Факториал

Произведение всех целых чисел от 1 до данного целого

Выбранные элементы факториала последовательности (последовательность A000142 в OEIS ); значения, указанные в экспоненциальном представлении, округляются до отображаемой точности

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40320
9	362880
10	3628800
11	39916800
12	479001600
13	6227020800
14	87178291200
15	1307674368000
16	20922789888000
17	355687428096000
18	6402373705728000
19	121645100408832000
20	2432902008176640000
25	1,551121004 × 10
50	30414049320>>	1,197857167 × 10
100	9,332621544 × 10
450	1,733368733 × 10
1000	4,023872601 × 10
3249	6.412337688 × 10
10000	2.846259681 × 10
25206	1.205703438 × 10
100000	2,824229408 × 10
205023	2.503898932 × 10
1000000	8.263931688 × 10
10	10

В математике, факториал положительного целое число n, обозначаемое n !, является произведением всех положительных целых чисел, меньших или равных n:

$n!\; знак\; равно\; N\; \cdot \; (N\; -\; 1)\; \cdot \; (N\; -\; 2)\; \cdot \; (N\; -\; 3)\; \cdot \; \cdots \; \cdot \; 3\; \cdot \; 2\; \cdot \; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; n!\; =\; n\; \backslash \; cdot\; (n-1)\; \backslash \; cdot\; (n-2)\; \backslash \; cdot\; (n-3)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; cdots\; \backslash \; cdot\; 3\; \backslash \; cdot\; 2\; \backslash \; cdot\; 1\; \backslash ,.\}$

Например,

$5!\; =\; 5\; 4\; \cdot \; 3\; \cdot \; 2\; \cdot \; 1\; =\; 120.\; \{\backslash \; displaystyle\; 5!\; =\; 5\; \backslash \; cdot\; 4\; \backslash \; cdot\; 3\; \backslash \; cdot\; 2\; \backslash \; cdot\; 1\; =\; 120\; \backslash ,.\}$

Значение 0! равно 1 в соответствии с соглашением для пустого произведения.

Факториальная операция встречается во многих областях математики, особенно в комбинаторике, алгебре и математический анализ. Его наиболее базовое использование считает возможные различные последовательности - перестановки - n различных объектов: их n !.

Факториал , функция также может быть расширена до нецелочисленных аргументов с сохранением ее наиболее важных свойств путем определения x! = Γ (x + 1), где Γ - гамма-функция ; это не определено, если x - отрицательное целое число.

• 1 История
• 2 Определение
  • 2.1 Факториал нуля
• 3 Приложения
• 4 Скорость роста и приближения для больших n
• 5 Вычисления
• 6 Теория чисел
• 7 Серия обратных величин
• 8 Факториал нецелых значений
  • 8.1 Гамма и пи функции
  • 8.2 Применения гамма-функции
  • 8.3 Факториал в комплексной плоскости
  • 8.4 Аппроксимация факториал
  • 8.5 Невозможность расширения до отрицательных целых чисел
• 9 Факториальные продукты и функции
  • 9.1 Двойной факториал
  • 9.2 Многофакторные числа
  • 9.3 Первоначальный
  • 9.4 Суперфакториальный
    • 9.4.1 Суперфакториал Пиковера
  • 9.5 Гиперфакториал
• 10 См. Также
• 11 Ссылки
  • 11.1 Источники
  • 11.2 Дополнительная литература
• 12 Внешние ссылки

Факториалы использовались для подсчета перестановок в по крайней мере, еще в XII веке индийскими учеными. В 1677 году Фабиан Стедман описал факториалы применительно к изменению звонка, музыкальному искусству, включающему звон в множество настроенных колоколов. После описания рекурсивного подхода Стедман дает формулировку факториала (используя язык оригинала):

Теперь природа этих методов такова, что изменения одного числа охватывают [включают] изменения всех меньших чисел.... до такой степени, что полный Перезвон изменений для одного числа кажется сформированным путем объединения завершенных Переговоров на всех меньших числах в одно целое.

Обозначение n! был введен французским математиком Кристианом Крампом в 1808 году.

Факториальная функция определяется произведением

$n!\; Знак\; равно\; 1\; \cdot \; 2\; \cdot \; 3\; \cdots \; (N\; -\; 2)\; \cdot \; (N\; -\; 1)\; \cdot \; N,\; \{\backslash \; Displaystyle\; п!\; =\; 1\; \backslash \; CDOT\; 2\; \backslash \; CDOT\; 3\; \backslash \; CDOTS\; (N-2)\; \backslash \; CDOT\; (N-1)\; \backslash \; CDOT\; n,\}$

для целого числа n ≥ 1. Это может быть записано в нотации произведения пи как

$n!\; =\; \prod \; я\; знак\; равно\; 1\; N\; я.\; \{\backslash \; displaystyle\; n!\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; i.\}$

Это приводит к соотношению повторения

$n!\; =\; п\; \cdot \; (п\; -\; 1)!.\; \{\backslash \; displaystyle\; n!\; =\; n\; \backslash \; cdot\; (n-1)\; !.\}$

Например,

$5!\; =\; 5\; \cdot \; 4!\; 6!\; =\; 6\; \cdot \; 5!\; 50!\; =\; 50\; \cdot \; 49!\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; 5!\; =\; 5\; \backslash \; cdot\; 4!\; \backslash \backslash \; 6!\; =\; 6\; \backslash \; cdot\; 5!\; \backslash \backslash \; 50!\; =\; 50\; \backslash \; cdot\; 49!\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

и так далее.

