Уравнения Фридмана

редактировать

Ранняя вселенная

Расширение Будущее

Компоненты Структура

Составные части
Лямбда-CDM модель Темная энергия Темная жидкость Темная материя
Состав
Форма вселенной Нить галактики Формирование галактики Большая группа квазаров Крупномасштабная конструкция Реионизация Формирование структуры

Эксперименты

Ученые

Список космологов

История темы

Александр Фридманн

Уравнения Фридмана - это набор уравнений в физической космологии, которые управляют расширением пространства в однородных и изотропных моделях Вселенной в контексте общей теории относительности. Они были впервые получены Александром Фридманом в 1922 году из уравнений Эйнштейна о гравитации для Вселенной Фридмана и в идеальной жидкости с заданной плотностью массы и давлением. Уравнения для отрицательной пространственной кривизны были даны Фридманом в 1924 году. ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ ${\ displaystyle p}$ $п$

СОДЕРЖАНИЕ

1 Предположения
2 Уравнения
3 Параметр плотности
4 Полезные решения
- 4.1 Смеси
- 4.2 Детальный вывод
5 Измененное уравнение Фридмана
6 См. Также
7 Примечания
8 Дальнейшее чтение

Предположения

Основная статья: метрика Фридмана – Лемэтра – Робертсона – Уокера

Уравнения Фридмана начинаются с упрощающего предположения, что Вселенная пространственно однородна и изотропна, то есть с космологического принципа ; эмпирически это оправдано на масштабах более ~ 100 Мпк. Космологический принцип подразумевает, что метрика Вселенной должна иметь форму

{\ displaystyle ds ^ {2} = a (t) ^ {2} \, ds_ {3} ^ {2} -c ^ {2} \, dt ^ {2}}

ds ^ 2 = a (t) ^ 2 \, ds_3 ^ 2 - c ^ 2 \, dt ^ 2

где - трехмерная метрика, которая должна быть одной из (а) плоского пространства, (б) сферы постоянной положительной кривизны или (в) гиперболического пространства с постоянной отрицательной кривизной. Эта метрика называется метрикой Фридмана – Лемэтра – Робертсона – Уокера (FLRW). Параметр, обсуждаемый ниже, принимает значения 0, 1, -1 или гауссову кривизну в этих трех случаях соответственно. Именно этот факт позволяет разумно говорить о « масштабном факторе ». ${\ displaystyle ds_ {3} ^ {2}}$ ${\ displaystyle ds_ {3} ^ {2}}$ ${\ displaystyle k}$ $k$ ${\ Displaystyle а (т)}$ $в)$

Уравнения Эйнштейна теперь связывают эволюцию этого масштабного фактора с давлением и энергией вещества во Вселенной. Из метрики FLRW мы вычисляем символы Кристоффеля, а затем тензор Риччи. Используя тензор энергии-импульса для идеальной жидкости, мы подставляем их в уравнения поля Эйнштейна, и полученные уравнения описаны ниже.

Уравнения

Основные концепции

Явления

Пространство-время
Проблема Кеплера Гравитационное линзирование Гравитационные волны Перетаскивание кадра Геодезический эффект Горизонт событий Сингулярность Черная дыра
Диаграммы пространства-времени Пространство-время Минковского Мост Эйнштейна – Розена

Уравнения
Формализмы

Уравнения
Линеаризованная гравитация Уравнения поля Эйнштейна Фридман Геодезические Матиссон – Папапетру – Диксон Гамильтон – Якоби – Эйнштейн
Формализмы
ADM БССН Постньютоновский
Продвинутая теория
Теория Калуцы – Клейна Квантовая гравитация

Решения

Ученые

Есть два независимых уравнения Фридмана для моделирования однородной изотропной Вселенной. Первый:

{\ displaystyle {\ frac {{\ dot {a}} ^ {2} + kc ^ {2}} {a ^ {2}}} = {\ frac {8 \ pi G \ rho + \ Lambda c ^ { 2}} {3}}}

\ frac {\ dot {a} ^ 2 + kc ^ 2} {a ^ 2} = \ frac {8 \ pi G \ rho + \ Lambda c ^ 2} {3}

который выводится из 00-компонента уравнений поля Эйнштейна. Второй:

{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {a}} {a}} = - {\ frac {4 \ pi G} {3}} \ left (\ rho + {\ frac {3p} {c ^ {2} }} \ right) + {\ frac {\ Lambda c ^ {2}} {3}}}

\ frac {\ ddot {a}} {a} = - \ frac {4 \ pi G} {3} \ left (\ rho + \ frac {3p} {c ^ 2} \ right) + \ frac {\ Lambda c ^ 2} {3}

которое выводится из первого вместе со следом уравнений поля Эйнштейна (размерность двух уравнений равна времени ⁻²).

