Формализм ADM

редактировать
Ричард Арновитт, Стэнли Дезер и Чарльз Миснер в ADM-50: A Празднование конференции Current GR Innovation, проведенной в ноябре 2009 года в честь 50-летия их статьи.

Формализм ADM(назван в честь его авторов Ричард Арновитт, Стэнли Дезер и Charles W. Misner ) - это гамильтонова формулировка общей теории относительности, которая играет важную роль в канонической квантовой гравитации и числовой относительность. Впервые он был опубликован в 1959 году.

Исчерпывающий обзор формализма, опубликованный авторами в 1962 году, был перепечатан в журнале Общая теория относительности и гравитации, а оригинальные статьи можно найти в архивы Physical Review.

Содержание

  • 1 Обзор
  • 2 Обозначение
  • 3 Выведение
    • 3.1 Лагранжева формулировка
    • 3.2 Уравнения движения
  • 4 Приложения
    • 4.1 Применение к квантовой гравитации
    • 4.2 Применение к численным решениям уравнений Эйнштейна
  • 5 Энергия и масса ADM
  • 6 Применение к модифицированной гравитации
  • 7 Противоречие
  • 8 См. также
  • 9 Примечания
  • 10 Ссылки

Обзор

Формализм предполагает, что пространство-время расслоено на семейство пространственноподобных поверхностей Σ t {\ displaystyle \ Sigma _ {t }}\ Sigma _ {t} , помеченные их временной координатой t {\ displaystyle t}t , и координатами на каждом срезе, заданными как xi {\ displaystyle x ^ {i} }x ^ {i} . В качестве динамических переменных этой теории берется метрический тензор трехмерных пространственных срезов γ ij (t, xk) {\ displaystyle \ gamma _ {ij} (t, x ^ {k })}\ gamma _ {{ij}} (t, x ^ {k}) и их сопряженные импульсы π ij (t, xk) {\ displaystyle \ pi ^ {ij} (t, x ^ {k})}\ pi ^ {{ij}} (t, x ^ {k}) . Используя эти переменные, можно определить гамильтониан и тем самым записать уравнения движения для общей теории относительности в форме уравнений Гамильтона.

В дополнение к двенадцати переменным γ ij {\ displaystyle \ gamma _ {ij}}\ gamma _ {ij} и π ij {\ displaystyle \ pi ^ {ij}}\ pi ^ {{ij}} , существует четыре множителя Лагранжа : N {\ displaystyle N}N и компоненты, N i {\ displaystyle N_ {i}}N_ { i} . Они описывают, как каждый из «листьев» Σ t {\ displaystyle \ Sigma _ {t}}\ Sigma _ {t} слоения пространства-времени сваривается вместе. Уравнения движения для этих переменных можно задавать произвольно; эта свобода соответствует свободе указывать, как расположить систему координат в пространстве и времени.

Нотация

В большинстве ссылок используется нотация, в которой четырехмерные тензоры записываются в абстрактной индексной нотации и что греческие индексы являются индексами пространства-времени, принимающими значения (0, 1, 2, 3) и латинскими индексами. - пространственные индексы, принимающие значения (1, 2, 3). В выводе здесь верхний индекс (4) добавляется к величинам, которые обычно имеют как трехмерную, так и четырехмерную версию, например метрический тензор для трехмерных срезов gij {\ displaystyle g_ {ij} }g_ {ij} и метрический тензор для полного четырехмерного пространства-времени (4) g μ ν {\ displaystyle {^ {(4)}} g _ {\ mu \ nu}}{^ {{(4)}}} g _ {{\ mu \ nu}} .

В тексте здесь используется нотация Эйнштейна, в которой предполагается суммирование по повторяющимся индексам.

Используются два типа производных: Частные производные обозначаются либо оператором ∂ i {\ displaystyle \ partial _ {i}}\ partial _ {{i}} , либо нижние индексы, которым предшествует запятая. Ковариантные производные обозначаются либо оператором ∇ i {\ displaystyle \ nabla _ {i}}\ nabla _ {{i}} , либо нижними индексами, перед которыми ставится точка с запятой.

Абсолютное значение детерминанта матрицы коэффициентов метрического тензора представлено как g {\ displaystyle g}g (без индексов). Другие тензорные символы, написанные без индексов, представляют след соответствующего тензора, например π = gij π ij {\ displaystyle \ pi = g ^ {ij} \ pi _ {ij}}\ pi = g ^ { {ij}} \ pi _ {{ij}} .

