Геодезический эффект

редактировать

A представление геодезического эффекта.

геодезический эффект (также известный как геодезическая прецессия, прецессия де Ситтера или эффект де Ситтера ) представляет собой эффект кривизны пространства-времени, предсказанный общей теорией относительности, на вектор, переносимый вместе с вращающимся телом. Например, вектор может быть угловым моментом гироскопа, вращающегося вокруг Земли, как было выполнено в эксперименте Gravity Probe B. Геодезический эффект был впервые предсказан Виллемом де Ситтером в 1916 году, который внес релятивистские поправки в движение системы Земля-Луна. Работа Де Ситтера была расширена в 1918 г. Яном Схоутеном, а в 1920 г. Адрианом Фоккером. Его также можно применить к конкретной вековой прецессии астрономических орбит, эквивалентной вращению вектора Лапласа – Рунге – Ленца.

. Термин геодезический эффект имеет два немного разные значения, поскольку движущееся тело может вращаться или не вращаться. Невращающиеся тела движутся по геодезическим, тогда как вращающиеся тела движутся по несколько разным орбитам.

Разница между прецессией де Ситтера и прецессией Ленз – Тирринга (перетаскивание кадра) заключается в том, что эффект де Ситтера обусловлен просто наличием центральной массы, тогда как прецессия Лензе – Тирринга обусловлена вращением центральной массы. Полная прецессия рассчитывается путем объединения прецессии де Ситтера с прецессией Лензе – Тирринга.

Содержание

1 Экспериментальное подтверждение
2 Формулы
3 Прецессия Томаса
4 См. Также
5 Примечания
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Экспериментальное подтверждение

Геодезический эффект был подтвержден с точностью выше 0,5% с помощью Gravity Probe B, эксперимента, в котором измеряется наклон оси вращения гироскопов на орбите вокруг Земля. Первые результаты были объявлены 14 апреля 2007 г. на собрании Американского физического общества.

Формулы

. Чтобы вывести прецессию, предположим, что система находится во вращающейся метрике Шварцшильда. Невращающаяся метрика:

ds 2 = dt 2 (1-2 mr) - dr 2 (1-2 mr) - 1 - r 2 (d θ 2 + sin 2 ⁡ θ d ϕ ′ 2), {\ displaystyle ds ^ {2} = dt ^ {2} \ left (1 - {\ frac {2m} {r}} \ right) -dr ^ {2} \ left (1 - {\ frac {2m} {r}} \ right) ^ {- 1} -r ^ {2} (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi '^ {2}),}

ds^{2}=dt^{2}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)-dr^{2}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)^{{-1}}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi '^{2}),

где c = G = 1.

Мы вводим вращающуюся систему координат с угловой скоростью $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ , так что спутник на круговой орбите в θ = плоскость π / 2 остается в покое. Это дает нам

d ϕ = d ϕ ′ - ω d t. {\ displaystyle d \ phi = d \ phi '- \ omega \, dt.}

d\phi =d\phi '-\omega \,dt.

В этой системе координат наблюдатель в радиальной позиции r видит вектор, расположенный в r, как вращающийся с угловой частотой ω. Однако этот наблюдатель видит вектор, расположенный при некотором другом значении r, как вращающийся с другой скоростью из-за релятивистского замедления времени. Преобразуя метрику Шварцшильда во вращающуюся рамку и предполагая, что $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ является константой, мы находим

ds 2 = (1-2 mr - r 2 β ω 2) (dt - r 2 β ω 1 - 2 m / r - r 2 β ω 2 d ϕ) 2 - - dr 2 (1 - 2 mr) - 1 - r 2 β - 2 mr β 1 - 2 m / р - р 2 β ω 2 d ϕ 2, {\ displaystyle {\ begin {align} ds ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {2m} {r}} - r ^ {2} \ beta \ omega ^ {2} \ right) \ left (dt - {\ frac {r ^ {2} \ beta \ omega} {1-2m / rr ^ {2} \ beta \ omega ^ {2}}} \, d \ phi \ right) ^ {2} - \\ - dr ^ {2} \ left (1 - {\ frac {2m} {r}} \ right) ^ {- 1} - {\ frac {r ^ {2} \ beta -2mr \ beta} {1-2m / rr ^ {2} \ beta \ omega ^ {2}}} \, d \ phi ^ {2}, \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} ds ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {2m} {r}} - r ^ {2} \ beta \ omega ^ {2} \ right) \ left (dt - {\ frac {r ^ {2} \ beta \ omega} {1-2m / rr ^ {2} \ beta \ omega ^ {2}}} \, d \ phi \ right) ^ {2 } - \\ - dr ^ {2} \ left (1 - {\ frac {2m} {r}} \ right) ^ {- 1} - {\ frac {r ^ {2} \ beta -2mr \ beta } {1-2m / rr ^ {2} \ beta \ omega ^ {2}}} \, d \ phi ^ {2}, \ end {align}}}

