Алгебра Ли

с чередующейся бинарной операцией, удовлетворяющей тождеству Якоби.

В математике, a алгебра Ли (произносится «Ли») - это векторное пространство $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$вместе с операцией , называемой скобкой Ли, чередующимся билинейным отображением $g\; \times \; g\; \to \; g,\; (x,\; y)\; \mapsto \; [x,\; y]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \backslash \; rightarrow\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\},\; \backslash \; (x,\; y)\; \backslash \; mapsto\; [x,\; y]\}$, что удовлетворяет тождеству Якоби. Векторное пространство $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$вместе с этой операцией является неассоциативной алгеброй, что означает, что скобка Ли не обязательно ассоциативные.

алгебры Ли тесно связаны с группами Ли, которые являются группами, которые также являются гладкими многообразиями : любая группа Ли порождает алгебра, которая является ее касательным пространством в единице. И наоборот, любой конечномерной алгебре Ли над действительными или комплексными числами существует соответствующая связная группа Ли, единственная с точностью до конечных покрытий (третья теорема Ли ). Это соответствие позволяет изучать структуру и классификацию групп Ли в терминах алгебр Ли.

В физике группы Ли появляются как группы симметрии физических систем, а их алгебры Ли (касательные векторы рядом с единицей) можно рассматривать как бесконечно малые движения симметрии. Таким образом, алгебры Ли и их представления широко используются в физике, особенно в квантовой механике и физике элементарных частиц.

Простым примером является пространство трехмерных векторов $g\; =\; R\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; =\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\}$с операцией скобок, определенной перекрестным произведением $[x,\; y]\; =\; x\; \times \; y.\; \{\backslash \; displaystyle\; [x,\; y]\; =\; x\; \backslash \; times\; y.\}$Это кососимметрично, поскольку $x\; \times \; y\; =\; -\; y\; \times \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; times\; y\; =\; -y\; \backslash \; times\; x\}$, и вместо ассоциативности он удовлетворяет тождеству Якоби:

$x\; \times \; (y\; \times \; z)\; =\; (x\; \times \; y)\; \times \; z\; +\; y\; \times \; (x\; \times \; z).\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; times\; (y\; \backslash \; times\; z)\; \backslash \; =\; \backslash \; (x\; \backslash \; times\; y)\; \backslash \; times\; z\; \backslash \; +\; \backslash \; y\; \backslash \; times\; (x\; \backslash \; times\; z).\}$

Это алгебра Ли группы Ли вращений пространства, и каждый вектор $v\; \in \; R\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\}$может быть изображен как бесконечно малое вращение вокруг оси v со скоростью, равной величине v. Скобка Ли является мерой некоммутативности между двумя вращениями: поскольку вращение коммутирует само с собой, мы имеем свойство чередования $[x,\; x]\; =\; x\; \times \; x\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; [x,\; x]\; =\; x\; \backslash \; times\; x\; =\; 0\}$.

• 1 История
• 2 Определения
  • 2.1 Определение алгебры Ли
  • 2.2 Генераторы и размерность
  • 2.3 Подалгебры, идеалы и гомоморфизмы
    • 2.3.1 Примеры
  • 2.4 Прямая сумма и полупрямое произведение
  • 2.5 Выводы
    • 2.5.1 Примеры
  • 2.6 Расщепленная алгебра Ли
• 3 Примеры
  • 3.1 Векторные пространства
  • 3.2 Ассоциативная алгебра со скобкой коммутатора
  • 3.3 Специальные матрицы
  • 3.4 Матричные алгебры Ли
  • 3.5 Два d размеры
  • 3.6 Три измерения
  • 3.7 Бесконечные измерения
• 4 Представления
  • 4.1 Определения
  • 4.2 Присоединенное представление
  • 4.3 Цели теории представлений
  • 4.4 Теория представлений в физике
• 5 Структура теория и классификация
  • 5.1 Абелева, нильпотентная и разрешимая
  • 5.2 Простая и полупростая
  • 5.3 Критерий Картана
  • 5.4 Классификация
• 6 Связь с группами Ли
• 7 Действительная форма и комплексификация
• 8 Алгебра Ли с дополнительными структурами
• 9 Кольцо Ли
  • 9.1 Примеры
• 10 См. Также
• 11 Замечания
• 12 Ссылки
• 13 Источники
• 14 Внешние ссылки

Алгебры Ли были введены для изучения концепции бесконечно малых преобразований Мариусом Софусом Ли в 1870-х годах и независимо открыты Вильгельмом Киллингом в 1880-х годах.. Название «алгебра Ли» было дано Германом Вейлем в 1930-х годах; в более старых текстах используется термин бесконечно малая группа.

Определение алгебры Ли

Алгебра Ли - это векторное пространство $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ,\; \{\backslash \; mathfrak\; \{\; g\}\}\}$над некоторым полем F вместе с бинарной операцией $[\cdot ,\; \cdot ]:\; g\; \times \; g\; \to \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; [\backslash ,\; \backslash \; cdot\; \backslash ,,\; \backslash \; cdot\; \backslash ,]:\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$называется скобкой Ли, удовлетворяющей условию следующие аксиомы:

• Билинейность,

$[ax\; +\; by,\; z]\; =\; a\; [x,\; z]\; +\; b\; [y,\; z],\; \{\backslash \; displaystyle\; [ax\; +\; by,\; z]\; =\; a\; [x,\; z]\; +\; b\; [y,\; z],\}$

$[z,\; ax\; +\; by]\; =\; a\; [z,\; x]\; +\; b\; [z,\; y]\; \{\backslash \; displaystyle\; [z,\; ax\; +\; by]\; =\; a\; [z,\; x]\; +\; b\; [z,\; y]\}$

для всех скаляров a, b в F и всех элементов x, y, z в $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$.

• Альтернативность,

$[\; x,\; x]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; [x,\; x]\; =\; 0\; \backslash \}$

для всех x в $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$.

• тождество Якоби,

$[x,\; [y,\; z]]\; +\; [z,\; [x,\; y]]\; +\; [y,\; [z,\; x]]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; [x,\; [y,\; z]]\; +\; [z,\; [\; x,\; y]]\; +\; [y,\; [z,\; x]]\; =\; 0\; \backslash \}$

для всех x, y, z in $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$.

