ван Стокум пыль - van Stockum dust

В общей теории относительности, Пыль Ван Стокума представляет собой точное решение уравнения поля Эйнштейна, в котором гравитационное поле создается пылью, вращающейся вокруг оси цилиндрической симметрии. Поскольку плотность пыли увеличивается с удалением от этой оси, решение является довольно искусственным, но как одно из простейших известных решений в общей теории относительности, оно является педагогически важным примером.

Это решение названо в честь Виллема Якоба ван Стокума, который повторно открыл его в 1937 году независимо от гораздо более раннего открытия, сделанного Корнелиусом Ланцошем в 1924 году. В настоящее время рекомендуется, чтобы Решение назовем пылью Ланцоша – ван Штокума.

• 1 Вывод
• 2 Свойства
• 3 Очевидный парадокс
• 4 Настоящий парадокс
• 5 См. также
• 6 Ссылки

Одним из способов получения этого решения является поиск цилиндрически-симметричного идеального жидкого раствора, в котором жидкость демонстрирует жесткое вращение. То есть мы требуем, чтобы мировые линии частиц жидкости образовывали времяподобную конгруэнтность, имеющую отличную от нуля завихренность, но исчезающие расширение и сдвиг. (Фактически, поскольку частицы пыли не чувствуют сил, это окажется временноподобным геодезическим совпадением, но нам не нужно предполагать это заранее.)

Простой анзац соответствующая этому требованию выражается следующим полем кадра, которое содержит две неопределенные функции $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$:

$e\; \to \; 0\; =\; \partial \; t,\; e\; \to \; 1\; =\; f\; (r)\; \partial \; Z,\; е\; \to \; 2\; знак\; равно\; е\; (г)\; \partial \; р,\; е\; \to \; 3\; знак\; равно\; 1\; р\; \partial \; \phi \; -\; час\; (г)\; \partial \; T\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{0\}\; =\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\; \},\; \backslash ;\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{1\}\; =\; f\; (r)\; \backslash ,\; \backslash \; partial\; \_\; \{z\},\; \backslash ;\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{2\}\; =\; f\; (r)\; \backslash ,\; \backslash \; partial\; \_\; \{r\},\; \backslash ;\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{3\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; varphi\}\; -h\; (r)\; \backslash ,\; \backslash \; partial\; \_\; \{\; t\}\}$

Во избежание недоразумений, мы должны подчеркнуть, что взяв двойственный кофрейм

$\sigma \; 0\; =\; dt\; +\; h\; (r)\; rd\; \phi ,\; \sigma \; 1\; =\; 1\; f\; (r)\; dz,\; \sigma \; 2\; =\; 1\; f\; (r)\; dr,\; \sigma \; 3\; знак\; равно\; rd\; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; ^\; \{0\}\; =\; dt\; +\; h\; (r)\; r\; \backslash ,\; d\; \backslash \; varphi,\; \backslash ;\; \backslash \; sigma\; ^\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{f\; (r)\}\}\; \backslash ,\; dz,\; \backslash ;\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{f\; (r)\}\}\; \backslash ,\; dr,\; \backslash ;\; \backslash \; sigma\; ^\; \{3\}\; =\; rd\; \backslash \; varphi\}$

дает метрический тензор в терминах тех же двух неопределенных функции ed:

$g\; =\; -\; \sigma \; 0\; \otimes \; \sigma \; 0\; +\; \sigma \; 1\; \otimes \; \sigma \; 1\; +\; \sigma \; 2\; \otimes \; \sigma \; 2\; +\; \sigma \; 3\; \otimes \; \sigma \; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; =\; -\; \backslash \; sigma\; ^\; \{0\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; sigma\; ^\; \{\; 0\}\; +\; \backslash \; sigma\; ^\; \{1\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; sigma\; ^\; \{1\}\; +\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; sigma\; ^\; \{3\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; sigma\; ^\; \{3\}\}$

Умножение дает

$ds\; 2\; =\; -\; dt\; 2-2\; h\; (r)\; rdtd\; \phi \; +\; (1\; -\; h\; (r)\; 2)\; r\; 2\; d\; \phi \; 2\; +\; dz\; 2\; +\; dr\; 2\; f\; (r)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; -\; dt\; ^\; \{2\}\; -2h\; (r)\; r\; \backslash ,\; dt\; \backslash ,\; d\; \backslash \; varphi\; +\; (1-h\; (r)\; ^\; \{2\})\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; varphi\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{dz\; ^\; \{2\}\; +\; dr\; ^\; \{2\}\}\; \{f\; (r)\; ^\; \{2\}\}\}\}$

