Уравнение Райчаудхури

редактировать

В общей теории относительности, уравнение Райчаудхури или Ландау – Райчаудхури уравнение, является фундаментальным результатом, описывающим движение близлежащих частиц материи.

Уравнение важно как фундаментальная лемма для теорем Пенроуза – Хокинга и для изучения точных решений в общей теории относительности, но имеет самостоятельный интерес, поскольку он предлагает простое и общее подтверждение нашего интуитивного ожидания, что гравитация должна быть универсальной силой притяжения между любыми двумя битами масса-энергия в общей теории относительности, как и в Теория гравитации Ньютона.

Уравнение было открыто независимо индийским физиком Амалом Кумаром Райчаудхури и советским физиком Львом Ландау.

Содержание

1 Математическое утверждение
2 Интуитивное значение
3 Теорема фокусировки
4 Оптические уравнения
- 4.1 Приложения
5 См. Также
6 Примечания
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Математическое утверждение

Учитывая timelike unit векторное поле $X → {\ displaystyle {\ vec {X}}}$ ${\ vec {X} }$ (которое можно интерпретировать как семейство или конгруэн ce непересекающихся мировых линий через интегральную кривую, не обязательно геодезические ), уравнение Райчаудхури может быть записано

θ ˙ = - θ 2 3 - 2 σ 2 + 2 ω 2 - E [X →] aa + X ˙ a; a {\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = - {\ frac {\ theta ^ {2}} {3}} - 2 \ sigma ^ {2} +2 \ omega ^ {2} - {E [{ \ vec {X}}] ^ {a}} _ {a} + {{\ dot {X}} ^ {a}} _ {; a}}

{ \ dot {\ theta}} = - {\ frac {\ theta ^ {2}} {3}} - 2 \ sigma ^ {2} +2 \ omega ^ {2} - {E [{\ vec {X} }] ^ {a}} _ {a} + {{{\ dot {X}} ^ {a}}} _ {{; a}}

где

2 σ 2 = σ mn σ mn, 2 ω 2 знак равно ω mn ω mn {\ Displaystyle 2 \ sigma ^ {2} = \ sigma _ {mn} \, \ sigma ^ {mn}, \; 2 \ omega ^ {2} = \ omega _ { mn} \, \ omega ^ {mn}}

{\ displaystyle 2 \ sigma ^ {2} = \ sigma _ {mn} \, \ sigma ^ {mn}, \; 2 \ omega ^ {2} = \ omega _ {mn} \, \ omega ^ {mn}}

являются (неотрицательными) квадратичными инвариантами тензора сдвига

σ ab = θ ab - 1 3 θ hab {\ displaystyle \ sigma _ {ab} = \ theta _ {ab} - {\ frac {1} {3}} \, \ theta \, h_ {ab}}

\ sigma _ {{ab}} = \ theta _ {{ab}} - {\ frac {1} {3}} \, \ theta \, h _ {{ab}}

и тензор завихренности

ω ab = hmahnb X [m; n] {\ displaystyle \ omega _ {ab} = {h ^ {m}} _ {a} \, {h ^ {n}} _ {b} X _ {[m; n]}}

\ omega _ {{ab}} = {h ^ {m}} _ {a} \, {h ^ {n}} _ {b} X _ {{[m; n]}}

соответственно. Здесь

θ ab = hmahnb X (m; n) {\ displaystyle \ theta _ {ab} = {h ^ {m}} _ {a} \, {h ^ {n}} _ {b} X_ {(m; n)}}

\ theta _ { {ab}} = {h ^ {m}} _ {a} \, {h ^ {n}} _ {b} X _ {{(m; n)}}

- тензор расширения, $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ - его след, называемый скаляром расширения, и

hab = gab + X a X b {\ displaystyle h_ {ab} = g_ {ab} + X_ {a} \, X_ {b}}

h _ {{ab}} = g _ {{ab}} + X_ {a} \, X_ {b}

- тензор проекции на гиперплоскости, ортогональные $X → {\ displaystyle {\ vec {X}}}$ ${\ vec {X} }$ . Кроме того, точка обозначает дифференциацию относительно собственного времени, отсчитываемого по мировым линиям в сравнении. Наконец, след приливного тензора $E [X →] ab {\ displaystyle E [{\ vec {X}}] _ {ab}}$ $E [{\ vec {X}}] _ {{ab}}$ также может быть записывается как

E [X →] aa = R mn X m X n {\ displaystyle {E [{\ vec {X}}] ^ {a}} _ {a} = R_ {mn} \, X ^ {m} \, X ^ {n}}

{E [{\ vec {X}}] ^ {a}} _ {{a}} = R _ {{mn}} \, X ^ {m} \, X ^ {n}

Эту величину иногда называют скаляром Райчаудхури.

Интуитивное значение

Скаляр расширения измеряет частичную скорость, с которой объем небольшого шара материи изменяется во времени, измеренный центральным сопутствующим наблюдателем (и поэтому он может принимать отрицательные значения. ценности). Другими словами, это уравнение дает нам эволюционное уравнение для разложения времениподобного сравнения. Если производная (по собственному времени) этой величины оказывается отрицательной вдоль некоторой мировой линии (после определенного события), то любое расширение небольшого шара материи (чей центр масс следует за рассматриваемой мировой линией) должен последовать повторный коллапс. Если нет, возможно продолжение расширения.

Тензор сдвига измеряет любую тенденцию изначально сферического шара материи к искажению в эллипсоидальную форму. Тензор завихренности измеряет любую тенденцию близлежащих мировых линий к закручиванию друг относительно друга (если это происходит, наша маленькая сгустка материи вращается, как это происходит с жидкими элементами в обычном потоке жидкости, который демонстрирует ненулевую завихренность).

Правая часть уравнения Райчаудхури состоит из двух типов членов:

членов, которые способствуют (повторному) схлопыванию,
- изначально ненулевой скаляр расширения,
- ненулевой сдвиг,
- положительный след приливного тензора; это как раз то условие, которое гарантируется при условии строгого энергетического условия, которое выполняется для наиболее важных типов решений, таких как физически разумные жидкие растворы,
члены, которые противопоставляют (повторный) -свертывание
- ненулевое значение завихренность, соответствующая ньютоновским центробежным силам,
- положительное расхождение вектора ускорения (например, направленное наружу ускорение из-за сферически-симметричного взрыва или, более прозаично, из-за массовых сил на элементы жидкости в шарике из жидкости, удерживаемом вместе по собственному самогравитации).

Обычно побеждает один член. Однако есть ситуации, в которых можно достичь баланса. Этот баланс может быть:

стабильным: в случае гидростатического равновесия шара из идеальной жидкости (например, в модели звездных недр) расширение, сдвиг и завихренность исчезают, и радиальное расхождение в векторе ускорения (необходимая объемная сила на каждый сгусток жидкости, обеспечиваемая давлением окружающей жидкости) противодействует скаляру Рейчаудхури, который для идеальной жидкости равен $E [X → ] aa знак равно 4 π (μ + 3 p) {\ displaystyle E [{\ vec {X}}] ^ {a} {} _ {a} = 4 \ pi (\ mu + 3p)}$ ${\ displaystyle E [{\ vec {X}}] ^ {a} {} _ {a} = 4 \ pi (\ mu + 3p)}$ в геометрических единицах. В ньютоновской гравитации след приливного тензора равен $4 π μ {\ displaystyle 4 \ pi \ mu}$ $4 \ pi \ mu$ ; в общей теории относительности тенденция давления противодействовать гравитации частично компенсируется этим термином, который при определенных обстоятельствах может стать важным.
нестабильным: например, мировые линии пылевых частиц в Гёделе. решение имеет исчезающие сдвиг, расширение и ускорение, но постоянная завихренность просто уравновешивает постоянный скаляр Райчуадхури из-за ненулевой энергии вакуума («космологическая постоянная»).

Теорема о фокусировке

Предположим сильное условие энергии выполняется в некоторой области нашего пространства-времени, и пусть $X → {\ displaystyle {\ vec {X}}}$ ${\ vec {X} }$ будет временноподобным геодезическим единичным векторным полем с исчезающей завихренностью, или эквивалентно, который ортогонален гиперповерхности. Например, такая ситуация может возникнуть при изучении мировых линий пылевых частиц в космологических моделях, которые являются точными пылевыми решениями уравнения поля Эйнштейна (при условии, что эти мировые линии не закручиваются друг относительно друга, и в этом случае сравнение будет иметь ненулевое значение). завихренность).

Тогда уравнение Рейчаудхури принимает вид

θ ˙ = - θ 2 3 - 2 σ 2 - E [X →] aa {\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = - {\ frac {\ theta} ^ {2}} {3}} - 2 \ sigma ^ {2} - {E [{\ vec {X}}] ^ {a}} _ {a}}

{\ dot {\ theta}} = - {\ frac {\ theta ^ {2}} {3}} - 2 \ sigma ^ {2} - {E [{\ vec {X}}] ^ {a}} _ {a }

Теперь правая часть всегда отрицательна или ноль, поэтому скаляр расширения никогда не увеличивается со временем.

Поскольку последние два члена неотрицательны, мы имеем

θ ˙ ≤ - θ 2 3 {\ displaystyle {\ dot {\ theta}} \ leq - {\ frac {\ theta ^ { 2}} {3}}}

{\ dot {\ theta}} \ leq - {\ frac {\ theta ^ {2} } {3}}

Интегрирование этого неравенства относительно собственного времени $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ дает

1 θ ≥ 1 θ 0 + τ 3 {\ displaystyle {\ frac {1} {\ theta}} \ geq {\ frac {1} {\ theta _ {0}}} + {\ frac {\ tau} {3}}}

{\ frac {1} {\ theta}} \ geq {\ frac {1} {\ theta _ {0}}} + {\ frac { \ tau} {3}}

Если начальное значение $θ 0 {\ displaystyle \ theta _ {0}}$ $\ theta _ {0}$ скаляра расширения отрицательно, это означает, что наши геодезические должны сходиться в каустике ( $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ переходит на минус бесконечность) в течение не более чем $3 / | θ 0 | {\ displaystyle 3 / | \ theta _ {0} |}$ ${\ displaystyle 3 / | \ theta _ {0} |}$ после измерения начального значения $θ 0 {\ displaystyle \ theta _ {0}}$ $\ theta _ {0}$ скаляр расширения. Это не обязательно сигнализирует о встрече с сингулярностью кривизны, но сигнализирует о нарушении нашего математического описания движения пыли.

Оптические уравнения

Существует также оптическая (или нулевая) версия уравнения Райчаудхури для нулевых геодезических конгруэнций.

θ ^ ˙ = - 1 2 θ ^ 2 - 2 σ ^ 2 + 2 ω ^ 2 - T μ ν U μ U ν {\ displaystyle {\ dot {\ widehat {\ theta}}} = - {\ гидроразрыв {1} {2}} {\ widehat {\ theta}} ^ {2} -2 {\ widehat {\ sigma}} ^ {2} +2 {\ widehat {\ omega}} ^ {2} -T_ {\ mu \ nu} U ^ {\ mu} U ^ {\ nu}}

{\ dot {\ widehat {\ theta}}} = - {\ frac {1} {2}} \ widehat {\ theta} ^ {2} -2 \ widehat {\ sigma} ^ {2} +2 \ widehat {\ omega} ^ {2} -T _ {{\ mu \ nu}} U ^ {\ mu} U ^ {\ nu}

Здесь шляпы указывают, что расширение, сдвиг и завихренность происходят только в поперечных направлениях. Если завихренность равна нулю, то при условии нулевой энергии, каустика образуется до того, как аффинный параметр достигнет $2 / θ ^ 0 {\ displaystyle 2 / {\ widehat { \ theta}} _ {0}}$ $2 / \ widehat {\ theta} _ {0}$ .

Приложения

горизонт событий определяется как граница причинного прошлого нулевой бесконечности. Такие границы порождаются нулевыми геодезическими. Аффинный параметр стремится к бесконечности, когда мы приближаемся к нулевой бесконечности, и до этого момента каустики не образуются. Итак, расширение горизонта событий должно быть неотрицательным. Поскольку расширение дает скорость изменения логарифма плотности площади, это означает, что область горизонта событий никогда не может уменьшиться, по крайней мере, классически, при условии нулевой энергии.

См. Также

Конгруэнтность (общая теория относительности) для вывода кинематического разложения и уравнения Райчаудхури.
Гравитационная сингулярность
Теоремы Пенроуза – Хокинга для применение фокусирующей теоремы.

Примечания

Ссылки

Пуассон, Эрик (2004). Инструментарий релятивиста: математика механики черных дыр. Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83091-5.См. Главу 2 для прекрасного обсуждения уравнения Райчаудхури как для времениподобных, так и для нулевых геодезических, а также теоремы фокусировки.
Кэрролл, Шон М. (2004). Пространство-время и геометрия: введение в общую теорию относительности. Сан-Франциско: Эддисон-Уэсли. ISBN 0-8053-8732-3.См. Приложение F.
Стефани, Ханс; Крамер, Дитрих; Маккаллум, Малькольм; Хенселаерс, Корнелиус; Хертль, Эдуард (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-46136-7.См. Главу 6 для очень подробного введения в геодезические конгруэнции, включая общую форму уравнения Рейчаудхури.
Хокинг, Стивен и Эллис, GFR (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-09906-4.См. Раздел 4.1 для обсуждения общей формы уравнения Райчаудхури.
Райчаудхури, А. К. (1955). "Релятивистская космология I.". Phys. Ред. 98 (4): 1123–1126. Bibcode : 1955PhRv... 98.1123R. doi : 10.1103 / PhysRev.98.1123. hdl : 10821/7599.Статья Райчаудхури, представляющая его уравнение.
Дасгупта, Анирван; Нандан, Хемвати и Кар, Саян (2009). «Кинематика геодезических потоков на сетчатом фоне черных дыр». Phys. Ред. D. 79 (12): 124004. arXiv : 0809.3074. Bibcode : 2009PhRvD..79l4004D. doi : 10.1103 / PhysRevD.79.124004.См. В разделе IV вывод общей формы уравнений Райчаудхури для трех кинематических величин (а именно, скаляр расширения, сдвиг и вращение).
Кар, Саян и СенГупта, Сумитра (2007). «Уравнения Райчаудхури: Краткий обзор». Прамана. 69(1): 49–76. arXiv : gr-qc / 0611123. Bibcode : 2007Prama..69... 49K. doi : 10.1007 / s12043-007-0110-9.См. Обзор уравнений Райчаудхури.

Внешние ссылки

Значение уравнения поля Эйнштейна от Джона К. Баэз и Эмори Ф. Банн. Уравнение Райчаудхури занимает центральное место в этом хорошо известном (и настоятельно рекомендуемом) полутехническом изложении того, что говорит уравнение Эйнштейна.