${\ displaystyle a}$ $а$ - масштабный коэффициент, G, Λ и c - универсальные константы ( G - гравитационная постоянная Ньютона, Λ - космологическая постоянная (ее размерность равна ⁻²), а c - скорость света в вакууме ). ρ и p - объемная массовая плотность (а не объемная плотность энергии) и давление соответственно. k является постоянным во всем конкретном решении, но может варьироваться от одного решения к другому.

В предыдущих уравнениях,, ρ и p являются функциями времени. является пространственной кривизной в любом временном интервале Вселенной; он равен одной шестой пространственного скаляра кривизны Риччи R, поскольку ${\ displaystyle a}$ $а$ ${\ displaystyle k \ над ^ {2}}$ $к \ над а ^ 2$

{\ displaystyle R = {\ frac {6} {c ^ {2} a ^ {2}}} ({\ ddot {a}} a + {\ dot {a}} ^ {2} + kc ^ {2})}

R = \ frac {6} {c ^ 2 a ^ 2} (\ ddot {a} a + \ dot {a} ^ 2 + kc ^ 2)

в модели Фридмана. - параметр Хаббла. ${\ Displaystyle Н \ экв {\ гидроразрыва {\ точка {а}} {а}}}$ $H \ Equiv \ frac {\ dot {a}} {a}$

Мы видим, что в уравнениях Фридмана a (t) не зависит от того, какую систему координат мы выбрали для пространственных срезов. Есть два часто используемых варианта для и k, которые описывают одну и ту же физику: ${\ displaystyle a}$ $а$

k = +1, 0 или -1 в зависимости от того, является ли Вселенная по форме замкнутой 3-сферой, плоской (то есть евклидовым пространством ) или открытым 3- гиперболоидом, соответственно. Если k = +1, то - радиус кривизны Вселенной. Если k = 0, тогда может быть зафиксировано любое произвольное положительное число в один конкретный момент времени. Если k = −1, то (грубо говоря) можно сказать, что это радиус кривизны Вселенной. ${\ displaystyle a}$ $а$ ${\ displaystyle a}$ $а$ ${\ Displaystyle я \ cdot а}$ ${\ Displaystyle я \ cdot а}$
${\ displaystyle a}$ $а$ - масштабный коэффициент, который в настоящее время принимается равным 1. является пространственная кривизна, когда (то есть сегодня). Если форма Вселенной является гиперсферической и равна радиусу кривизны ( в настоящее время), то. Если положительно, то Вселенная гиперсферическая. Если равно нулю, то Вселенная плоская. Если отрицательно, то Вселенная гиперболическая. ${\ displaystyle k}$ $k$ ${\ displaystyle a = 1}$ $а = 1$ ${\ displaystyle R_ {t}}$ $R_ {t}$ ${\ displaystyle R_ {0}}$ $R_ {0}$ ${\ displaystyle a = R_ {t} / R_ {0}}$ $а = R_t / R_0$ ${\ displaystyle k}$ $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$

Используя первое уравнение, второе уравнение можно переформулировать как

{\ displaystyle {\ dot {\ rho}} = - 3H \ left (\ rho + {\ frac {p} {c ^ {2}}} \ right),}

\ dot {\ rho} = -3 H \ left (\ rho + \ frac {p} {c ^ 2} \ right),

что исключает и выражает сохранение массы-энергии ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Лямбда$ ${\ displaystyle T ^ {\ alpha \ beta} {} _ {; \ beta} = 0.}$ ${\ displaystyle T ^ {\ alpha \ beta} {} _ {; \ beta} = 0.}$

Эти уравнения иногда упрощают заменой

{\ displaystyle \ rho \ to \ rho - {\ frac {\ Lambda c ^ {2}} {8 \ pi G}}}

{\ displaystyle \ rho \ to \ rho - {\ frac {\ Lambda c ^ {2}} {8 \ pi G}}}

{\ displaystyle p \ to p + {\ frac {\ Lambda c ^ {4}} {8 \ pi G}}}

{\ displaystyle p \ to p + {\ frac {\ Lambda c ^ {4}} {8 \ pi G}}}

дать:

{\ displaystyle H ^ {2} = \ left ({\ frac {\ dot {a}} {a}} \ right) ^ {2} = {\ frac {8 \ pi G} {3}} \ rho - {\ frac {kc ^ {2}} {a ^ {2}}}}

H ^ 2 = \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho - \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2 }

{\ displaystyle {\ dot {H}} + H ^ {2} = {\ frac {\ ddot {a}} {a}} = - {\ frac {4 \ pi G} {3}} \ left (\ rho + {\ frac {3p} {c ^ {2}}} \ right).}

\ dot {H} + H ^ 2 = \ frac {\ ddot {a}} {a} = - \ frac {4 \ pi G} {3} \ left (\ rho + \ frac {3p} {c ^ 2 }\верно).

Упрощенная форма второго уравнения инвариантна относительно этого преобразования.

Параметр Хаббла может изменяться со временем, если другие части уравнения зависят от времени (в частности, плотность массы, энергия вакуума или пространственная кривизна). Оценка параметра Хаббла в настоящее время дает постоянную Хаббла, которая является константой пропорциональности закона Хаббла. Применительно к жидкости с заданным уравнением состояния уравнения Фридмана дают временную эволюцию и геометрию Вселенной как функцию плотности жидкости.

Некоторые космологи называют второе из этих двух уравнений уравнением ускорения Фридмана и оставляют термин уравнение Фридмана только для первого уравнения.

Параметр плотности

Параметр плотности определяется как отношение фактической (или наблюдаемой) плотности к критической плотности вселенной Фридмана. Соотношение между фактической плотностью и критической плотностью определяет общую геометрию Вселенной; когда они равны, геометрия Вселенной плоская (евклидова). В более ранних моделях, которые не включали космологический постоянный член, критическая плотность изначально определялась как точка водораздела между расширяющейся и сжимающейся Вселенной. ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Омега$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ ${\ displaystyle \ rho _ {c}}$ $\ rho _ {c}$

На сегодняшний день критическая плотность оценивается примерно в пять атомов ( одноатомного водорода ) на кубический метр, тогда как средняя плотность обычного вещества во Вселенной считается равной 0,2–0,25 атома на кубический метр.

Расчетное относительное распределение компонентов плотности энергии Вселенной. Темная энергия доминирует в общей энергии (74%), в то время как темная материя (22%) составляет большую часть массы. Из оставшейся барионной материи (4%) только десятая часть компактна. В феврале 2015 года европейская исследовательская группа космологического зонда Planck опубликовала новые данные, уточняющие эти значения до 4,9% обычной материи, 25,9% темной материи и 69,1% темной энергии.

Гораздо большая плотность возникает из-за неопознанной темной материи ; как обычная, так и темная материя способствуют сокращению Вселенной. Однако большая часть исходит от так называемой темной энергии, которая составляет космологический постоянный член. Хотя полная плотность равна критической плотности (точнее, с точностью до ошибки измерения), темная энергия не приводит к сжатию Вселенной, а скорее может ускорить ее расширение. Следовательно, Вселенная, вероятно, будет расширяться вечно.

Выражение для критической плотности находится, если принять Λ равным нулю (как и для всех основных вселенных Фридмана) и установить нормированную пространственную кривизну k равной нулю. Когда подстановки применяются к первому из уравнений Фридмана, мы находим:

{\ displaystyle \ rho _ {c} = {\ frac {3H ^ {2}} {8 \ pi G}} = 1,8788 \ times 10 ^ {- 26} h ^ {2} {\ rm {kg}} \, {\ rm {m}} ^ {- 3} = 2,7754 \ times 10 ^ {11} h ^ {2} M _ {\ odot} \, {\ rm {Mpc}} ^ {- 3},}

{\ displaystyle \ rho _ {c} = {\ frac {3H ^ {2}} {8 \ pi G}} = 1,8788 \ times 10 ^ {- 26} h ^ {2} {\ rm {kg}} \, {\ rm {m}} ^ {- 3} = 2,7754 \ times 10 ^ {11} h ^ {2} M _ {\ odot} \, {\ rm {Mpc}} ^ {- 3},}

(где h = H o / (100 км / с / Мпк). Для H o = 67,4 км / с / Мпк, т.е. h = 0,674, ρ c = 8,5 × 10 ⁻²⁷ кг / м ³)

Затем параметр плотности (полезный для сравнения различных космологических моделей) определяется как:

{\ displaystyle \ Omega \ Equiv {\ frac {\ rho} {\ rho _ {c}}} = {\ frac {8 \ pi G \ rho} {3H ^ {2}}}.}

\ Omega \ Equiv \ frac {\ rho} {\ rho_c} = \ frac {8 \ pi G \ rho} {3 H ^ 2}.