Мы вычисляем тензор Эйнштейна относительно этого кадра, в терминах двух неопределенных функций, и потребовать, чтобы результат имел форму, подходящую для идеального жидкого решения с времяподобным единичным вектором $e\; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{0\}\}$всюду по касательной к мировой линии жидкой частицы. То есть мы требуем, чтобы

$G\; m\; ^\; n\; ^\; =\; 8\; \pi \; \mu \; diag\; \; (1,\; 0,\; 0,\; 0)\; +\; 8\; \pi \; p\; diag\; \; (0,\; 1,\; 1,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; ^\; \{\; \{\backslash \; hat\; \{m\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\}\; =\; 8\; \backslash \; pi\; \backslash \; mu\; \backslash \; operatorname\; \{diag\}\; (1,0,0,0)\; +8\; \backslash \; pi\; p\; \backslash \; operatorname\; \{diag\}\; (0,1,\; 1,1)\}$

Это дает условия

$f\; \prime \; \prime \; =\; (f\; \prime )\; 2\; f\; +\; f\; \prime \; r,\; (h\; \prime )\; 2\; +\; 2\; h\; \prime \; hr\; +\; h\; 2\; r\; 2\; =\; 4\; f\; \prime \; rf\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{\backslash \; prime\; \backslash \; prime\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(f\; ^\; \{\backslash \; prime\})\; ^\; \{2\}\}\; \{f\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{f\; ^\; \{\backslash \; prime\}\}\; \{r\}\},\; \backslash ;\; (h\; ^\; \{\backslash \; prime\})\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2h\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; h\}\; \{r\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{h\; ^\; \{2\}\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{4f\; ^\; \{\backslash \; prime\}\}\; \{rf\}\}\}$

Решение для $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$, а затем для $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$дает искомую систему отсчета, определяющую решение Ван Стокума:

$e\; \to \; 0\; =\; \partial \; t,\; e\; \to \; 1\; =\; exp\; \; (a\; 2\; r\; 2/2)\; \partial \; z,\; e\; \to \; 2\; =\; exp\; \; (a\; 2\; р\; 2/2)\; \partial \; р,\; е\; \to \; 3\; знак\; равно\; 1\; р\; \partial \; \varphi \; -\; ar\; \partial \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{0\}\; =\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\},\; \backslash ;\; \{\backslash \; vec\; \{e\; \}\}\; \_\; \{1\}\; =\; \backslash \; exp\; (a\; ^\; \{2\}\; r\; ^\; \{2\}\; /\; 2)\; \backslash ,\; \backslash \; partial\; \_\; \{z\},\; \backslash ;\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{2\}\; =\; \backslash \; exp\; (a\; ^\; \{2\}\; r\; ^\; \{2\}\; /\; 2)\; \backslash ,\; \backslash \; partial\; \_\; \{r\},\; \backslash ;\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{3\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; phi\}\; -ar\; \backslash ,\; \backslash \; parti\; al\; \_\; \{t\}\}$

Обратите внимание, что этот фрейм определен только на $r>0\; \{\backslash \; displaystyle\; r>0\}$.

Вычисление тензора Эйнштейна по отношению к нашему кадру показывает, что на самом деле давление исчезает, поэтому у нас есть пылевое решение. Массовая плотность пыли оказывается

$\mu \; =\; a\; 2\; 2\; \pi \; exp\; \; (a\; 2\; r\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\; ^\; \{2\}\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; exp\; (a\; ^\; \{2\}\; r\; ^\; \{2\})\}$

К счастью, оно конечно на оси симметрии $r\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; 0\}$, но плотность увеличивается с увеличением радиуса, что, к сожалению, сильно ограничивает возможные астрофизические приложения.

Решение уравнений Киллинга показывает, что это пространство-время допускает трехмерную абелеву алгебру Ли из векторных полей Киллинга, сгенерированных

$\xi \; \to \; 1\; знак\; равно\; \partial \; T,\; \xi \; \to \; 2\; =\; \partial \; Z,\; \xi \; \to \; 3\; =\; \partial \; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; xi\}\}\; \_\; \{1\}\; =\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\},\; \backslash ;\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; xi\}\}\; \_\; \{2\}\; =\; \backslash \; partial\; \_\; \{z\},\; \backslash ;\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; xi\}\}\; \_\; \{3\}\; =\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; phi\}\}$

Здесь $\xi \; \to \; 1\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; xi\}\}\; \_\; \{1\}\}$имеет ненулевую завихренность, поэтому мы имеем стационарное пространство-время, инвариантное относительно перемещения вдоль мировых линий пылевых частиц, и также при поступлении вдоль оси цилиндрической симметрии и вращении вокруг этой оси.

Обратите внимание, что в отличие от раствора пыли Гёделя, в пыли van Stockum частицы пыли вращаются вокруг геометрически выделенной оси.

Как и было обещано, расширение и сдвиг времениподобной геодезической конгруэнтности $e\; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{0\}\}$исчезают, но завихренность вектор равен

$\Omega \; \to \; =\; -\; a\; exp\; \; (a\; 2\; r\; 2/2)\; e\; \to \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; Omega\}\}\; =\; -\; a\; \backslash \; exp\; (a\; ^\; \{2\}\; r\; ^\; \{2\}\; /\; 2)\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{1\}\}$

Это означает, что хотя на нашей сопутствующей карте мировые линии пылевых частиц выглядят как вертикальные линии, на самом деле они изгибаются друг вокруг друга, как пыль. частицы вращаются вокруг оси симметрии. Другими словами, если мы проследим эволюцию маленького шара пыли, мы обнаружим, что он вращается вокруг своей оси (параллельно $r\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; 0\}$), но не срезается и не расширяется; последние свойства определяют то, что мы понимаем под жестким вращением. Обратите внимание, что на самой оси величина вектора завихренности становится просто $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$.

Приливный тензор равен

$E\; m\; ^\; n\; ^\; =\; a\; 2\; exp\; \; (a\; 2\; r\; 2)\; диаг\; \; (0,\; 1,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; \_\; \{\{\backslash \; hat\; \{m\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\}\; =\; a\; ^\; \{2\}\; \backslash \; exp\; (a\; ^\; \{2\}\; r\; ^\; \{2\})\; \backslash \; operatorname\; \{diag\}\; (0,1,1)\}$

, который показывает, что наблюдатели, едущие на частицах пыли, испытывают изотропное приливное напряжение в плоскости вращения. Магнитогравитационный тензор равен

$B\; m\; ^\; n\; ^\; =\; -\; a\; 3\; exp\; \; (a\; 2\; r\; 2)\; [0\; 1\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0]\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; \_\; \{\{\backslash \; hat\; \{m\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\}\; =\; -\; a\; ^\; \{3\}\; \backslash \; exp\; (a\; ^\; \{2\}\; r\; ^\; \{2\})\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 0\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right\; ]\}$

Рассмотрим мысленный эксперимент, изображенный на следующем рисунке, в котором несущественная координата $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$был запрещен:

. На этом рисунке изображен мысленный эксперимент, в котором наблюдатель, едущий на пылинке, сидящей на оси симметрии, смотрит на частицы пыли с положительной радиальной координатой. Он видит, как они вращаются, или нет?

Поскольку верхний массив нулевых геодезических получается простым перемещением вверх нижнего массива и поскольку все три мировые линии вертикальны (инвариантны при переводе времени ), может показаться, что ответ «нет». Однако, хотя кадр, приведенный выше, является инерциальным, вычисление ковариантных производных

$\nabla \; e\; \to \; 0\; e\; \to \; 1,\; \nabla \; e\; \to \; 0\; e\; \to \; 2,\; \nabla \; e\; \to \; 0\; e\; \to \; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \_\; \{\{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{0\}\}\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{1\},\; \backslash ;\; \backslash \; nabla\; \_\; \{\{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{0\}\}\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\; \}\; \_\; \{2\},\; \backslash ;\; \backslash \; nabla\; \_\; \{\{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{0\}\}\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{3\}\}$

показывает, что тождественно исчезает только первое. Другими словами, оставшиеся пространственные векторы вращаются вокруг $e\; \to \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{1\}\}$(т.е. вокруг оси, параллельной оси цилиндрической симметрии этого пространства-времени).

Таким образом, чтобы получить некрутящуюся инерциальную систему отсчета, нам нужно раскрутить нашу исходную систему отсчета, например:

$f\; \to \; 0\; =\; e\; \to \; 0,\; f\; \to \; 1\; =\; e\; \to \; 1,\; f\; \to \; 2\; =\; cos\; \; (\theta )\; e\; \to \; 2\; +\; sin\; \; (\theta )\; e\; \to \; 3,\; f\; \to \; 3\; =\; -\; sin\; \; (\theta )\; e\; \to \; 2\; +\; cos\; \; (\theta )\; e\; \to \; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{f\}\}\; \_\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{0\},\; \backslash ;\; \{\backslash \; vec\; \{f\}\}\; \_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{1\},\; \backslash ;\; \{\backslash \; vec\; \{f\}\; \}\; \_\; \{2\}\; =\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta)\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{2\}\; +\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{3\},\; \backslash ;\; \{\backslash \; vec\; \{f\}\; \}\; \_\; \{3\}\; =\; -\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{2\}\; +\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta)\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{3\}\}$

где $\theta \; =\; tq\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; =\; tq\; (r)\}$где q - новая неопределенная функция r. Подставляя требование, чтобы ковариантные производные обращались в нуль, мы получаем

$\theta \; =\; at\; exp\; \; (a\; 2\; r\; 2/2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; =\; at\; \backslash \; exp\; (a\; ^\; \{2\}\; r\; ^\; \{2\}\; /\; 2)\}$

В нашей сопутствующей таблице координат новый кадр кажется вращающимся, но на самом деле он гиростабилизирован. В частности, поскольку наш наблюдатель с зеленой мировой линией на рисунке предположительно едет на невращающейся частице пыли (в противном случае это было бы заметно в динамике пыли), он фактически наблюдает близлежащие радиально разделенные частицы пыли, которые вращаются по часовой стрелке вокруг его местоположения. с угловой скоростью a. Это объясняет физический смысл параметра, который мы нашли в нашем предыдущем выводе первого кадра.

(Педантичное замечание: внимательные читатели заметили, что мы проигнорировали тот факт, что ни одно из наших полей кадра не определено четко на оси. Однако мы можем определить кадр для осевого наблюдателя с помощью подходящего -сторонний предел; это дает прерывистое поле кадра, но нам нужно только определить кадр вдоль мировой линии нашего осевого наблюдателя, чтобы продолжить мысленный эксперимент, рассматриваемый в этом разделе.)

Это так. Стоит отметить, что на приведенном выше рисунке нулевые геодезические закручены внутрь. Это означает, что наш осевой наблюдатель видит другие частицы пыли в местах с запаздыванием по времени, что, конечно, именно то, что мы ожидали. Тот факт, что нулевые геодезические выглядят "изогнутыми" на этой карте, конечно же, является артефактом нашего выбора сопутствующих координат, в которых мировые линии пылевых частиц выглядят как вертикальные координатные линии.

Давайте нарисуем световые конусы для некоторых типичных событий в пыли ван Стокума, чтобы увидеть, как их внешний вид (на нашей цилиндрической диаграмме) зависит от радиальной координаты:

Как показано на рисунке, при $r\; =\; a\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; a\; ^\; \{-\; 1\}\}$конусы становятся касательными к координатной плоскости $t\; =\; t\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; t\_\; \{0\}\}$, и мы получаем замкнутую нулевую кривую (красный кружок). Обратите внимание, что это не нулевая геодезическая.

По мере того, как мы движемся дальше наружу, мы можем видеть, что горизонтальные круги с большими радиусами являются замкнутыми времяподобными кривыми. На парадоксальную природу этих СТС, по-видимому, впервые указал ван Стокум: наблюдатели, мировые линии которых образуют замкнутую временноподобную кривую, могут, очевидно, пересмотреть свое прошлое или повлиять на него. Хуже того, очевидно, что ничто не мешает такому наблюдателю решить, скажем, в своей третьей жизни прекратить ускоряться, что дало бы ему несколько биографий.

Эти замкнутые времениподобные кривые не являются временноподобными геодезическими, поэтому эти парадоксальные наблюдатели должны ускориться, чтобы испытать эти эффекты. В самом деле, как и следовало ожидать, необходимое ускорение расходится по мере приближения этих времениподобных кругов к нулевым кругам, лежащим в критическом цилиндре $r\; =\; a\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; a\; ^\; \{-\; 1\}\}$.

Замкнутые времениподобные кривые оказалось, что они существуют во многих других точных решениях общей теории относительности, и их обычное появление является одним из наиболее тревожных теоретических возражений против этой теории. Однако очень немногие физики вообще отказываются использовать общую теорию относительности на основании таких возражений; скорее большинство из них придерживается прагматической позиции, что использование общей теории относительности имеет смысл всякий раз, когда это может сойти с рук, из-за относительной простоты и хорошо установленной надежности этой теории во многих астрофизических ситуациях. Это мало чем отличается от того, что многие физики используют ньютоновскую механику каждый день, хотя им хорошо известно, что кинематика Галилея была «свергнута» релятивистской кинематикой.

• Раствор для пыли
• Раствор для пыли Гёделя