Линейный элемент

редактировать

В geometry, элемент линии или элемент длины неформально можно представить себе как сегмент линии, связанный с бесконечно малым вектором смещения в метрическом пространстве. Длина линейного элемента, которую можно представить как разность длины дуги, является функцией метрического тензора и обозначается ds

Line elements используются в физике, особенно в теориях гравитации (особенно общей теории относительности ), где пространство-время моделируется как искривленное Псевдориманово многообразие с подходящим метрическим тензором.

Содержание

1 Общая формулировка
- 1.1 Определение линейного элемента и длины дуги
- 1.2 Идентификация квадрата линейного элемента с метрический тензор
2 Линейные элементы в евклидовом пространстве
- 2.1 Декартовы координаты
- 2.2 Ортогональные криволинейные координаты
3 Общие криволинейные координаты
4 Линейные элементы в 4-м пространстве-времени
- 4.1 Минковское пространство-время
- 4.2 Координаты Шварцшильда
- 4.3 Общее пространство-время
5 См. Также
6 Ссылки

Общая формулировка

Определение линейного элемента и длины дуги

Координата dinate -независимое определение квадрата линейного элемента ds в n- мерном римановом или псевдоримановом многообразии (в физике обычно Лоренцево многообразие ) - это «квадрат длины» бесконечно малого смещения $dq {\ displaystyle d \ mathbf {q}}$ ${\ displaystyle d \ mathbf {q}}$ (в псевдоримановых многообразиях возможно отрицательное), квадратный корень которого следует использовать для вычисления длины кривой:

ds 2 = dq ⋅ dq = g (dq, dq) {\ displaystyle ds ^ {2} = d \ mathbf {q} \ cdot d \ mathbf {q} = g ( d \ mathbf {q}, d \ mathbf {q})}

{\ displaystyle ds ^ {2} = d \ mathbf {q} \ cdot d \ mathbf {q} = g (d \ mathbf {q}, d \ mathbf {q})}

где g - метрический тензор,, ·обозначает внутренний продукт, а d q - бесконечно малое смещение на (псевдо) римановом многообразии. Путем параметризации кривой $q (λ) {\ displaystyle q (\ lambda)}$ ${\ displaystyle q (\ lambda)}$ , параметризованной параметром $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ , мы можем определить длину дуги длины кривой кривой между $q (λ 1) {\ displaystyle q (\ lambda _ {1})}$ ${\ display стиль q (\ lambda _ {1})}$ , а $q (λ 2) {\ displaystyle q (\ lambda _ {2})}$ ${\ displaystyle q (\ lambda _ {2})}$ - интеграл :

s = ∫ λ 1 λ 2 d λ | d s 2 | = ∫ λ 1 λ 2 d λ | g (d q d λ, d q d λ) | = ∫ λ 1 λ 2 d λ | g i j d q i d λ d q j d λ | {\ displaystyle s = \ int _ {\ lambda _ {1}} ^ {\ lambda _ {2}} d \ lambda {\ sqrt {\ left | ds ^ {2} \ right |}} = \ int _ { \ lambda _ {1}} ^ {\ lambda _ {2}} d \ lambda {\ sqrt {\ left | g \ left ({\ frac {dq} {d \ lambda}}, {\ frac {dq} { d \ lambda}} \ right) \ right |}} = \ int _ {\ lambda _ {1}} ^ {\ lambda _ {2}} d \ lambda {\ sqrt {\ left | g_ {ij} {\ frac {dq ^ {i}} {d \ lambda}} {\ frac {dq ^ {j}} {d \ lambda}} \ right |}}}

{\ displaystyle s = \ int _ {\ lambda _ {1}} ^ {\ lambda _ {2}} d \ lambda {\ sqrt {\ left | ds ^ {2} \ right |}} = \ int _ {\ lambda _ {1}} ^ {\ lambda _ {2}} d \ lambda {\ sqrt {\ left | g \ left ({\ frac {dq} { d \ lambda}}, {\ frac {dq} {d \ lambda}} \ right) \ right |}} = \ int _ {\ lambda _ {1}} ^ {\ lambda _ {2}} d \ lambda {\ sqrt {\ left | g_ {ij} {\ frac {dq ^ {i}} {d \ lambda}} {\ frac {dq ^ {j}} {d \ lambda}} \ right |}}}