Факториал нуля

Факториал нуля равен 1 или в символах 0! = 1.

У этого определения есть несколько причин:

• Для n = 0 определение n! поскольку продукт включает в себя произведение без чисел вообще, и поэтому это пример более широкого соглашения, согласно которому произведение без факторов равно мультипликативному тождеству (см. Пустое произведение ).
• Существует ровно одна перестановка нуля объекты (нечего переставлять, единственная перестановка - ничего не делать).
• Это делает многие тождества в комбинаторике действительными для всех применимых размеров. Количество способов выбрать 0 элементов из пустой набор задается биномиальным коэффициентом

$(0\; 0)\; =\; 0!\; 0!\; 0!\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{0\}\; \{0\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{0!\}\; \{0!\; 0!\}\}\; =\; 1.\}$

В общем, количество способов выбрать все n элементов из набора n равно

$(nn)\; =\; n!\; n!\; 0!\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{n\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n!\}\; \{N!\; 0!\}\}\; =\; 1.\}$

• Он позволяет компактно выражать многие формулы, например экспоненциальная функция в виде степенного ряда:

$ex\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; xnn!.\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{x\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}.\}$

• Я t расширяет рекуррентное отношение до 0.

Хотя факториальная функция имеет свои корни в комбинаторике, формулы, включающие факториалы, встречаются во многих областях математики.

• Есть n! различные способы упорядочивания n различных объектов в последовательность, перестановки этих объектов.
• Часто факториалы появляются в знаменателе формулы, чтобы учесть тот факт, что упорядочивание следует игнорировать. Классический пример - подсчет k- комбинаций (подмножеств из k элементов) из набора с n элементами. Такую комбинацию можно получить, выбрав k-перестановку: последовательно выбирая и удаляя один элемент набора k раз, всего

$(n\; -\; 0)\; (n\; -\; 1)\; (n\; -\; 2)\; \cdots \; (\; п\; -\; (к\; -\; 1))\; =\; п!\; (п\; -\; к)!\; знак\; равно\; nk\; \_\; \{\backslash \; displaystyle\; (n-0)\; (n-1)\; (n-2)\; \backslash \; cdots\; \backslash \; left\; (n-\; (k-1)\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n!\}\; \{(nk)!\}\; \}\; =\; n\; ^\; \{\backslash \; underline\; \{k\}\}\}$

возможностей. Это, однако, производит k-комбинации в определенном порядке, который нужно игнорировать; поскольку каждая k-комбинация получается за k! разными способами, правильное количество k-комбинаций равно

$n\; (n\; -\; 1)\; (n\; -\; 2)\; \cdots \; (n\; -\; k\; +\; 1)\; k\; (k\; -\; 1)\; (k\; -\; 2)\; \cdots \; 1\; =\; nk\; \_\; k\; !\; =\; п!\; (п\; -\; к)!\; к!\; =\; (n\; k).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{п\; (п-1)\; (п-2)\; \backslash \; cdots\; (п-к\; +\; 1)\}\; \{к\; (к-1)\; (к-2)\; \backslash \; cdots\; 1\}\}\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{\; n\; ^\; \{\backslash \; underline\; \{k\}\}\}\; \{k!\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n!\}\; \{(nk)!\; k!\}\}\; =\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}.\}$

Это число известен как биномиальный коэффициент, потому что он также является коэффициентом x в (1 + x). Термин $nk\; \_\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; ^\; \{\backslash \; underline\; \{k\}\}\}$часто называют падающим факториалом (произносится как «n к падающему k»).

• Факториалы встречаются в алгебре по разным причинам, например, через уже упомянутые коэффициенты биномиальной формулы или через усреднение по перестановкам для симметризации определенных операций.
• Факториалы также появляются в исчислении ; например, они встречаются в знаменателях членов формулы Тейлора, где они используются в качестве компенсационных членов, поскольку n-я производная от x эквивалентна n !.
• Факториалы также широко используются в теории вероятностей и теории чисел (см. Ниже ).
• Факториалы могут быть полезны для облегчения манипуляции с выражениями. Например, число k -перестановки n можно записать как

$nk\; \_\; =\; n!\; (n\; -\; k)!;\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; ^\; \{\backslash \; underline\; \{k\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n!\}\; \{(nk)!\}\}\; \backslash ,;\}$

хотя это неэффективно как средство вычисления этого числа, оно может служить для доказательства свойства симметрии биномиальных коэффициентов:

$(nk)\; =\; nk\; \_\; k!\; =\; N!\; (N\; -\; k)\; !\; К!\; =\; NN\; -\; К\; \_\; (N\; -\; К)!\; =\; (NN\; -\; К).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n\; ^\; \{\backslash \; underline\; \{k\}\}\}\; \{\; k!\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n!\}\; \{(nk)!\; k!\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n\; ^\; \{\backslash \; underline\; \{nk\}\}\}\; \{(nk)!\}\}\; =\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{nk\}\}\; \backslash ,.\}$

• Факториальная функция может быть показана, используя правило мощности, как

$n!\; =\; D\; nx\; п\; =\; dndxnxn\; \{\backslash \; displaystyle\; n!\; =\; D\; ^\; \{n\}\; \backslash ,\; x\; ^\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{n\}\}\; \{dx\; ^\; \{n\}\}\}\; \backslash ,\; x\; ^\; \{n\}\}$

где D x - нотация Эйлера для n-й производной от x.

График натурального логарифма факториала

По мере роста n факториал n! увеличивается быстрее, чем все полиномы и экспоненциальные функции (но медленнее, чем $nn\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; ^\; \{n\}\}$и двойные экспоненциальные функции ) в п.

Максимальное приближение для n! основаны на приближении его натурального логарифма

$ln\; \; n!\; Знак\; равно\; \sum \; x\; знак\; равно\; 1\; n\; ln\; \; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; n!\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; ln\; x\; \backslash ,.\}$

График функции f (n) = ln n! показан на рисунке справа. Это выглядит приблизительно linear для всех разумных значений n, но эта интуиция неверна. Мы получаем одно из простейших приближений для ln n! ограничивая сумму интегралом сверху и снизу следующим образом:

$\int \; 1\; n\; ln\; \; xdx\; \le \; \sum \; x\; =\; 1\; n\; ln\; \; x\; \le \; \int \; 0\; n\; ln\; \; (x\; +\; 1)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; ln\; x\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; leq\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; ln\; x\; \backslash \; leq\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; ln\; (x\; +\; 1)\; \backslash ,\; dx\}$

что дает нам оценку

$n\; ln\; \; (ne)\; +\; 1\; \le \; ln\; \; n!\; \le \; (п\; +\; 1)\; дп\; (п\; +\; 1\; е)\; +\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{e\}\}\; \backslash \; right)\; +1\; \backslash \; leq\; \backslash \; ln\; n!\; \backslash \; leq\; (n\; +\; 1)\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\; +\; 1\})\; \{e\}\}\; \backslash \; right)\; +1\; \backslash ,.\}$

Следовательно, ln n! ∼ n ln n (см. нотация Big O ). Этот результат играет ключевую роль в анализе вычислительной сложности алгоритмов сортировки (см. сравнительная сортировка ). С границ на ln n! Выведено выше, мы получаем, что

$(n\; e)\; n\; e\; \le \; n!\; \le \; (п\; +\; 1\; е)\; п\; +\; 1\; е.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{e\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\; e\; \backslash \; leq\; n!\; \backslash \; leq\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\; +\; 1\}\; \{e\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\; n\; +\; 1\}\; e\; \backslash ,.\}$

Иногда бывает полезно использовать более слабые, но более простые оценки. Используя приведенную выше формулу, легко показать, что для всех n мы имеем (n / 3) < n!, and for all n ≥ 6 we have n! < (n/2).

Сравнение приближения Стирлинга с факториалом

Для больших n мы получаем лучшую оценку числа n! с использованием приближения Стирлинга :

$n!\; \sim \; 2\; \pi \; n\; (n\; e)\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; n!\; \backslash \; sim\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\; n\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{e\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\; \backslash ,.\}$

На самом деле это происходит из асимптотический ряд для логарифма, а факториал n лежит между этим и следующим приближением:

Другое приближение для ln n! дается Шриниваса Рамануджаном (Рамануджан 1988)

$ln\; \; n!\; \approx \; n\; ln\; \; n\; -\; n\; +\; ln\; \; (n\; (1\; +\; 4\; n\; (1\; +\; 2\; n)))\; 6\; +\; пер\; \; \pi \; 2\; ⟹\; N!\; \approx \; 2\; \pi \; N\; (ne)\; n\; (1\; +\; 1\; 2\; n\; +\; 1\; 8\; n\; 2)\; 1/6.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; ln\; n!\; \backslash \; приблизительно\; n\; \backslash \; ln\; n-n\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; ln\; \{\backslash \; Bigl\; (\}\; n\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; 1\; +\; 4n\; (1\; +\; 2n)\; \{\backslash \; bigr)\}\; \{\backslash \; Bigr)\}\}\; \{6\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; ln\; \backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; \backslash \backslash \; [6px]\; \backslash \; Longrightarrow\; \backslash ;\; n!\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\; n\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{e\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\; n\}\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2n\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{8n\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{1/6\}\; \backslash ,.\; \backslash \; end\; \{выровнено\}\}\; \}$

Как это приближение, так и приближение Стирлинга дают относительную ошибку порядка 1 / n, но приближение Рамануджана примерно в четыре раза точнее. Однако, если мы используем два поправочных члена в приближении типа Стирлинга, как в приближении Рамануджана, относительная ошибка будет порядка 1 / n:

$n!\; \approx \; 2\; \pi \; n\; (ne)\; n\; exp\; \; (1\; 12\; n\; -\; 1360\; n\; 3).\; \{\backslash \; displaystyle\; n!\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\; n\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{e\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{12n\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{360n\; ^\; \{3\}\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,.\}$

Если эффективность не важна, вычисление факториалов тривиально с алгоритмической точки зрения: последовательное умножение переменной, инициализированной до 1, на целые числа до n (если есть) будет вычислять n !, при условии, что результат подходит для переменной. В функциональных языках рекурсивное определение часто реализуется непосредственно для иллюстрации рекурсивных функций.

Основная практическая трудность при вычислении факториалов - это размер результата. Чтобы гарантировать, что точный результат будет соответствовать всем допустимым значениям даже самого маленького обычно используемого целочисленного типа (8-битные целые числа со знаком), потребуется более 700 бит, поэтому нет разумной спецификации факториальной функции с использованием фиксированной Типы -size позволяют избежать вопросов о переполнении. Ценности 12! и 20! являются наибольшими факториалами, которые могут быть сохранены, соответственно, в 32-битных и 64-битных целых числах, обычно используемых в персональных компьютерах, однако многие языки поддерживают переменные Целочисленные типы length, способные вычислять очень большие значения. Представление приближенного результата с плавающей точкой позволяет пойти немного дальше, но это также остается весьма ограниченным из-за возможного переполнения. Большинство калькуляторов используют экспоненциальное представление с 2-значными десятичными показателями, и наибольший подходящий факториал равен 69 !, потому что 69! < 10 < 70!. Other implementations (such as computer software such as spreadsheet programs) can often handle larger values.

Большинство программных приложений вычисляют небольшие факториалы путем прямого умножения или поиска в таблице. Большие значения факториала могут быть аппроксимированы с помощью формулы Стирлинга. Wolfram Alpha может рассчитать точные результаты для функции потолка и функции пола, примененных к двоичному, натуральному и десятичный логарифм числа n! для значений n до 249999 и до 20000000! для целых чисел.

Если требуются точные значения больших факториалов, их можно вычислить с помощью арифметики произвольной точности. Вместо того, чтобы выполнять последовательные умножения ((1 × 2) × 3) × 4..., программа может разделить последовательность на две части, продукты которых имеют примерно одинаковый размер, и умножить их, используя разделение и -conquer метод. Часто это более эффективно.

Асимптотически наилучшая эффективность достигается вычислением n! от его простой факторизации. Как указано в документе Питер Борвейн, факторизация на простые множители позволяет n! для вычисления во времени O (n (log n log log n)), при условии, что используется быстрый алгоритм умножения (например, алгоритм Шёнхаге – Штрассена ). Питер Лушни представляет исходный код и тесты для нескольких эффективных факториальных алгоритмов с использованием или без использования решета простых чисел.

Факториалы имеют множество приложений в теории чисел. В частности, n! обязательно делится на все простые числа до n включительно. Как следствие, n>5 является составным числом тогда и только тогда, когда

$(n\; -\; 1)!\; \equiv \; 0\; (mod\; n).\; \{\backslash \; displaystyle\; (n-1)!\; \backslash \; Equiv\; 0\; \{\backslash \; pmod\; \{n\}\}.\}$

Более сильный результат - это теорема Вильсона, которая гласит, что

$(p\; -\; 1)!\; \equiv \; -\; 1\; (mod\; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; (p-1)!\; \backslash \; Equiv\; -1\; \{\backslash \; pmod\; \{p\}\}\}$

тогда и только тогда, когда p простое число.

Формула Лежандра дает кратность простого числа p, входящего в разложение на простые множители числа n! как

$\sum \; я\; знак\; равно\; 1\; \infty \; \lfloor \; npi\; \rfloor \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; \backslash \; lfloor\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{p\; ^\; \{i\}\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rfloor\; \}$

или, что то же самое,

$n\; -\; sp\; (n)\; p\; -\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{n-s\_\; \{p\}\; (n)\}\; \{p-1\}\},\}$

где s p (n) обозначает сумму стандартных цифр по основанию p числа n.

Добавление 1 к факториалу n! дает число, которое делится только на простые числа больше n. Этот факт можно использовать для доказательства теоремы Евклида о том, что число простых чисел бесконечно. Простые числа формы n! ± 1 называются факторными простыми числами.

обратными факториалами образуют сходящийся ряд, сумма которого равна экспоненциальному основанию е :

$\sum \; N\; знак\; равно\; 0\; \infty \; 1\; N!\; =\; 1\; 1\; +\; 1\; 1\; +\; 1\; 2\; +\; 1\; 6\; +\; 1\; 24\; +\; 1\; 120\; +\; \cdots \; =\; е.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n!\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{6\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{24\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{120\}\}\; +\; \backslash \; cdots\; =\; e\; \backslash ,.\}$

Хотя сумма этого ряда является иррациональным числом, можно умножить факториалы на положительные целые числа, чтобы получить сходящийся ряд с рациональной суммой:

$\sum \; n\; =\; 0\; \infty \; 1\; (п\; +\; 2)\; п!\; =\; 1\; 2\; +\; 1\; 3\; +\; 1\; 8\; +\; 1\; 30\; +\; 1\; 144\; +\; \cdots \; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(n\; +\; 2)\; n!\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{8\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{30\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{144\}\}\; +\; \backslash \; cdots\; =\; 1\; \backslash ,.\}$

сходимость этого ряда к 1 видна из того факта, что его частичные суммы равны $k!\; -\; 1\; тыс.!\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{k!\; -1\}\; \{k!\}\}\}$. Следовательно, факториалы не образуют иррациональной последовательности.

Функции гаммы и пи

Гамма-функция интерполирует факториал к нецелым значениям. Основным ключом к разгадке является рекуррентное отношение, обобщенное на непрерывную область.

Помимо неотрицательных целых чисел, факториал также может быть определен для нецелочисленных значений, но для этого требуются более продвинутые инструменты из математического анализа.

Одна функция, которая заполняет значения факториала (но со сдвигом 1 в аргументе), которая часто используется, называется гамма-функцией и обозначается Γ (z). Он определен для всех комплексных чисел z, кроме целых неположительных, и задается, когда действительная часть z положительна, как

$\Gamma \; (z)\; =\; \int \; 0\; \infty \; t\; z\; -\; 1\; e\; -\; t\; d\; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; t\; ^\; \{z-1\}\; e\; ^\; \{-\; t\}\; \backslash ,\; dt.\}$

Его отношение к факториалу таково, что n! = Γ (n + 1) для любого целого неотрицательного числа n.

Исходная формула Эйлера для гамма-функции была

$\Gamma \; (z)\; =\; lim\; n\; \to \; \infty \; n\; z\; n!\; \prod \; К\; знак\; равно\; 0\; N\; (Z\; +\; K).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (z)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{n\; ^\; \{z\}\; n!\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; prod\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; (z\; +\; k)\}\}.\}$

Карл Фридрих Гаусс использовал обозначение Π (z) для обозначения той же функции, но с аргументом, сдвинутым на 1, так что он согласуется с факториалом для неотрицательных целых чисел. Эта функция pi определяется как

$\Pi \; (z)\; =\; \int \; 0\; \infty \; t\; z\; e\; -\; t\; d\; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Pi\; (z)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; t\; ^\; \{z\}\; e\; ^\; \{-\; t\}\; \backslash ,\; dt.\}$

Функция пи и гамма-функция связаны формулой Π (z) = Γ (z + 1). Точно так же Π (n) = n! для любого неотрицательного целого n.

Факториальная функция, обобщенная для всех действительных чисел, кроме отрицательных целых. Например, 0! = 1! = 1, (-1/2)! = √π, 1/2! = √π / 2.

В дополнение к этому, функция pi удовлетворяет той же рекуррентности, что и факториалы, но для каждого комплексного значения z, где она определена

$\Pi \; (z)\; =\; z\; \Pi \; (z\; -\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Pi\; (z)\; =\; z\; \backslash \; Pi\; (z-1)\; \backslash ,.\}$

Это больше не рекуррентное соотношение, а функциональное уравнение. В терминах гамма-функции это

$\Gamma \; (n\; +\; 1)\; =\; n\; \Gamma \; (n).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (n\; +\; 1)\; =\; n\; \backslash \; Gamma\; (n)\; \backslash ,.\}$

Значения этих функций при полуцелых значениях, следовательно, определяются одним из них:

$\Gamma \; (1\; 2)\; =\; (-\; 1\; 2)!\; Знак\; равно\; \Pi \; (-\; 1\; 2)\; знак\; равно\; \pi ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)!\; =\; \backslash \; Pi\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash ,,\}$

откуда следует, что для n ∈ N,

$\Gamma \; (1\; 2\; +\; N)\; =\; (-\; 1\; 2\; +\; N)!\; Знак\; равно\; \Pi \; (-\; 1\; 2\; +\; N)\; знак\; равно\; \pi \; \prod \; К\; знак\; равно\; 1\; N\; 2\; К\; -\; 1\; 2\; знак\; равно\; (2\; N)!\; 4\; н\; н!\; \pi \; =\; (2\; п\; -\; 1)!\; 2\; 2\; п\; -\; 1\; (п\; -\; 1)!\; \pi .\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; n\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; n\; \backslash \; right)\; !\; =\; \backslash \; Pi\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; n\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; [5pt]\; =\; \{\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{\; n\}\; \{\backslash \; frac\; \{2k-1\}\; \{2\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(2n)!\}\; \{4\; ^\; \{n\}\; n!\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(2n-\; 1)!\}\; \{2\; ^\; \{2n-1\}\; (n-1)!\}\}\; \{\backslash \; Sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash ,.\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Например,

$\Gamma \; (9\; 2)\; =\; 7\; 2!\; Знак\; равно\; \Pi \; (7\; 2)\; знак\; равно\; 1\; 2\; \cdot \; 3\; 2\; \cdot \; 5\; 2\; \cdot \; 7\; 2\; \pi \; =\; 8!\; 4\; 4\; 4!\; \pi \; =\; 7!\; 2\; 7\; 3!\; \pi \; =\; 105\; 16\; \pi \; \approx \; 11,631\; 728\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{9\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{7\}\; \{2\}\}!\; =\; \backslash \; Pi\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{7\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{5\}\; \{2\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{7\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{8!\}\; \{4\; ^\; \{4\}\; 4!\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{7!\}\; \{2\; ^\; \{7\}\; 3!\}\}\; \{\backslash \; Sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{105\}\; \{16\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 11.631\; \backslash ,\; 728\; \backslash \; ldots\}$

Это также следует, что для n ∈ N,

$\Gamma \; (1\; 2\; -\; n)\; =\; (-\; 1\; 2\; -\; n)!\; Знак\; равно\; \Pi \; (-\; 1\; 2\; -\; N)\; знак\; равно\; \pi \; \prod \; К\; знак\; равно\; 1\; N\; 2\; 1-2\; К\; знак\; равно\; (-\; 4)\; N\; N!\; (2\; п)!\; \pi .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; -\; n\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; -\; n\; \backslash \; right)!\; =\; \backslash \; Pi\; \backslash \; left\; (\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; -\; n\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{1-2k\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (-4\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\; n!\}\; \{(2n)!\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash ,.\}$

