Войти
Парадокс лестницы (или парадокс сарая-шеста ) - это мысленный эксперимент в специальной теории относительности. Он включает в себя лестницу, параллельную земле, движущуюся горизонтально с релятивистской скоростью (близкой к скорости света) и, следовательно, испытывающую сокращение длины Лоренца. Лестница представлял себе, проходящий через открытую переднюю и заднюю двери гаража или сарая, который короче, чем его покоя длина, так что если лестница не двигалась она не сможет поместиться внутри. Для неподвижного наблюдателя из-за сжатия движущаяся лестница может полностью помещаться внутри здания, когда она проходит. С другой стороны, с точки зрения наблюдателя, движущегося по лестнице, лестница не будет сокращена, и это здание будет сокращено Лоренцом до еще меньшей длины. Следовательно, лестница не сможет поместиться внутри здания, когда она будет проходить. Это создает очевидное несоответствие между реальностями обоих наблюдателей.
Этот очевидный парадокс является результатом ошибочного предположения об абсолютной одновременности. Считается, что лестница вписывается в гараж, если можно сделать так, чтобы оба ее конца одновременно находились внутри гаража. Парадокс разрешается, если учесть, что в теории относительности одновременность относительна для каждого наблюдателя, что дает ответ на вопрос, подходит ли лестница внутри гаража, также относительно каждого из них.
Самая простая версия проблемы связана с гаражом с открытая передняя и задняя двери и лестница, которая в неподвижном состоянии относительно гаража слишком длинна, чтобы поместиться внутрь. Теперь мы перемещаем лестницу с большой горизонтальной скоростью через стационарный гараж. Из-за своей высокой скорости лестница подвергается релятивистскому эффекту сокращения длины и становится значительно короче. В результате, проходя через гараж, лестница какое-то время полностью удерживается внутри него. При желании мы могли бы одновременно закрыть обе двери на короткое время, чтобы продемонстрировать, что лестница подходит.
Пока это согласуется. Кажущийся парадокс возникает, когда мы рассматриваем симметрию ситуации. Поскольку наблюдатель, движущийся по лестнице, движется с постоянной скоростью в инерциальной системе отсчета гаража, этот наблюдатель также занимает инерциальную систему отсчета, где, согласно принципу относительности , применяются те же законы физики. С этой точки зрения лестница теперь неподвижна, а гараж движется с большой скоростью. Следовательно, это гараж, который сокращен по длине, и теперь мы делаем вывод, что он слишком мал, чтобы когда-либо полностью удерживать лестницу, когда она проходила: лестница не подходит, и мы не можем закрыть обе двери с обеих сторон лестницы. не задев его. Это кажущееся противоречие и есть парадокс.
 Рисунок 1: Общий вид гаража и неподвижной лестницы |  Рисунок 2: В раме гаража лестница сокращается по длине и, следовательно, вписывается в гараж. |  Рисунок 3: В раме лестницы, гараж сокращается по длине и слишком мал, чтобы вместить лестницу. |
Рисунок 4: Сценарий в каркасе гаража: укороченная лестница, проходящая через гараж 
Рисунок 5: Сценарий в каркасе лестницы : гараж с укороченной длиной, переходящий по лестнице. В любой момент времени закрывается только одна дверь Решение очевидного парадокса заключается в относительности одновременности : то, что один наблюдатель (например, с гаражом) считает двумя одновременными событиями, на самом деле может не быть одновременно с другим наблюдателем (например, с лестницей). Когда мы говорим, что лестница «вписывается» в гараж, мы имеем в виду именно то, что в определенное время и задняя часть лестницы, и передняя часть лестницы находились внутри гаража; Другими словами, передняя и задняя часть лестницы находились внутри гаража одновременно. Поскольку одновременность относительна, два наблюдателя расходятся во мнениях относительно того, подходит ли лестница. Для наблюдателя с гаражом задний конец лестницы находился в гараже одновременно с передним концом лестницы, и поэтому лестница подходила; но для наблюдателя с лестницей эти два события не были одновременными, и лестница не подходила.
Ясный способ увидеть это - рассмотреть двери, которые в раме гаража закрываются на то короткое время, когда лестница полностью внутри. Теперь посмотрим на эти события в рамках лестницы. Первое событие - это передняя часть лестницы, ведущая к выходу из гаража. Дверь закрывается, а затем снова открывается, пропуская переднюю часть лестницы. Позже задняя часть лестницы проходит через входную дверь, которая закрывается, а затем открывается. Мы видим, что, поскольку одновременность относительна, две двери не нужно было закрывать одновременно, и лестнице не нужно было помещаться внутри гаража.
Ситуацию можно дополнительно проиллюстрировать на диаграмме Минковского ниже. Схема находится в остальной раме гаража. Вертикальная голубая полоса показывает гараж в пространстве-времени, а светло-красная полоса показывает лестницу в пространстве-времени. Оси x и t - это оси пространства гаража и времени соответственно, а x ′ и t ′ - оси пространства лестницы и времени соответственно.
В кадре гаража лестница в любой конкретный момент времени представлена горизонтальным набором точек, параллельных оси x, в красной полосе. Одним из примеров является полужирный синий сегмент линии, который находится внутри синей полосы, представляющей гараж, и представляет собой лестницу в то время, когда она полностью находится внутри гаража. Однако в рамках лестницы наборы одновременных событий лежат на линиях, параллельных оси x '; поэтому лестница в любой конкретный момент времени представлена поперечным сечением такой линии с красной полосой. Одним из таких примеров является жирный красный отрезок линии. Мы видим, что такие отрезки никогда не лежат полностью внутри синей полосы; то есть лестница никогда не лежит полностью внутри гаража.
Рис. 6. Диаграмма Минковского лестничного парадокса. Гараж показан голубым цветом, лестница - красным. Диаграмма находится в остальной части гаража, где x и t - оси пространства и времени соответственно. Рама лестницы предназначена для человека, сидящего на передней части лестницы, где x 'и t' являются осями пространства и времени лестницы соответственно. Синяя и красная линии, AB и AC, изображают лестницу в момент, когда ее передний конец встречается с выходной дверью гаража, в системе отсчета гаража и лестницы соответственно. Событие D - это задний конец лестницы, ведущей к входу в гараж. 
Рис. 7: Лестница, сжимающаяся при ускорении, чтобы поместиться в гараж, укороченный по длине Парадокс: мы можем физически заблокировать лестницу, когда она полностью окажется внутри гаража. Это можно сделать, например, если не открывать выходную дверь снова после того, как мы ее закроем. В рамках гаража мы предполагаем, что выходная дверь неподвижна, и поэтому, когда лестница ударяется о нее, мы говорим, что она мгновенно останавливается. К этому времени закрылась и входная дверь, и лестница застряла внутри гаража. Поскольку его относительная скорость теперь равна нулю, длина не сокращена, и теперь он длиннее, чем гараж; он должен будет согнуться, сломаться или взорваться.
И снова загадка возникает при рассмотрении ситуации с рамы лестницы. В приведенном выше анализе лестница в собственном каркасе всегда была длиннее гаража. Так как же нам удалось закрыть двери и запереть его внутри?
Здесь стоит отметить общую особенность теории относительности: мы пришли к выводу, рассматривая каркас гаража, что мы действительно запираем лестницу внутри гаража. Следовательно, это должно быть верно для любого кадра - лестница не может защелкнуться в одном кадре, а не в другом. Таким образом, по раме лестницы мы знаем, что должно быть какое-то объяснение того, как лестница оказалась в ловушке; мы должны просто найти объяснение.
Объяснение состоит в том, что, хотя все части лестницы одновременно замедляются до нуля в раме гаража, поскольку одновременность относительна, соответствующие замедления в раме лестницы не одновременны. Вместо этого каждая часть лестницы замедляется последовательно, спереди назад, пока, наконец, не замедляется задняя часть лестницы, и к этому времени она уже находится в гараже.
Поскольку сокращение длины и замедление времени контролируются преобразованиями Лоренца, лестничный парадокс можно рассматривать как физический коррелят парадокса близнецов, в этом случае один из близнецов покидает Землю, какое-то время путешествует со скоростью и возвращается на Землю немного моложе, чем привязанный к Земле близнец. Как и в случае с лестницей, застрявшей внутри сарая, если ни одна из систем отсчета не является привилегированной - каждый движется только относительно другой - как может случиться так, что это путешествующий близнец, а не неподвижный, который младше (точно так же, как он лестница, а не сарай, который короче)? В обоих случаях именно ускорение-замедление различает явления: именно двойник, а не земля (или лестница, а не сарай), подвергается силе замедления, возвращаясь во временное (или физическое, в случае лестница-сарай) инерционная рама.
Рис. 8: Диаграмма Минковского для случая, когда лестница остановлена по всей своей длине одновременно в раме гаража. Когда это происходит, рама гаража видит лестницу как AB, но рама лестницы видит лестницу как AC. Когда задняя часть лестницы входит в гараж в точке D, она еще не ощущает воздействия ускорения ее переднего конца. В это время, по словам кого-то, кто находится в состоянии покоя относительно задней части лестницы, передняя часть лестницы будет в точке E и будет видеть лестницу как DE. Видно, что эта длина лестничной рамы отличается от CA, оставшейся длины лестницы до замедления. 
Рис. 1: Диаграмма Минковского для случая, когда лестница остановлена ударом о заднюю стенку гаража. Удар - это событие A. При ударе рама гаража видит лестницу как AB, а рама лестницы видит лестницу как AC. Лестница не выходит из гаража, поэтому ее передний конец теперь идет прямо вверх, через точку E. Задняя часть лестницы не изменит свою траекторию в пространстве-времени, пока не почувствует воздействие удара. Эффект удара может распространяться наружу от точки А не быстрее, чем скорость света, поэтому задняя часть лестницы никогда не почувствует последствия удара до точки F или позже, когда лестница находится внутри гаража в обоих случаях. кадры. Обратите внимание: когда диаграмма нарисована в рамке лестницы, скорость света такая же, но лестница длиннее, поэтому силе требуется больше времени, чтобы достичь заднего конца; это дает достаточно времени для того, чтобы задняя часть лестницы переместилась внутрь гаража. Что если задняя дверь (дверь, из которой выходит лестница) закрыта навсегда и не открывается? Предположим, что дверь настолько прочная, что лестница не пробьет ее при столкновении, поэтому она должна остановиться. Затем, как в сценарии, описанном выше, в системе отсчета гаража наступает момент, когда лестница полностью находится внутри гаража (т. Е. Задняя часть лестницы находится внутри входной двери), прежде чем она сталкивается с дверью. задняя дверь и останавливается. Однако, исходя из системы отсчета лестницы, лестница слишком велика, чтобы поместиться в гараже, поэтому к тому моменту, когда она сталкивается с задней дверью и останавливается, задняя часть лестницы все еще не достигает входной двери. Это кажется парадоксом. Вопрос в том, пересекает ли задняя часть лестницы входную дверь или нет?
Сложность возникает в основном из-за предположения, что лестница жесткая (то есть сохраняет ту же форму). В повседневной жизни лестницы кажутся жесткими. Но для того, чтобы быть полностью жестким, необходимо, чтобы он мог передавать силу с бесконечной скоростью (то есть, когда вы толкаете один конец, другой конец должен немедленно реагировать, иначе лестница деформируется). Это противоречит специальной теории относительности, которая утверждает, что информация может перемещаться не быстрее скорости света (что слишком быстро для нас, чтобы заметить в реальной жизни, но имеет значение в лестничном сценарии). Таким образом, объекты не могут быть абсолютно жесткими согласно специальной теории относительности.
В этом случае, когда передняя часть лестницы сталкивается с задней дверью, задняя часть лестницы еще не знает об этом, поэтому продолжает двигаться вперед (и лестница "сжимается"). Как в раме гаража, так и в инерциальной раме лестницы задний конец продолжает двигаться во время столкновения, по крайней мере, до точки, где задняя часть лестницы входит в световой конус столкновения (т. Е. точка, в которой сила, движущаяся назад со скоростью света от точки столкновения, достигнет ее). На этом этапе лестница фактически короче, чем исходная сокращенная длина, поэтому задняя часть находится внутри гаража. Расчеты в обеих системах отсчета покажут, что это так.
Что происходит после того, как сила достигает задней части лестницы («зеленая» зона на диаграмме), не указано. В зависимости от физики лестница могла сломаться; или, если бы он был достаточно эластичным, он мог бы согнуться и снова расшириться до своей первоначальной длины. На достаточно высоких скоростях любой реалистичный материал взорвался бы в плазму.
Человек (представленный сегментированным стержнем), падающий в решетку Эта ранняя версия парадокса была первоначально предложена и решена Вольфгангом Риндлером и вовлекал быстро идущего человека в виде жезла, упавшего в решетку. Предполагается, что стержень полностью находится над решеткой в системе отсчета решетки до того, как ускорение вниз начнется одновременно и в равной степени приложено к каждой точке стержня.
С точки зрения решетки, стержень сокращается по длине и входит в решетку. Однако, с точки зрения стержня, решетка испытывает сокращение длины, из-за чего кажется, что стержень слишком длинный, чтобы упасть.
Ускорение стержня вниз, которое является одновременным в системе отсчета решетки, не является одновременным в системе отсчета стержня. В системе отсчета стержня передняя часть стержня сначала ускоряется вниз (показано в ячейке 3 на чертеже), и с течением времени все больше и больше стержня подвергается ускорению вниз, пока, наконец, не задняя часть стержня. стержень ускоряется вниз. Это приводит к изгибу стержня в системе отсчета стержня. Так как этот изгиб происходит в системе покоя стержня, это истинное физическое искажение стержня, который будет вызывать стрессы происходят в стержне.
Чтобы это нежесткое поведение стержня стало очевидным, и сам стержень, и решетка должны иметь такой масштаб, чтобы можно было измерить время перемещения.
На схеме слева изображены стержень и кольцо в остальной рамке кольца в момент совпадения их центров. Штанга сжата по Лоренцу и движется вверх и вправо, в то время как кольцо неподвижно и не сжимается. Диаграмма справа иллюстрирует ситуацию в тот же момент, но в остальной части бара. Кольцо теперь сжато по Лоренцу и повернуто относительно стержня, а стержень разжат. И снова кольцо проходит над стержнем, не касаясь его. Проблема, очень похожая, но более простая, чем парадокс стержня и решетки, включающая только инерционные рамки, - это парадокс «стержня и кольца» (Ferraro 2007). Парадокс решетки и стержня сложен: он включает в себя неинерциальные системы отсчета, поскольку в один момент человек идет горизонтально, а через мгновение он падает вниз; и это связано с физической деформацией человека (или сегментированного стержня), поскольку стержень изогнут в одной системе отсчета и прямой в другой. Эти аспекты проблемы вносят осложнения, связанные с жесткостью стержня, которая имеет тенденцию затемнять реальную природу «парадокса». Парадокс «стержень и кольцо» лишен этих сложностей: стержень, длина которого немного больше диаметра кольца, движется вверх и вправо с горизонтальной длинной осью, в то время как кольцо неподвижно, а плоскость кольца также горизонтально. Если движение штанги таково, что центр штанги совпадает с центром кольца в какой-то момент времени, то штанга будет лоренц-сжатой из-за поступательной составляющей ее движения, и она пройдет через кольцо. Парадокс возникает, когда проблема рассматривается в остальной части бара. Кольцо теперь движется вниз и влево и будет сжато по Лоренцу по своей горизонтальной длине, в то время как штанга не будет сокращена вообще. Как штанга проходит через кольцо?
Разрешение парадокса снова заключается в относительности одновременности (Ferraro 2007). Длина физического объекта определяется как расстояние между двумя одновременными событиями, происходящими на каждом конце тела, и, поскольку одновременность относительна, эта длина относительна. Эта изменчивость длины и есть сокращение Лоренца. Точно так же физический угол определяется как угол, образованный тремя одновременными событиями, и этот угол также будет относительной величиной. В приведенном выше парадокс, хотя стержень и плоскость кольца параллельны в системе покоя кольца, они не параллельны в системе покоя стержня. Несжатый стержень проходит через лоренц-сжатое кольцо, потому что плоскость кольца повернута относительно стержня на величину, достаточную для того, чтобы стержень прошел сквозь него.
С математической точки зрения, преобразование Лоренца может быть разделено на произведение пространственного вращения и «правильного» преобразования Лоренца, которое не включает пространственного вращения. Математическое разрешение парадокса стержня и кольца основано на том факте, что произведение двух правильных преобразований Лоренца (горизонтального и вертикального) может дать преобразование Лоренца, которое не является правильным (диагональным), а скорее включает компонент пространственного вращения.
 | На Викискладе есть медиафайлы, связанные с лестничным парадоксом. |