Чтобы вычислить разумную длину кривых в псевдоримановых многообразиях, лучше всего считать, что бесконечно малые смещения везде имеют один и тот же знак. Например. в физике квадрат линейного элемента вдоль кривой временной шкалы (в соглашении о подписи $- + + + {\ displaystyle - +++}$ ${\ displaystyle - +++}$ ) будет отрицательным, а отрицательный квадратный корень из квадрата линейного элемента вдоль кривой будет измерять собственное время, прошедшее для наблюдателя, движущегося по кривой. С этой точки зрения, метрика также определяет в дополнение к линейному элементу поверхность и элементы объема и т. Д.

Идентификация квадрата линейного элемента с метрическим тензором

Поскольку $dq {\ displaystyle d \ mathbf {q}}$ ${\ displaystyle d \ mathbf {q}}$ является произвольным "квадратом длина дуги " $ds 2 {\ displaystyle ds ^ {2}}$ $ds ^ {2}$ полностью определяет метрику, поэтому обычно лучше рассматривать выражение для $ds 2 {\ displaystyle ds ^ { 2}}$ $ds ^ {2}$ как определение самого метрического тензора, записанное в наводящей на размышления, но не тензорной записи:

ds 2 = g {\ displaystyle ds ^ {2} = g}

{\ displaystyle ds ^ {2} = g}

Эта идентификация квадрата длины дуги $ds 2 {\ displaystyle ds ^ {2}}$ $ds ^ {2}$ с метрикой еще проще увидеть в n-мерных общих криволинейных координатах q= ( q, q, q,..., q), где он записывается как симметричный тензор 2-го ранга, совпадающий с метрическим тензором:

ds 2 = gijdqidqj = g {\ displaystyle ds ^ {2} = g_ {ij } dq ^ {i} dq ^ {j} = g}

{\ displaystyle ds ^ {2} = g_ { ij} dq ^ {i} dq ^ {j} = g}

Здесь индексы i и j принимают значения 1, 2, 3,..., n и соглашение о суммировании Эйнштейна используется. Общие примеры (псевдо) римановых пространств включают трехмерное пространство (без включения временных координат) и действительно четырехмерное пространство-время.

Линейные элементы в евклидовом пространстве

Линейные элементы вектора d r (зеленый) в 3d евклидовом пространстве, где λ - параметр пространственной кривой (светло-зеленый).

Ниже приведены примеры того, как элементы линии находятся из метрики.

Декартовы координаты

Простейший элемент строки находится в декартовых координатах - в этом случае метрика - это просто дельта Кронекера :

gij = δ ij { \ displaystyle g_ {ij} = \ delta _ {ij}}

g _ {{ij}} = \ delta _ {{ij}}

(здесь i, j = 1, 2, 3 для пробела) или в форме матрицы (i обозначает строку, j обозначает столбец) :

[gij] = (1 0 0 0 1 0 0 0 1) {\ displaystyle [g_ {ij}] = {\ begin {pmatrix} 1 0 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 1 \ end {pmatrix}}}

[g _ {{ij}}] = {\ begin {pmatrix} 1 0 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 1 \ end {pmatrix}}

Общие криволинейные координаты сводятся к декартовым координатам:

(q 1, q 2, q 3) = (x, y, z) ⇒ dr = (dx, dy, dz) {\ displaystyle (q ^ {1 }, q ^ {2}, q ^ {3}) = (x, y, z) \, \ Rightarrow \, d \ mathbf {r} = (dx, dy, dz)}

{\ displaystyle (q ^ {1}, q ^ {2}, q ^ {3}) = (x, y, z) \, \ Rightarrow \, d \ mathbf {r} = (dx, dy, dz)}

поэтому

ds 2 = gijdqidqj = dx 2 + dy 2 + dz 2 {\ displaystyle ds ^ {2} = g_ {ij} dq ^ {i} dq ^ {j} = dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2}}

ds ^ {2} = g _ {{ij} } dq ^ {i} dq ^ {j} = dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2}