с $β = грех 2 ⁡ (θ) {\ displaystyle \ beta = \ sin ^ {2} (\ theta)}$ $\ beta = \ sin ^ {2} (\ theta)$ . Для тела, вращающегося в плоскости θ = π / 2, у нас будет β = 1, и мировая линия тела будет поддерживать постоянные пространственные координаты все время. Теперь метрика имеет каноническую форму

d s 2 = e 2 Φ (d t - w i d x i) 2 - k i j d x i d x j. {\ displaystyle ds ^ {2} = e ^ {2 \ Phi} \ left (dt-w_ {i} \, dx ^ {i} \ right) ^ {2} -k_ {ij} \, dx ^ {i } \, dx ^ {j}.}

ds ^ {2} = e ^ {{2 \ Phi}} \ left (dt-w_ {i} \, dx ^ {i} \ right) ^ {2} -k _ {{ij} } \, dx ^ {i} \, dx ^ {j}.

Из этой канонической формы мы можем легко определить скорость вращения гироскопа за собственное время

Ω = 2 4 e Φ [kikkjl (ω i, j - ω j, i) (ω k, l - ω l, k)] 1/2 = = β ω (r - 3 m) r - 2 m - β ω 2 r 3 = β ω. {\ displaystyle {\ begin {align} \ Omega = {\ frac {\ sqrt {2}} {4}} e ^ {\ Phi} [k ^ {ik} k ^ {jl} (\ omega _ {i, j} - \ omega _ {j, i}) (\ omega _ {k, l} - \ omega _ {l, k})] ^ {1/2} = \\ = {\ frac {{\ sqrt {\ beta}} \ omega (r-3m)} {r-2m- \ beta \ omega ^ {2} r ^ {3}}} = {\ sqrt {\ beta}} \ omega. \ end {выровнено }}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Omega = {\ frac {\ sqrt {2}} {4}} e ^ {\ Phi} [k ^ {ik} k ^ {jl } (\ omega _ {i, j} - \ omega _ {j, i}) (\ omega _ {k, l} - \ omega _ {l, k})] ^ {1/2} = \\ = {\ frac {{\ sqrt {\ beta}} \ omega (r-3m)} {r-2m- \ beta \ omega ^ {2} r ^ {3}}} = {\ sqr t {\ beta}} \ omega. \ end {align}}}

где последнее равенство верно только для свободно падающих наблюдателей, для которых нет ускорения, и, следовательно, $Φ, i = 0 {\ displaystyle \ Phi, _ {i} = 0}$ $\ Phi, _ {{i}} = 0$ . Это приводит к

Φ, i = 2 m / r 2 - 2 r β ω 2 2 (1-2 m / r - r 2 β ω 2) = 0. {\ displaystyle \ Phi, _ {i} = {\ frac {2m / r ^ {2} -2r \ beta \ omega ^ {2}} {2 (1-2m / rr ^ {2} \ beta \ omega ^ {2})}} = 0.}

\ Phi, _ {i } = {\ frac {2m / r ^ {2} -2r \ beta \ omega ^ {2}} {2 (1-2m / rr ^ {2} \ beta \ omega ^ {2})}} = 0.

Решение этого уравнения относительно ω дает

ω 2 = mr 3 β. {\ displaystyle \ omega ^ {2} = {\ frac {m} {r ^ {3} \ beta}}.}

\ omega ^ {2} = {\ frac {m} {r ^ {3} \ beta}}.

