Внутренняя метрика Шварцшильда

В теории общей теории относительности в теории Эйнштейна, внутреннее Метрика Шварцшильда (также внутренний раствор Шварцшильда или жидкий раствор Шварцшильда ) является точным решением для гравитационного поля внутри невращающегося сферического тела, которое состоит из несжимаемой жидкости (подразумевая, что плотность постоянна во всем теле) и имеет нулевое давление на поверхности. Это статическое решение, означающее, что оно не меняется со временем. Он был открыт Карлом Шварцшильдом в 1916 году, который ранее обнаружил внешнюю метрику Шварцшильда.

• 1 Математика
  • 1.1 Другие формулировки
• 2 Свойства
  • 2.1 Объем
  • 2.2 Плотность
  • 2.3 Давление и стабильность
  • 2.4 Красное смещение
• 3 Визуализация
• 4 Примеры
• 5 История
• 6 Ссылки

Сферические координаты

Внутренняя метрика Шварцшильда обрамлена в сферической системе координат с центром тела, расположенным в начале координат, плюс координата времени. Его элемент строки is

$c\; 2\; d\; \tau \; 2\; =\; 1\; 4\; (3\; 1\; -\; rsrg\; -\; 1\; -\; r\; 2\; rsrg\; 3)\; 2\; c\; 2\; dt\; 2\; -\; (1\; -\; r\; 2\; rsrg\; 3)\; -\; 1\; dr\; 2\; -\; r\; 2\; (d\; \theta \; 2\; +\; грех\; 2\; \; \theta \; d\; \phi \; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; ^\; \{2\}\; \{d\; \backslash \; tau\}\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; left\; (3\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{r\_\; \{s\}\}\; \{r\_\; \{g\}\}\}\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{r\; ^\; \{2\}\; r\_\; \{s\}\}\; \{r\_\; \{g\}\; ^\; \{3\; \}\}\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; c\; ^\; \{2\}\; dt\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{r\; ^\; \{2\}\; r\_\; \{s\}\}\; \{r\_\; \{g\}\; ^\; \{3\; \}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}\; dr\; ^\; \{2\}\; -r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (d\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; d\; \backslash \; varphi\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right),\}$

где

• $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$- это собственное время (время, измеренное часами, движущимися по той же мировой линии с тестовой частицей ),
• $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$- это скорость света,
• $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$- это координата времени (измеряется стационарными часами, расположенными бесконечно далеко от сферического тела),
• $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$- это радиальная координата Шварцшильда, которая равна радиальному расстоянию от точки до центра точка была бы, если бы пространство не было искажено массой; уравнение в равной степени расстояние, которое можно было бы ожидать при наивном проецировании вовнутрь неискривленной, евклидовой геометрии, предположительно существующей в бесконечно удаленном месте, где гравитационное искривление тела достигает нуля. (Из-за деформации пространства это значение координаты меньше, чем действительное измеримое расстояние от центральной точки, хотя в случае планет разница незначительна.)
• $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$- широта (угол от севера, в единицах радиан ),
• $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$- долгота (также в радианах),
• $rs\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{s\}\}$- это радиус Шварцшильда тела, который связан с его массой $M\; \{\; \backslash \; displaystyle\; M\}$by $rs\; =\; 2\; GM\; /\; c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{s\}\; =\; 2GM\; /\; c\; ^\; \{2\}\}$, где $G\; \{\; \backslash \; displaystyle\; G\}$- гравитационная постоянная. (Для обычных звезд и планет это намного меньше их надлежащего радиуса.)
• $rg\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{g\}\}$- значение $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$-координаты на поверхности тела (это меньше, чем его собственный (измеримый внутренний) радиус, хотя для Земли разница всего около 1,4 миллиметров.)