Например,

$\Gamma \; (-\; 5\; 2)\; =\; (-\; 7\; 2)!\; Знак\; равно\; \Pi \; (-\; 7\; 2)\; знак\; равно\; 2\; -\; 1\; \cdot \; 2\; -\; 3\; \cdot \; 2\; -\; 5\; \pi \; =\; (-\; 4)\; 3\; 3!\; 6!\; \pi \; =\; -\; 8\; 15\; \pi \; \approx \; -\; 0,945\; 308\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{5\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{7\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)!\; =\; \backslash \; Pi\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{7\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{-\; 1\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{-\; 3\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\; \backslash \; frac\; \{2\}\; \{-\; 5\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (-4\; \backslash \; right)\; ^\; \{3\}\; 3!\}\; \{6!\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\; \}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{8\}\; \{15\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; приблизительно\; -0.945\; \backslash ,\; 308\; \backslash \; ldots\}$

Функция pi, безусловно, не единственный способ расширить факториалы до определенной функции почти для всех комплексных значений, и даже не для единственного, которое является аналитическим, где бы оно ни было определено. Тем не менее, это обычно считается наиболее естественным способом расширить значения факториалов до сложной функции. Например, теорема Бора – Моллерупа утверждает, что гамма-функция - единственная функция, которая принимает значение 1 в 1, удовлетворяет функциональному уравнению Γ (n + 1) = nΓ (n), is мероморфный на комплексных числах и логарифмически выпуклый на положительной действительной оси. Аналогичное утверждение верно и для функции pi с использованием функционального уравнения Π (n) = nΠ (n - 1).

Однако существуют сложные функции, которые, вероятно, проще в смысле теории аналитических функций и которые интерполируют факториальные значения. Например, гамма-функция Адамара (Адамар 1894), которая, в отличие от гамма-функции, является целой функцией.

Эйлер также разработал аппроксимацию сходящегося произведения для нецелочисленные факториалы, которые, как можно видеть, эквивалентны формуле для гамма-функции выше:

$n!\; =\; \Pi \; (n)\; =\; \prod \; k\; =\; 1\; \infty \; (k\; +\; 1\; k)\; nkn\; +\; k\; =\; [(2\; 1)\; n\; 1\; n\; +\; 1]\; [(3\; 2)\; n\; 2\; n\; +\; 2]\; [(4\; 3)\; n\; 3\; n\; +\; 3]\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; n!\; =\; \backslash \; Pi\; (n)\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{k\; +\; 1\}\; \{k\; \}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\; \backslash !\; \backslash !\; \{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{n\; +\; k\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{1\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\; n\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\; +\; 1\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{n\; +\; 2\; \}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{4\}\; \{3\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{n\; +\; 3\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; cdots\; \backslash \; end\; \{выравнивается\}\; \}\}$

Однако эта формула не предоставляет практических средств вычисления функции пи или гамма-функции, поскольку скорость ее сходимости низкая.

Применение гамма-функции

объем n-мерной гиперсферы радиуса R равен

$V\; n\; знак\; равно\; \pi \; n\; /\; 2\; \Gamma \; (n\; 2\; +\; 1)\; R\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; ^\; \{n\; /\; 2\}\}\; \{\backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\}\; +\; 1\; \backslash \; right)\}\}\; R\; ^\; \{n\}\; \backslash ,.\}$

Факториал в комплексной плоскости

Амплитуда и фаза факториала комплексного аргумента

Представление через гамма-функцию позволяет оценивать факториал комплексного аргумента. Эквилинии амплитуды и фазы факториала показаны на рисунке. Пусть

$f\; =\; \rho \; e\; i\; \phi \; =\; (x\; +\; i\; y)!\; =\; \Gamma \; (x\; +\; i\; y\; +\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; \backslash \; rho\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; varphi\}\; =\; (x\; +\; iy)!\; =\; \backslash \; Gamma\; (x\; +\; iy\; +\; 1)\; \backslash ,.\}$

Несколько уровней постоянного модуля (амплитуды) ρ и постоянной фазы φ показаны. Сетка покрывает диапазон −3 ≤ x ≤ 3, −2 ≤ y ≤ 2 с единичными шагами. Штриховая линия показывает уровень φ = ± π.

Тонкие линии показывают промежуточные уровни постоянного модуля и постоянной фазы. На полюсах каждого отрицательного целого числа фаза и амплитуда не определены. Равновесные линии плотны в окрестности особенностей вдоль отрицательных целых значений аргумента.

Для | z | < 1, the Taylor expansions can be used:

$г!\; Знак\; равно\; \sum \; N\; знак\; равно\; 0\; \infty \; г\; N\; Z\; N.\; \{\backslash \; displaystyle\; z!\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; g\_\; \{n\}\; z\; ^\; \{n\}\; \backslash ,.\}$

Первые коэффициенты этого разложения:

n	gn	Приближение
0	1	1
1	- γ	−0,5772156649
2	π / 12 + γ / 2	0,9890559955
3	−ζ (3) / 3 - π / 12 - γ / 6	−0.9074790760

где γ - постоянная Эйлера – Маскерони, а ζ - дзета-функция Римана. Системы компьютерной алгебры, такие как SageMath, могут генерировать многие термины этого расширения.