Использование билинейности для расширения скобки Ли $[x\; +\; y,\; x\; +\; y]\; \{\backslash \; displaystyle\; [x\; +\; y,\; x\; +\; y]\}$и с использованием альтернативности показывает, что $[x,\; y]\; +\; [y,\; x]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; [x,\; y]\; +\; [y,\; x]\; =\; 0\; \backslash \}$для всех элементов x, y в $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$, показывая, что билинейность и альтернативность вместе подразумевают

• антикоммутативность,

$[x,\; y]\; =\; -\; [y,\; x],\; \{\backslash \; displaystyle\; [x,\; y]\; =\; -\; [y,\; x],\; \backslash \}$

для всех элементов x, y в $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\; \}\}\}$. Если характеристика поля не равна 2, то антикоммутативность влечет альтернативность.

Обычно алгебру Ли обозначают строчной буквой fraktur, например $g,\; h,\; b,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g,\; h,\; b,\; n\}\}\}$. Если алгебра Ли связана с группой Ли, то эта алгебра обозначается фрактурной версией группы: например, алгебра Ли SU (n) равна $su\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{su\}\}\; (n)\}$.

Генераторы и измерение

Элементы алгебры Ли $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}\; Считается,\; что$генерирует его, если наименьшая подалгебра, содержащая эти элементы, - это $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$. Размерность алгебры Ли - это ее размерность как векторного пространства над F. Мощность минимального порождающего множества алгебры Ли всегда меньше или равна ее размерности.

Другие небольшие примеры см. В классификации вещественных алгебр Ли низкой размерности.

Подалгебры, идеалы и гомоморфизмы

Скобка Ли не обязательно должна быть ассоциативной, что означает, что $[[x,\; y],\; z]\; \{\backslash \; displaystyle\; [[x,\; y],\; z]\}$не обязательно равно $[x,\; [y,\; z]]\; \{\backslash \; displaystyle\; [x,\; [y,\; z]]\}$. Однако это гибкий. Тем не менее, большая часть терминологии ассоциативных колец и алгебр обычно применяется к алгебрам Ли. Подалгебра Ли - это подпространство $h\; \subseteq \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{h\}\}\; \backslash \; substeq\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$, которое замкнуто относительно скобки Ли. Идеал $i\; \subseteq \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{i\}\}\; \backslash \; substeq\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$- это подалгебра, удовлетворяющая более сильному условию:

$[g,\; i]\; \subseteq \; я.\; \{\backslash \; displaystyle\; [\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\},\; \{\backslash \; mathfrak\; \{i\}\}]\; \backslash \; substeq\; \{\backslash \; mathfrak\; \{i\}\}.\}$

Гомоморфизм алгебры Ли - это линейное отображение, совместимое с соответствующими скобками Ли:

$\varphi :\; g\; \to \; g\; \prime ,\; \varphi \; ([x,\; y])\; =\; [\varphi \; (x),\; \varphi \; (y)]\; для\; всех\; x,\; y\; \in \; g.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi:\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\; \text{'}\}\},\; \backslash \; quad\; \backslash \; phi\; ([x,\; y])\; =\; [\backslash \; phi\; (x),\; \backslash \; phi\; (y)]\; \backslash \; \{\backslash \; text\; \{для\; всех\}\}\; \backslash \; x,\; y\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}.\}$

Что касается ассоциативных колец, идеалы - это в точности ядра гомоморфизмов; дана алгебра Ли $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$и идеал $i\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{i\}\}\}$в по ней строится фактор-алгебра или фактор-алгебра $g\; /\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; /\; \{\backslash \; mathfrak\; \{i\}\}\}$и первая теорема об изоморфизме верно для алгебр Ли.

Поскольку скобка Ли является своего рода бесконечно малым коммутатором соответствующей группы Ли, мы говорим, что два элемента $x,\; y\; \in \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; x,\; y\; \backslash \; in\; \{\; \backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$коммутируют, если их скобка исчезает: $[x,\; y]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; [x,\; y]\; =\; 0\}$.

централизатор подалгебра подмножества $S\; \subset \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \backslash \; subset\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$- это набор элементов, коммутирующих с S: то есть $zg\; (S)\; знак\; равно\; \{x\; \in \; g\; \mid \; [x,\; s]\; =\; 0\; для\; всех\; s\; \in \; S\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{z\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; (S)\; =\; \backslash \; \{x\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathfrak\; \{\; g\}\}\; \backslash \; \backslash \; mid\; \backslash \; [x,\; s]\; =\; 0\; \backslash \; \{\backslash \; text\; \{для\; всех\}\}\; s\; \backslash \; in\; S\; \backslash \}\}$. Сам централизатор $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$является центром $z\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{z\}\}\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{\; g\}\})\}$. Точно так же для подпространства S подалгебра нормализатора в S равна $ng\; (S)\; =\; \{x\; \in \; g\; \mid \; [x,\; s]\; \in \; S\; для\; всех\; s\; \in \; S\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{n\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; (S)\; =\; \backslash \; \{x\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \backslash \; \backslash \; mid\; \backslash \; [x,\; s]\; \backslash \; in\; S\; \backslash \; \{\backslash \; text\; \{для\; всех\}\}\; \backslash \; s\; \backslash \; in\; S\; \backslash \}\}$. Эквивалентно, если S - подалгебра Ли, $ng\; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{n\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; (S)\}$- самая большая подалгебра такая, что $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$- это идеал $ng\; (S)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{n\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; (S)\}$.

Примеры

Для $d\; (2)\; \subset \; gl\; (2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{d\}\}\; (2)\; \backslash \; subset\; \{\backslash \; mathfrak\; \{gl\}\}\; (2)\}$, коммутатор двух элементов

$[[abcd],\; [x\; 0\; 0\; y]]\; =\; [axbycxdy]\; -\; [axbxcydy]\; =\; [0\; b\; (y\; -\; x)\; c\; (x\; -\; y)\; 0]\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; a\; b\; \backslash \backslash \; c\; d\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; x\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; y\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \; right]\; =\; \{\; \backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; ax\; by\; \backslash \backslash \; cx\; dy\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; -\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; ax\; bx\; \backslash \backslash \; cy\; dy\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; b\; (yx)\; \backslash \backslash \; c\; (xy)\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

показывает $d\; (2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{d\}\}\; (2)\}$это подалгебра, но не идеал. Фактически, потому что каждое одномерное субвекторное пространство алгебры Ли имеет индуцированную абелеву структуру алгебры Ли, которая обычно не является идеалом. Для любой простой алгебры Ли все абелевы алгебры Ли никогда не могут быть идеалами.

