Изотропное многообразие

редактировать

Не путать с изотропным подпространством, квадратичным пространством, содержащим ненулевой вектор v, для которого q ( v) равно 0.

В математике, изотропное многообразие является многообразием, в котором геометрия не зависит от направлений. Формально мы говорим, что риманов многообразие является изотропным, если для любой точки и единичных векторов, существует изометрия из с и. Всякое связное изотропное многообразие является однородным, т.е. для любого существует изометрия из с Это можно увидеть, рассматривая геодезические от к и с изометрией, какие исправления и карты в ${\ displaystyle (M, g)}$ $(М, г)$ ${\ displaystyle p \ in M}$ $р \ в М$ ${\ displaystyle v, w \ in T_ {p} M}$ $v, w \ in T_ {p} M$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ ${\ displaystyle M}$ $M$ ${\ displaystyle \ varphi (p) = p}$ $\ varphi (p) = p$ ${\ displaystyle \ varphi _ {\ ast} (v) = w}$ $\ varphi _ {\ ast} (v) = w$ ${\ displaystyle p, q \ in M}$ $р, д \ в М$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ ${\ displaystyle M}$ $M$ ${\ displaystyle \ varphi (p) = q.}$ $\ varphi (p) = q.$ ${\ displaystyle \ gamma: [0,2] \ до M}$ $\ gamma: [0,2] \ до M$ ${\ displaystyle p}$ $п$ ${\ displaystyle q}$ $q$ ${\ displaystyle \ gamma (1)}$ $\ гамма (1)$ ${\ displaystyle \ gamma '(1)}$ $\ gamma '(1)$ ${\ displaystyle - \ gamma '(1).}$ $- \ gamma '(1).$

Примеры

Односвязные пространственные формы ( n-сфера, гиперболическое пространство и) изотропны. Вообще говоря, неверно, что любое многообразие постоянной кривизны изотропно; например, плоский тор не изотропен. Это можно увидеть, заметив, что любая изометрия, фиксирующая точку, должна подниматься до изометрии, которая фиксирует точку и сохраняет ; таким образом, группа изометрий, у которых fix, дискретна. Более того, таким же образом можно увидеть, что никакая ориентированная поверхность с постоянной кривизной и отрицательной эйлеровой характеристикой не является изотропной. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ Displaystyle Т = \ mathbb {R} ^ {2} / \ mathbb {Z} ^ {2}}$ $Т = {\ mathbb {R}} ^ {2} / {\ mathbb {Z}} ^ {2}$ ${\ displaystyle T}$ $Т$ ${\ displaystyle p \ in T}$ $p \ in T$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ mathbb {R} ^ {2}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}}$ $\ mathbb {Z} ^ {2}$ ${\ displaystyle T}$ $Т$ ${\ displaystyle p}$ $п$

Более того, существуют изотропные многообразия, не имеющие постоянной кривизны, такие как комплексное проективное пространство (), снабженное метрикой Фубини-Штуди. Действительно, все многообразия постоянной кривизны имеют свое универсальное покрытие, которое может быть либо сферой, либо гиперболическим пространством, либо, но односвязным, но не сферой (для), как можно увидеть, например, из вычислений гомотопической группы из длинной точной последовательности расслоения. ${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {п}}$ ${\ mathbb {CP}} ^ {n}$ ${\ displaystyle ngt; 1}$ $пgt; 1$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {п}}$ ${\ mathbb {CP}} ^ {n}$ ${\ displaystyle ngt; 1}$ $пgt; 1$ ${\ Displaystyle U (1) \ к S ^ {2n + 1} \ к \ mathbb {CP} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle U (1) \ к S ^ {2n + 1} \ к \ mathbb {CP} ^ {n}}$

Дальнейшие примеры изотропных многообразий задаются рангом один симметрические пространства, в том числе проективных пространств,,, и, а также их некомпактные гиперболических аналоги. ${\ displaystyle \ mathbb {RP} ^ {n}}$ ${\ mathbb {RP}} ^ {n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {п}}$ ${\ mathbb {CP}} ^ {n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {HP} ^ {n}}$ ${\ mathbb {HP}} ^ {n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {OP} ^ {2}}$ ${\ mathbb {OP}} ^ {2}$

Многообразие может быть однородным, но не изотропным, например плоский тор или с метрикой произведения. ${\ displaystyle T}$ $Т$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ times S ^ {2}}$ ${\ mathbb {R}} \ times S ^ {2}$

Смотрите также