Метрика Рейсснера – Нордстрема

редактировать

В физике и астрономии используется метрика Рейсснера – Нордстрема является статическим решением уравнений поля Эйнштейна – Максвелла, которое соответствует гравитационному полю заряженного, невращающегося сферически-симметричного тела массы M. Аналогичное Решение для заряженного вращающегося тела дается метрикой Керра – Ньюмана.

Эта метрика была открыта между 1916 и 1921 годами Хансом Рейсснером, Германом Вейлем, Гуннар Нордстрём и Джордж Баркер Джеффри.

Содержание

1 Метрика
2 Заряженные черные дыры
3 Гравитационное замедление времени
4 Символы Кристоффеля
5 Уравнения движения
6 Альтернативная формулировка метрики
7 См. Также
8 Примечания
9 Ссылки
10 Внешние ссылки

Метрика

В сферических координатах $(t, r, θ, φ) {\ displaystyle (t, r, \ theta, \ varphi)}$ ${\ displaystyle (t, r, \ theta, \ varphi)}$ , метод Рейсснера – Нордстрема метрика (также известная как элемент строки ):

ds 2 = (1 - rsr + r Q 2 r 2) c 2 dt 2 - (1 - rsr + r Q 2 r 2) - 1 dr 2 - р 2 d θ 2 - р 2 грех 2 ⁡ θ d φ 2, {\ displaystyle ds ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {r_ {s}} {r}} + {\ frac { r _ {\ rm {Q}} ^ {2}} {r ^ {2}}} \ right) c ^ {2} \, dt ^ {2} - \ left (1 - {\ frac {r_ {s}) } {r}} + {\ frac {r_ {Q} ^ {2}} {r ^ {2}}} \ right) ^ {- 1} \, dr ^ {2} -r ^ {2} \, d \ theta ^ {2} -r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \, d \ varphi ^ {2},}

{\ displaystyle ds ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {r_ {s}} {r}} + {\ frac {r _ {\ rm {Q}} ^ {2}} {r ^ {2}}} \ right) c ^ {2} \, dt ^ {2} - \ left (1 - {\ frac {r_ {s}} {r}} + {\ frac {r_ {Q} ^ {2}} {r ^ {2}}} \ right) ^ {-1} \, dr ^ {2} -r ^ {2} \, d \ theta ^ {2} -r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \, d \ varphi ^ {2}, }

где $c {\ displaystyle c}$ $c$ - скорость света, $t {\ displaystyle t}$ $t$ - координата времени (измеренная стационарными часами на бесконечности), $r {\ displaystyle r }$ $r$ - радиальная координата, $(θ, φ) {\ displaystyle (\ theta, \ varphi)}$ ${\ displaystyle (\ theta, \ varphi)}$ - сферические углы, а

$rs {\ displaystyle r_ {s}}$ $r_ {s}$ - это радиус Шварцшильда тела, задаваемый как

rs = 2 GM c 2, {\ displaystyle r_ {s} = {\ frac {2GM} {c ^ {2}}},}

{\ displaystyle r_ {s} = {\ frac {2GM} {c ^ {2}}},}

и $r Q {\ displaystyle r_ {Q}}$ ${\ displaystyle r_ {Q}}$ - характерный масштаб длины, задаваемый как

r Q 2 = Q 2 G 4 π ε 0 с 4. {\ displaystyle r_ {Q} ^ {2} = {\ frac {Q ^ {2} G} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} c ^ {4}}}.}

{\ displaystyle r_ {Q} ^ {2} = {\ frac {Q ^ {2} G} {4 \ pi \ varepsilon _ {0 } c ^ {4}}}.}

Здесь $1 4 π ε 0 {\ displaystyle {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}}}$ равно константа кулоновской силы $K {\ displaystyle K }$ $K$ .