Прямая сумма и полупрямое произведение

Для двух алгебр Ли $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\; ^\; \{\}\}\}\}$и $g\; \prime \; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\; \text{'}\}\}\}$, их прямая сумма алгебра Ли - это векторное пространство $g\; \oplus \; g\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\; \}\}\; \backslash \; oplus\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\; \text{'}\}\}\}$, состоящий из всех пар $(x,\; x\; \prime ),\; x\; \in \; g,\; x\; \prime \; \in \; g\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{\}\; \}\; (x,\; x\; \text{'}),\; \backslash ,\; x\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\},\; \backslash \; x\text{'}\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\; \text{'}\}\}\}$, с операцией

$[(\; х,\; х\; \text{'}),\; (у,\; у\text{'})]\; =\; ([х,\; у],\; [х\; \text{'},\; у\text{'}]),\; \{\backslash \; Displaystyle\; [(х,\; х\; \text{'}),\; (у,\; у\text{'})]\; =\; (\; [x,\; y],\; [x\; \text{'},\; y\text{'}]),\}$

так, чтобы копии $g,\; g\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\},\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \text{'}\; \}$коммутируют друг с другом: $[(x,\; 0),\; (0,\; x\; \prime )]\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; [(x,\; 0),\; (0,\; x\; \text{'})]\; =\; 0.\}$Пусть $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$будет алгеброй Ли и $i\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{i\}\}\; \}$идеал $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$. Если каноническая карта $g\; \to \; g\; /\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; /\; \{\backslash \; mathfrak\; \{i\}\}\}$разделяется (т. Е. допускает раздел), то $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$называется полупрямым продуктом из $i\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{i\}\}\}$и $g\; /\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; /\; \{\backslash \; mathfrak\; \{i\}\}\}$, $g\; =\; g\; /\; i\; ⋉\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; =\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; /\; \{\backslash \; mathfrak\; \{i\}\}\; \backslash \; ltimes\; \{\backslash \; mathfrak\; \{i\}\}\}$. См. Также полупрямая сумма алгебр Ли.

Теорема Леви говорит, что конечномерная алгебра Ли является полупрямым произведением своего радикала и дополнительной подалгебры (подалгебры Леви ).

Выводы

A вывод на алгебре Ли $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$(или на любой неассоциативной алгебре ) - это линейная карта $\delta :\; g\; \to \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \backslash \; двоеточие\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \backslash \; rightarrow\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$, который подчиняется закону Лейбница, то есть

$\delta \; ([x,\; y])\; =\; [\delta \; (x),\; y]\; +\; [x,\; \delta \; (y)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; дельта\; ([x,\; y])\; =\; [\backslash \; delta\; (x),\; y]\; +\; [x,\; \backslash \; delta\; (y)]\}$

для всех $x,\; y\; \in \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; x,\; y\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$. Внутренний вывод, связанный с любым $x\; \in \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$, является сопряженным отображением $adx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{ad\}\; \_\; \{\; x\}\}$определяется как $adx\; (y):\; =\; [x,\; y]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{ad\}\; \_\; \{x\}\; (y):\; =\; [x,\; y]\}$. (Это вывод как следствие тождества Якоби.) Внешние производные - это производные, которые не происходят из присоединенного представления алгебры Ли. Если $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$является полупростым, каждое производное является внутренним.

Выводы образуют векторное пространство $D\; er\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Der\}\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$, которое является подалгеброй Ли из $gl\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{gl\}\}\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$; скоба коммутаторная. Внутренние производные образуют подалгебру Ли в $D\; er\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Der\}\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$.

Примеры

Например, для Lie идеал алгебры $я\; \subset \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{i\}\}\; \backslash \; subset\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$присоединенное представление $adg\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{ad\}\; \}\; \_\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$из $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$действует как внешние производные на $i\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{i\}\}\}$поскольку $[x,\; i]\; \subset \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; [x,\; i]\; \backslash \; subset\; \{\backslash \; mathfrak\; \{i\}\}\}$для любой $x\; \in \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$и $i\; \in \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathfrak\; \{i\}\}\}$. Для алгебры Ли $bn\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{b\}\}\; \_\; \{n\}\}$верхнетреугольных матриц в $gl\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{gl\}\; \}\; (n)\}$, он имеет идеальную $nn\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{n\}\}\; \_\; \{n\}\}$строго верхнетреугольных матриц (где только ненулевые элементы находятся над диагональю матрицы). Например, коммутатор элементов в $b\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{b\}\}\; \_\; \{3\}\}$и $n\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{n\}\}\; \_\; \{3\}\}$дает

$[[abc\; 0\; de\; 0\; 0\; f],\; [0\; xy\; 0\; 0\; z\; 0\; 0\; 0]]\; =\; [0\; axax\; +\; by\; 0\; 0\; dz\; 0\; 0\; 0]\; -\; [0\; dxex\; -\; yf\; 0\; 0\; fz\; 0\; 0\; 0]\; =\; [0\; (a\; -\; d)\; x\; (a\; -\; e)\; x\; +\; (b\; -\; f)\; y\; 0\; 0\; (d\; -\; f)\; z\; 0\; 0\; 0]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; a\; b\; c\; \backslash \backslash \; 0\; d\; e\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; f\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; x\; y\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; z\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \; right]\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; ax\; ax\; +\; by\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; dz\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; -\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; dx\; ex-yf\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; fz\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \{\; \backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; (ad)\; x\; (ae)\; x\; +\; (bf)\; y\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; (df)\; z\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

показывает, что существуют внешние производные от $b\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{b\}\}\; \_\; \{3\}\}$в $Der\; (n\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Der\}\}\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{\; n\}\}\; \_\; \{3\})\}$.