Этот термин первоначально использовался как средство для определения пространственной геометрии Вселенной, где - критическая плотность, для которой пространственная геометрия является плоской (или евклидовой). Предполагая, что плотность энергии вакуума равна нулю, если она больше единицы, космические части Вселенной замкнуты; Вселенная в конце концов перестанет расширяться, а затем схлопнется. Если меньше единицы, они открыты; и вселенная расширяется вечно. Однако можно также включить члены пространственной кривизны и энергии вакуума в более общее выражение, для которого этот параметр плотности равен точно единице. Затем нужно измерить различные компоненты, обычно обозначаемые нижними индексами. Согласно модели ΛCDM, есть важные компоненты, связанные с барионами, холодной темной материей и темной энергией. Пространственная геометрия Вселенной была измерена с помощью WMAP космического аппарата, чтобы быть почти плоским. Это означает, что Вселенная может быть хорошо аппроксимирована моделью, в которой параметр пространственной кривизны равен нулю; однако это не обязательно означает, что Вселенная бесконечна: возможно, просто Вселенная намного больше той части, которую мы видим. (Точно так же тот факт, что Земля примерно плоская в масштабе Нидерландов, не означает, что Земля плоская: это только означает, что она намного больше, чем Нидерланды.) ${\ displaystyle \ rho _ {c}}$ $\ rho _ {c}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Омега$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Омега$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Омега$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Омега$ ${\ displaystyle k}$ $k$

Первое уравнение Фридмана часто рассматривается в терминах текущих значений параметров плотности, то есть

{\ displaystyle {\ frac {H ^ {2}} {H_ {0} ^ {2}}} = \ Omega _ {0, R} a ^ {- 4} + \ Omega _ {0, M} a ^ {-3} + \ Omega _ {0, k} a ^ {- 2} + \ Omega _ {0, \ Lambda}.}

{\ displaystyle {\ frac {H ^ {2}} {H_ {0} ^ {2}}} = \ Omega _ {0, R} a ^ {- 4} + \ Omega _ {0, M} a ^ {-3} + \ Omega _ {0, k} a ^ {- 2} + \ Omega _ {0, \ Lambda}.}

Вот плотность излучения сегодня (то есть когда), это плотность материи ( темная плюс барионная ) сегодня, это «плотность пространственной кривизны» сегодня, и это космологическая постоянная или плотность вакуума сегодня. ${\ displaystyle \ Omega _ {0, R}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0, R}}$ ${\ displaystyle a = 1}$ $а = 1$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0, M}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0, M}}$ ${\ Displaystyle \ Omega _ {0, k} = 1- \ Omega _ {0}}$ ${\ Displaystyle \ Omega _ {0, k} = 1- \ Omega _ {0}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0, \ Lambda}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0, \ Lambda}}$

Полезные решения

Уравнения Фридмана могут быть решены точно при наличии идеальной жидкости с уравнением состояния

{\ displaystyle p = w \ rho c ^ {2},}

р = w \ rho c ^ 2,

где - давление, - массовая плотность жидкости в сопутствующей системе отсчета, - некоторая константа. ${\ displaystyle p}$ $п$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ ${\ displaystyle w}$ $ш$

В пространственно плоском случае ( k = 0) решение для масштабного фактора:

{\ Displaystyle а (т) = а_ {0} \, т ^ {\ гидроразрыва {2} {3 (ш + 1)}}}

a (t) = a_0 \, t ^ {\ frac {2} {3 (w + 1)}}

где - некоторая постоянная интегрирования, фиксируемая выбором начальных условий. Это семейство решений, обозначенное значком, чрезвычайно важно для космологии. Например, описывает вселенную, в которой преобладает материя, где давление незначительно по сравнению с плотностью массы. Из общего решения легко увидеть, что во Вселенной, где преобладает материя, масштабный коэффициент равен ${\ displaystyle a_ {0}}$ $а_ {0}$ ${\ displaystyle w}$ $ш$ ${\ displaystyle w = 0}$ $w = 0$