По сути, это закон периодов Кеплера, который с точки зрения релятивизма точна, если выражена через временную координату t этой конкретной вращающейся системы координат. Во вращающейся системе координат спутник остается неподвижным, но наблюдатель на борту спутника видит прецессию вектора углового момента гироскопа со скоростью ω. Этот наблюдатель также видит вращающиеся далекие звезды, но они вращаются с несколько другой скоростью из-за замедления времени. Пусть τ - собственное время гироскопа. Тогда

Δ τ = (1-2 m r - r 2 β ω 2) 1/2 d t = (1-3 m r) 1/2 d t. {\ displaystyle \ Delta \ tau = \ left (1 - {\ frac {2m} {r}} - r ^ {2} \ beta \ omega ^ {2} \ right) ^ {1/2} \, dt = \ left (1 - {\ frac {3m} {r}} \ right) ^ {1/2} \, dt.}

\ Delta \ tau = \ left (1 - {\ frac {2m} {r}} - r ^ {2} \ beta \ omega ^ {2} \ right) ^ {{1/2}} \, dt = \ left (1 - {\ frac {3m} {r}} \ right) ^ {{1/2}} \, dt.

Член −2m / r интерпретируется как гравитационное замедление времени, а дополнительный - m / r происходит из-за вращения этой системы отсчета. Пусть α '- накопленная прецессия во вращающейся системе отсчета. Поскольку $α ′ = Ω Δ τ {\ displaystyle \ alpha '= \ Omega \ Delta \ tau}$ $\alpha '=\Omega \Delta \tau$ , прецессия на протяжении одной орбиты относительно далеких звезд определяется по формуле:

α = α ′ + 2 π = - 2 π β ((1 - 3 мр) 1/2 - 1). {\ displaystyle \ alpha = \ alpha '+2 \ pi = -2 \ pi {\ sqrt {\ beta}} {\ Bigg (} \ left (1 - {\ frac {3m} {r}} \ right) ^ {1/2} -1 {\ Bigg)}.}

\alpha =\alpha '+2\pi =-2\pi {\sqrt {\beta }}{\Bigg (}\left(1-{\frac {3m}{r}}\right)^{{1/2}}-1{\Bigg)}.

Используя ряд Тейлора первого порядка, находим

α ≈ 3 π mr β = 3 π mr sin ⁡ (θ). {\ displaystyle \ alpha \ приблизительно {\ frac {3 \ pi m} {r}} {\ sqrt {\ beta}} = {\ frac {3 \ pi m} {r}} \ sin (\ theta).}

\ alpha \ приблизительно {\ frac {3 \ pi m} {r}} {\ sqrt {\ beta}} = {\ frac {3 \ pi m} {r}} \ sin (\ theta).

Прецессия Томаса

Можно попытаться разбить прецессию де Ситтера на кинематический эффект, называемый прецессией Томаса в сочетании с геометрическим эффектом, вызванным гравитационно искривленным пространством-временем.. По крайней мере, один автор описывает это так, но другие утверждают, что «прецессия Томаса имеет значение для гироскопа на поверхности Земли... но не для гироскопа на свободно движущемся спутнике». Возражение против первой интерпретации состоит в том, что требуемая прецессия Томаса имеет неправильный знак. Уравнение переноса Ферми-Уокера дает и геодезический эффект, и прецессию Томаса, и описывает перенос 4-вектора спина для ускоренного движения в искривленном пространстве-времени. 4-вектор спина ортогонален 4-вектору скорости. Транспорт Ферми-Уокера сохраняет эту связь. Если нет ускорения, перенос Ферми-Уокера является просто параллельным переносом по геодезической и дает прецессию спина из-за геодезического эффекта. Для ускорения из-за равномерного кругового движения в плоском пространстве-времени Минковского транспорт Ферми-Уокера дает прецессию Томаса.

См. Также

Примечания

Ссылки

Вольфганг Риндлер (2006) Относительность: специальная, общая и космологическая (2-е изд.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-856731-8

Внешние ссылки

Gravity Probe Веб-сайты B в НАСА и Стэнфордском университете
Прецессия в искривленном пространстве «Геодезический эффект»
Геодезический эффект