Ортогональные криволинейные координаты

Для всех ортогональных координат метрика определяется следующим образом:

[gij] = (h 1 2 0 0 0 h 2 2 0 0 0 час 3 2) {\ displaystyle [g_ {ij}] = {\ begin {pmatrix} h_ {1} ^ {2} 0 0 \\ 0 h_ { 2} ^ {2} 0 \\ 0 0 h_ {3} ^ {2} \ end {pmatrix}}}

[g _ {{ij}}] = {\ begin {pmatrix} h_ {1 } ^ {2} 0 0 \\ 0 h_ {2} ^ {2} 0 \\ 0 0 h_ {3} ^ {2} \ end {p матрица}}

где

h i = | ∂ r ∂ q i | {\ displaystyle h_ {i} = \ left | {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial q ^ {i}}} \ right |}

{\ displaystyle h_ {i} = \ left | {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial q ^ {i}}} \ right |}

для i = 1, 2, 3 являются масштабные коэффициенты, поэтому квадрат линейного элемента равен:

ds 2 = h 1 2 (dq 1) 2 + h 2 2 (dq 2) 2 + h 3 2 (dq 3) 2 { \ displaystyle ds ^ {2} = h_ {1} ^ {2} (dq ^ {1}) ^ {2} + h_ {2} ^ {2} (dq ^ {2}) ^ {2} + h_ { 3} ^ {2} (dq ^ {3}) ^ {2}}

{\ displaystyle ds ^ {2} = h_ {1} ^ {2} (dq ^ {1}) ^ {2} + h_ {2} ^ {2} (dq ^ {2}) ^ {2} + h_ {3} ^ {2} (dq ^ {3}) ^ {2}}

Ниже приведены некоторые примеры линейных элементов в этих координатах.

Система координат	(q, q, q)	Метрика	Элемент строки
Декартово	(x, y, z)	$[gij] = (1 0 0 0 1 0 0 0 1) {\ displaystyle [g_ {ij}] = {\ begin {pmatrix} 1 0 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 1 \\\ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle [g_ {ij}] = {\ begin {pmatrix} 1 0 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 1 \\\ end {pmatrix}}}$	$ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 {\ displaystyle ds ^ {2 } = dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2}}$ ${\ displaystyle ds ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} }$
Плоские полярные координаты	(r, θ)	$[gij] = (1 0 0 r 2) {\ displaystyle [g_ {ij}] = {\ begin {pmatrix} 1 0 \\ 0 r ^ {2} \\\ end {pmatrix}}}$ $[g _ {{ij}}] = {\ begin {pmatrix} 1 0 \\ 0 r ^ {2} \\\ end {pmatrix}}$	$ds 2 = dr 2 + r 2 d θ 2 {\ displaystyle ds ^ { 2} = dr ^ {2} + r ^ {2} d \ theta \ ^ {2}}$ $ds ^ {2} = dr ^ {2} + r ^ {2 } d \ theta \ ^ {2}$
Сферические поляры	(r, θ, φ)	$[gij] = (1 0 0 0 г 2 0 0 0 г 2 грех 2 ⁡ θ) {\ displaystyle [g_ {ij}] = {\ begin {pmatrix} 1 0 0 \\ 0 r ^ {2} 0 \\ 0 0 r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \\\ end {pmatrix}}}$ $[g _ {{ij}}] = {\ begin {pmatrix} 1 0 0 \\ 0 r ^ { 2} 0 \\ 0 0 r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \\\ end {pmatrix}}$	$ds 2 = dr 2 + r 2 d θ 2 + r 2 sin 2 ⁡ θ d ϕ 2 {\ displaystyle ds ^ {2} = dr ^ {2} + r ^ {2} d \ theta \ ^ {2 } + r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ d \ phi \ ^ {2}}$ $ds ^ {2} = dr ^ {2} + r ^ {2} d \ theta \ ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ d \ phi \ ^ {2}$
Цилиндрические поляры	(r, θ, z)	$[gij] = (1 0 0 0 р 2 0 0 0 1) {\ displaystyle [g_ {ij}] = {\ begin {pmatrix} 1 0 0 \\ 0 r ^ {2} 0 \\ 0 0 1 \\\ end {pmatrix}}}$ $[g _ {{ij}} ] = {\ begin {pmatrix} 1 0 0 \\ 0 r ^ {2} 0 \\ 0 0 1 \\\ end {pmatrix}}$	$ds 2 = dr 2 + r 2 d θ 2 + dz 2 {\ displaystyle ds ^ {2} = dr ^ {2} + r ^ {2} d \ theta \ ^ {2} + dz ^ {2}}$ $ds ^ {2} = dr ^ {2} + r ^ {2} d \ theta \ ^ {2 } + dz ^ {2}$