Полная масса центрального тела и его неприводимая масса связаны соотношением

M irr = c 2 G r + 2 2 → M = Q 2 K 4 GM irr + M irr {\ displaystyle M _ {\ rm {irr}} = {\ frac {c ^ {2}} {G}} {\ sqrt {\ frac {r _ {+} ^ {2}} {2}}} \ \ to \ M = {\ frac { Q ^ {2} K} {4GM _ {\ rm {irr}}}} + M _ {\ rm {irr}}}

{\ displaystyle M _ {\ rm { irr}} = {\ frac {c ^ {2}} {G}} {\ sqrt {\ frac {r _ {+} ^ {2}} {2}}} \ \ to \ M = {\ frac {Q ^ {2} K} {4GM _ {\ rm {irr}}}} + M _ {\ rm {irr}}}

Разница между $M {\ displaystyle M}$ $M$ и $M irr {\ displaystyle M _ {\ rm {irr}}}$ ${\ displaystyle M _ {\ rm {irr}}}$ возникает из-за эквивалентности массы и энергии, что делает энергию электрического поля Также вносите вклад в общую массу.

В пределах, в которых заряд $Q {\ displaystyle Q}$ $Q$ (или, что эквивалентно, шкала длины $r Q {\ displaystyle r_ {Q}}$ ${\ displaystyle r_ {Q}}$ ) обращается в ноль, восстанавливается метрика Шварцшильда. Тогда классическая ньютоновская теория гравитации может быть восстановлена в пределе, когда отношение $r s / r {\ displaystyle r_ {s} / r}$ ${\ displaystyle r_ {s} / r}$ стремится к нулю. В пределах, когда и $r Q / r {\ displaystyle r_ {Q} / r}$ ${\ displaystyle r_ {Q} / r}$ , и $rs / r {\ displaystyle r_ {s} / r}$ ${\ displaystyle r_ {s} / r}$ перейти к нулю, эта метрика становится метрикой Минковского для специальной теории относительности.

На практике отношение $rs / r {\ displaystyle r_ {s} / r}$ ${\ displaystyle r_ {s} / r}$ часто бывает очень маленьким. Например, радиус Шварцшильда Земли составляет примерно 9 мм (3/8 дюйма ), тогда как спутник в геосинхронная орбита имеет радиус $r {\ displaystyle r}$ $r$ , который примерно в четыре миллиарда раз больше, на 42 164 км (26 200 миль ). Даже на поверхности Земли поправки к ньютоновской гравитации составляют лишь одну часть на миллиард. Отношение становится большим только вблизи черных дыр и других сверхплотных объектов, таких как нейтронные звезды.

заряженные черные дыры

Хотя заряженные черные дыры с r Q ≪ r s похожи на черную дыру Шварцшильда, у них есть два горизонта: горизонт событий и внутренний горизонт Коши. Как и в случае с метрикой Шварцшильда, горизонты событий для пространства-времени расположены там, где компонент метрики g расходится (не является $grr {\ displaystyle g_ {rr}}$ $g _ {{rr}}$ расходящимся или, что то же самое, $grr = 0 {\ displaystyle g ^ {rr} = 0}$ ${\ displaystyle g ^ {rr} = 0}$ ?); то есть, где

0 = 1 g r r = 1 - r s r + r Q 2 r 2. {\ displaystyle 0 = {\ frac {1} {g ^ {rr}}} = 1 - {\ frac {r _ {\ rm {s}}} {r}} + {\ frac {r _ {\ rm {Q) }} ^ {2}} {r ^ {2}}}.}

{\ displaystyle 0 = {\ frac {1} {g ^ {rr}}} = 1 - {\ frac {r _ {\ rm {s}}} {r}} + {\ frac {r _ {\ rm {Q}} ^ {2}} {r ^ {2}} }.}

У этого уравнения есть два решения:

r ± = 1 2 (rs ± rs 2 - 4 r Q 2). {\ displaystyle r _ {\ pm} = {\ frac {1} {2}} \ left (r _ {\ rm {s}} \ pm {\ sqrt {r _ {\ rm {s}} ^ {2} -4r_ {\ rm {Q}} ^ {2}}} \ right).}

{\ displaystyle r _ {\ pm} = { \ frac {1} {2}} \ left (r _ {\ rm {s}} \ pm {\ sqrt {r _ {\ rm {s}} ^ {2} -4r _ {\ rm {Q}} ^ {2 }}} \ right).}

Эти концентрические горизонты событий становятся вырожденными для 2r Q = r s, что соответствует экстремальной черной дыре. Черные дыры с 2r Q>rsне могут существовать в природе, потому что, если заряд больше массы, не может быть физического горизонта событий (член под квадратным корнем становится отрицательным). Объекты с зарядом, превышающим их массу, могут существовать в природе, но они не могут коллапсировать в черную дыру, и если бы могли, они бы отображали голую сингулярность. Теории с суперсимметрией обычно гарантируют, что такие «сверхэкстремальные» черные дыры не могут существовать.

Электромагнитный потенциал равен

A α = (Q / r, 0, 0, 0). {\ displaystyle A _ {\ alpha} = (Q / r, 0,0,0).}

{\ displaystyle A _ {\ alpha} = (Q / r, 0,0,0).}

Если магнитные монополи включены в теорию, то обобщение, включающее магнитный заряд P, получается заменой Q на Q + P в метрике и включая член Pcos θ dφ в электромагнитном потенциале.

Гравитационное замедление времени

Дано гравитационное замедление времени вблизи центрального тела. автор

ς = | г т т | знак равно r 2 Q 2 + (r - 2 M) r {\ displaystyle \ varsigma = {\ sqrt {| g ^ {tt} |}} = {\ sqrt {\ frac {r ^ {2}} {Q ^ { 2} + (r-2M) r}}}}

{\ displaystyle \ varsigma = {\ sqrt {| g ^ {tt} |}} = {\ sqrt {\ frac {r ^ {2}} { Q ^ {2} + (r-2M) r}}}}

, который относится к локальной радиальной скорости убегания нейтральной частицы

vesc = ς 2 - 1 ς. {\ displaystyle v _ {\ rm {esc}} = {\ frac {\ sqrt {\ varsigma ^ {2} -1}} {\ varsigma}}.}

{\ displaystyle v _ {\ rm {esc}} = {\ frac {\ sqrt {\ varsigma ^ {2} -1}} {\ varsigma} }.}

символы Кристоффеля

Символы Кристоффеля

Γ jki = ∑ s = 0 3 gis 2 (∂ gjs ∂ xk + ∂ gsk ∂ xj - ∂ gjk ∂ xs) {\ displaystyle \ Gamma _ {jk} ^ {i} = \ sum _ { s = 0} ^ {3} \ {\ frac {g ^ {is}} {2}} \ left ({\ frac {\ partial g_ {js}} {\ partial x ^ {k}}} + {\ frac {\ partial g_ {sk}} {\ partial x ^ {j}}} - {\ frac {\ partial g_ {jk}} {\ partial x ^ {s}}} \ right)}

{\ displaystyle \ Gamma _ {jk} ^ {i} = \ sum _ {s = 0} ^ {3} \ {\ frac {g ^ {is} } {2}} \ left ({\ frac {\ partial g_ {js}} {\ partial x ^ {k}}} + {\ frac {\ partial g_ {sk}} {\ partial x ^ {j}}) } - {\ frac {\ partial g_ {jk}} {\ partial x ^ {s}}} \ right)}

с индексы

{0, 1, 2, 3} → {t, r, θ, φ} {\ displaystyle \ {0, \ 1, \ 2, \ 3 \} \ к \ {t, \ r, \ \ theta, \ \ varphi \}}

{\ displaystyle \ {0, \ 1, \ 2, \ 3 \} \ к \ {t, \ r, \ \ theta, \ \ varphi \}}

дают ненулевые выражения

Γ 10 0 = M r - Q 2 r (r (r - 2 M) + Q 2) Γ 00 1 = (M r - Q 2) (r (r - 2 M) + Q 2) r 5 Γ 11 1 = Q 2 - M r Q 2 r - 2 M r 2 + r 3 Γ 22 1 = 2 M - Q 2 r - r Γ 33 1 = - sin 2 ⁡ θ (r (r - 2 M) + Q 2) r Γ 21 2 = r - 1 Γ 33 2 = - sin ⁡ θ cos ⁡ θ Γ 31 3 = r - 1 Γ 32 3 = детская кроватка ⁡ θ {\ displaystyle {\ begin {align} \ Gamma _ {10} ^ {0} = {\ frac {Mr-Q ^ {2}} {r (r (r-2M) + Q ^ {2}))}} \\ [6pt] \ Gamma _ {00} ^ {1} = {\ frac {(Mr-Q ^ {2}) \ left (r (r-2M) + Q ^ {2} \ right)} {r ^ {5}}} \\ [6pt] \ Gamma _ {11} ^ {1} = {\ frac {Q ^ {2} -Mr} {Q ^ {2} r-2Mr ^ {2} + r ^ {3}}} \\ [6pt] \ Gamma _ {22} ^ {1} = 2M - {\ frac {Q ^ {2}} {r}} - r \\ [6pt] \ Gamma _ {33} ^ {1} = - {\ frac {\ sin ^ {2} \ theta \ left (r (r-2M) + Q ^ {2} \ right)} {r}} \\ [6pt] \ Gamma _ {21} ^ {2} = r ^ { -1} \\ [6pt] \ Gamma _ {33} ^ {2} = - \ sin \ theta \ cos \ theta \\ [6pt] \ Gamma _ {31} ^ {3} = r ^ {- 1} \\ [6pt] \ Gamma _ {32} ^ {3} = \ cot \ theta \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Gamma _ {10} ^ {0} = {\ frac {Mr-Q ^ {2} } {r (r (r-2M) + Q ^ {2})}} \\ [6pt] \ Gamma _ {00} ^ {1} = {\ frac {(Mr-Q ^ {2}) \ слева (r ( r-2M) + Q ^ {2} \ right)} {r ^ {5}}} \\ [6pt] \ Gamma _ {11} ^ {1} = {\ frac {Q ^ {2} -Mr } {Q ^ {2} r-2Mr ^ {2} + r ^ {3}}} \\ [6pt] \ Gamma _ {22} ^ {1} = 2M - {\ frac {Q ^ {2} } {r}} - r \\ [6pt] \ Gamma _ {33} ^ {1} = - {\ frac {\ sin ^ {2} \ theta \ left (r (r-2M) + Q ^ { 2} \ right)} {r}} \\ [6pt] \ Gamma _ {21} ^ {2} = r ^ {- 1} \\ [6pt] \ Gamma _ {33} ^ {2} = - \ sin \ theta \ cos \ theta \\ [6pt] \ Gamma _ {31} ^ {3} = r ^ {- 1} \\ [6pt] \ Gamma _ {32} ^ {3} = \ кроватка \ theta \ end {align}}}

Имея символы Кристоффеля, можно вычислить геодезические пробной частицы.

Уравнения движения

Из-за сферической симметрии метрики система координат всегда может быть выровнена таким образом, чтобы движение пробной частицы было ограничено плоскость, поэтому для краткости и без ограничения общности мы далее будем использовать Ω вместо θ и φ. В безразмерных натуральных единицах G = M = c = K = 1 движение электрически заряженной частицы с зарядом q определяется выражением

x ¨ i = - ∑ j = 0 3 ∑ k = 0 3 Γ jkix ˙ jx ˙ К + Q F ikx ˙ К {\ Displaystyle {\ ddot {x}} ^ {i} = - \ sum _ {j = 0} ^ {3} \ \ sum _ {k = 0} ^ {3} \ \ Gamma _ {jk} ^ {i} \ {{\ dot {x}} ^ {j}} \ {{\ dot {x}} ^ {k}} + q \ {F ^ {ik}} \ { {\ dot {x}} _ {k}}}

{\ displaystyle {\ ddot {x}} ^ {i} = - \ sum _ {j = 0} ^ {3} \ \ sum _ {k = 0} ^ {3} \ \ Gamma _ {jk} ^ {i} \ {{\ dot {x}} ^ {j}} \ {{\ dot {x}} ^ {k}} + q \ {F ^ {ik}} \ {{\ dot {x}} _ {k}}}

, что дает

t ¨ = r ˙ (qr Q + 2 (Q 2 - r) t ˙) r ((r - 2) r + Q 2) {\ displaystyle {\ ddot {t}} = {\ frac {{\ dot {r}} \ (q \ r \ Q + 2 (Q ^ {2} -r) {\ dot {t}}) } {r ((r-2) r + Q ^ {2})}}}

{\ displaystyle {\ ddot {t}} = {\ frac {{\ dot {r}} \ (q \ r \ Q + 2 (Q ^ {2} -r) {\ dot {t}) })} {r ((r-2) r + Q ^ {2})}}}

r ¨ = ((r - 2) r + Q 2) (qr Q t ˙ + r 4 Ω ˙ 2 + ( Q 2 - r) t ˙ 2) r 5 + (r - Q 2) r ˙ 2 r ((r - 2) r + Q 2) {\ displaystyle {\ ddot {r}} = {\ frac {(( r-2) \ r + Q ^ {2}) (q \ r \ Q \ {\ dot {t}} + r ^ {4} {\ dot {\ Omega}} ^ {2} + (Q ^ { 2} -r) \ {\ dot {t}} ^ {2})} {r ^ {5}}} + {\ frac {(rQ ^ {2}) {\ dot {r}} ^ {2} } {r \ ((r-2) \ r + Q ^ {2})}}}

{\ displaystyle {\ ddot {r}} = {\ frac {((r-2) \ r + Q ^ {2}) (q \ r \ Q \ {\ dot {t}} + r ^ {4} {\ dot {\ Omega}} ^ {2} + (Q ^ {2} -r) \ {\ dot {t}} ^ {2})} {r ^ {5}}} + {\ frac {( rQ ^ {2}) {\ dot {r}} ^ {2}} {r \ ((r-2) \ r + Q ^ {2})}}}

Ω ¨ = - 2 Ω ˙ r ˙ r {\ displaystyle {\ ddot {\ Omega}} = - {\ frac {2 \ {\ dot {\ Omega}} \ {\ dot {r}}} {r}}}

{\ displaystyle {\ ddot {\ Omega}} = - {\ frac {2 \ {\ dot {\ Omega}} \ {\ dot {r}}} {r}}}

Общее замедление времени между пробная частица и наблюдатель на бесконечности:

t ˙ = q Q r 3 + E r 4 r 2 (r 2 - 2 r + Q 2) {\ displaystyle {\ dot {t}} = {\ frac {q \ Q \ r ^ {3} + E \ r ^ {4}} {r ^ {2} \ (r ^ {2} -2r + Q ^ {2})}}}

{\ displaystyle {\ dot {t}} = {\ frac {q \ Q \ r ^ {3} + E \ r ^ {4}} {r ^ {2} \ (r ^ {2} -2r + Q ^ {2})}}}

Первые производные $x ˙ i {\ displaystyle {\ dot {x}} ^ {i}}$ ${\ displaystyle {\ dot {x}} ^ {i}}$ и контравариантные компоненты локальной 3-скорости $vi {\ displaystyle v ^ {i}}$ $v ^ {i}$ связаны соотношением

x ˙ i = vi (1 - v 2) | г я я |. {\ displaystyle {\ dot {x}} ^ {i} = {\ frac {v ^ {i}} {\ sqrt {(1-v ^ {2}) \ | g_ {ii} |}}}.}

{\ displaystyle {\ dot {x}} ^ {i} = {\ frac {v ^ {i}} {\ sqrt {(1-v ^ {2}) \ | g_ {ii} |}}}.}

который дает начальные условия

r ˙ = v ∥ r (r - 2 M) - Q 2 r (1 - v 2) {\ displaystyle {\ dot {r}} = {\ frac {v_ { \ parallel} {\ sqrt {r \ (r-2M) -Q ^ {2}}}} {r {\ sqrt {(1-v ^ {2})}}}}}

{\ displaystyle {\ dot {r}} = {\ frac {v _ {\ parallel} {\ sqrt {r \ (r-2M) -Q ^ {2}}}} {r {\ sqrt {(1-v ^ {2})}}}}}

Ω ˙ = v ⊥ р (1 - v 2) {\ displaystyle {\ dot {\ Omega}} = {\ frac {v _ {\ perp}} {r {\ sqrt {(1-v ^ {2})}}}}}

{\ displaystyle {\ dot {\ Omega}} = {\ frac {v _ {\ perp}} {r {\ sqrt {(1-v ^ { 2})}}}}}

удельная орбитальная энергия

E = Q 2 + (r - 2) rr 1 - v 2 {\ displaystyle E = {\ frac {\ sqrt {Q ^ {2} + (r-2) r}} {r {\ sqrt {1-v ^ {2}}}}}}

{\ displaystyle E = {\ frac {\ sqrt {Q ^ {2} + (r-2) r}} {r {\ sqrt {1-v ^ {2}}}}}}

и удельный относительный угловой момент

L = v ⊥ r 1 - v 2 {\ displaystyle L = {\ frac {v _ {\ perp} \ r} {\ sqrt {1-v ^ {2}}}}}

{\ displaystyle L = {\ frac {v _ {\ perp} \ r} {\ sqrt {1-v ^ {2}}}}}

пробной частицы - это сохраняющиеся количества движения. $v ∥ {\ displaystyle v _ {\ parallel}}$ ${\ displaystyle v _ {\ parallel}}$ и $v ⊥ {\ displaystyle v _ {\ perp}}$ $v _ {\ perp}$ - радиальная и поперечная составляющие локального вектор скорости. Следовательно, местная скорость равна

v = v ⊥ 2 + v ∥ 2 = E 2 r 2 - Q 2 - r 2 + 2 r E 2 r 2. {\ displaystyle v = {\ sqrt {v _ {\ perp} ^ {2} + v _ {\ parallel} ^ {2}}} = {\ sqrt {\ frac {E ^ {2} r ^ {2} -Q ^ {2} -r ^ {2} + 2r} {E ^ {2} r ^ {2}}}}.}

{\ displaystyle v = {\ sqrt {v _ {\ perp} ^ {2} + v _ {\ parallel} ^ {2}}} = {\ sqrt {\ frac {E ^ {2} r ^ {2} -Q ^ {2} -r ^ {2} + 2r} {E ^ {2} г ^ {2}}}}.}

Альтернативная формулировка метрики

В качестве альтернативы метрика может быть выражена следующим образом :

g μ ν = η μ ν + fk μ k ν f = G r 2 [2 M r - Q 2] k = (kx, ky, kz) = (xr, yr, zr) k 0 = 1. {\ displaystyle {\ begin {align} g _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ nu} + fk _ {\ mu} k _ {\ nu} \\ [5pt] f = {\ frac { G} {r ^ {2}}} \ left [2Mr-Q ^ {2} \ right] \\ [5pt] \ mathbf {k} = (k_ {x}, k_ {y}, k_ {z}) = \ left ({\ frac {x} {r}}, {\ frac {y} {r}}, {\ frac {z} {r}} \ right) \\ [5pt] k_ {0} = 1. \ End {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {выровнено} g _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ nu} + fk _ {\ mu} k _ {\ nu} \\ [5pt] f = {\ frac {G} {r ^ { 2}}} \ left [2Mr-Q ^ {2} \ right] \\ [5pt] \ mathbf {k} = (k_ {x}, k_ {y}, k_ {z}) = \ left ({ \ frac {x} {r}}, {\ frac {y} {r}}, {\ frac {z} {r}} \ right) \\ [5pt] k_ {0} = 1. \ End {align}}}

Обратите внимание, что k - это единичный вектор. Здесь M - постоянная масса объекта, Q - постоянный заряд объекта, а η - тензор Минковского.

См. Также

Электрон черной дыры

Примечания

Ссылки

Адлер, Р.; Базин, М.; Шиффер, М. (1965). Введение в общую теорию относительности. Нью-Йорк: Книжная компания Макгроу-Хилл. С. 395–401. ISBN 978-0-07-000420-7.
Уолд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности. Чикаго: Издательство Чикагского университета. С. 158, 312–324. ISBN 978-0-226-87032-8. Проверено 27 апреля 2013 г.

Внешние ссылки

диаграммы пространства-времени, включая и диаграмму Пенроуза, Эндрю Дж. С. Гамильтон
"Движение частиц вокруг двух крайних черных дыр »Энрике Зелени, Демонстрационный проект Wolfram.