Вывод

Лагранжиан

Отправной точкой для формулировки ADM является лагранжиан

L = (4) R (4) g, {\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {^ { (4)} R} {\ sqrt {^ {(4)} g}},}{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {^ {(4)} R} {\ sqrt {^ {(4)} g}},}

который является произведением квадратного корня из детерминанта четырехмерной метрики тензор для всего пространства-времени и его скаляр Риччи. Это лагранжиан из действия Эйнштейна – Гильберта.

. Желаемый результат вывода - определить вложение трехмерных пространственных срезов в четырехмерное пространство-время. Метрикой трехмерных срезов

gij = (4) gij {\ displaystyle g_ {ij} = {^ {(4)}} g_ {ij}}{\ displaystyle g_ {ij} = {^ {(4)}} g_ {ij}}

будут обобщенные координаты для гамильтоновой постановки. сопряженные импульсы затем могут быть вычислены как

π ij = (4) g ((4) Γ pq 0 - gpq (4) Γ rs 0 grs) gipgjq, {\ displaystyle \ pi ^ { ij} = {\ sqrt {^ {(4)} g}} \ left ({^ {(4)}} \ Gamma _ {pq} ^ {0} -g_ {pq} {^ {(4)}} \ Gamma _ {rs} ^ {0} g ^ {rs} \ right) g ^ {ip} g ^ {jq},}{\ displaystyle \ pi ^ {ij} = {\ sqrt {^ {(4)} g}} \ left ({^ {(4)}} \ Gamma _ {pq} ^ {0} -g_ {pq} {^ {(4)}} \ Gamma _ {rs} ^ {0} g ^ {rs} \ right) g ^ {ip} g ^ {jq},}

с использованием стандартных методов и определений. Символы (4) Γ ij 0 {\ displaystyle {^ {(4)}} \ Gamma _ {ij} ^ {0}}{^ {{(4)}}} \ Gamma _ {{ij}} ^ {0} являются символами Кристоффеля, связанными с метрика полного четырехмерного пространства-времени. Промежуток

N = (- (4) g 00) - 1/2 {\ displaystyle N = \ left (- {^ {(4)} g ^ {00}} \ right) ^ {- 1/2 }}{\ displaystyle N = \ left (- {^ {(4)} g ^ {00}} \ right) ^ {- 1/2} }

и вектор сдвига

N i = (4) g 0 i {\ displaystyle N_ {i} = {^ {(4)} g_ {0i}}}{\ displaystyle N_ {i} = {^ {(4)} g_ {0i}} }

являются оставшимися элементами четырехметрический тензор.

После определения величин для формулировки следующий шаг - переписать лагранжиан в терминах этих переменных. Новое выражение для лагранжиана

L = - gij ∂ t π ij - NH - N i P i - 2 ∂ i (π ij N j - 1 2 π N i + ∇ i N g) {\ displaystyle {\ mathcal {L}} = - g_ {ij} \ partial _ {t} \ pi ^ {ij} -NH-N_ {i} P ^ {i} -2 \ partial _ {i} \ left (\ pi ^ { ij} N_ {j} - {\ frac {1} {2}} \ pi N ^ {i} + \ nabla ^ {i} N {\ sqrt {g}} \ right)}{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = - g_ {ij} \ partial _ {t} \ pi ^ {ij} -NH-N_ {i} P ^ {i} -2 \ partial _ {i} \ left (\ pi ^ {ij } N_ {j} - {\ frac {1} {2}} \ pi N ^ {i} + \ nabla ^ {i} N {\ sqrt {g}} \ right)}

удобно записать в члены двух новых величин

H = - g [(3) R + g - 1 (1 2 π 2 - π ij π ij)] {\ displaystyle H = - {\ sqrt {g}} \ left [ ^ {(3)} R + g ^ {- 1} \ left ({\ frac {1} {2}} \ pi ^ {2} - \ pi ^ {ij} \ pi _ {ij} \ right) \ справа]}{\ displaystyle H = - {\ sqrt { g}} \ left [^ {(3)} R + g ^ {- 1} \ left ({\ frac {1} {2}} \ pi ^ {2} - \ pi ^ {ij} \ pi _ { ij} \ right) \ right]}

и

P i = - 2 π ij; j, {\ displaystyle P ^ {i} = - 2 \ pi ^ {ij} {} _ {; j},}{\ displaystyle P ^ {i} = - 2 \ pi ^ {ij} {} _ {; j},}

, которые известны как гамильтоново ограничение и ограничение по импульсу соответственно. Промежуток и сдвиг появляются в лагранжиане как множители Лагранжа.