Это решение действительно для $r\; \le \; r\; g\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; leq\; r\_\; \{g\}\}$. Для полной метрики гравитационного поля сферы внутренняя метрика Шварцшильда должна быть согласована с внешней,

$c\; 2\; d\; \tau \; 2\; =\; (1\; -\; rsr)\; c\; 2\; dt\; 2\; -\; (1\; -\; rsr)\; -\; 1\; dr\; 2\; -\; р\; 2\; (d\; \theta \; 2\; +\; грех\; 2\; \; \theta \; d\; \phi \; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; ^\; \{2\}\; \{d\; \backslash \; tau\}\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{r\_\; \{s\}\})\; \{r\}\}\; \backslash \; right)\; c\; ^\; \{2\}\; dt\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{r\_\; \{s\}\}\; \{r\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}\; dr\; ^\; \{2\}\; -\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (d\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; d\; \backslash \; varphi\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right),\}$

на поверхности. Легко видеть, что у них одинаковое значение на поверхности, то есть при $r\; =\; rg\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; r\_\; \{g\}\}$.

Другие формулировки

Определение параметра $R\; 2\; =\; rg\; 3\; /\; rs\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{R\}\}\; ^\; \{2\}\; =\; r\_\; \{g\}\; ^\; \{3\}\; /\; r\_\; \{s\}\}$, получаем

$c\; 2\; d\; \tau \; 2\; =\; 1\; 4\; (3\; 1\; -\; rg\; 2\; R\; 2\; -\; 1\; -\; r\; 2\; R\; 2)\; 2\; c\; 2\; dt\; 2\; -\; (1\; -\; r\; 2\; R\; 2)\; -\; 1\; dr\; 2\; -\; r\; 2\; (d\; \theta \; 2\; +\; sin\; 2\; \; \theta \; d\; \phi \; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; ^\; \{2\}\; \{d\; \backslash \; tau\}\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; left\; (3\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{r\_\; \{g\}\; ^\; \{2\})\; \}\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{R\}\}\; ^\; \{2\}\}\}\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{r\; ^\; \{2\}\}\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{R\}\}\; ^\; \{2\}\}\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; c\; ^\; \{2\}\; dt\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{r\; ^\; \{2\}\}\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{R\}\}\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}\; dr\; ^\; \{2\}\; -r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (d\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; d\; \backslash \; varphi\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right).\}$

Мы также можем определить альтернативную радиальную координату $\eta \; =\; arcsin\; \; r\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; =\; \backslash \; arcsin\; \{\backslash \; frac\; \{r\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{R\}\}\}\}$и соответствующий параметр $\eta \; g\; =\; arcsin\; \; rg\; R\; =\; arcsin\; \; rsrg\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; \_\; \{g\}\; =\; \backslash \; arcsin\; \{\backslash \; frac\; \{r\_\; \{g\}\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{R\}\}\}\; =\; \backslash \; arcsin\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{r\_\; \{s\}\}\; \{r\_\; \{g\}\}\}\}\}$, что дает

$c\; 2\; d\; \tau \; 2\; =\; (3\; cos\; \; \eta \; g\; -\; cos\; \; \eta \; 2)\; 2\; c\; 2\; dt\; 2\; -\; dr\; 2\; cos\; 2\; \; \eta \; -\; r\; 2\; (d\; \theta \; 2\; +\; sin\; 2\; \; \theta \; d\; \phi \; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; ^\; \{2\}\; \{d\; \backslash \; tau\}\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{3\; \backslash \; cos\; \backslash \; eta\; \_\; \{g\}\; -\; \backslash \; cos\; \backslash \; eta\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\; \}\; c\; ^\; \{2\}\; dt\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{dr\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; eta\}\}\; -\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (d\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; d\; \backslash \; varphi\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right).\}$

Объем

С $grr\; =\; (1\; -\; rsr\; 2\; /\; rg\; 3)\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{rr\}\; =\; (1-r\_\; \{s\}\; r\; ^\; \{2\}\; /\; r\_\; \{g\}\; ^\; \{3\})\; ^\; \{-\; 1\}\}$и area $A\; =\; 4\; \pi \; r\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; 4\; \backslash \; pi\; r\; ^\; \{2\}\}$

интеграл для правильного объема равен

$V\; =\; \int \; 0\; rg\; A\; grrdr\; =\; 2\; \pi \; (rg\; 9\; /\; 2\; arcsin\; \; rsrgrs\; 3/2\; -\; rg\; 4\; 1\; -\; rsrgrs)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{r\_\; \{g\}\}\; A\; \{\backslash \; sqrt\; \{g\_\; \{rr\}\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; rm\; \{\; d\}\}\; r\; =\; 2\; \backslash \; pi\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{r\_\; \{g\}\; ^\; \{9/2\}\; \backslash \; arcsin\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{r\_\; \{s\}\}\; \{r\_\; \{g\}\}\}\}\}\; \{r\_\; \{s\}\; ^\; \{3/2\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{r\_\; \{g\}\; ^\; \{4\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{r\_\; \{s\}\}\; \{r\_\; \{g\}\}\}\}\}\}\; \{\; r\_\; \{s\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

который больше, чем объем евклидовой эталонной оболочки.

Плотность

По определению жидкость имеет постоянную плотность. Он задается формулой

$\rho \; =\; M\; 4\; \pi \; 3\; rg\; 3\; =\; 3\; \kappa \; R\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; =\; \{\backslash \; frac\; \{M\}\; \{\{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\}\; \{3\}\}\; r\_\; \{g\}\; ^\; \{3\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{\backslash \; kappa\; \{\backslash \; mathcal\; \{R\}\}\; ^\; \{2\}\}\},\}$

были $\kappa \; =\; 8\; \pi \; G\; /\; c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; каппа\; =\; 8\; \backslash \; pi\; G\; /\; c\; ^\; \{2\}\}$- гравитационная постоянная Эйнштейна. Может показаться нелогичным, что плотность - это масса, деленная на объем сферы с радиусом $rg\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{g\}\}$, что, кажется, игнорирует, что это меньше правильного радиуса., и это пространство внутри тела искривлено, так что формула объема для "плоской" сферы вообще не должна выполняться. Однако $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$- это масса, измеренная снаружи, например, путем наблюдения за пробной частицей, вращающейся вокруг гравитирующего тела («масса Кеплера »), которая в общей теории относительности не обязательно равна собственной массе. Эта разница масс в точности нивелирует разницу в объемах.

Давление и стабильность

Давление несжимаемой жидкости можно найти, вычислив тензор Эйнштейна $G\; \mu \; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\; \}\}$из метрики. Тензор Эйнштейна является диагональным (т.е. все недиагональные элементы равны нулю), что означает отсутствие касательных напряжений, и имеет равные значения для трех пространственных диагональных компонентов, что означает, что давление равно изотропный. Его значение

$p\; =\; \rho \; c\; 2\; cos\; \; \eta \; -\; cos\; \; \eta \; g\; 3\; cos\; \; \eta \; g\; -\; cos\; \; \eta .\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; \backslash \; rho\; c\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; eta\; -\; \backslash \; cos\; \backslash \; eta\; \_\; \{g\}\}\; \{3\; \backslash \; cos\; \backslash \; eta\; \_\; \{g\}\; -\; \backslash \; cos\; \backslash \; eta\}\}.\}$

Как и ожидалось, давление на поверхности сферы равно нулю и возрастает к центру. Он становится бесконечным в центре, если $cos\; \; \eta \; g\; =\; 1/3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \backslash \; eta\; \_\; \{g\}\; =\; 1/3\}$, что соответствует $rs\; =\; 8\; 9\; rg\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{s\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{8\}\; \{9\}\}\; r\_\; \{g\}\}$или $\eta \; g\; \approx \; 70,5\; \circ \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; \_\; \{g\}\; \backslash \; приблизительно\; 70,5\; ^\; \{\backslash \; circ\}\}$, что верно для очень плотного или большого тела. Такое тело испытывает гравитационный коллапс в черную дыру. Поскольку это процесс, зависящий от времени, решение Шварцшильда больше не действует.