{\ Displaystyle а (т) \ пропто т ^ {2/3}}

а (т) \ propto t ^ {2/3}

материальный

Другой важный пример - случай вселенной с преобладанием излучения, т. Е. Когда. Это ведет к ${\ displaystyle w = 1/3}$ $ш = 1/3$

{\ Displaystyle а (т) \ пропто т ^ {1/2}}

а (т) \ propto t ^ {1/2}

радиация преобладает

Отметим, что это решение не справедливо при доминировании космологической постоянной, которая соответствует ан. В этом случае плотность энергии постоянна, а масштабный фактор растет экспоненциально. ${\ displaystyle w = -1}$ $ш = -1$

Решения для других значений k можно найти в Tersic, Balsa. «Конспект лекций по астрофизике» (PDF). Проверено 20 июля 2011 года..

Смеси

Если вещество представляет собой смесь двух или более невзаимодействующих жидкостей, каждая из которых имеет такое уравнение состояния, то

{\ displaystyle {\ dot {\ rho}} _ {f} = - 3H \ left (\ rho _ {f} + {\ frac {p_ {f}} {c ^ {2}}} \ right) \, }

\ dot {\ rho} _ {f} = -3 H \ left (\ rho_ {f} + \ frac {p_ {f}} {c ^ 2} \ right) \,

выполняется отдельно для каждой такой жидкости f. В каждом случае,

{\ displaystyle {\ dot {\ rho}} _ {f} = - 3H \ left (\ rho _ {f} + w_ {f} \ rho _ {f} \ right) \,}

\ dot {\ rho} _ {f} = -3 H \ left (\ rho_ {f} + w_ {f} \ rho_ {f} \ right) \,

откуда мы получаем

{\ displaystyle {\ rho} _ {f} \ propto a ^ {- 3 (1 + w_ {f})} \,.}

{\ rho} _ {f} \ propto a ^ {- 3 (1 + w_ {f})} \,.

Например, можно образовать линейную комбинацию таких терминов

{\ displaystyle \ rho = Aa ^ {- 3} + Ba ^ {- 4} + Ca ^ {0} \,}

\ rho = A a ^ {- 3} + B a ^ {- 4} + C a ^ {0} \,

где: A - плотность «пыли» (обычного вещества, w = 0) при = 1; B - плотность излучения ( w = 1/3) при = 1; и C - плотность «темной энергии» ( w = -1). Затем заменяют это на ${\ displaystyle a}$ $а$ ${\ displaystyle a}$ $а$

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ dot {a}} {a}} \ right) ^ {2} = {\ frac {8 \ pi G} {3}} \ rho - {\ frac {kc ^ {2}} {а ^ {2}}} \,}

\ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho - \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} \,

и решает для как функцию времени. ${\ displaystyle a}$ $а$

Детальный вывод

Чтобы сделать решения более явными, мы можем вывести полные соотношения из первого уравнения Фридмана:

{\ displaystyle {\ frac {H ^ {2}} {H_ {0} ^ {2}}} = \ Omega _ {0, R} a ^ {- 4} + \ Omega _ {0, M} a ^ {-3} + \ Omega _ {0, k} a ^ {- 2} + \ Omega _ {0, \ Lambda}}

{\ displaystyle {\ frac {H ^ {2}} {H_ {0} ^ {2}}} = \ Omega _ {0, R} a ^ {- 4} + \ Omega _ {0, M} a ^ {-3} + \ Omega _ {0, k} a ^ {- 2} + \ Omega _ {0, \ Lambda}}

с участием

{\ displaystyle H = {\ frac {\ dot {a}} {a}}}

{\ displaystyle H = {\ frac {\ dot {a}} {a}}}

{\ displaystyle {H ^ {2}} = H_ {0} ^ {2} (\ Omega _ {0, R} a ^ {- 4} + \ Omega _ {0, M} a ^ {- 3} + \ Omega _ {0, k} a ^ {- 2} + \ Omega _ {0, \ Lambda})}

