Метрика Шварцшильда

редактировать

В теории Эйнштейна общей теории относительности используется метрика Шварцшильда (также известный как вакуум Шварцшильда или решение Шварцшильда ) является решением уравнения поля Эйнштейна, которое описывает гравитационное поле вне сферической массы, если предположить, что электрический заряд массы, угловой момент массы и универсальная космологическая постоянная равны нулю. Решение - полезное приближение для описания медленно вращающихся астрономических объектов, таких как многие звезды и планеты, включая Землю и Солнце. Его нашел Карл Шварцшильд в 1916 году и примерно в то же время независимо от него, который опубликовал свое гораздо более полное и современное обсуждение всего через четыре месяца после Шварцшильда.

Согласно теореме Биркгофа, метрика Шварцшильда является наиболее общим сферически-симметричным вакуумным решением уравнений поля Эйнштейна. черная дыра Шварцшильда или статическая черная дыра - это черная дыра, не имеющая ни электрического заряда, ни углового момента. Черная дыра Шварцшильда описывается метрикой Шварцшильда, и ее нельзя отличить от любой другой черной дыры Шварцшильда, кроме ее массы.

Черная дыра Шварцшильда характеризуется окружающей сферической границей, называемой горизонтом событий, которая расположена на радиусе Шварцшильда, часто называемом радиусом черного отверстие. Граница - это не физическая поверхность, и если человек упадет за горизонт событий (до того, как его разорвет на части приливные силы), он не заметит никакой физической поверхности в этом месте; это математическая поверхность, которая важна для определения свойств черной дыры. Любая невращающаяся и незаряженная масса, которая меньше ее радиуса Шварцшильда, образует черную дыру. Решение уравнений поля Эйнштейна справедливо для любой массы M, поэтому в принципе (согласно общей теории относительности) черная дыра Шварцшильда любой массы могла бы существовать, если бы условия стали достаточно благоприятными для ее образования.

Содержание

1 Метрика Шварцшильда
2 История
3 Сингулярности и черные дыры
4 Альтернативные координаты
5 Параболоид Фламма
6 Орбитальное движение
7 Симметрии
8 Кривизны
9 См. Также
10 Примечания
11 Ссылки

Метрика Шварцшильда

Метрика Шварцшильда - это сферически-симметричная лоренцевская метрика (здесь с подписью соглашение (-, +, +, +),), определенное на (подмножестве)

R × (E 3 - O) ≅ R × (0, ∞) × S 2 {\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ left (E ^ {3} -O \ right) \ cong \ mathbb {R} \ times (0, \ infty) \ times S ^ {2}}

\mathbb {R} \times \left(E^{3}-O\right)\cong \mathbb {R} \times (0,\infty)\times S^{2}

где $E 3 {\ displaystyle E ^ {3}}$ $E^{3}$ - трехмерное евклидово пространство, а $S 2 ⊂ E 3 {\ displaystyle S ^ {2} \ subset E ^ {3}}$ $S^{2}\subset E^{3}$ - две сферы. Группа вращения $SO (3) = SO (E 3) {\ displaystyle SO (3) = SO (E ^ {3})}$ $SO(3)=SO(E^{3})$ действует на $E 3 - O { \ displaystyle E ^ {3} -O}$ $E^{3}-O$ или $S 2 {\ displaystyle S ^ {2}}$ $S^{2}$ множитель как вращение вокруг центра $O {\ displaystyle O}$ $O$ , оставив первый коэффициент $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\mathbb {R}$ без изменений. Метрика Шварцшильда представляет собой решение уравнений поля Эйнштейна в пустом пространстве, что означает, что она действительна только вне гравитирующего тела. То есть для сферического тела радиусом $R {\ displaystyle R}$ $R$ решение действительно для $r>R {\ displaystyle r>R}$ $r>R$ . Для описания гравитационного поля как внутри, так и вне гравитирующего тела решение Шварцшильда должно быть согласовано с некоторым подходящим внутренним решением в $r = R {\ displaystyle r = R}$ $r=R$ , таким как внутренняя метрика Шварцшильда.

In Координаты Шварцшильда $(t, r, θ, ϕ) {\ displaystyle (t, r, \ theta, \ phi)}$ $(t,r,\theta,\phi)$ метрика Шварцшильда (или, эквивалентно, элемент строки для собственного времени ) имеет вид

g = - c 2 d τ 2 = - (1 - rsr) c 2 dt 2 + (1 - rsr) - 1 dr 2 + р 2 г Ω, {\ displaystyle g = -c ^ {2} \, {d \ tau} ^ {2} = - \ left (1 - {\ frac {r _ {\ mathrm {s}}} { r}} \ right) c ^ {2} \, dt ^ {2} + \ left (1 - {\ frac {r _ {\ mathrm {s}}} {r}} \ right) ^ {- 1} \, доктор ^ {2} + r ^ {2} g _ {\ Omega},}

g=-c^{2}\,{d\tau }^{2}=-\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)c^{2}\,dt^{2}+\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)^{-1}\,dr^{2}+r^{2}g_{\Omega },

где $g Ω {\ displaystyle g _ {\ Omega}}$ $g_{\Omega }$ - метрика на двух сферах, т. Е. $г Ω знак равно (d θ 2 + грех 2 ⁡ θ d φ 2) {\ displaystyle g _ {\ Omega} = \ left (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ varphi ^ {2} \ right)}$ $g_{\Omega }=\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right)$ . Кроме того,

$d τ 2 {\ displaystyle d \ tau ^ {2}}$ $d\tau ^{2}$ положительно для кривых времени, а $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\tau$ равно собственное время (время, измеренное часами, движущимися по той же мировой линии с тестовой частицей ),
$c {\ displaystyle c}$ $c$ , равно скорость света,
$t {\ displaystyle t}$ $t$ - координата времени (измеренная стационарными часами, расположенными бесконечно далеко от массивного тела),
$r {\ displaystyle r}$ $r$ - радиальная координата (измеряется как длина окружности, деленная на 2π, сферы с центром вокруг массивного тела),
$Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ - точка на две сферы $S 2 {\ displaystyle S ^ {2}}$ $S^{2}$ ,
$θ {\ displaystyle \ theta}$ $\theta$ - это ширина из $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ (угол от севера, в единицах радиан ), определенный после произвольного выбора оси z,
$ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\phi$ это долгота области $Ω {\ displ aystyle \ Omega}$ $\Omega$ (также в радианах) вокруг выбранной оси z, а
$rs {\ displaystyle r_ {s}}$ $r_{s}$ - радиус Шварцшильда массивного тела, масштабный коэффициент, который связан с его массой $M {\ displaystyle M}$ $M$ на $rs = 2 GM c 2 {\ displaystyle r_ {s} = {\ frac {2GM} {c ^ {2}}}}$ $r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}$ , где $G {\ displaystyle G}$ $G$ - гравитационная постоянная.

Метрика Шварцшильда имеет особенность для $r = 0 {\ displaystyle r = 0}$ $r=0$ , которая является сингулярностью внутренней кривизны. Также кажется, что у него есть особенность на горизонте событий $r = r s {\ displaystyle r = r_ {s}}$ $r=r_{s}$ . Следовательно, в зависимости от точки зрения метрика определяется только во внешней области $r>rs {\ displaystyle r>r_ {s}}$ $r>r_ {s}$ , только во внутренней области $r < r s {\displaystyle r$ $r<r_{s}$ или их несвязанном объединении., метрика на самом деле не является сингулярной на горизонте событий, как можно видеть в подходящих координатах (см. ниже). Для $r ≫ rs {\ displaystyle r \ gg r_ {s}}$ $r\gg r_{s}$ метрика Шварцшильда асимптотична стандартной метрике Лоренца на пространстве Минковского. Почти для всех астрофизических объектов отношение $rs R {\ displaystyle {\ frac {r_ {s}} {R}}}$ ${\frac {r_{s}}{R}}$ чрезвычайно мало. Например, радиус Шварцшильда $rs (E arth) {\ displaystyle r_ {s} ^ {(\ mathrm {Earth})}}$ $r_{s}^{(\mathrm {Earth})}$ Земли составляет примерно 8,9 мм, в то время как Солнце, который в 3,3 × 10 раз массивнее, имеет радиус Шварцшильда $rs (S un) {\ displaystyle r_ {s} ^ {( \ mathrm {Sun})}}$ $r_{s}^{(\mathrm {Sun})}$ примерно на 3,0 км. Отношение становится большим только в непосредственной близости от черных дыр и других сверхплотных объектов, таких как нейтронные звезды.

. Радиальная координата имеет физическое значение как «правильное расстояние между двумя событиями». которые происходят одновременно относительно радиально движущихся геодезических часов, два события лежат на одной и той же радиальной координатной линии ".

Решение Шварцшильда аналогично классической ньютоновской теории гравитации, которая соответствует гравитационному полю вокруг точки частица. Даже на поверхности Земли поправки к ньютоновской гравитации составляют лишь одну часть на миллиард.

История

Решение Шварцшильда названо в честь Карла Шварцшильда, который нашел точное решение в 1915 году и опубликовал его в январе 1916 года, чуть более чем через месяц после публикации общей теории относительности Эйнштейна. Это было первое точное решение уравнений поля Эйнштейна, отличное от тривиального решения в плоском пространстве. Шварцшильд умер вскоре после публикации своей статьи в результате болезни, которой он заразился во время службы в немецкой армии во время Первой мировой войны.

Йоханнес Дросте в 1916 году независимо разработал то же решение, что и Шварцшильд., используя более простой, более прямой вывод.

В первые годы общей теории относительности было много недоразумений по поводу природы сингулярностей, обнаруженных в Шварцшильде и других решениях уравнений поля Эйнштейна. В оригинальной статье Шварцшильда он поместил то, что мы теперь называем горизонтом событий, в начало своей системы координат. В этой статье он также ввел так называемую радиальную координату Шварцшильда (r в приведенных выше уравнениях) в качестве вспомогательной переменной. В своих уравнениях Шварцшильд использовал другую радиальную координату, равную нулю на радиусе Шварцшильда.

Более полный анализ структуры сингулярностей был дан Дэвидом Гильбертом в следующем году, идентифицировав сингулярности как при r = 0, так и при r = r s. Хотя было общее мнение, что сингулярность при r = 0 была «настоящей» физической сингулярностью, природа сингулярности при r = r s оставалась неясной.

В 1921 г. Пол Пенлеве и в 1922 году Аллвар Гуллстранд независимо друг от друга создали метрику, сферически-симметричное решение уравнений Эйнштейна, которое, как мы теперь знаем, является преобразованием координат метрики Шварцшильда, координаты Гуллстранда – Пенлеве, в котором особенность отсутствовала при r = r s. Однако они не осознавали, что их решения были просто преобразованиями координат, и фактически использовали свое решение, чтобы доказать, что теория Эйнштейна ошибочна. В 1924 году Артур Эддингтон произвел первое преобразование координат (координаты Эддингтона – Финкельштейна ), которое показало, что сингулярность при r = r s была координатным артефактом, хотя он также, кажется, не осознавали значение этого открытия. Позже, в 1932 году, Жорж Лемэтр применил другое преобразование координат (координаты Леметра ) с тем же эффектом и первым понял, что это означает, что сингулярность при r = r s не было физическим. В 1939 году Говард Робертсон показал, что свободно падающий наблюдатель, спускающийся в метрике Шварцшильда, пересечет сингулярность r = r s за конечное количество собственного времени, даже если это заняло бы бесконечное количество времени с точки зрения координатного времени t.

В 1950 году Джон Синг опубликовал статью, в которой было показано максимальное аналитическое расширение теории Шварцшильда. метрика, снова показывающая, что сингулярность в r = r s была координатным артефактом и что она представляет два горизонта. Аналогичный результат позже был заново открыт Джорджем Секересом и независимо Мартином Крускалом. Новые координаты, ныне известные как координаты Крускала-Секереса, были намного проще, чем у Synge, но обе обеспечивали единый набор координат, охватывающий все пространство-время. Однако, возможно, из-за безвестности журналов, в которых были опубликованы статьи Лемэтра и Синджа, их выводы остались незамеченными, поскольку многие из основных игроков в этой области, включая Эйнштейна, полагали, что сингулярность в радиусе Шварцшильда была физической.

Настоящий прогресс был достигнут в 1960-х годах, когда более точные инструменты дифференциальной геометрии вошли в область общей теории относительности, позволив более точные определения того, что означает лоренцево многообразие для быть единичным. Это привело к окончательной идентификации сингулярности r = r s в метрике Шварцшильда как горизонта событий (гиперповерхность в пространстве-времени, которую можно пересечь только в одном направлении).

Сингулярности и черные дыры

Решение Шварцшильда, по-видимому, имеет сингулярности при r = 0 и r = r s ; некоторые компоненты метрики «взрываются» (влекут за собой деление на ноль или умножение на бесконечность) на этих радиусах. Поскольку ожидается, что метрика Шварцшильда действительна только для тех радиусов, которые больше, чем радиус R гравитирующего тела, проблем нет, пока R>r s. Для обычных звезд и планет это всегда так. Например, радиус Солнца составляет примерно 700000 км, а его радиус Шварцшильда составляет всего 3 км.

Сингулярность в r = r s делит координаты Шварцшильда на два разъединенных участков. Внешнее решение Шварцшильда с r>r s - это решение, связанное с гравитационными полями звезд и планет. Внутреннее решение Шварцшильда с 0 ≤ r < rs, которое содержит особенность при r = 0, полностью отделено от внешнего фрагмента сингулярностью при r = r s. Таким образом, координаты Шварцшильда не дают физической связи между двумя пятнами, которые можно рассматривать как отдельные решения. Однако особенность при r = r s является иллюзией; это пример того, что называется координатной сингулярностью. Как следует из названия, сингулярность возникает из-за неправильного выбора координат или координатных условий. При переходе на другую систему координат (например, координаты Леметра, координаты Эддингтона – Финкельштейна, координаты Крускала – Секереса, координаты Новикова или Гуллстранд– Координаты Пенлеве ) метрика становится регулярной при r = r s и может расширять внешний фрагмент до значений r, меньших, чем r s. Затем, используя другое преобразование координат, можно связать расширенный внешний фрагмент с внутренним фрагментом.

Однако случай r = 0 отличается. Если кто-то спрашивает, что решение было справедливым для всех r, он сталкивается с истинной физической сингулярностью или гравитационной сингулярностью в начале координат. Чтобы увидеть, что это настоящая особенность, нужно посмотреть на величины, которые не зависят от выбора координат. Одной из таких важных величин является инвариант Кречмана, который задается как

R α β γ δ R α β γ δ = 12 r s 2 r 6 = 48 G 2 M 2 c 4 r 6. {\ displaystyle R ^ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} R _ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} = {\ frac {12r _ {\ mathrm {s}} ^ {2}} {r ^ {6} }} = {\ frac {48G ^ {2} M ^ {2}} {c ^ {4} r ^ {6}}} \,.}

R^{\alpha \beta \gamma \delta }R_{\alpha \beta \gamma \delta }={\frac {12r_{\mathrm {s} }^{2}}{r^{6}}}={\frac {48G^{2}M^{2}}{c^{4}r^{6}}}\,.

При r = 0 кривизна становится бесконечной, что указывает на наличие особенности. На этом этапе метрика и само пространство-время больше не определены. Долгое время считалось, что такое решение было нефизическим. Однако более глубокое понимание общей теории относительности привело к осознанию того, что такие особенности были общей чертой теории, а не просто экзотическим частным случаем.

Решение Шварцшильда, допустимое для всех r>0, называется черной дырой Шварцшильда . Это совершенно правильное решение уравнений поля Эйнштейна, хотя (как и другие черные дыры) оно имеет довольно странные свойства. Для r < rsрадиальная координата Шварцшильда r становится подобной времени, а координата времени t становится пространственноподобной. Кривая при постоянном r больше не является возможной мировой линией частицы или наблюдателя, даже если приложена сила, чтобы попытаться удержать ее там; это происходит потому, что пространство-время искривлено настолько, что направление причины и следствия (будущий световой конус частицы) указывает на сингулярность. Поверхность r = r s разграничивает то, что называется горизонтом событий черной дыры. Он представляет собой точку, за которой свет больше не может покинуть гравитационное поле. Любой физический объект, радиус R которого становится меньше или равен радиусу Шварцшильда, подвергся гравитационному коллапсу и стал черной дырой.

Альтернативные координаты

Решение Шварцшильда может быть выражено в диапазоне различных вариантов координат помимо координат Шварцшильда, использованных выше. Различные варианты, как правило, подчеркивают разные особенности решения. В таблице ниже показаны некоторые популярные варианты.

Альтернативные координаты
Координаты	Линейный элемент	Примечания	Характеристики
Координаты Эддингтона – Финкельштейна. (исходящие)	$- (1 - rsr) dv 2 + 2 dvdr + r 2 g Ω {\ displaystyle - \ left (1 - {\ frac {r _ {\ mathrm {s}}} {r}} \ right) \, dv ^ { 2} +2 \, dv \, dr + r ^ {2} \, g _ {\ Omega}}$ $-\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)\,dv^{2}+2\,dv\,dr+r^{2}\,g_{\Omega }$		регулярно на горизонте будущего. - горизонт прошлого находится на v = - бесконечности
Эддингтон – Финкельштейн координаты. (исходящие)	$- (1 - rsr) du 2-2 dudr + r 2 g Ω {\ displaystyle - \ left (1 - {\ frac {r _ {\ mathrm {s}}) } {r}} \ right) \, du ^ {2} -2 \, du \, dr + r ^ {2} g _ {\ Omega}}$ $-\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)\,du^{2}-2\,du\,dr+r^{2}g_{\Omega }$		регулярно за горизонтом. простирается за горизонт.. Горизонт будущего в u = бесконечность
Координаты Галстранда – Пенлеве	$- (1 - rsr) d T 2 ± 2 rsrd T dr + dr 2 + r 2 g Ω {\ displaystyle - \ left (1- {\ frac {r _ {\ mathrm {s}}} {r}} \ right) \, dT ^ {2} \ pm 2 {\ sqrt {\ frac {r _ {\ mathrm {s}}} {r}} } \, dT \, dr + dr ^ {2} + r ^ {2} \, g _ {\ Omega}}$ $-\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)\,dT^{2}\pm 2{\sqrt {\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}}\,dT\,dr+dr^{2}+r^{2}\,g_{\Omega }$		регулярно на (+ будущее / -прошлом) горизонте
Изотропные координаты	$- ( 1 - рс 4 р) 2 (1 + рс 4 р) 2 dt 2 + (1 + рс 4 р) 4 (dx 2 + dy 2 + dz 2) {\ displaystyle - {\ frac {\ left (1- { \ frac {r _ {\ mathrm {s}}} {4R}} \ right) ^ {2}} {\ left (1 + {\ frac {r _ {\ mathrm {s}}} {4R}} \ right) ^ {2}}} \, {dt} ^ {2} + \ left (1 + {\ frac {r _ {\ mathrm {s}}} {4R}} \ right) ^ {4} \, \ left ( dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} \ right)}$ $-{\frac {\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{4R}}\right)^{2}}{\left(1+{\frac {r_{\mathrm {s} }}{4R}}\right) ^{2}}}\,{dt}^{2}+\left(1+{\frac {r_{\mathrm {s} }}{4R}}\right)^{4}\,\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right)$	$R = x 2 + y 2 + z 2 {\ displaystyle R = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}$ $R = \sqrt{ x^2 + y^2 + z^2 }$ . Действительно только за пределами горизонта событий: $R>rs / 4 {\ displaystyle R>r_ {s} / 4}$ $R>r_ {s} / 4$	изотр оптические световые конусы на постоянных временных срезах
Координаты Краскала – Секереса	$- 4 rs 3 re - rrs (d T 2 - d R 2) + r 2 g Ω {\ displaystyle - {\ frac {4r _ {\ mathrm { s}} ^ {3}} {r}} e ^ {- {\ frac {r} {r _ {\ mathrm {s}}}}} \, \ left (dT ^ {2} -dR ^ {2} \ right) + r ^ {2} \, g _ {\ Omega}}$ $-{\frac {4r_{\mathrm {s} }^{3}}{r}}e^{-{\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}}\,\left(dT^{2}-dR^{2}\right)+r^{2}\,g_{\Omega }$	$T 2 - R 2 = (1 - rrs) errs {\ displaystyle T ^ {2} -R ^ {2} = \ left ( 1 - {\ frac {r} {r _ {\ mathrm {s}}}} \ right) e ^ {\ frac {r} {r _ {\ mathrm {s}}}}}$ $T^{2}-R^{2}=\left(1-{\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}\right)e^{\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}$	регулярно на горизонте. Максимально распространяется на все пространство-время
Координаты Лемэтра	$- d T 2 + rsrd R 2 + r 2 g Ω {\ displaystyle -dT ^ {2} + {\ frac {r _ {\ mathrm {s}}} {r}} \, dR ^ {2} + r ^ {2} \, g _ {\ Omega}}$ $-dT^{2}+{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\,dR^{2}+r^{2}\,g_{\Omega }$	$r = (3 2 (R ± T)) 2 3 rs 1 3 {\ displaystyle r = \ слева ({\ tfrac {3} {2}} (R \ pm T) \ right) ^ {\ frac {2} {3}} r _ {\ mathrm {s}} ^ {\ frac {1} {3} }}$ $r=\left({\tfrac {3}{2}}(R\pm T)\right)^{\frac {2}{3}}r_{\mathrm {s} }^{\frac {1}{3}}$	регулярные в будущем / прошлом горизонте
Гармонические координаты	$- ρ - rs / 2 ρ + rs / 2 dt 2 + ρ + rs / 2 ρ - rs / 2 d ρ 2 + (ρ + rs / 2) 2 г Ω {\ displaystyle - {\ frac {\ rho -r _ {\ mathrm {s}} / 2} {\ rho + r _ {\ mathrm {s}} / 2}} dt ^ {2} + {\ frac {\ rho + r _ {\ mathrm {s}} / 2} {\ rho -r _ {\ mathrm {s}} / 2}} d \ rho ^ {2} + (\ rho + r _ {\ mathrm {s}} / 2) ^ {2} g _ {\ Omega}}$ $-{\frac {\rho -r_{\mathrm {s} }/2}{\rho +r_{\mathrm {s} }/2}}dt^{2}+{\frac {\rho +r_{\mathrm {s} }/2}{\rho -r_{\mathrm {s} }/2}}d\rho ^{2}+(\rho +r_{\mathrm {s} }/2)^{2}g_{\Omega }$	$ρ = r - rs / 2 {\ displaystyle \ rho = r-r _ {\ mathrm {s}} / 2}$ $\rho =r-r_{\mathrm {s} }/2$

В таблице выше в некоторых сокращениях введено для краткости. Скорость света c была установлена на единицу. Обозначение

g Ω = d θ 2 + sin 2 ⁡ θ d φ 2 {\ displaystyle g _ {\ Omega} = d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ varphi ^ {2}}

g_{\Omega }=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}

используется для метрики двумерной сферы единичного радиуса. Кроме того, в каждой записи $R {\ displaystyle R}$ $R$ и $T {\ displaystyle T}$ $T$ обозначают альтернативные варианты радиальной и временной координаты для конкретных координат. Обратите внимание, что $R {\ displaystyle R}$ $R$ и / или $T {\ displaystyle T}$ $T$ может отличаться от записи к записи.

Координаты Крускала – Секереса имеют вид, к которому можно применить преобразование Белинского – Захарова. Это подразумевает, что черная дыра Шварцшильда является формой гравитационного солитона.

параболоида Фламма

График параболоида Фламма. Его не следует путать с несвязанной концепцией гравитационного колодца.

. Пространственная кривизна решения Шварцшильда для r>r s может быть визуализирована, как показано на графике. Рассмотрим экваториальный срез с постоянным временем через решение Шварцшильда (θ = ⁄ 2, t = constant) и пусть положение частицы, движущейся в этой плоскости, описывается оставшимися координатами Шварцшильда (r, φ). Теперь представьте, что существует дополнительное евклидово измерение w, которое не имеет физической реальности (не является частью пространства-времени). Затем замените плоскость (r, φ) поверхностью с углублениями в направлении w в соответствии с уравнением (параболоид Фламма)

w = 2 r s (r - r s). {\ displaystyle w = 2 {\ sqrt {r _ {\ mathrm {s}} \ left (r-r _ {\ mathrm {s}} \ right)}}.}

w=2{\sqrt {r_{\mathrm {s} }\left(r-r_{\mathrm {s} }\right)}}.

Эта поверхность обладает свойством: расстояния, измеряемые в пределах оно соответствует расстояниям в метрике Шварцшильда, потому что с определением w выше,

dw 2 + dr 2 + r 2 d φ 2 = - c 2 d τ 2 = dr 2 1 - rsr + r 2 d φ 2 { \ displaystyle dw ^ {2} + dr ^ {2} + r ^ {2} \, d \ varphi ^ {2} = - c ^ {2} \, d \ tau ^ {2} = {\ frac {dr ^ {2}} {1 - {\ frac {r _ {\ mathrm {s}}} {r}}}} + r ^ {2} \, d \ varphi ^ {2}}

dw^{2}+dr^{2}+r^{2}\,d\varphi ^{2}=-c^{2}\,d\tau ^{2}={\frac {dr^{2}}{1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}}}+r^{2}\,d\varphi ^{2}

Таким образом, параболоид Фламма полезен для визуализации пространственной кривизны метрики Шварцшильда. Однако его не следует путать с гравитационным колодцем. Никакая обычная (массивная или безмассовая) частица не может иметь мировую линию, лежащую на параболоиде, поскольку все расстояния на ней пространственноподобны (это поперечное сечение в один момент времени, поэтому любая движущаяся по нему частица будет иметь бесконечную скорость ). тахион может иметь космическую мировую линию, полностью лежащую на единственном параболоиде. Однако даже в этом случае его геодезический путь не является траекторией, которую можно пройти через аналогию с «резиновым листом» гравитационной ямы: в частности, если лунка нарисована направленной вверх, а не вниз, геодезический путь тахиона все еще изгибается к центральной массе, а не в сторону. См. Статью гравитационная скважина для получения дополнительной информации.

Параболоид Фламма может быть получен следующим образом. Евклидова метрика в цилиндрических координатах (r, φ, w) записывается как

d s 2 = d w 2 + d r 2 + r 2 d φ 2. {\ displaystyle ds ^ {2} = dw ^ {2} + dr ^ {2} + r ^ {2} \, d \ varphi ^ {2} \,.}

ds^{2}=dw ^{2}+dr^{2}+r^{2}\,d\varphi ^{2}\,.

Позволяя описать поверхность функцией w = w (r), евклидова метрика может быть записана как

ds 2 = (1 + (dwdr) 2) dr 2 + r 2 d φ 2, {\ displaystyle ds ^ {2} = \ left (1 + \ left ({\ frac {dw} {dr}} \ right) ^ {2} \ right) \, dr ^ {2} + r ^ {2} \, d \ varphi ^ {2} \,,}

ds^{2}=\left(1+\left({\frac {dw}{dr}}\right)^{2}\right)\,dr^{2}+r^{2}\,d\varphi ^{2}\,,

Сравнивая это с метрикой Шварцшильда в экваториальной плоскости (θ = π / 2) в фиксированный момент времени (t = constant, dt = 0)

ds 2 = (1 - rsr) - 1 dr 2 + r 2 d φ 2, {\ displaystyle ds ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {r _ {\ mathrm {s}}} {r}} \ right) ^ {- 1} \, dr ^ {2 } + r ^ {2} \, d \ varphi ^ {2} \,,}

ds^{2}= \left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)^{-1}\,dr^{2}+r^{2}\,d\varphi ^{2}\,,

дает интегральное выражение для w (r):

w (r) = ∫ drrrs - 1 = 2 rsrrs - 1 + константа {\ displaystyle w (r) = \ int {\ frac {dr} {\ sqrt {{\ frac {r} {r _ {\ mathrm {s}}}} - 1}}} = 2r _ {\ mathrm { s}} {\ sqrt {{\ frac {r} {r _ {\ mathrm {s}}}} - 1}} + {\ t_dv {constant}}}

w(r)=\int {\frac {dr}{\sqrt {{\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}-1}}}=2r_{\mathrm {s} }{\sqrt {{\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}-1}}+{\t_dv{constant}}

, решением которого является параболоид Фламма.

Орбитальное движение

Сравнение орбиты пробной частицы в ньютоновском (слева) и Шварцшильдовском (справа) пространстве-времени; обратите внимание на апсидальную прецессию справа.

Частица, вращающаяся в метрике Шварцшильда, может иметь стабильную круговую орбиту с r>3r s. Круговые орбиты с r между 1,5r s и 3r s нестабильны, и для r < 1.5rs круговых орбит не существует. Круговая орбита с минимальным радиусом 1,5r s соответствует орбитальной скорости, приближающейся к скорости света. Частица может иметь постоянное значение r между r s и 1,5r s, но только если действует некоторая сила, удерживающая его там.

Некруглые орбиты, такие как Меркурий, находятся на малых радиусах дольше, чем можно было бы ожидать в ньютоновской гравитации. Это можно рассматривать как менее экстремальную версию более драматичного случая, когда частица проходит через горизонт событий и остается внутри него навсегда. Между случаем Меркурия и случаем падения объекта за горизонт событий существуют экзотические возможности, такие как острые орбиты, на которых спутник может совершать сколь угодно большое количество почти круговых орбит, после чего он летит обратно наружу.

Симметрии

Группа изометрий метрики Шварцшильда - это подгруппа десятимерной группы Пуанкаре, которая переносит ось времени (траекторию звезды) на себя. В нем отсутствуют пространственные перемещения (три измерения) и ускорения (три измерения). Он сохраняет временные трансляции (одно измерение) и вращения (три измерения). Таким образом, он имеет четыре измерения. Как и группа Пуанкаре, она имеет четыре компонента связности: компонент тождества; компонент, обращенный во времени; компонент пространственной инверсии; и компонент, который обращен как во времени, так и в пространстве.

Кривизны

Скаляр кривизны Риччи и тензор кривизны Риччи равны нулю. Ненулевые компоненты тензора кривизны Римана равны

R trrt = 2 R θ r θ r = 2 R ϕ r ϕ r = rsr 2 (rs - r), {\ displaystyle R ^ { t} {} _ {rrt} = 2R ^ {\ theta} {} _ {r \ theta r} = 2R ^ {\ phi} {} _ {r \ phi r} = {\ frac {r_ {s}} {r ^ {2} (r_ {s} -r)}},}

R^{t}{}_{rrt}=2R^{\theta }{}_{r\theta r}=2R^{\phi }{}_{r\phi r}={\frac {r_{s}}{r^{2}(r_{s}-r)}},

2 R t θ θ t = 2 R r θ θ r = R ϕ θ ϕ θ = rsr, {\ displaystyle 2R ^ {t } {} _ {\ theta \ theta t} = 2R ^ {r} {} _ {\ theta \ theta r} = R ^ {\ phi} {} _ {\ theta \ phi \ theta} = {\ frac { r_ {s}} {r}},}

2R^{t}{}_{\theta \theta t}=2R^{r}{}_{\theta \theta r}=R^{\phi }{}_{\theta \phi \theta }={\frac {r_{s}}{r}},

2 R t ϕ ϕ t = 2 R r ϕ ϕ r = - R θ ϕ ϕ θ = rs sin 2 ⁡ (θ) r, {\ displaystyle 2R ^ { t} {} _ {\ phi \ phi t} = 2R ^ {r} {} _ {\ phi \ phi r} = - R ^ {\ theta} {} _ {\ phi \ phi \ theta} = {\ frac {r_ {s} \ sin ^ {2} (\ theta)} {r}},}

2R^{t}{}_{\phi \phi t}=2R^{r}{}_{\phi \phi r}=-R^{\theta }{}_{\phi \phi \theta }={\frac {r_{s}\sin ^{2}(\theta)}{r}},

R rtrt = - 2 R θ t θ t = - 2 R ϕ t ϕ t = c 2 rs (rs - г) р 4 {\ displaystyle R ^ {r} {} _ {trt} = - 2R ^ {\ theta} {} _ {t \ theta t} = - 2R ^ {\ phi} {} _ {t \ phi t} = c ^ {2} {\ frac {r_ {s} (r_ {s} -r)} {r ^ {4}}}}

R^{r}{}_{trt}=-2R^{\theta }{}_{t\theta t}=-2R^{\phi }{}_{t\phi t}=c^{2}{\frac {r_{s}(r_{s}-r)}{r^{4}}}

Компоненты, которые можно получить с помощью симметрии тензора Римана, являются не отображается.

Чтобы понять физический смысл этих величин, полезно выразить тензор кривизны в ортонормированном базисе. В ортонормированном базисе наблюдателя ненулевые компоненты в геометрических единицах равны

R r ^ t ^ r ^ t ^ = - R θ ^ ϕ ^ θ ^ ϕ ^ = - rsr 3, {\ displaystyle R ^ {\ hat {r}} {} _ {{\ hat {t}} {\ hat {r}} {\ hat {t}}} = - R ^ {\ hat {\ theta}} {} _ {{\ hat {\ phi}} {\ hat {\ theta}} {\ hat {\ phi}}} = - {\ frac {r_ {s}} {r ^ {3}}},}

R^{\hat {r}}{}_{{\hat {t}}{\hat {r}}{\hat {t}}}=-R^{\hat {\theta }}{}_{{\hat {\phi }}{\hat {\theta }}{\hat {\phi }}}=-{\frac {r_{s}}{r^{3}}},

R θ ^ t ^ θ ^ t ^ = R ϕ ^ t ^ ϕ ^ t ^ = - R r ^ θ ^ r ^ θ ^ = - R r ^ ϕ ^ r ^ ϕ ^ = rs 2 r 3. {\ displaystyle R ^ {\ hat {\ theta}} {} _ {{\ hat {t}} {\ hat {\ theta}} {\ hat {t}}} = R ^ {\ hat {\ phi} } {} _ {{\ hat {t}} {\ hat {\ phi}} {\ hat {t}}} = - R ^ {\ hat {r}} {} _ {{\ hat {\ theta} } {\ hat {r}} {\ hat {\ theta}}} = - R ^ {\ hat {r}} {} _ {{\ hat {\ phi}} {\ hat {r}} {\ hat {\ phi}}} = {\ frac {r_ {s}} {2r ^ {3}}}.}

R^{\hat {\theta }}{}_{{\hat {t}}{\hat {\theta }}{\hat {t}}}=R^{\hat {\phi }}{}_{{\hat {t}}{\hat {\phi }}{\hat {t}}}=-R^{\hat {r}}{}_{{\hat {\theta }}{\hat {r}}{\hat {\theta }}}=-R^{\hat {r}}{}_{{\hat {\phi }}{\hat {r}}{\hat {\phi }}}={\frac {r_{s}}{2r^{3}}}.

Опять же, компоненты, которые можно получить с помощью симметрий тензора Римана, не отображаются. Эти результаты инвариантны к любому усилению Лоренца, поэтому компоненты не меняются для нестатических наблюдателей. Уравнение геодезического отклонения показывает, что приливное ускорение между двумя наблюдателями, разделенными $ξ j ^ {\ displaystyle \ xi ^ {\ hat {j}}}$ $\xi ^{\hat {j}}$ , равно $D 2 ξ j ^ / D τ 2 = - R j ^ t ^ k ^ t ^ ξ k ^ {\ displaystyle D ^ {2} \ xi ^ {\ hat {j}} / D \ tau ^ {2} = -R ^ {\ hat {j}} {} _ {{\ hat {t}} {\ hat {k}} {\ hat {t}}} \ xi ^ {\ hat {k}}}$ $D^{2}\xi ^{\hat {j}}/D\tau ^{2}=-R^{\hat {j}}{}_{{\hat {t}}{\hat {k}}{\hat {t}}}\xi ^{\hat {k}}$ , поэтому тело длиной $L {\ displaystyle L}$ $L$ растягивается в радиальном направлении за счет кажущегося ускорения $(rs / r 3) c 2 L {\ displaystyle ( r_ {s} / r ^ {3}) c ^ {2} L}$ $(r_{s}/r^{3})c^{2}L$ и сжат в перпендикулярных направлениях на $- (rs / (2 r 3)) c 2 L {\ displaystyle - (r_ {s} / (2r ^ {3})) c ^ {2} L}$ $-(r_{s}/(2r^{3}))c^{2}L$ .

См. также

Получение решения Шварцшильда
Метрика Рейсснера – Нордстрема (начисляется, не вращается решение)
метрика Керра (незаряженное, вращающееся решение)
метрика Керра – Ньюмана (заряженное, вращающееся решение)
Черная дыра, общий обзор
Координаты Шварцшильда
Координаты Краскала – Секереса
Эддингтон – Финк Координаты Эльштейна
Координаты Гуллстранда – Пенлеве
Координаты Леметра (решение Шварцшильда в синхронных координатах )
Рамочные поля в общей теории относительности (наблюдатели Леметра в вакууме Шварцшильда)
Толман– Уравнение Оппенгеймера – Волкова (метрические уравнения и уравнения давления статического и сферически-симметричного тела изотропного материала)
Планковская длина

Примечания

Литература

Шварцшильд, К. (1916). "Uber das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie".. 7 : 189–196. Bibcode : 1916AbhKP1916..189S. CS1 maint: ref = harv (ссылка )

Текст оригинальной статьи в Wikisource
Перевод: Antoci, S.; Loinger, A. (1999). «О гравитационном поле материальной точки согласно теории Эйнштейна». arXiv : Physics / 9905030.
Комментарий к статья, дающая более простой вывод: Bel, L. (2007). "Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktesnach der Einsteinschen Theorie". arXiv : 0709.2257 [gr -qc ].

Шварцшильд, К. (1916). "Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit".. 1 : 424.

Текст оригинальной статьи, в Wikisource
Перевод: Antoci, S. (1999). «О гравитационном поле сферы несжимаемой жидкости согласно теории Эйнштейна». arXiv : Physics / 9912033.

Flamm, L. (1916). "Beiträge zur Einstein'schen Gravitationstheorie". Physikalische Zeitschrift. 17: 448.
Adler, R.; Bazin, M.; S Чиффер М. (1975). Введение в общую теорию относительности (2-е изд.). МакГроу-Хилл. Глава 6. ISBN 0-07-000423-4.
Ландау, Л.Д.; Лифшиц, Э. М. (1951). Классическая теория поля. Курс теоретической физики. 2(4-е пересмотренное английское издание). Pergamon Press. Глава 12. ISBN 0-08-025072-6. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Misner, CW; Thorne, KS; Wheeler, JA (1970). Gravitation. WH Freeman. Chapters 31 and 32. ISBN 0-7167-0344-0.
Weinberg, S. (1972). Гравитация и космология: принципы и приложения общей теории относительности. John Wiley Sons. Глава 8. ISBN 0-471-92567- 5.
Taylor, EF; Wheeler, JA (2000). Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity. Addison-Wesley. ISBN 0-201-38423- X.
Heinzle, JM; Steinbauer, R. (2002). "Remarks on the distributional Schwarzschild geometry". Journal of Mathematical Physics. 43(3): 1493. arXiv :gr-qc/0112047. Bibcode :2002JMP....43.1493H. doi :10.1063/1.1448684.