Решение лямбдавакуума

редактировать

В общей теории относительности решение лямбдавакуума является точным решением к уравнению поля Эйнштейна, в котором единственным членом в тензоре энергии-импульса является член космологической постоянной. Физически это можно интерпретировать как своего рода классическое приближение к ненулевой энергии вакуума. Они обсуждаются здесь в отличие от вакуумных решений, в которых космологическая постоянная обращается в нуль.

Терминологическое примечание: эта статья касается стандартного понятия, но, очевидно, нет стандартного термина для обозначения этого понятия, поэтому мы попытались предоставить его в интересах Википедии.

Содержание

1 Математическое определение
2 Физическая интерпретация
3 Тензор Эйнштейна
4 Собственные значения
5 Связь с многообразиями Эйнштейна
6 Примеры
7 См. Также

Математическое определение

Уравнение поля Эйнштейна часто записывается как

G ab + Λ gab = 8 π T ab, {\ displaystyle G ^ {ab} + \ Lambda \, g ^ {ab} = 8 \ pi \, T ^ {ab },}

G ^ { {ab}} + \ Lambda \, g ^ {{ab}} = 8 \ pi \, T ^ {{ab}},

с так называемым космологическим постоянным членом $Λ gab {\ displaystyle \ Lambda \, g ^ {ab}}$ $\ Lambda \, g ^ {{ab}}$ . Однако можно переместить этот член в правую сторону и поглотить его в тензор энергии-напряжения $T ab {\ displaystyle T ^ {ab}}$ $T ^ {{ab}}$ , так что космологический постоянный член становится просто еще одним вкладом в тензор энергии-импульса. Когда другие вклады в этот тензор исчезают, результат

G a b = - Λ g a b {\ displaystyle G ^ {ab} = - \ Lambda \, g ^ {ab}}

G ^ {{ab}} = - \ Lambda \, g ^ {{ab}}

является лямбдавакуумом. Эквивалентная формулировка в терминах тензора Риччи :

R a b = (R / 2 - Λ) g a b. {\ displaystyle R ^ {ab} = \ left (R / 2- \ Lambda \ right) \, g ^ {ab}.}

R ^ { {ab}} = \ left (R / 2- \ Lambda \ right) \, g ^ {{ab}}.

Физическая интерпретация

Ненулевой член космологической постоянной можно интерпретировать как члены ненулевой энергии вакуума. Возможны два случая:

$Λ>0 {\ displaystyle \ Lambda>0}$ $\Lambda>0$ : положительная плотность энергии вакуума и отрицательное давление вакуума (изотропное всасывание), как в пространстве де Ситтера,
$Λ < 0 {\displaystyle \Lambda <0}$ $\ Lambda <0$ : отрицательная плотность энергии вакуума и положительный вакуум давление, как в пространстве анти-де Ситтера.

Идея вакуума, имеющего плотность энергии, может показаться возмутительной, но это имеет смысл в квантовой теории поля. Действительно, ненулевые энергии вакуума могут быть даже экспериментально проверены в Эффект Казимира.

тензор Эйнштейна

Компоненты тензора, вычисленные относительно поля кадра , а не базиса координат, часто называют физическими компонентами, потому что это компоненты который (в принципе) может быть измерен наблюдателем. Кадр состоит из четырех единичных векторных полей

e → 0, e → 1, e → 2, e → 3 {\ displaystyle {\ vec {e}} _ {0}, \; {\ vec {e}} _ {1}, \; {\ vec {e}} _ {2}, \; {\ vec {e}} _ {3}}

{\ vec {e}} _ {0}, \; {\ vec {e }} _ {1}, \; {\ vec {e}} _ {2}, \; {\ vec {e}} _ {3}

Здесь первое - это времяподобное единичное векторное поле, а остальные - пространственноподобные единичные векторные поля, и $e → 0 {\ displaystyle {\ vec {e}} _ { 0}}$ ${\ vec { e}} _ {0}$ везде ортогонален мировым линиям семейства наблюдателей (не обязательно инерциальных наблюдателей).

Примечательно, что в случае лямбдавакуума все наблюдатели измеряют одинаковую плотность энергии и одинаковое (изотропное) давление. То есть тензор Эйнштейна принимает вид

G a ^ b ^ = - Λ [- 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1] {\ displaystyle G ^ {{\ hat {a }} {\ hat {b}}} = - \ Lambda \, \ left [{\ begin {matrix} -1 0 0 0 \\ 0 1 0 0 \\ 0 0 1 0 \\ 0 0 0 1 \ end {matrix}} \ right]}

G ^ {{{\ hat {a}} {\ hat {b}}}} = - \ Lambda \, \ left [{\ begin {matrix} -1 0 0 0 \\ 0 1 0 0 \\ 0 0 1 0 \\ 0 0 0 1 \ end {matrix}} \ right]

Высказывание То, что этот тензор принимает одну и ту же форму для всех наблюдателей, - это то же самое, что сказать, что группа изотропии лямбдавакуума - это SO (1,3), полная группа Лоренца.

Собственные значения

характеристический многочлен тензора Эйнштейна лямбдавакуума должен иметь вид

χ (ζ) = (ζ + Λ) 4 {\ displaystyle \ chi (\ zeta) = \ left ( \ zeta + \ Lambda \ right) ^ {4}}

\ chi (\ zeta) = \ left (\ zeta + \ Lambda \ right) ^ {4}

Используя тождества Ньютона, это условие может быть перевыражено в терминах следов сил Эйнштейна тензор как

t 2 = t 1 2/4, t 3 = t 1 3/16, t 4 = t 1 4/64 {\ displaystyle t_ {2} = t_ {1} ^ {2} / 4, \; t_ {3} = t_ {1} ^ {3} / 16, \; t_ {4} = t_ {1} ^ {4} / 64}

t_ {2} = t_ {1} ^ {2} / 4, \; t_ {3} = t_ {1 } ^ {3} / 16, \; t_ {4} = t_ {1} ^ {4} / 64

где

t 1 = G aa, t 2 = G ab G ba, t 3 = G ab G bc G ca, t 4 = G ab G bc G cd G da {\ displaystyle t_ {1} = {G ^ {a}} _ {a}, \; t_ {2} = {G ^ {a}} _ {b} \, {G ^ {b}} _ {a}, \; t_ {3} = {G ^ {a}} _ {b} \, {G ^ {b}} _ {c} \, {G ^ {c}} _ {a}, \ ; t_ {4} = {G ^ {a}} _ {b} \, {G ^ {b}} _ {c} \, {G ^ {c}} _ {d} \, {G ^ {d }} _ {a}}

t_ {1} = {G ^ {a }} _ {a}, \; t_ {2} = {G ^ {a}} _ {b} \, {G ^ {b}} _ {a}, \; t_ {3} = {G ^ { a}} _ {b} \, {G ^ {b}} _ {c} \, {G ^ {c}} _ {a}, \; t_ {4} = {G ^ {a}} _ { b} \, {G ^ {b}} _ {c} \, {G ^ {c}} _ {d} \, {G ^ {d}} _ {a}

- следы степеней линейного оператора, соответствующего тензору Эйнштейна, имеющему второй ранг.

Связь с многообразиями Эйнштейна

Определение решения лямбдавакуума имеет математический смысл независимо от какой-либо физической интерпретации, а лямбдавакуумы фактически являются частным случаем концепции, которую изучают чистые математики.

Многообразия Эйнштейна - это римановы многообразия, в которых тензор Риччи пропорционален (некоторой константой, если не указано иное) метрическому тензору . Такие многообразия могут иметь неправильную метрическую сигнатуру, чтобы допускать пространственно-временную интерпретацию в общей теории относительности, а также могут иметь неправильную размерность. Но лоренцевы многообразия, которые также являются многообразиями Эйнштейна, являются в точности решениями Лямбдавакуума.

Примеры

Примечательные отдельные примеры решений лямбдавакуума включают:

лямбдавакуум де Ситтера, часто называемый космологической моделью dS,
лямбдавакуум анти-де Ситтера, часто называемая космологической моделью AdS,
Schwarzschild – dS lambdavacuum, которая моделирует сферически-симметричный массивный объект, погруженный во вселенную де Ситтера (и аналогично для AdS),
, вращающееся обобщение последнего,
Nariai lambdavacuum ; это единственное решение в общей теории относительности, кроме решения, которое имеет декартову структуру произведения.

См. также

Точные решения в общей теории относительности