Войти
Численная теория относительности - это один из разделов общей теории относительности, который использует численные методы и алгоритмы для решения и анализа проблем. С этой целью, суперкомпьютеры часто используются для изучения черных дыр, гравитационные волны, нейтронные звезды и многие другие явления, управляемые Эйнштейна теории общей относительности. В настоящее время активной областью исследований в области численной теории относительности является моделирование релятивистских двойных систем и связанных с ними гравитационных волн.
Основная цель численной теории относительности - изучение пространств-времени, точная форма которых неизвестна. Пространство-время, найденное таким образом с помощью вычислений, может быть полностью динамическим, стационарным или статическим и может содержать поля материи или вакуум. В случае стационарных и статических решений численные методы также могут использоваться для исследования устойчивости равновесных пространственных времен. В случае динамического пространства-времени проблема может быть разделена на проблему начального значения и проблему эволюции, каждая из которых требует различных методов.
Численная теория относительности применяется ко многим областям, таким как космологические модели, критические явления, возмущенные черные дыры и нейтронные звезды, а также, например, слияние черных дыр и нейтронных звезд. В любом из этих случаев уравнения Эйнштейна могут быть сформулированы несколькими способами, которые позволяют нам развивать динамику. В то время как методы Коши привлекли к себе наибольшее внимание, также использовались методы, основанные на характеристическом исчислении и исчислении Редже. Все эти методы начинаются с моментального снимка гравитационных полей на некоторой гиперповерхности, исходных данных, и передают эти данные на соседние гиперповерхности.
Как и во всех задачах численного анализа, особое внимание уделяется устойчивости и сходимости численных решений. В этой линии большое внимание уделяется калибровочным условиям, координатам и различным формулировкам уравнений Эйнштейна, а также их влиянию на возможность получения точных численных решений.
Численное исследование относительности отличается от работы над классическими теориями поля, поскольку многие методы, применяемые в этих областях, неприменимы в теории относительности. Однако многие аспекты связаны с крупномасштабными проблемами в других вычислительных науках, таких как вычислительная гидродинамика, электромагнетизм и механика твердого тела. Численные релятивисты часто работают с прикладными математиками и черпают идеи из численного анализа, научных вычислений, уравнений в частных производных и геометрии среди других математических областей специализации.
Альберт Эйнштейн опубликовал свою общую теорию относительности в 1915 году. В ней, как и в его более ранней специальной теории относительности, пространство и время описывались как единое пространство-время, подчиненное тому, что теперь известно как уравнения поля Эйнштейна. Они образуют набор связанных нелинейных уравнений в частных производных (PDE). По прошествии более чем 100 лет с момента первой публикации теории для уравнений поля известно относительно немного решений в замкнутой форме, и большинство из них являются космологическими решениями, которые предполагают особую симметрию, чтобы уменьшить сложность уравнений.
Область численной теории относительности возникла из желания построить и изучить более общие решения уравнений поля путем приближенного численного решения уравнений Эйнштейна. Необходимым предшественником таких попыток было разложение пространства-времени на отдельные пространство и время. Впервые это было опубликовано Ричардом Арновиттом, Стэнли Дезером и Чарльзом Миснером в конце 1950-х годов в так называемом формализме ADM. Хотя по техническим причинам точные уравнения, сформулированные в исходной статье ADM, редко используются в численном моделировании, большинство практических подходов к численной теории относительности используют «3 + 1 разложение» пространства-времени на трехмерное пространство и одномерное время, которое тесно связано к формулировке ADM, потому что процедура ADM переформулирует уравнения поля Эйнштейна в задачу с ограниченным начальным значением, которую можно решить с помощью вычислительных методологий.