{\ displaystyle {H ^ {2}} = H_ {0} ^ {2} (\ Omega _ {0, R} a ^ {- 4} + \ Omega _ {0, M} a ^ {- 3} + \ Omega _ {0, k} a ^ {- 2} + \ Omega _ {0, \ Lambda})}

{\ displaystyle H = H_ {0} {\ sqrt {(\ Omega _ {0, R} a ^ {- 4} + \ Omega _ {0, M} a ^ {- 3} + \ Omega _ {0, k} a ^ {- 2} + \ Omega _ {0, \ Lambda}}}}

{\ displaystyle H = H_ {0} {\ sqrt {(\ Omega _ {0, R} a ^ {- 4} + \ Omega _ {0, M} a ^ {- 3} + \ Omega _ {0, k} a ^ {- 2} + \ Omega _ {0, \ Lambda}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ dot {a}} {a}} = H_ {0} {\ sqrt {(\ Omega _ {0, R} a ^ {- 4} + \ Omega _ {0, M} a ^ {- 3} + \ Omega _ {0, k} a ^ {- 2} + \ Omega _ {0, \ Lambda})}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ dot {a}} {a}} = H_ {0} {\ sqrt {(\ Omega _ {0, R} a ^ {- 4} + \ Omega _ {0, M} a ^ {- 3} + \ Omega _ {0, k} a ^ {- 2} + \ Omega _ {0, \ Lambda})}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t}} = H_ {0} {\ sqrt {(\ Omega _ {0, R} a ^ {- 2} + \ Omega _ {0, M} a ^ {- 1} + \ Omega _ {0, k} + \ Omega _ {0, \ Lambda} a ^ {2})}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t}} = H_ {0} {\ sqrt {(\ Omega _ {0, R} a ^ {- 2} + \ Omega _ {0, M} a ^ {- 1} + \ Omega _ {0, k} + \ Omega _ {0, \ Lambda} a ^ {2})}}}

{\ displaystyle \ mathrm {d} a = \ mathrm {d} tH_ {0} {\ sqrt {(\ Omega _ {0, R} a ^ {- 2} + \ Omega _ {0, M} a ^ { -1} + \ Omega _ {0, k} + \ Omega _ {0, \ Lambda} a ^ {2})}}}

{\ displaystyle \ mathrm {d} a = \ mathrm {d} tH_ {0} {\ sqrt {(\ Omega _ {0, R} a ^ {- 2} + \ Omega _ {0, M} a ^ { -1} + \ Omega _ {0, k} + \ Omega _ {0, \ Lambda} a ^ {2})}}}

Перегруппировка и изменение для использования переменных и для интеграции ${\ displaystyle a '}$ $а '$ ${\ displaystyle t '}$ $т '$

{\ displaystyle tH_ {0} = \ int _ {0} ^ {a} {\ frac {\ mathrm {d} a '} {\ sqrt {(\ Omega _ {0, R} a' ^ {- 2} + \ Omega _ {0, M} a '^ {- 1} + \ Omega _ {0, k} + \ Omega _ {0, \ Lambda} a' ^ {2})}}}}

{\ displaystyle tH_ {0} = \ int _ {0} ^ {a} {\ frac {\ mathrm {d} a '} {\ sqrt {(\ Omega _ {0, R} a' ^ {- 2} + \ Omega _ {0, M} a '^ {- 1} + \ Omega _ {0, k} + \ Omega _ {0, \ Lambda} a' ^ {2})}}}}

Могут быть найдены решения для зависимости масштабного фактора от времени для вселенных, в которых доминирует каждый компонент. В каждом из них мы также предположили, что это то же самое, что предположить, что доминирующим источником плотности энергии является. ${\ displaystyle \ Omega _ {0, k} \ приблизительно 0}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0, k} \ приблизительно 0}$ ${\ displaystyle \ приблизительно 1}$ ${\ displaystyle \ приблизительно 1}$

Ибо материя преобладает во вселенных, где и, а также. ${\ displaystyle \ Omega _ {0, M} gt;gt; \ Omega _ {0, R}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0, M} gt;gt; \ Omega _ {0, R}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0, \ Lambda}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0, \ Lambda}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0, M} \ приблизительно 1}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0, M} \ приблизительно 1}$

{\ displaystyle tH_ {0} = \ int _ {0} ^ {a} {\ frac {\ mathrm {d} a '} {\ sqrt {(\ Omega _ {0, M} a' ^ {- 1})}}}}

{\ displaystyle tH_ {0} = \ int _ {0} ^ {a} {\ frac {\ mathrm {d} a '} {\ sqrt {(\ Omega _ {0, M} a' ^ {- 1})}}}}

{\ displaystyle tH_ {0} {\ sqrt {\ Omega _ {0, M}}} = ({\ frac {2} {3}} a '^ {\ frac {3} {2}}) | _ { 0} ^ {а}}

{\ displaystyle tH_ {0} {\ sqrt {\ Omega _ {0, M}}} = ({\ frac {2} {3}} a '^ {\ frac {3} {2}}) | _ { 0} ^ {а}}

{\ displaystyle ({\ frac {3} {2}} tH_ {0} {\ sqrt {\ Omega _ {0, M}}}) ^ {\ frac {2} {3}} = a (t)}

{\ displaystyle ({\ frac {3} {2}} tH_ {0} {\ sqrt {\ Omega _ {0, M}}}) ^ {\ frac {2} {3}} = a (t)}

который восстанавливает вышеупомянутые ${\ Displaystyle а \ propto т ^ {\ гидроразрыва {2} {3}}}$ ${\ Displaystyle а \ propto т ^ {\ гидроразрыва {2} {3}}}$

Для вселенных с преобладанием излучения, где и, а также ${\ displaystyle \ Omega _ {0, R} gt;gt; \ Omega _ {0, M}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0, R} gt;gt; \ Omega _ {0, M}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0, \ Lambda}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0, \ Lambda}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0, R} \ приблизительно 1}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0, R} \ приблизительно 1}$

{\ displaystyle tH_ {0} = \ int _ {0} ^ {a} {\ frac {\ mathrm {d} a '} {\ sqrt {(\ Omega _ {0, R} a' ^ {- 2})}}}}

{\ displaystyle tH_ {0} = \ int _ {0} ^ {a} {\ frac {\ mathrm {d} a '} {\ sqrt {(\ Omega _ {0, R} a' ^ {- 2})}}}}

{\ displaystyle tH_ {0} {\ sqrt {\ Omega _ {0, R}}} = {\ frac {a '^ {2}} {2}} | _ {0} ^ {a}}

{\ displaystyle tH_ {0} {\ sqrt {\ Omega _ {0, R}}} = {\ frac {a '^ {2}} {2}} | _ {0} ^ {a}}

{\ displaystyle (2tH_ {0} {\ sqrt {\ Omega _ {0, R}}}) ^ {\ frac {1} {2}} = a (t)}

{\ displaystyle (2tH_ {0} {\ sqrt {\ Omega _ {0, R}}}) ^ {\ frac {1} {2}} = a (t)}

Для доминируемых вселенных, где и, а также и где мы теперь изменим наши границы интеграции с на и аналогично на. ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Лямбда$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0, \ Lambda} gt;gt; \ Omega _ {0, R}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0, \ Lambda} gt;gt; \ Omega _ {0, R}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0, M}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0, M}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0, \ Lambda} \ приблизительно 1}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0, \ Lambda} \ приблизительно 1}$ ${\ displaystyle t_ {i}}$ $t_ {i}$ ${\ displaystyle t}$ $т$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $а_ {i}$ ${\ displaystyle a}$ $а$

{\ displaystyle (t-t_ {i}) H_ {0} = \ int _ {a_ {i}} ^ {a} {\ frac {\ mathrm {d} a '} {\ sqrt {(\ Omega _ { 0, \ Lambda} a '^ {2})}}}}

{\ displaystyle (t-t_ {i}) H_ {0} = \ int _ {a_ {i}} ^ {a} {\ frac {\ mathrm {d} a '} {\ sqrt {(\ Omega _ { 0, \ Lambda} a '^ {2})}}}}

{\ displaystyle (t-t_ {i}) H_ {0} {\ sqrt {\ Omega _ {0, \ Lambda}}} = \ mathrm {ln} (| a '|) | _ {a_ {i}} ^ {а}}

{\ displaystyle (t-t_ {i}) H_ {0} {\ sqrt {\ Omega _ {0, \ Lambda}}} = \ mathrm {ln} (| a '|) | _ {a_ {i}} ^ {а}}

{\ displaystyle a_ {i} \ mathrm {e} ^ {(t-t_ {i}) H_ {0} {\ sqrt {\ Omega _ {0, \ Lambda}}}} = a (t)}