Общие криволинейные координаты

Для произвольного базиса пространства размерности $n, {b ^ i} {\ displaystyle n, \ {{\ hat {b}} _ {i} \}}$ ${\ displaystyle n, \ {{\ hat {b}} _ {i} \}}$ , показатель определяется как внутренний продукт базисных векторов.

$gij = ⟨b ^ i, b ^ j⟩ {\ displaystyle g_ {ij} = \ langle {\ hat {b}} _ {i}, {\ hat {b}} _ {j} \ rangle}$ ${\ displaystyle g_ {ij} = \ langle {\ hat {b}} _ {i}, {\ hat {b}} _ {j} \ rangle}$

Где $1 ≤ i, j ≤ n {\ displaystyle 1 \ leq i, j \ leq n}$ $1 \ leq i, j \ leq n$ , а внутренний продукт относится к окружающему пространству (обычно это $δ ij {\ displaystyle \ delta _ {ij}}$ $\ delta _ {ij}$ )

. в основе координат $b ^ i = ∂ ∂ xi {\ displaystyle {\ hat {b}} _ {i} = {\ frac {\ partial } {\ partial x ^ {i}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {b}} _ {i} = {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}}}$

Координатный базис - это особый тип базиса, который регулярно используется в дифференциальной геометрии.

Линейные элементы в 4-м пространстве-времени

Минковский пространство-время

метрика Минковского :

[gij] = ± (1 0 0 0 0 - 1 0 0 0 0 - 1 0 0 0 0 - 1) {\ displaystyle [g_ {ij}] = \ pm {\ begin {pmatrix} 1 0 0 0 \\ 0 -1 0 0 \\ 0 0 -1 0 \\ 0 0 0 -1 \\\ end {pmatrix}}}

[g_ {ij}] = \ pm \ begin {pmatrix} 1 0 0 0 \\ 0 -1 0 0 \\ 0 0 -1 0 \\ 0 0 0 -1 \\ \ конец {pmatrix}

где один или другой знак выбрано, используются оба соглашения. Это применимо только для плоского пространства-времени. Координаты задаются 4-позиционным :

x = (x 0, x 1, x 2, x 3) = (ct, r) ⇒, dx = (cd т, др) {\ Displaystyle \ mathbf {х} = (х ^ {0}, х ^ {1}, х ^ {2}, х ^ {3}) = (CT, \ mathbf {r}) \, \ Rightarrow, \, d \ mathbf {x} = (cdt, d \ mathbf {r})}

{\ displaystyle \ mathbf {x} = (x ^ {0}, x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3}) = ( ct, \ mathbf {r}) \, \ Rightarrow, \, d \ mathbf {x} = (cdt, d \ mathbf {r})}

, поэтому элемент строки:

ds 2 = ± (c 2 dt 2 - dr ⋅ dr). {\ displaystyle ds ^ {2} = \ pm (c ^ {2} dt ^ {2} -d \ mathbf {r} \ cdot d \ mathbf {r}).}

{\ displaystyle ds ^ {2} = \ pm (c ^ {2} dt ^ {2} -d \ mathbf {r} \ cdot d \ mathbf {r}).}

Координаты Шварцшильда

В координатах Шварцшильда координаты равны $(t, r, θ, ϕ) {\ displaystyle \ left (t, r, \ theta, \ phi \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (t, r, \ theta, \ phi \ right)}$ , является общей метрикой вида: