.

На практике обычно можно упростить задачу, заменив полный набор уравнений состояния простым приближением. Вот некоторые общие приближения:

Вакуум :

T ab = 0 {\ displaystyle T_ {ab} \, = 0}

T_ {ab} \, = 0

Perfect Fluid :

T ab = (ρ + p) uaub + pgab {\ displaystyle T_ {ab} \, = (\ rho + p) u_ {a} u_ {b} + pg_ {ab}}

T_ {ab} \, = (\ rho + p) u_ {a} u_ {b} + pg_ {ab}

где

uaua = - 1 {\ displaystyle u ^ {a} u_ {a} = - 1 \!}

u ^ {a} u_ {a} = - 1 \!

Здесь $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ - плотность массы-энергии, измеренная в мгновенной системе координат, $ua {\ displaystyle u_ {a}}$ $u_ {a}$ - это 4-скоростное векторное поле жидкости, а $p {\ displaystyle p}$ $p$ - давление.

Невзаимодействующая пыль (особый случай идеальной жидкости):

T ab = ρ uaub {\ displaystyle T_ {ab} \, = \ rho u_ {a} u_ {b}}

T_ {ab} \, = \ rho u_ {a} u_ {b}

Для идеальной жидкости необходимо добавить еще одно уравнение состояния, связывающее плотность $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ и давление $p {\ displaystyle p}$ $p$ . Это уравнение часто зависит от температуры, поэтому требуется уравнение теплопередачи или постулат о том, что теплопередачей можно пренебречь.

Затем обратите внимание, что только 10 из исходных 14 уравнений независимы, потому что уравнение неразрывности $T a b; b = 0 {\ displaystyle T ^ {ab} {} _ {; b} = 0}$ $T ^ {ab} {} _ {; b} = 0$ является следствием уравнений Эйнштейна. Это отражает тот факт, что система калибровочно-инвариантна (в общем, при отсутствии некоторой симметрии любой выбор криволинейной координатной сети в той же системе будет соответствовать численно другому решению). «Фиксация калибровки» - это необходимо, т.е. нам нужно наложить 4 (произвольных) ограничения на систему координат, чтобы получить однозначные результаты. Эти ограничения известны как координатные условия.

Популярным выбором калибровки является так называемая «калибровка Де Дондера», также известная как гармоническое условие или гармоническая калибровка.

g μ ν Γ μ ν σ = 0. {\ displaystyle g ^ {\ mu \ nu} \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ sigma} = 0 \,.}

g ^ {\ mu \ nu} \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ sigma} = 0 \,.

В численной теории относительности предпочтительной калибровкой является так - так называемое «разложение 3 + 1», основанное на формализме ADM. В этом разложении метрика записывается в виде

ds 2 = (- N + N i N j γ ij) dt 2 + 2 N i γ ijdtdxj + γ ijdxidxj {\ displaystyle ds ^ {2} \, = ( -N + N ^ {i} N ^ {j} \ gamma _ {ij}) dt ^ {2} + 2N ^ {i} \ gamma _ {ij} dtdx ^ {j} + \ gamma _ {ij} dx ^ {i} dx ^ {j}}

ds ^ {2} \, = (- N + N ^ {i} N ^ {j} \ gamma _ {ij}) dt ^ {2} + 2N ^ {i} \ gamma _ {ij} dtdx ^ {j} + \ gamma _ {ij} dx ^ {i} dx ^ {j}

, где

i, j = 1… 3. {\ displaystyle i, j = 1 \ dots 3 \,.}

i, j = 1 \ точки 3 \,.

$N {\ displaystyle N}$ $N$ и $N i {\ displaystyle N ^ {i}}$ $N^{i}$ являются функциями пространственно-временных координат и могут выбираться произвольно в каждой точке. Остальные физические степени свободы содержатся в $γ ij {\ displaystyle \ gamma _ {ij}}$ $\ gamma _ {ij}$ , который представляет риманову метрику на 3-гиперповерхностях $t = const {\ displaystyle t = const}$ $t=const$ . Например, наивный выбор $N = 1 {\ displaystyle N = 1}$ $N = 1$ , $N i = 0 {\ displaystyle N_ {i} = 0}$ $N_{i}=0$ будет соответствовать так- называется синхронной системой координат: та, где t-координата совпадает с собственным временем для любого сопутствующего наблюдателя (частица, которая движется по фиксированному $xi {\ displaystyle x ^ {i}}$ $x ^ {i}$ траектории.)

После того, как выбраны уравнения состояния и установлен калибр, можно решить полную систему уравнений для. К сожалению, даже в простейшем случае гравитационного поля в вакууме (исчезающий тензор энергии-импульса) задача оказывается слишком сложной, чтобы ее можно было точно решить. Для получения физических результатов мы можем обратиться к численным методам ; попробуйте найти точные решения, наложив симметрии ; или попробуйте альтернативные подходы, такие как методы возмущений или линейные аппроксимации тензора Эйнштейна.

Точные решения

Точные решения - это метрики Лоренца, которые соответствующие физически реалистичному тензору энергии-напряжения и получаемые путем решения EFE точно в закрытой форме.

Внешняя ссылка

Статья в Scholarpedia по теме написана

Non- точные решения

Те решения, которые не являются точными, называются неточными решениями. Такие решения в основном возникают из-за сложности решения УЭФ в замкнутой форме и часто принимают форму приближений к идеальным системам. Многие неточные решения могут быть лишены физического содержания, но служат полезными контрпримерами к теоретическим предположениям.

Аль Момин утверждает, что Курт Гёдель решил эти уравнения не описывать нашу Вселенную и, следовательно, являются приближениями.

Приложения

Существуют практические а также теоретические основания для изучения решений уравнений поля Эйнштейна.

С чисто математической точки зрения интересно знать множество решений уравнений поля Эйнштейна. Некоторые из этих решений параметризуются одним или несколькими параметрами.

См. Также

Исчисление Риччи

Ссылки

J.A. Уиллер; К. Миснер; К.С. Торн (1973). Гравитация. W.H. Freeman Co. ISBN 0-7167-0344-0.
J.A. Уиллер; И. Чуфолини (1995). Гравитация и инерция. Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-03323-5.
R.J.A. Ламбурн (2010). Относительность, гравитация и космология. Открытый университет, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-13138-4.