{\ displaystyle a_ {i} \ mathrm {e} ^ {(t-t_ {i}) H_ {0} {\ sqrt {\ Omega _ {0, \ Lambda}}}} = a (t)}

Решение о доминировании вселенной представляет особый интерес, потому что вторая производная по времени положительна, не равна нулю; другими словами, подразумевая ускоренное расширение Вселенной, делая кандидата на темную энергию : ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Лямбда$ ${\ displaystyle \ rho _ {лямбда}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {лямбда}}$

{\ displaystyle a (t) = a_ {i} \ mathrm {e} ^ {(t-t_ {i}) H_ {0} {\ sqrt {\ Omega _ {0, \ Lambda}}}}}

{\ displaystyle a (t) = a_ {i} \ mathrm {e} ^ {(t-t_ {i}) H_ {0} {\ sqrt {\ Omega _ {0, \ Lambda}}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} a (t)} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = a_ {i} (H_ {0}) ^ {2} \ Омега _ {0, \ Lambda} \ mathrm {e} ^ {(t-t_ {i}) H_ {0} {\ sqrt {\ Omega _ {0, \ Lambda}}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} a (t)} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = a_ {i} (H_ {0}) ^ {2} \ Омега _ {0, \ Lambda} \ mathrm {e} ^ {(t-t_ {i}) H_ {0} {\ sqrt {\ Omega _ {0, \ Lambda}}}}}

В то время как по конструкции наши допущения были положительными и считались положительными, из-за чего ускорение было больше нуля. ${\ displaystyle a_ {i}gt; 0}$ $а_ {i}gt; 0$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0, \ Lambda} \ приблизительно 1}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0, \ Lambda} \ приблизительно 1}$ ${\ displaystyle H_ {0}}$ $H_ {0}$

Перемасштабированное уравнение Фридмана

Задайте, где и являются отдельно масштабным коэффициентом и параметром Хаббла сегодня. Тогда мы можем иметь ${\ displaystyle {\ tilde {a}} = {\ frac {a} {a_ {0}}}, \; \ rho _ {c} = {\ frac {3H_ {0} ^ {2}} {8 \ pi G}}, \; \ Omega = {\ frac {\ rho} {\ rho _ {c}}}, \; t = {\ frac {\ tilde {t}} {H_ {0}}}, \ ; \ Omega _ {c} = - {\ frac {kc ^ {2}} {H_ {0} ^ {2} a_ {0} ^ {2}}} \;}$ $\ tilde {a} = \ frac {a} {a_0}, \; \ rho_c = \ frac {3H_0 ^ 2} {8 \ pi G}, \; \ Omega = \ frac {\ rho} {\ rho_c}, \; t = \ frac {\ tilde {t}} {H_0}, \; \ Omega_c = - \ frac {kc ^ 2} {H_0 ^ 2 a_0 ^ 2} \;$ ${\ displaystyle a_ {0}}$ $а_ {0}$ ${\ displaystyle H_ {0}}$ $H_ {0}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {d {\ tilde {a}}} {d {\ tilde {t}}}} \ right) ^ {2} + U_ { \ text {eff}} ({\ tilde {a}}) = {\ frac {1} {2}} \ Omega _ {c}}

{\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {d {\ tilde {a}}} {d {\ tilde {t}}}} \ right) ^ {2} + U _ {{\ text {eff}}} ({\ tilde {a}}) = {\ frac {1} {2}} \ Omega _ {c}

где. Для любой формы эффективного потенциала существует уравнение состояния, которое его создаст. ${\ displaystyle U _ {\ text {eff}} ({\ tilde {a}}) = {\ frac {- \ Omega {\ tilde {a}} ^ {2}} {2}} \;}$ ${\ displaystyle U _ {\ text {eff}} ({\ tilde {a}}) = {\ frac {- \ Omega {\ tilde {a}} ^ {2}} {2}} \;}$ ${\ Displaystyle U _ {\ текст {eff}} ({\ тильда {а}}) \;}$ $U _ {{\ text {eff}}} ({\ tilde {a}}) \;$ ${\ Displaystyle р = р (\ ро)}$ $р = р (\ ро)$

Смотрите также

Заметки

дальнейшее чтение

Либшер, Дирк-Эккехард (2005). «Расширение». Космология. Берлин: Springer. С. 53–77. ISBN 3-540-23261-3.