Расщепленная алгебра Ли

Пусть V - конечномерное векторное пространство над полем F, $gl\; (V)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{gl\}\}\; (V)\}$алгебра Ли линейных преобразований и $g\; \subseteq \; gl\; (V)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \backslash \; substeq\; \{\backslash \; mathfrak\; \{gl\}\}\; (V)\}$подалгебра Ли. Тогда $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$называется split, если корни характеристических многочленов всех линейных преобразований в $g\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$находятся в базовом поле F. В общем, конечномерная алгебра Ли $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$называется расщепляемым, если в нем есть подалгебра Картана, изображение которой в присоединенном представлении $ad:\; g\; \to \; gl\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{ad\}:\; \{\backslash \; mathfrak\; \{\; g\}\}\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathfrak\; \{gl\}\}\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$- расщепленная алгебра Ли. расщепленная вещественная форма комплексной полупростой алгебры Ли (см. # Реальная форма и комплексификация) является примером расщепленной вещественной алгебры Ли. См. Также расщепленную алгебру Ли для получения дополнительной информации.

Векторные пространства

Любое векторное пространство $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$с тождественно нулевой скобкой Ли становится алгеброй Ли. Такие алгебры Ли называются абелевыми, ср. ниже. Любая одномерная алгебра Ли над полем абелева в силу альтернированности скобки Ли.

Ассоциативная алгебра с коммутаторной скобкой

• На ассоциативной алгебре $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$над полем $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \}$с умножением $(x,\; y)\; \mapsto \; xy\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y)\; \backslash \; mapsto\; xy\}$, скобка Ли может быть определена коммутатором $[x,\; y]\; =\; xy\; -\; yx\; \{\backslash \; displaystyle\; [x,\; y]\; =\; xy-yx\}$. В этой скобке $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$является алгеброй Ли. Ассоциативная алгебра A называется обертывающей алгеброй алгебры Ли $(A,\; [\cdot ,\; \cdot ])\; \{\backslash \; displaystyle\; (A,\; [\backslash ,\; \backslash \; cdot\; \backslash ,,\; \backslash \; cdot\; \backslash ,])\}$. Каждую алгебру Ли можно вложить в алгебру, возникающую таким образом из ассоциативной алгебры; см. универсальная обертывающая алгебра.
• Ассоциативная алгебра эндоморфизмов F-векторного пространства $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$с указанной выше скобкой Ли обозначается $gl\; (V)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{gl\}\}\; (V)\}$.
• Для конечномерного векторного пространства $V\; =\; F\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; F\; ^\; \{n\}\}$, предыдущий пример становится алгеброй Ли n × n матриц, обозначенной $gl\; (n,\; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{gl\}\}\; (n,\; F)\}$или $gln\; (F)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{gl\}\}\; \_\; \{n\}\; (F)\}$со скобкой $[X,\; Y]\; =\; X\; \cdot \; Y\; -\; Y\; \cdot \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; [X,\; Y]\; =\; X\; \backslash \; cdot\; YY\; \backslash \; cdot\; X\}$, где $\cdot \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cdot\}$обозначает матричное умножение. Это алгебра Ли общей линейной группы, состоящая из обратимых матриц.

Специальные матрицы

Две важные подалгебры в $gln\; (F)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{gl\}\}\; \_\; \{n\}\; (F)\}$:

• Матрицы trace нуля образуют специальную линейную алгебру Ли $sln\; (F)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{sl\}\}\; \_\; \{n\}\; (F)\}$, алгебра Ли специальной линейной группы $SL\; n\; (F)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SL\}\; \_\; \{n\}\; (F)\}$.
• косоэрмитовы матрицы образуют унитарную алгебру Ли $u\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{u\; \}\}\; (n)\}$, алгебра Ли унитарной группы U (n).

Матричные алгебры Ли

Комплексная матричная группа - группа Ли, состоящая из матриц, $G\; \subset \; M\; n\; (C)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \backslash \; subset\; M\_\; \{n\}\; (\backslash \; mathbb\; \{C\})\}$, где умножение G - матричное умножение. Соответствующая алгебра Ли $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$- это пространство матриц, которые являются касательными векторами к G внутри линейного пространства $M\; n\; (C)\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{n\}\; (\backslash \; mathbb\; \{C\})\}$: он состоит из производных гладких кривых в G в тождестве:

$g\; =\; \{X\; =\; c\; \prime \; (0)\; \in \; M\; n\; (\; C)\; \mid \; гладкая\; c:\; R\; \to \; G,\; c\; (0)\; =\; I\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; =\; \backslash \; \{X\; =\; c\; \text{'}(0)\; \backslash \; in\; M\_\; \{n\}\; (\backslash \; mathbb\; \{C\})\; \backslash \; \backslash \; mid\; \backslash \; \{\backslash \; text\; \{smooth\}\}\; c:\; \backslash \; mathbb\; \{R\; \}\; \backslash \; to\; G,\; \backslash \; c\; (0)\; =\; I\; \backslash \}.\}$

Скобка Ли $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$задается коммутатором матрицы, $[X,\; Y]\; =\; XY\; -\; YX\; \{\backslash \; displaystyle\; [X,\; Y]\; =\; XY-YX\}$. Учитывая алгебру Ли, можно восстановить группу Ли как образ матричного экспоненциального отображения $exp:\; M\; n\; (C)\; \to \; M\; n\; (C)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exp:\; M\_\; \{n\; \}\; (\backslash \; mathbb\; \{C\})\; \backslash \; to\; M\_\; \{n\}\; (\backslash \; mathbb\; \{C\})\}$определяется как $exp\; \; (X)\; =\; I\; +\; X\; +\; 1\; 2!\; Икс\; 2\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exp\; (X)\; =\; I\; +\; X\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2!\}\}\; X\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\}$, который сходится для каждой матрицы $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$: то есть $G\; =\; exp\; \; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; =\; \backslash \; exp\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$.

