Гибкая алгебра

В математике, в частности абстрактной алгебре, двоичная операция • на множестве - гибкий, если он удовлетворяет гибкому тождеству :

$a\; \bullet \; (b\; \bullet \; a)\; =\; (a\; \bullet \; b)\; \bullet \; a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; bullet\; \backslash \; left\; (b\; \backslash \; bullet\; a\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (a\; \backslash \; bullet\; b\; \backslash \; right)\; \backslash \; bullet\; a\}$

для любых двух элементов a и b набора. magma (то есть набор, снабженный бинарной операцией) является гибким, если бинарная операция, которой он оснащен, является гибкой. Точно так же неассоциативная алгебра является гибкой, если ее оператор умножения гибкий.

Каждая коммутативная или ассоциативная операция является гибкой, поэтому гибкость становится важной для двоичных операций, которые не являются ни коммутативными, ни ассоциативными, например для умножения на sedenions, которые даже не являются альтернативой.

В 1954 году Ричард Д. Шафер исследовал алгебры, порожденные Кэли-Диксон над полем и показал, что они удовлетворяют гибкому тождеству.

Помимо ассоциативных алгебр, следующие классы неассоциативных алгебр являются гибкие:

• Альтернативные алгебры
• Алгебры Ли
• Йордановы алгебры (которые коммутативны)
• Алгебры Окубо

Аналогичным образом гибкими являются следующие классы неассоциативных магм:

• Альтернативные магмы
• Полугруппы (которые являются ассоциативными магмами, а также альтернативными)

седенионы и все алгебры, построенные из них путем повторения конструкции Кэли-Диксона, также гибкие.

• Кольцо Цорна
• Алгебра Мальцева

• Шафер, Ричард Д. (1995) [1966]. Введение в неассоциативные алгебры. Dover Publications. ISBN 0-486-68813-5. Zbl 0145.25601.