Уравнения движения

Хотя переменные в лагранжиане представляют метрический тензор на трехмерных пространствах, встроенных в четырехмерного пространства-времени, можно и желательно использовать обычные процедуры из лагранжевой механики для вывода «уравнений движения», которые описывают временную эволюцию как метрики gij {\ displaystyle g_ {ij}}g_ {ij} и его сопряженный импульс π ij {\ displaystyle \ pi ^ {ij}}\ pi ^ {{ij}} . Результат

∂ t g i j = 2 N g (π i j - 1 2 π g i j) + N i; j + N j; я {\ displaystyle \ partial _ {t} g_ {ij} = {\ frac {2N} {\ sqrt {g}}} \ left (\ pi _ {ij} - {\ tfrac {1} {2}} \ pi g_ {ij} \ right) + N_ {i; j} + N_ {j; i}}{\ displaystyle \ partial _ {t} g_ {ij} = {\ frac {2N} {\ sqrt {g}}} \ left (\ pi _ {ij} - {\ tfrac {1} {2}} \ pi g_ {ij} \ вправо) + N_ {i; j} + N_ {j; i}}

и

∂ t π ij = - N g (R ij - 1 2 R gij) + N 2 ggij (π mn π mn - 1 2 π 2) - 2 N g (π in π nj - 1 2 π π ij) + g (∇ i ∇ j N - gij ∇ n ∇ n N) + ∇ n (π ij N n) - N i; n π n j - N j; n π ni {\ displaystyle {\ begin {align} \ partial _ {t} \ pi ^ {ij} = & - N {\ sqrt {g}} \ left (R ^ {ij} - {\ tfrac {1} {2}} Rg ^ {ij} \ right) + {\ frac {N} {2 {\ sqrt {g}}}} g ^ {ij} \ left (\ pi ^ {mn} \ pi _ {mn} - {\ tfrac {1} {2}} \ pi ^ {2} \ right) - {\ frac {2N} {\ sqrt {g}}} \ left (\ pi ^ {in} {\ pi _ {n }} ^ {j} - {\ tfrac {1} {2}} \ pi \ pi ^ {ij} \ right) \\ & + {\ sqrt {g}} \ left (\ nabla ^ {i} \ nabla ^ {j} Ng ^ {ij} \ nabla ^ {n} \ nabla _ {n} N \ right) + \ nabla _ {n} \ left (\ pi ^ {ij} N ^ {n} \ right) - {N ^ {i}} _ {; n} \ pi ^ {nj} - {N ^ {j}} _ {; n} \ pi ^ {ni} \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {выровнено} \ partial _ {t} \ pi ^ {ij} = & - N {\ sqrt {g}} \ left (R ^ {ij} - {\ tfrac {1} {2}} Rg ^ {ij} \ right) + {\ frac {N} {2 {\ sqrt {g}}}} g ^ {ij} \ left (\ pi ^ {mn} \ pi _ {mn} - {\ tfrac {1} {2 }} \ pi ^ {2} \ right) - {\ frac {2N} {\ sqrt {g}}} \ left (\ pi ^ {in} {\ pi _ {n}} ^ {j} - {\ tfrac {1} {2}} \ pi \ pi ^ {ij} \ right) \\ & + {\ sqrt {g}} \ left (\ nabla ^ {i} \ nabla ^ {j} Ng ^ {ij} \ nabla ^ {n} \ nabla _ {n} N \ right) + \ nabla _ {n} \ left (\ pi ^ {ij} N ^ {n} \ right) - {N ^ {i}} _ { ; n} \ pi ^ {nj} - {N ^ {j}} _ {; n} \ pi ^ {ni} \ end {align}}}

- это нелинейное набор дифференциальных уравнений в частных производных.

Взятие вариаций относительно пропуска и сдвига дает уравнения связи

H = 0 {\ displaystyle H = 0}H = 0

и

P i = 0, {\ displaystyle P ^ {i} = 0,}{\ displaystyle P ^ {i} = 0,}

и сами интервал и сдвиг могут задаваться произвольно, что отражает тот факт, что системы координат можно свободно задавать как в пространстве, так и во времени.