Ниже приведены примеры алгебр Ли матричных групп Ли:

• Специальная линейная группа $SL\; n\; (C)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; rm\; \{SL\}\}\; \_\; \{n\}\; (\backslash \; mathbb\; \{C\})\}$, состоящий из всех матриц размера n × n с определителем 1. Его алгебра Ли $sln\; (C)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{sl\}\}\; \_\; \{n\}\; (\backslash \; mathbb\; \{C\})\}$состоит из всех матриц размера n × n с комплексными элементами и следом 0. Аналогичным образом можно определить соответствующую вещественную группу Ли $SL\; n\; (R)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; rm\; \{SL\}\}\; \_\; \{n\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\})\}$и его алгебра Ли $sln\; (R)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{sl\}\}\; \_\; \{n\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\})\; \}$.
• Унитарная группа $U\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (n)\}$состоит из унитарных матриц размера n × n (удовлетворяющих $U\; \ast \; =\; U\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; ^\; \{*\}\; =\; U\; ^\; \{-\; 1\}\}$). Его алгебра Ли $u\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{u\}\}\; (n)\}$состоит из кососамосопряженных матриц ($X\; \ast \; =\; -\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{*\}\; =\; -\; X\}$).
• Специальная ортогональная группа $SO\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SO\}\; (n)\}$, состоящая из вещественные ортогональные матрицы с определителем один ($AT\; =\; A\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; =\; A\; ^\; \{-\; 1\}\}$). Его алгебра Ли $так\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{so\}\}\; (n)\}$состоит из реальных кососимметричных матриц ($XT\; =\; -\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{\backslash \; rm\; \{T\}\}\; =\; -X\}$). Полная ортогональная группа $O\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{O\}\; (n)\}$без условия определителя-один состоит из $SO\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SO\}\; (n)\}$и отдельного связного компонента, поэтому он имеет ту же алгебру Ли, что и $SO\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SO\}\; (n)\}$. Точно так же можно определить сложную версию этой группы и алгебры, просто разрешив элементы сложной матрицы.

Два измерения

• В любом поле $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$имеется, с точностью до изоморфизма, единственная двумерная неабелева алгебра Ли. Для генераторов x, y его скобка определяется как $[x,\; y]\; =\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [x,\; y\; \backslash \; right]\; =\; y\}$. Он генерирует аффинную группу в одном измерении.

. Это может быть реализовано с помощью матриц:

$x\; =\; (1\; 0\; 0\; 0),\; y\; =\; (0\; 1\; 0\; 0).\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{cc\}\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right),\; \backslash \; qquad\; y\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{cc\}\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right).\}$

Поскольку

$(1\; c\; 0\; 0)\; n\; +\; 1\; =\; (1\; c\; 0\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{cc\}\; 1\; c\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\; +\; 1\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{cc\}\; 1\; c\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right)\}$

для любое натуральное число $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$и любое $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$, можно увидеть, что результирующие элементы группы Ли имеют верхний треугольник 2 × 2 матрицы с единичной нижней диагональю:

$exp\; \; (a\; \cdot \; x\; +\; b\; \cdot \; y)\; =\; (eaba\; (ea\; -\; 1)\; 0\; 1)\; =\; 1\; +\; ea\; -\; 1\; a\; (a\; \cdot \; x\; +\; b\; \cdot \; y).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exp\; (a\; \backslash \; cdot\; \{\}\; x\; +\; b\; \backslash \; cdot\; \{\}\; y)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{cc\}\; e\; ^\; \{a\}\; \{\backslash \; tfrac\; \{b\}\; \{a\}\}\; (\; e\; ^\; \{a\}\; -1)\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 1\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{e\; ^\; \{a\}\; -1\}\; \{a\}\}\; \backslash \; left\; (a\; \backslash \; cdot\; \{\}\; x\; +\; b\; \backslash \; cdot\; \{\}\; y\; \backslash \; right).\}$

Три измерения

• Алгебра Гейзенберга $H\; 3\; (R)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; rm\; \{H\}\}\; \_\; \{3\}\; (\; \backslash \; mathbb\; \{R\})\}$- трехмерная алгебра Ли, порожденная элементами x, y и z со скобками Ли

$[x,\; y]\; =\; z,\; [x,\; z]\; =\; 0,\; [y,\; z]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; [x,\; y]\; =\; z,\; \backslash \; quad\; [x,\; z]\; =\; 0,\; \backslash \; quad\; [y,\; z]\; =\; 0\}$.

Он реализован как пространство трех × 3 строго верхнетреугольные матрицы с коммутаторной скобкой Ли:

$x\; =\; (0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0),\; y\; =\; (0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0),\; z\; =\; (0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0).\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{ccc\}\; 0\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right),\; \backslash \; quad\; y\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{ccc\}\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right),\; \backslash \; quad\; z\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{ccc\}\; 0\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right)\; ~.\; \backslash \; quad\}$

Любой элемент группы Гейзенберга, таким образом, может быть представлен как произведение генераторов группы, т. е. экспонент матрицы этих генераторов алгебры Ли,

$(1\; ac\; 0\; 1\; b\; 0\; 0\; 1)\; =\; ebyeczeax.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{ccc\}\; 1\; a\; c\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; b\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right)\; =\; e\; ^\; \{by\}\; e\; ^\; \{cz\}\; e\; ^\; \{ax\}\; ~.\}$

• Алгебра Ли $so\; (3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{so\}\}\; (3)\}$группы SO (3) натянута на три матрицы

$F\; 1\; =\; (0\; 0\; 0\; 0\; 0\; -\; 1\; 0\; 1\; 0),\; F\; 2\; =\; (0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0\; -\; 1\; 0\; 0),\; F\; 3\; =\; (0\; -\; 1\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0).\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{1\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{ccc\}\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; -1\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right),\; \backslash \; quad\; F\_\; \{2\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\; \backslash \; begin\; \{array\}\; \{ccc\}\; 0\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; -\; 1\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right),\; \backslash \; quad\; F\_\; \{3\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{ccc\}\; 0\; -1\; 0\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right)\; ~.\; \backslash \; Quad\}$

Коммутационные отношения между этими генераторами:

$[F\; 1,\; F\; 2]\; =\; F\; 3,\; \{\backslash \; displaystyle\; [F\_\; \{1\},\; F\_\; \{2\}]\; =\; F\_\; \{3\},\}$

$[F\; 2,\; F\; 3]\; =\; F\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; [F\_\; \{2\},\; F\_\; \{3\}]\; =\; F\_\; \{1\},\}$

$[F\; 3,\; F\; 1]\; =\; F\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; [F\_\; \{3\},\; F\_\; \{1\}]\; =\; F\_\; \{2\}.\}$

Трехмерное евклидово пространство $R\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\}$со скобкой Ли, заданной перекрестным произведением векторов , имеет те же коммутационные отношения, что и выше: таким образом, он изоморфен $так\; что\; (3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{so\}\}\; (3)\}$. Эта алгебра Ли унитарно эквивалентна обычным операторам спина (физика) компонента углового момента для частиц со спином 1 в квантовой механике.

Бесконечные измерения

• Важный класс бесконечномерных вещественные алгебры Ли возникают в дифференциальной топологии. Пространство гладких векторных полей на дифференцируемом многообразии M образует алгебру Ли, где скобка Ли определяется как коммутатор векторных полей. Одним из способов выражения скобки Ли является формализм производных Ли, который отождествляет векторное поле X с оператором в частных производных первого порядка L X, действующим на гладкие функции, с помощью L X (f) - производная по направлению функции f в направлении X. Скобка Ли [X, Y] двух векторных полей - это векторное поле, определяемое посредством его действия на функции по формуле:

$L\; [X,\; Y]\; f\; =\; LX\; (LY\; f)\; -\; LY\; (LX\; f).\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \_\; \{[X,\; Y]\}\; f\; =\; L\_\; \{X\}\; (L\_\; \{Y\}\; f)\; -L\_\; \{Y\}\; (L\_\; \{X\}\; f).\; \backslash ,\}$

• алгебры Каца – Муди представляют собой большой класс бесконечномерных алгебр Ли, структура которых очень похожа на описанные выше конечномерные случаи.
• Алгебра Мойала - это бесконечномерная алгебра Ли, содержащая все классические алгебры Ли как подалгебры.
• Алгебра Вирасоро имеет первостепенное значение в теории струн.

Определения

Для данного векторного пространства V пусть $gl\; (V)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{gl\}\}\; (V)\}$обозначает алгебру Ли, состоящую из всех линейных эндоморфизмов буквы V с скобкой, заданной следующим образом: $[X,\; Y]\; =\; XY\; -\; YX\; \{\backslash \; displaystyle\; [X,\; Y]\; =\; XY-YX\}$. Представление алгебры Ли $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$на V является гомоморфизмом алгебры Ли

$\pi :\; g\; \to \; g\; l\; (V).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi:\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathfrak\; \{gl\}\}\; (V).\}$

Представление называется точным, если его ядро ​​равно нулю. Теорема Адо утверждает, что каждая конечномерная алгебра Ли имеет точное представление в конечномерном векторном пространстве.

Присоединенное представление

Для любой алгебры Ли $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$мы можем определить представление

$ad:\; g\; \to \; gl\; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{ad\}\; \backslash \; двоеточие\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathfrak\; \{gl\}\}\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}$

задано $объявление\; \; (x)\; (y)\; =\; [x,\; y]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{ad\}\; (x)\; (y)\; =\; [x,\; y]\}$; это представление в векторном пространстве $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$, называемое присоединенным представлением.

Цели теории представлений

One Важным аспектом изучения алгебр Ли (особенно полупростых алгебр Ли) является изучение их представлений. (Действительно, большинство книг, перечисленных в разделе ссылок, посвящают значительную часть своих страниц теории представлений.) Хотя теорема Адо является важным результатом, основная цель теории представлений не состоит в том, чтобы найти точное представление данной алгебры Ли. $г\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$. Действительно, в полупростом случае присоединенное представление уже точное. Скорее цель состоит в том, чтобы понять все возможные представления $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$, вплоть до естественного понятия эквивалентности. В полупростом случае над полем нулевой характеристики теорема Вейля утверждает, что каждое конечномерное представление является прямой суммой неприводимых представлений (тех, которые не имеют нетривиальных инвариантных подпространств). Неприводимые представления, в свою очередь, классифицируются по теореме наивысшего веса.

Теория представлений в физике

Теория представлений алгебр Ли играет важную роль в различных разделах теоретической физики. Там рассматриваются операторы в пространстве состояний, удовлетворяющие некоторым естественным коммутационным соотношениям. Эти коммутационные соотношения обычно возникают из-за симметрии задачи - в частности, они являются соотношениями алгебры Ли соответствующей группы симметрии. Примером могут служить операторы углового момента, коммутационные отношения которых аналогичны отношениям алгебры Ли $so\; (3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{so\}\}\; (3)\}$группы вращения SO (3). Обычно пространство состояний очень далеко от того, чтобы быть неприводимым под действием соответствующих операторов, но можно попытаться разложить его на неприводимые части. При этом нужно знать неприводимые представления данной алгебры Ли. При изучении квантового атома водорода, например, учебники по квантовой механике дают (не называя это так) классификацию неприводимых представлений алгебры Ли $so\; (3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{so\}\}\; (3)\}$.

Алгебры Ли можно до некоторой степени классифицировать. В частности, это имеет приложение к классификации групп Ли.

Абелевы, нильпотентные и разрешимые

Аналогично абелевым, нильпотентным и разрешимым группам, определенным в терминах производных подгрупп, можно определить абелевы, нильпотентные и разрешимые алгебры Ли.

Алгебра Ли $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$абелева, если скобка Ли обращается в нуль, то есть [x, y] = 0, для всех x и y в $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$. Абелевы алгебры Ли соответствуют коммутативным (или абелевым ) связным группам Ли, таким как векторные пространства $K\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{K\}\; ^\; \{n\}\}$или tori $T\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{T\}\; ^\; \{n\}\}$, и все они имеют форму $kn,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{k\}\; \}\; ^\; \{n\},\}$означает n-мерное векторное пространство с тривиальной скобкой Ли.

Более общий класс алгебр Ли определяется обращением в нуль всех коммутаторов данной длины. Алгебра Ли $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$является нильпотентной, если нижний центральный ряд

$g>[g,\; g]>[[g,\; g],\; g]>[[[g,\; g],\; g],\; g]>\cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}>[\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\},\; \{\backslash \; mathfrak\; \{\; g\}\}]>[[\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\},\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}],\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}]>[[[\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\},\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}]\; \}],\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}],\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}]>\backslash \; cdots\}$

becomes zero eventually. By Engel's theorem, a Lie algebra is nilpotent if and only if for every u in $g\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash mathfrak\; \{g\}\; \}\}$the adjoint endomorphism

$ad\; \; (\; u)\; :\; g\; \to \; g,\; ad\; \; (\; u)\; v\; =\; [\; u,\; v\; ]\; \{\backslash displaystyle\; \backslash operatorname\; \{ad\}\; (u)\; :\{\backslash mathfrak\; \{g\}\}\backslash to\; \{\backslash mathfrak\; \{g\}\},\backslash quad\; \backslash operatorname\; \{ad\}\; (u)v=[u,v]\}$

is nilpotent.

More generally still, a Lie algebra $g\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash mathfrak\; \{g\}\}\}$is said to be solvable if the derived series :

becomes zero eventually.

Every finite-dimensional Lie algebra has a unique maximal solvable ideal, called its radical. Under the Lie correspondence, nilpotent (respectively, solvable) connected Lie groups correspond to nilpotent (respectively, solvable) Lie algebras.

Simple and semisimple

A Lie algebra is "simple " if it has no non-trivial ideals and is not abelian. (That is to say, a one-dimensional—necessarily abelian—Lie algebra is by definition not simple, even though it has no nontrivial ideals.) A Lie algebra $g\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash mathfrak\; \{g\}\}\}$is called semisimple if it is isomorphic to a direct sum of simple algebras. Есть несколько эквивалентных характеризаций полупростых алгебр, например, отсутствие ненулевых разрешимых идеалов.

The concept of semisimplicity for Lie algebras is closely related with the complete reducibility (semisimplicity) of their representations. When the ground field F has characteristic zero, any finite-dimensional representation of a semisimple Lie algebra is semisimple (i.e., direct sum of irreducible representations.) In general, a Lie algebra is called reductive if the adjoint representation is semisimple. Таким образом, полупростая алгебра Ли редуктивна.

Cartan's criterion

Cartan's criterion gives conditions for a Lie algebra to be nilpotent, solvable, or semisimple. It is based on the notion of the Killing form, a symmetric bilinear form on $g\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash mathfrak\; \{g\}\}\}$определяется формулой

$K\; (u,\; v)\; =\; tr\; \; (ad\; \; (u)\; ad\; \; (v)),\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (u,\; v)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{tr\}\; (\backslash \; operatorname\; \{ad\}\; (u)\; \backslash \; operatorname\; \{ad\}\; (v)),\}$

где tr обозначает след линейного оператора. Алгебра Ли $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$полупроста тогда и только тогда, когда форма Киллинга невырожденная. Алгебра Ли $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$разрешима тогда и только тогда, когда $K\; (g,\; [g,\; g])\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\},\; [\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\},\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}])\; =\; 0.\}$

Классификация

Разложение Леви выражает произвольную алгебру Ли в виде полупрямой суммы ее разрешимого радикала и полупростой алгебры Ли почти каноническим образом. (Такое разложение существует для конечномерной алгебры Ли над полем нулевой характеристики.) Кроме того, полупростые алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем были полностью классифицированы по их системам корней.

Хотя алгебры Ли часто изучаются сами по себе, исторически они возникли как средство изучения групп Ли.

Теперь мы кратко обрисовываем взаимосвязь между группами Ли и алгебрами Ли. Любая группа Ли порождает канонически определенную алгебру Ли (конкретно касательное пространство в единице). И наоборот, для любой конечномерной алгебры Ли $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$существует соответствующая связная группа Ли $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$с алгеброй Ли $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$. Это третья теорема Ли ; см. формулу Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа. Эта группа Ли не определена однозначно; однако любые две группы Ли с одной и той же алгеброй Ли локально изоморфны и, в частности, имеют одно и то же универсальное покрытие. Например, специальная ортогональная группа SO (3) и специальная унитарная группа SU (2) порождают одну и ту же форму Ли алгебра, которая изоморфна $R\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\}$с кросс-произведением, но SU (2) является односвязным двойным покрытием SO (3).

Однако если мы рассмотрим односвязные группы Ли, у нас будет взаимно однозначное соответствие: для каждой (конечномерной действительной) алгебры Ли $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \}$существует уникальная односвязная группа Ли $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$с алгеброй Ли $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$.

Соответствие между алгебрами Ли и группами Ли используется несколькими способами, включая классификацию групп Ли и связанный с этим вопрос теории представлений групп Ли. Каждое представление алгебры Ли однозначно поднимается до представления соответствующей связной односвязной группы Ли, и, наоборот, каждое представление любой группы Ли индуцирует представление алгебры Ли группы; представления находятся во взаимно однозначном соответствии. Следовательно, знание представлений алгебры Ли решает вопрос о представлениях группы.

Что касается классификации, можно показать, что любая связная группа Ли с данной алгеброй Ли изоморфна универсальному покрытию по модулю дискретной центральной подгруппы. Таким образом, классификация групп Ли сводится к простому подсчету дискретных подгрупп в центре, если классификация алгебр Ли известна (решена Картаном и др. В полупростой схеме дело).

Если алгебра Ли бесконечномерна, проблема более тонкая. Во многих случаях экспоненциальное отображение даже не является локально гомеоморфизмом (например, в Diff (S ) можно найти диффеоморфизмы, сколь угодно близкие к тождеству, которых нет на изображении опыта). Более того, некоторые бесконечномерные алгебры Ли не являются алгеброй Ли какой-либо группы.

Учитывая комплексную алгебру Ли $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$, a вещественная алгебра Ли $g\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \_\; \{0\}\}$называется действительной формой $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$, если комплексирование $g\; 0\; \otimes \; RC\; \simeq \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; otimes\; \_\; \{\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; \backslash \; simeq\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$изоморфен $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$. Настоящая форма не обязательно должна быть уникальной; например, $sl\; 2\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{sl\}\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$имеет две реальные формы $sl\; 2\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{sl\}\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$и $su\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{su\}\}\; \_\; \{2\}\}$.

Учитывая полупростой конечный- размерная комплексная алгебра Ли $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$, расщепленная форма ее является реальной формой, которая расщепляется; т. е. имеет подалгебру Картана, которая действует через присоединенное представление с действительными собственными значениями. Расщепленная форма существует и единственна (с точностью до изоморфизмов). Компактная форма - это вещественная форма, которая является алгеброй Ли компактной группы Ли. Компактная форма существует и также уникальна.

Алгебра Ли может быть снабжена некоторыми дополнительными структурами, которые, как предполагается, совместимы со скобкой. Например, градуированная алгебра Ли - это алгебра Ли с градуированной структурой векторного пространства. Если он также идет с дифференциалом (так что лежащее в основе градуированное векторное пространство является цепным комплексом ), то оно называется дифференциальной градуированной алгеброй Ли.

A симплициальной алгеброй Ли является симплициальный объект в категории алгебр Ли; другими словами, он получается заменой базового набора на симплициальный набор (так что его лучше рассматривать как семейство алгебр Ли).

Кольцо Ли возникает как обобщение алгебр Ли или в результате изучения нижнего центрального ряда групп групп. Кольцо Ли определяется как неассоциативное кольцо с умножением, которое является антикоммутативным и удовлетворяет тождеству Якоби. Более конкретно, мы можем определить кольцо Ли $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$как абелеву группу с помощью операции $[\cdot ,\; \cdot ]\; \{\backslash \; displaystyle\; [\backslash \; cdot,\; \backslash \; cdot]\}$, который имеет следующие свойства:

• Билинейность:

$[x\; +\; y,\; z]\; =\; [x,\; z]\; +\; [y,\; z],\; [z,\; x\; +\; Y]\; =\; [z,\; x]\; +\; [z,\; y]\; \{\backslash \; displaystyle\; [x\; +\; y,\; z]\; =\; [x,\; z]\; +\; [y,\; z],\; \backslash \; quad\; [z,\; x\; +\; y]\; =\; [z,\; x]\; +\; [z,\; y]\}$

для всех x, y, z ∈ L.

• Тождество Якоби:

$[x,\; [y,\; z]]\; +\; [y,\; [z,\; x\; ]]\; +\; [z,\; [x,\; y]]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; [x,\; [y,\; z]]\; +\; [y,\; [z,\; x]]\; +\; [z,\; [x,\; y]]\; =\; 0\; \backslash \; quad\; \}$

для всех x, y, z в L.

• для всех x в L:

$[x,\; x]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; [x,\; x]\; =\; 0\; \backslash \; quad\}$

Ложь кольца не обязательно должны быть группами Ли при добавлении. Любая алгебра Ли является примером кольца Ли. Любое ассоциативное кольцо можно превратить в кольцо Ли, задав оператор скобки $[x,\; y]\; =\; xy\; -\; yx\; \{\backslash \; displaystyle\; [x,\; y]\; =\; xy-yx\}$. Наоборот, любой алгебре Ли существует соответствующее кольцо, называемое универсальной обертывающей алгеброй..

Кольца Ли используются при изучении конечных p-групп через соответствие Лазара ». Нижние центральные факторы p-группы - конечные абелевы p-группы, поэтому модули над Z/pZ. Прямая сумма нижних центральных факторов задается структурой кольца Ли, определяя скобку как коммутатор двух представителей смежного класса. Структура кольца Ли обогащена другим гомоморфизмом модулей, отображением степени p, что делает ассоциированное кольцо Ли так называемым ограниченным кольцом Ли.

Кольца Ли также полезны при определении p-адических аналитических групп и их эндоморфизмов путем изучения алгебр Ли над кольцами целых чисел, таких как целые p-адические числа. Определение конечных групп лиева типа из-за Шевалле включает в себя ограничение от алгебры Ли над комплексными числами до алгебры Ли над целыми числами и приведение по модулю p для получения алгебры Ли над конечным полем.

Примеры

• Любая алгебра Ли над общим кольцом вместо поля является примером кольца Ли. Кольца Ли не являются группами Ли при добавлении, несмотря на название.
• Любое ассоциативное кольцо можно превратить в кольцо Ли, определив оператор скобки

$[x,\; y]\; =\; xy\; -\; yx.\; \{\backslash \; displaystyle\; [x,\; y]\; =\; xy-yx.\}$

• Для примера кольца Ли, возникшего в результате изучения групп, пусть $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$быть группой с $(x,\; y)\; =\; x\; -\; 1\; y\; -\; 1\; xy\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y)\; =\; x\; ^\; \{-\; 1\}\; y\; ^\; \{-\; 1\}\; xy\}$операция коммутатора, и пусть $G\; =\; G\; 0\; \supseteq \; G\; 1\; \supseteq \; G\; 2\; \supseteq \; \cdots \; \supseteq \; G\; n\; \supseteq \; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; G\; =\; G\_\; \{0\}\; \backslash \; supseteq\; G\_\; \{1\}\; \backslash \; supseteq\; G\_\; \{2\}\; \backslash \; supseteq\; \backslash \; cdots\; \backslash \; supseteq\; G\_\; \{n\}\; \backslash \; supseteq\; \backslash \; cdots\}$быть центральной серией в $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$- это коммутаторная подгруппа $(G\; i,\; G\; j)\; \{\backslash \; displaystyle\; (G\_\; \{i\},\; G\_\; \{j\})\}$содержится в $G\; i\; +\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{i\; +\; j\}\}$для любых $i,\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; i,\; j\}$. Тогда

$L\; =\; ⨁\; G\; i\; /\; G\; i\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; \backslash \; bigoplus\; G\_\; \{i\}\; /\; G\_\; \{i\; +\; 1\}\}$

- кольцо Ли с добавлением, обеспечиваемым групповой операцией (что будет быть × в каждой однородной части), и операция скобки, заданная как

$[x\; G\; i,\; y\; G\; j]\; =\; (x,\; y)\; G\; i\; +\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; [xG\_\; \{i\},\; yG\_\; \{j\}]\; =\; (x,\; y)\; G\_\; \{i\; +\; j\}\; \backslash \}$

расширено линейно. Центральность ряда гарантирует, что коммутатор $(x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y)\}$придает скобочной операции соответствующие теоретические свойства Ли.

Adjoint представление алгебры Ли Анионная алгебра Ли Киральная алгебра Ли Свободная алгебра Ли Индекс алгебры Ли Когомологии алгебры Ли Расширение алгебры Ли Представление алгебры Ли Биалгебра Ли Коалгебра Ли Операда Ли Физика элементарных частиц и теория представлений

Супералгебра Ли Алгебра Пуассона Доклиническая алгебра Ли Квантовые группы Алгебра Мойала Квазифробениусовская алгебра Ли Квази-алгебра Ли Ограниченная алгебра Ли Отношения Серра Симметричная алгебра Ли Когомологии Гельфанда – Фукса