В то время, когда ADM опубликовала свою оригинальную статью, компьютерные технологии не поддерживали численное решение их уравнений по какой-либо проблеме любого существенного размера. Первая задокументированная попытка численного решения уравнений поля Эйнштейна, по-видимому, была предпринята Ганом и Линдквистом в 1964 году, а вскоре после этого последовали Смарр и Эппли. Эти ранние попытки были сосредоточены на развитии данных Миснера в осесимметрии (также известной как «измерение 2 + 1»). Примерно в то же время Цви Пиран написал первый код, который развил систему с гравитационным излучением с использованием цилиндрической симметрии. В этом расчете Пиран заложил основу для многих концепций, используемых сегодня при разработке уравнений ADM, таких как «свободная эволюция» против «эволюции с ограничениями», которые имеют дело с фундаментальной проблемой обработки уравнений связей, возникающих в формализме ADM. Применение симметрии снизило вычислительные требования и требования к памяти, связанные с проблемой, что позволило исследователям получать результаты на суперкомпьютерах, доступных в то время.
Первые реалистичные расчеты вращающегося коллапса были выполнены в начале 80-х Ричардом Старком и Цви Пираном, в которых впервые были рассчитаны гравитационные волны, возникающие в результате образования вращающейся черной дыры. В течение почти 20 лет после получения первоначальных результатов было довольно мало других опубликованных результатов по численной теории относительности, вероятно, из-за отсутствия достаточно мощных компьютеров для решения этой проблемы. В конце 1990-х Альянс Большого Вызова Бинарных Черных Дыр успешно смоделировал лобовое столкновение бинарных черных дыр. В качестве шага постобработки группа вычислила горизонт событий для пространства-времени. Этот результат все еще требовал наложения и использования осесимметрии в расчетах.
Некоторые из первых задокументированных попыток решить уравнения Эйнштейна в трех измерениях были сосредоточены на одной черной дыре Шварцшильда, которая описывается статическим и сферически-симметричным решением уравнений поля Эйнштейна. Это отличный тестовый пример в численной теории относительности, потому что у него есть решение в замкнутой форме, так что численные результаты можно сравнивать с точным решением, потому что оно статично и потому что оно содержит одну из наиболее сложных в численном отношении особенностей теории относительности. физическая особенность. Одной из первых групп, пытавшихся смоделировать это решение, была Anninos et al. в 1995 году. В своей статье они отмечают, что
В последующие годы не только компьютеры стали более мощными, но и различные исследовательские группы разработали альтернативные методы для повышения эффективности вычислений. Что касается конкретно моделирования черных дыр, были разработаны два метода, позволяющие избежать проблем, связанных с существованием физических сингулярностей в решениях уравнений: (1) иссечение и (2) метод «прокола». Кроме того, группа Lazarus разработала методы использования первых результатов краткосрочного моделирования, решающего нелинейные уравнения ADM, чтобы предоставить начальные данные для более стабильного кода, основанного на линеаризованных уравнениях, полученных из теории возмущений. В более общем плане, методы адаптивного уточнения сетки, уже используемые в вычислительной гидродинамике, были введены в область численной теории относительности.
В технике вырезания, которая была впервые предложена в конце 1990-х годов, часть пространства-времени внутри горизонта событий, окружающего сингулярность черной дыры, просто не эволюционирует. Теоретически это не должно влиять на решение уравнений за пределами горизонта событий из-за принципа причинности и свойств горизонта событий (т.е. ничто физическое внутри черной дыры не может влиять на физику за пределами горизонта). Таким образом, если кто-то просто не решает уравнения внутри горизонта, он все равно должен иметь возможность получать действительные решения снаружи. Один «вырезает» внутреннюю часть, накладывая входящие граничные условия на границу, окружающую сингулярность, но внутри горизонта. Хотя иссечение было очень успешным, у этого метода есть две незначительные проблемы. Во-первых, нужно быть осторожным с условиями координат. Хотя физические эффекты не могут распространяться изнутри наружу, координированные эффекты могут. Например, если условия координат были эллиптическими, изменения координат внутри могли бы мгновенно распространяться за горизонт. Тогда это означает, что для распространения координатных эффектов необходимы условия координат гиперболического типа с характеристическими скоростями, меньшими, чем у света (например, с использованием координатных условий гармонических координат). Вторая проблема заключается в том, что по мере движения черных дыр необходимо постоянно корректировать положение области вырезания, чтобы она двигалась вместе с черной дырой.
Техника иссечения разрабатывалась в течение нескольких лет, включая разработку новых калибровочных условий, которые повышали стабильность и работу, демонстрирующую способность областей вырезания перемещаться по вычислительной сетке. Первая стабильная долгосрочная эволюция орбиты и слияние двух черных дыр с использованием этой техники было опубликовано в 2005 году.