Приложения

Применение к квантовой гравитации

Используя формулировку ADM, можно попытаться построить квантовую теорию гравитации таким же образом что строится уравнение Шредингера, соответствующее данному гамильтониану в квантовой механике. То есть заменить канонические импульсы π ij (t, xk) {\ displaystyle \ pi ^ {ij} (t, x ^ {k})}{\ displaystyle \ pi ^ {ij} (t, x ^ {k})} и пространственные метрические функции линейным функционалом дифференциальные операторы

g ^ ij (t, xk) ↦ gij (t, xk), {\ displaystyle {\ hat {g}} _ {ij} (t, x ^ {k}) \ mapsto g_ {ij} (t, x ^ {k}),}{ \ displaystyle {\ hat {g}} _ {ij} (t, x ^ {k}) \ mapsto g_ {ij} (t, x ^ {k}),}
π ^ ij (t, xk) ↦ - i δ δ gij (t, xk). {\ displaystyle {\ hat {\ pi}} ^ {ij} (t, x ^ {k}) \ mapsto -i {\ frac {\ delta} {\ delta g_ {ij} (t, x ^ {k} )}}.}{\ displaystyle {\ hat {\ pi}} ^ {ij} (t, x ^ {k}) \ mapsto -i {\ frac {\ delta} {\ delta g_ {ij} (t, x ^ {k})}}.}

Точнее, замена классических переменных операторами ограничивается коммутационными соотношениями. Шляпы представляют операторов в квантовой теории. Это приводит к уравнению Уиллера – ДеВитта.

Применение к численным решениям уравнений Эйнштейна

Существует относительно немного известных точных решений уравнений поля Эйнштейна. Для поиска других решений существует активная область исследований, известная как численная теория относительности, в которой суперкомпьютеры используются для поиска приближенных решений уравнений. Чтобы построить такие решения численно, большинство исследователей начинают с формулировки уравнений Эйнштейна, тесно связанных с формулировкой ADM. Наиболее распространенные подходы начинаются с задачи начального значения, основанной на формализме ADM.

В гамильтоновых формулировках основным моментом является замена системы уравнений второго порядка другой системой уравнений первого порядка. Мы можем легко получить эту вторую систему уравнений с помощью гамильтоновой формулировки. Конечно, это очень полезно для числовой физики, потому что уменьшение порядка дифференциальных уравнений часто удобно, если мы хотим подготовить уравнения для компьютера.

Энергия и масса ADM

Энергия ADM - это специальный способ определения энергии в общей теории относительности, который применим только к некоторым специальным геометриям. пространства-времени, которые асимптотически приближаются к четко определенному метрическому тензору на бесконечности - например, пространство-время, которое асимптотически приближается к пространству Минковского. Энергия ADM в этих случаях определяется как функция отклонения метрического тензора от его заданной асимптотики. Другими словами, энергия ADM вычисляется как сила гравитационного поля на бесконечности.

Если требуемая асимптотика не зависит от времени (например, само пространство Минковского), то она учитывает трансляционную во времени симметрию. Теорема Нётер затем подразумевает, что энергия ADM сохраняется. Согласно общей теории относительности, закон сохранения полной энергии не выполняется в более общих, зависящих от времени фонах - например, он полностью нарушается в физической космологии. Космическая инфляция, в частности, способна производить энергию (и массу) из «ничего», потому что плотность энергии вакуума примерно постоянна, но объем Вселенной растет экспоненциально.

Применение к модифицированной гравитации

Используя разложение ADM и вводя дополнительные вспомогательные поля, в 2009 г. Deruelle et al. нашел способ найти граничный член Гиббонса – Хокинга – Йорка для модифицированных теорий гравитации, «чей лагранжиан является произвольной функцией тензора Римана».

Противоречие

В 2008 году Кирищева и Кузьмин опубликовали формальное опровержение четырех традиционных мудростей, окружающих формализм ADM, в частности, что только в гамильтоновом формализме Дирака, а не в формализме ADM, правильная инвариантность диффеоморфизма может быть восстановлена ​​с помощью канонических преобразований.. Различие в канонической структуре гамильтоновых формализмов Дирака и ADM является продолжающимся спором, которое еще предстоит завершить в физической литературе.

См. Также

Примечания

Ссылки

Последняя правка сделана 2021-06-07 19:45:15
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте