Удельная орбитальная энергия

В g рациональная задача двух тел, удельная орбитальная энергия $ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\}$(или энергия vis-viva ) двух вращающиеся тела - это постоянная сумма их взаимной потенциальной энергии ($ϵ\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{p\}\}$) и их общей кинетическая энергия ($ϵ\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{k\}\}$), деленная на приведенную массу. Согласно уравнению сохранения орбитальной энергии (также называемому уравнением Vis-viva), оно не меняется со временем:

$ϵ\; =\; ϵ\; k\; +\; ϵ\; p\; =\; v\; 2\; 2\; -\; \mu \; r\; =\; -\; 1\; 2\; \mu \; 2\; час\; 2\; (1\; -\; e\; 2)\; =\; -\; \mu \; 2\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; epsilon\; =\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{k\}\; +\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{p\}\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; frac\; \{v\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{r\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; ^\; \{2\}\}\; \{h\; ^\; \{\; 2\}\}\}\; \backslash \; left\; (1-e\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{2a\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где

• $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\}$- относительная орбитальная скорость ;
• $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$- орбитальное расстояние между телами;
• $\mu \; =\; G\; (\; m\; 1\; +\; m\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; =\; \{G\}\; (m\_\; \{1\}\; +\; m\_\; \{2\})\}$- сумма стандартных гравитационных параметров тел ;
• $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$- удельный относительный угловой момент в смысле относительного углового момента, деленного на приведенную массу;
• $e\; \{\backslash \; displaystyle\; e\}$- эксцентриситет орбиты, ;
• $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$- полумадж или ось.

Выражается в Дж / кг = м⋅с или МДж / кг = км⋅с. Для эллиптической орбиты удельная орбитальная энергия является отрицательной величиной дополнительной энергии, необходимой для ускорения массы в один килограмм до космической скорости (параболической орбиты ). Для гиперболической орбиты он равен избыточной энергии по сравнению с параболической орбитой. В этом случае удельная орбитальная энергия также называется характеристической энергией.

• 1 Формы уравнения для разных орбит
• 2 Скорость изменения
• 3 Дополнительная энергия
• 4 Примеры
  • 4.1 МКС
  • 4.2 Voyager 1
• 5 Приложение тяги
• 6 Тангенциальные скорости на высоте
• 7 См. Также
• 8 Ссылки

Для эллиптическая орбита, уравнение удельной орбитальной энергии, в сочетании с сохранением удельного углового момента на одной из апсид орбиты, упрощается до:

$ϵ\; =\; -\; \mu \; 2\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{2a\}\}\}$

где

• $\mu \; =\; G\; (m\; 1\; +\; m\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; =\; G\; \backslash \; left\; (\; m\_\; \{1\}\; +\; m\_\; \{2\}\; \backslash \; right)\}$- стандартный гравитационный параметр ;
• $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$- большая полуось орбиты.

Доказательство:

Для эллиптической орбиты с удельным угловым моментом h, заданным как

$h\; 2\; =\; \mu \; p\; =\; \mu \; a\; (1\; -\; e\; 2)\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; ч\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; му\; п\; =\; \backslash \; му\; a\; \backslash \; left\; (1-e\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\}$

мы используем общую форму специального уравнения орбитальной энергии,

$ϵ\; =\; v\; 2\; 2\; -\; \mu \; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; =\; \{\backslash \; frac\; \{v\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{r\}\}\}$

с соотношением, что относительная скорость в перицентре равна

$vp\; 2\; =\; h\; 2\; rp\; 2\; знак\; равно\; час\; 2\; a\; 2\; (1\; -\; e)\; 2\; =\; \mu \; a\; (1\; -\; e\; 2)\; a\; 2\; (1\; -\; e)\; 2\; =\; \mu \; (1\; -\; e\; 2)\; a\; (1\; -\; e)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{p\}\; ^\; \{2\}\; =\; \{h\; ^\; \{2\}\; \backslash \; over\; r\_\; \{p\}\; ^\; \{2\}\}\; =\; \{h\; ^\; \{2\}\; \backslash \; over\; a\; ^\; \{2\}\; (1-e)\; ^\; \{2\}\}\; =\; \{\backslash \; mu\; a\; \backslash \; left\; (1-e\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; над\; a\; ^\; \{2\}\; (1-e)\; ^\; \{2\}\}\; =\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; left\; (1-e\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; over\; a\; (1-e)\; ^\; \{2\}\}\}$

Таким образом, наше конкретное уравнение орбитальной энергии принимает вид

$ϵ\; =\; \mu \; a\; [1\; -\; e\; 2\; 2\; (1\; -\; e)\; 2\; -\; 1\; 1\; -\; e]\; =\; \mu \; a\; [(1\; -\; e)\; (1\; +\; e)\; 2\; (1\; -\; e)\; 2\; -\; 1\; 1\; -\; e]\; =\; \mu \; a\; [1\; +\; e\; 2\; (1\; -\; e)\; -\; 2\; 2\; (1\; -\; e)]\; =\; \mu \; a\; [е\; -\; 1\; 2\; (1\; -\; е)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; =\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; over\; a\}\; \{\backslash \; left\; [\{1-e\; ^\; \{2\}\; \backslash \; over\; 2\; (1-e)\; ^\; \{2\}\; \}\; -\; \{1\; \backslash \; over\; 1-e\}\; \backslash \; right]\}\; =\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; over\; a\}\; \{\backslash \; left\; [\{(1-e)\; (1\; +\; e)\; \backslash \; over\; 2\; (1-e)\; ^\; \{2\}\}\; -\; \{1\; \backslash \; over\; 1-e\}\; \backslash \; right]\}\; =\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; over\; a\}\; \{\backslash \; left\; [\{1\; +\; e\; \backslash \; over\; 2\; (1-e)\}\; -\; \{2\; \backslash \; over\; 2\; (1-e)\}\; \backslash \; right]\}\; =\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; над\; a\}\; \{\backslash \; left\; [\{e-1\; \backslash \; over\; 2\; (1-e)\}\; \backslash \; right]\}\}$

и, наконец, с последним упрощением получаем:

$ϵ\; =\; -\; \mu \; 2\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; =\; -\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; over\; 2a\}\}$

Для параболической орбиты это уравнение упрощается до

$ϵ\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; =\; 0.\}$

Для гиперболическая траектория эта удельная орбитальная энергия определяется как

$ϵ\; =\; \mu \; 2\; a.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; =\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; over\; 2a\}.\}$

или то же самое, что и для эллипса, в зависимости от соглашения о знаке a.

В этом случае удельная орбитальная энергия также упоминается как характеристическая энергия (или $C\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{3\}\}$) и равна равна избыточной удельной энергии по сравнению с таковой для параболической орбиты.

Это связано с гиперболической избыточной скоростью $v\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \_\; \{\backslash \; infty\}\}$(орбитальная скорость на бесконечности) на

$2\; ϵ\; =\; C\; 3\; =\; v\; \infty \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; epsilon\; =\; C\_\; \{3\}\; =\; v\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; ^\; \{2\}.\}$

Это актуально для межпланетных миссий.

Таким образом, если вектор орбитальной позиции ($r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}$) и вектор орбитальной скорости ( $v\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}$) известны в одной позиции, а $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$известны, тогда энергия может и отсюда для любой другой позиции орбитальная скорость.

Для эллиптической орбиты скорость изменения удельной орбитальной энергии относительно изменения большой полуоси составляет

$\mu \; 2\; a\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{2a\; ^\; \{2\}\}\}\}$

где

• $\mu \; =\; G\; (m\; 1\; +\; m\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; =\; \{G\}\; (m\_\; \{1\}\; +\; m\_\; \{\; 2\})\}$- стандартный гравитационный параметр ;
• $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash ,\; \backslash !\}$- большая полуось орбита.

В случае круговых орбит эта скорость составляет половину гравитации на орбите. Это соответствует тому факту, что для таких орбит полная энергия составляет половину потенциальной энергии, потому что кинетическая энергия составляет минус половину потенциальной энергии.

Если центральное тело имеет радиус R, то дополнительная удельная энергия эллиптической орбиты по сравнению с неподвижностью у поверхности составляет

$-\; \mu \; 2\; a\; +\; \mu \; R\; =\; \mu \; (2\; a\; -\; R)\; 2\; a\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{2a\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{R\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; (2a-R)\; \}\; \{2aR\}\}\}$

• Величина $2a\; -\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; 2a-R\}$- это высота, на которой эллипс простирается над поверхностью, плюс расстояние перицентра (расстояние, на которое эллипс простирается за пределы центра Земли). Для Земли и $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$чуть больше, чем $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$дополнительная удельная энергия составляет $(г\; R\; /\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; (gR\; /\; 2)\}$; которая является кинетической энергией горизонтальной составляющей скорости, т.е. $V\; 2\; 2\; =\; g\; R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{V\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{gR\}\; \{2\; \}\}\}$, $V\; =\; g\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{gR\}\}\}$.

ISS

Международная космическая станция имеет орбитальный период 91,74 минуты (5504 с), следовательно, большая полуось составляет 6738 км.

Энергия -29,6 МДж / кг: потенциальная энергия -59,2 МДж / кг и кинетическая энергия 29,6 МДж / кг. Сравните с потенциальной энергией на поверхности, которая составляет -62,6 МДж / кг. Дополнительная потенциальная энергия составляет 3,4 МДж / кг, полная дополнительная энергия - 33,0 МДж / кг. Средняя скорость составляет 7,7 км / с, чистая дельта-v для достижения этой орбиты составляет 8,1 км / с (фактическая дельта-v обычно на 1,5–2,0 км / с больше для атмосферного сопротивления и гравитационное сопротивление ).

Увеличение на метр составит 4,4 Дж / кг; эта скорость соответствует половине местной силы тяжести 8,8 м / с.

Для высоты 100 км (радиус 6471 км):

Энергия -30,8 МДж / кг: потенциальная энергия -61,6 МДж / кг, кинетическая энергия 30,8 МДж. /кг. Сравните с потенциальной энергией на поверхности, которая составляет -62,6 МДж / кг. Дополнительная потенциальная энергия составляет 1,0 МДж / кг, полная дополнительная энергия - 31,8 МДж / кг.

Увеличение на метр составит 4,8 Дж / кг; эта скорость соответствует половине местной силы тяжести 9,5 м / с. Скорость - 7,8 км / с, чистая дельта-v для достижения этой орбиты - 8,0 км / с.

Принимая во внимание вращение Земли, дельта-v на 0,46 км / с меньше (начиная с экватора и идя на восток) или более (если двигаться на запад).

Voyager 1

Для Voyager 1, относительно Солнца:

• $\mu \; =\; GM\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; =\; GM\}$= 132,712,440,018 км⋅с - это стандартный гравитационный параметр Солнца
• r = 17 миллиардов километров
• v = 17,1 км / с

Следовательно:

$ϵ\; =\; ϵ\; К\; +\; ϵ\; p\; =\; v\; 2\; 2\; -\; \mu \; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; =\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{k\}\; +\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{p\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{v\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{r\}\}\}$= 146 км⋅с - 8 км⋅с = 138 км⋅с

Таким образом, гиперболическая избыточная скорость (теоретическая орбитальная скорость на бесконечности) определяется выражением

$v\; \infty \; =\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; =\}$16,6 км / с

Однако «Вояджеру-1» не хватает скорость, чтобы покинуть Млечный Путь. Вычисленная скорость применима далеко от Солнца, но в таком положении, что потенциальная энергия по отношению к Млечному Пути в целом изменилась незначительно, и только если нет сильного взаимодействия с другими небесными телами, кроме Солнца.

Предположим:

• a- это ускорение из-за тяги (скорость, с которой расходуется delta-v )
• g- напряженность гравитационного поля.
• v- скорость ракеты.

Тогда скорость изменения удельной энергии ракеты будет $v\; \cdot \; a\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\}$: сумма $v\; \cdot \; (a\; -\; g)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; mathbf\; \{a\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{g\})\}$для кинетической энергии и количество $v\; \cdot \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{g\}\}$для потенциальной энергии.

Изменение удельной энергии ракеты на единицу изменения дельта-v составляет

$v\; \cdot \; a\; |\; а\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{v\; \backslash \; cdot\; a\}\}\; \{|\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; |\}\}\}$

который равен | v | умноженное на косинус угла между v и a.

Таким образом, при применении дельта-v для увеличения удельной орбитальной энергии это делается наиболее эффективно, если a применяется в направлении v, и когда | v | большой. Если угол между v и g тупой, например, при запуске и при переходе на более высокую орбиту, это означает, что дельта-v применяется как можно раньше и полностью. вместимость. См. Также сопротивление гравитации. При прохождении мимо небесного тела это означает применение толчка, когда он находится ближе всего к телу. При постепенном увеличении эллиптической орбиты это означает применение тяги каждый раз, когда она приближается к перицентру.

При применении дельта-v для уменьшения удельной орбитальной энергии это выполняется наиболее эффективно, если a применяется в направлении, противоположном направлению v, и снова, когда | v | большой. Если угол между v и g острый, например, при посадке (на небесное тело без атмосферы) и при переходе на круговую орбиту вокруг небесного тела при прибытии из снаружи, это означает применение delta-v как можно позже. При прохождении мимо планеты это означает применение тяги, когда она ближе всего к планете. При постепенном уменьшении эллиптической орбиты это означает применение тяги каждый раз, когда она приближается к перицентру.

Если a находится в направлении v:

$\Delta \; ϵ\; =\; \int \; vd\; (\Delta \; v)\; =\; \int \; vadt\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; epsilon\; =\; \backslash \; int\; v\; \backslash ,\; d\; (\backslash \; Дельта\; v)\; =\; \backslash \; int\; v\; \backslash ,\; adt\}$

• Изменение удельной энергии ракет
• Характеристическая энергия C3 (удвоение удельной орбитальной энергии)