В методе прокола решение разбивается на аналитическую часть, которая содержит сингулярность черной дыры, и численно построенную часть, которая затем не содержит сингулярностей. Это обобщение рецепта Брилла-Линдквиста для начальных данных о черных дырах в состоянии покоя и может быть обобщено до рецепта Боуэна-Йорка для начальных данных вращения и движения черных дыр. До 2005 года все опубликованные методы использования проколов требовали, чтобы координаты всех проколов оставались фиксированными во время моделирования. Конечно, черные дыры в непосредственной близости друг от друга будут стремиться двигаться под действием силы тяжести, поэтому тот факт, что координаты точки прокола оставались фиксированными, означал, что сами системы координат стали «растянутыми» или «скрученными», и это обычно приводило к числовым неустойчивостям на каком-то этапе моделирования.
В 2005 году исследователи впервые продемонстрировали способность проколов перемещаться по системе координат, тем самым устранив некоторые из ранее существовавших проблем с этим методом. Это позволило точно определить долгосрочную эволюцию черных дыр. Выбрав подходящие координатные условия и сделав грубое аналитическое предположение о полях вблизи сингулярности (поскольку никакие физические эффекты не могут распространяться из черной дыры, грубость приближений не имеет значения), можно получить численные решения проблемы двух черных дыр. дыры, вращающиеся друг вокруг друга, а также точный расчет гравитационного излучения (ряби в пространстве-времени), испускаемого ими.
Проект Lazarus (1998–2005) был разработан как методика после Большого Вызова для извлечения астрофизических результатов из короткоживущих полных численных моделей двойных черных дыр. Он объединил методы аппроксимации до (постньютоновские траектории) и после (возмущения одиночных черных дыр) с полным численным моделированием, пытающимся решить уравнения поля общей теории относительности. Все предыдущие попытки численно интегрировать в суперкомпьютерах уравнения Гильберта-Эйнштейна, описывающие гравитационное поле вокруг двойных черных дыр, привели к сбою программного обеспечения до того, как была завершена одна орбита.
Тем временем подход Лазаруса дал лучшее понимание проблемы двойной черной дыры и дал многочисленные и относительно точные результаты, такие как излучаемая энергия и угловой момент, испускаемый в последнем состоянии слияния, линейный импульс, излучаемый дырами с неравной массой, и окончательная масса и вращение остаточной черной дыры. Этот метод также детально рассчитал гравитационные волны, излучаемые процессом слияния, и предсказал, что столкновение черных дыр является самым энергичным единичным событием во Вселенной, высвобождая за доли секунды больше энергии в форме гравитационного излучения, чем вся галактика в его время жизни.
Адаптивное уточнение сетки (AMR) как численный метод имеет корни, которые выходят далеко за рамки его первого применения в области численной теории относительности. Измельчение сетки впервые появляется в численной относительности литературе в 1980 - й год, благодаря работе Чоптюка в своих исследованиях критического коллапса в скалярных полей. Первоначальная работа была в одном измерении, но впоследствии она была расширена до двух измерений. В двух измерениях AMR также применялся для изучения неоднородных космологий и для изучения черных дыр Шварцшильда. Этот метод теперь стал стандартным инструментом в численной теории относительности и использовался для изучения слияния черных дыр и других компактных объектов в дополнение к распространению гравитационного излучения, порождаемого такими астрономическими событиями.
За последние несколько лет были опубликованы сотни научных работ, приведших к широкому спектру математических теорий относительности, гравитационных волн и астрофизических результатов для проблемы орбитальной черной дыры. Этот метод распространился на астрофизические двойные системы, включающие нейтронные звезды и черные дыры, а также множественные черные дыры. Одно из самых удивительных предсказаний заключается в том, что слияние двух черных дыр может дать остаточной дыре скорость до 4000 км / с, что позволит ей покинуть любую известную галактику. Моделирование также предсказывает огромное высвобождение гравитационной энергии в этом процессе слияния, составляющее до 8% от его общей массы покоя.