Красное смещение

Гравитационное красное смещение для излучения от поверхности сферы (например, света от звезды)

$z\; =\; 1\; cos\; \; \eta \; g\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; eta\; \_\; \{g\}\}\}\; -\; 1.\}$

Из условия устойчивости $cos\; \; \eta \; g>1/3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \backslash \; eta\; \_\; \{g\}>1/3\}$следует .

Встраивание метрики Шварцшильда в трехмерное пространство. Евклидово решение внутри более темный колпачок внизу.. Это вложение не следует путать с несвязанной концепцией гравитационного колодца.

Пространственная кривизна внутренней метрики Шварцшильда может быть визуализирована с помощью срез (1) с постоянным временем и (2) через экватор сферы, т.е. $t\; =\; const.,\; \theta \; знак\; равно\; \pi \; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; const.,\; \backslash \; theta\; =\; \backslash \; pi\; /\; 2\}$. Этот двумерный срез может быть встроен в трехмерное евклидово пространство, а затем принимает форму сферической крышки с радиусом $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{R\; \}\}\}$и половинный угол раскрытия $\eta \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; \_\; \{g\}\}$. Его гауссова кривизна $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$пропорциональна плотности жидкости и равна $R\; -\; 2\; =\; rs\; /\; rg\; 3\; =\; \rho \; \kappa \; /\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{R\}\}\; ^\; \{-\; 2\}\; =\; r\_\; \{s\}\; /\; r\_\; \{g\}\; ^\; \{3\}\; =\; \backslash \; rho\; \backslash \; kappa\; /\; 3\}$. Так как внешняя метрика может быть встроена таким же образом (что дает параболоид Фламма ), часть полного решения может быть нарисована следующим образом:

На этом рисунке синяя дуга окружности представляет внутреннюю метрику, и черные параболические дуги с уравнением $w\; =\; 2\; rs\; (r\; -\; rs)\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; =\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{r\_\; \{s\}\; (r-r\_\; \{s\})\}\; \}\}$представляют собой внешнюю метрику или параболоид Фламма. Координата $\eta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\}$- это угол, отсчитываемый от центра колпачка, то есть «над» срезом. Собственный радиус сферы - интуитивно понятно, что длина измерительного стержня, простирающегося от его центра до точки на его поверхности, - составляет половину длины дуги окружности, или $\eta \; g\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; \_\; \{g\; \}\; \{\backslash \; mathcal\; \{R\}\}\}$.

Это чисто геометрическая визуализация, не подразумевающая физического «четвертого пространственного измерения», в которое пространство было бы искривлено. (Собственная кривизна не подразумевает внешней кривизны.)

Вот соответствующие параметры для некоторых астрономических объектов, без учета вращения и неоднородностей, таких как отклонение от сферической формы и изменение плотности.

Объект	$rg\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{g\}\}$	$rs\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{s\}\}$	$R\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{R\}\}\}$	$\eta \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; \_\; \{g\}\}$	$z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$(красное смещение )
Земля	6 370 км	8,87 мм	170 000 000 км. 9,5 световые минуты	7,7 ″	7 × 10
Солнце	696000 км	2,95 км	338000000 км. 19 световых минут	7,0 ′	2 × 10
Белый карлик с массой 1 Солнца	5000 км	2,95 км	200000 км	1,4 °	3 × 10
Нейтронная звезда с 2 массами Солнца	20 км	6 км	37 км	30 °	0,15

Внутреннее решение Шварцшильда было первым статическим сферически-симметричным идеальным жидким решением, которое было найденный. Он был опубликован 24 февраля 1916 г., всего через три месяца после уравнений поля Эйнштейна и через месяц после внешнего решения Шварцшильда.