Аппроксимация факториала

Для больших значений аргумента факториал может быть аппроксимирован интегралом от дигамма-функции, используя непрерывную дробь. представление. Такой подход разработан Т. Дж. Стилтьес (1894). Написание z! знак равно е, где P (z) равно

$P\; (z)\; =\; p\; (z)\; +\; ln\; \; 2\; \pi \; 2\; -\; z\; +\; (z\; +\; 1\; 2)\; ln\; \; (z),\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (z)\; =\; p\; (z)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; ln\; 2\; \backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; -\; z\; +\; \backslash \; left\; (z\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; ln\; (z)\; \backslash ,,\}$

Стилтьес дал непрерывную дробь для p (z):

$p\; (z)\; =\; a\; 0\; z\; +\; a\; 1\; z\; +\; a\; 2\; z\; +\; a\; 3\; z\; +\; \ddots \; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (z)\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{a\_\; \{0)\; \}\}\; \{z\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{a\_\; \{1\}\}\; \{z\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{a\_\; \{2\}\}\; \{z\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{a\_\; \{3\}\}\; \{z\; +\; \backslash \; ddots\}\}\}\}\}\}\}\}\}$

Первые несколько коэффициентов a n равны

n	an
0	1/12
1	1/30
2	53/210
3	195/371
4	22999/22737
5	29944523/19733142
6	109535241009/48264275462

Существует заблуждение, что ln z! = P (z) или ln Γ (z + 1) = P (z) для любого комплексного z ≠ 0. Действительно, соотношение через логарифм справедливо только для определенного диапазона значений z вблизи действительной оси., где −π < Im(Γ(z + 1)) < π. The larger the real part of the argument, the smaller the imaginary part should be. However, the inverse relation, z! = e, is valid for the whole complex plane apart from z = 0. The convergence is poor in the vicinity of the negative part of the real axis; it is difficult to have good convergence of any approximation in the vicinity of the singularities. When |Im z|>2 или Re z>2, шести приведенных выше коэффициентов достаточно для вычисления факториала со сложной двойной точностью. Для более высокой точности можно вычислить больше коэффициентов с помощью рациональной схемы QD (алгоритм Rutishauser's QD).

Нераспространяемость до отрицательных целых чисел

Отношение n! = п × (п - 1)! позволяет вычислить факториал для целого числа с учетом факториала для меньшего целого числа. Отношение можно инвертировать, чтобы можно было вычислить факториал для целого числа с учетом факториала для большего целого числа:

$(n\; -\; 1)!\; =\; п!\; п.\; \{\backslash \; displaystyle\; (n-1)!\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n!\}\; \{n\}\}.\}$

Однако эта рекурсия не позволяет нам вычислить факториал отрицательного целого числа; использование формулы для вычисления (-1)! потребует деления ненулевого значения на ноль и, таким образом, блокирует нас от вычисления факториала для каждого отрицательного целого числа. Точно так же гамма-функция не определена для нуля или отрицательных целых чисел, хотя она определена для всех других комплексных чисел.

Есть несколько других целочисленных последовательностей, похожих на факториал, которые используются в математике:

Двойной факториал

Произведение всех нечетных целых чисел до некоторого нечетного положительного целого числа n называется двойным факториалом числа n и обозначается n !!. То есть

$(2\; k\; -\; 1)!\; !\; Знак\; равно\; \prod \; я\; знак\; равно\; 1\; К\; (2\; я\; -\; 1)\; знак\; равно\; (2\; К)!\; 2\; к\; к!\; =\; 2\; К\; P\; К\; 2\; К\; =\; (2\; К)\; К\; \_\; 2\; К.\; \{\backslash \; displaystyle\; (2k-1)\; !!\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; (2i-1)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(2k)!\}\; \{2\; ^\; \{k\}\; k!\}\}\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{\_\; \{2k\}\; P\_\; \{k\}\}\; \{2\; ^\; \{k\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (2k\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; underline\; \{k\}\}\}\; \{2\; ^\; \{k\}\}\}\; \backslash ,.\}$

Например, 9 !! = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 = 945.

Последовательность двойных факториалов для n = 1, 3, 5, 7,... начинается как

1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135,... (последовательность A001147 в OEIS )

Нотация двойного факториала может использоваться для упрощения выражения некоторых тригонометрических интегралов, чтобы предоставить выражение для значений гамма-функции с полуцелыми аргументами и объемом гиперсфер, а также решить множество задач подсчета в комбинаторике, включая подсчет бинарные деревья с помеченными листьями и точным соответствием в полных графах.

Многофакторные элементы

Распространенной связанной нотацией является использование нескольких восклицательных знаков для обозначения многофакторный, произведение целых чисел с шагом два (n !!), три (n !!!) или более (см. обобщения двойного факториала ). Двойной факториал - это наиболее часто используемый вариант, но можно аналогичным образом определить тройной факториал (n !!!) и поэтому на. Можно определить k-кратный факториал, обозначаемый n !, рекурсивно для положительных целых чисел как

Дополнительно аналогично 0! = 1! / 1 = 1, можно определить:

Для достаточно большого n ≥ 1 обычная однофакториальная функция расширяется через многофакторную функционирует следующим образом:

$n!\; =\; n!!\; \cdot \; (n\; -\; 1)!!,\; n\; \ge \; 1\; =\; n!!!\; \cdot \; (n\; -\; 1)!!!\; \cdot \; (n\; -\; 2)!!!,\; n\; \ge \; 2\; знак\; равно\; \prod \; я\; знак\; равно\; 0\; К\; -\; 1\; (N\; -\; Я)!\; (К),\; для\; К\; \in \; Z\; +,\; п\; \ge \; К\; -\; 1.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{Выровнено\}\; п!\; =\; П\; !!\; \backslash \; cdot\; (n-1)\; !!\; \backslash ,,\; n\; \backslash \; geq\; 1\; \backslash \backslash \; [5px]\; =\; n\; !!!\; \backslash \; cdot\; (n-1)\; !!!\; \backslash \; cdot\; (n-2)\; !!!\; \backslash ,,\; n\; \backslash \; geq\; 2\; \backslash \backslash \; [5px]\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{k-1\}\; (ni)!\; ^\; \{(k)\},\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; k\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\; \}\; ^\; \{+\}\; \backslash ,,\; n\; \backslash \; geq\; k-1.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Точно так же, как n! не определено для отрицательных целых чисел, а n !! не определено для отрицательных целых чисел, n! не определено для отрицательных целые числа, делящиеся на k.

Первоначальный

Первоначальный натурального числа n (последовательность A002110 в OEIS ), обозначенный n #, аналогичен факториалу, но с произведением только для простых чисел, меньших или равных n. То есть

$n\; \#\; =\; \prod \; p\; \le \; n\; p,\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; \#\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{p\; \backslash \; leq\; n\}\; p,\}$

где p пробегает простые числа, меньшие или равные n. Например, примориал числа 11 равен

$11\; \#\; =\; 11\; \times \; 7\; \times \; 5\; \times \; 3\; \times \; 2\; =\; 2310.\; \{\backslash \; displaystyle\; 11\; \backslash \; \#\; =\; 11\; \backslash \; times\; 7\; \backslash \; times\; 5\; \backslash \; times\; 3\; \backslash \; times\; 2\; =\; 2310.\}$

Суперфакториал

Нил Слоан и Саймон Плафф определили суперфакториал в Энциклопедии целочисленных последовательностей (Academic Press, 1995) как продукт первого n факториалы. Таким образом, суперфакториал 4 равен

$sf\; \; (4)\; =\; 1!\; \times \; 2!\; \times \; 3!\; \times \; 4!\; =\; 288.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{sf\}\; (4)\; =\; 1!\; \backslash \; times\; 2!\; \backslash \; times\; 3!\; \backslash \; times\; 4!\; =\; 288\; \backslash ,.\}$

В целом

$sf\; \; (n)\; =\; \prod \; k\; =\; 1\; нк!\; Знак\; равно\; \prod \; К\; знак\; равно\; 1\; N\; К\; N\; -\; К\; +\; 1\; знак\; равно\; 1\; N\; \cdot \; 2\; N\; -\; 1\; \cdot \; 3\; N\; -\; 2\; \cdots \; (N\; -\; 1)\; 2\; \cdot \; N\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; operatorname\; \{sf\}\; (n)\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; k!\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; k\; ^\; \{n\; -k\; +\; 1\}\; \backslash \backslash \; =\; 1\; ^\; \{n\}\; \backslash \; cdot\; 2\; ^\; \{n-1\}\; \backslash \; cdot\; 3\; ^\; \{n-2\}\; \backslash \; cdots\; (n-1)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; n\; ^\; \{1\}\; \backslash ,.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Эквивалентно суперфакториал задается формулой

, которая является определителем Матрица Вандермонда.

Суперфакториалы могут быть расширены на все комплексные числа с помощью G-функции Барнса, так что $G\; (n)\; =\; sf\; \; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (\; n)=\backslash operatorname\; \{sf\}\; (n)\}$for all positive integers n. The sequence of superfactorials starts (from n = 0) as

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, 125411328000,... (sequence A000178 in the OEIS )

By this definition, we can define the k-superfactorial of n (denoted sfk(n)) as:

$sf\; k\; \; (\; n)\; =\; \{\; n\; if\; k\; =\; 0\; \prod \; r\; =\; 1\; n\; sf\; k\; -\; 1\; \; (\; r)\; if\; k\; \ge \; 1\; \{\backslash displaystyle\; \backslash operatorname\; \{sf\}\; \_\{k\}(n)=\{\backslash begin\{cases\}n\{\backslash text\{if\; \}\}k=0\backslash \backslash \backslash prod\; \_\{r=1\}^\{n\}\backslash operatorname\; \{sf\}\; \_\{k-1\}(r)\{\backslash text\{if\; \}\}k\backslash geq\; 1\backslash end\{cases\}\}\}$

The 2-superfactorials of n are

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, 745453331864786829312000000,... (sequence A055462 in the OEIS )

The 0-superfactorial of n is n.

Pickover’s superfactorial

In his 1995 book Keys to Infinity, Clifford Pickover defined a different function n$ that he called the superfactorial. It is defined by

$n\; \$\; \equiv \; n\; !\; n\; !\; \cdot \; \cdot \; \cdot \; n\; !\; ⏟\; n\; !\; copies\; of\; n\; !.\; \{\backslash displaystyle\; n\backslash \$\backslash equiv\; \{\backslash begin\{matrix\}\backslash underbrace\; \{n!^\{\{n!\}^\{\{\backslash cdot\; \}^\{\{\backslash cdot\; \}^\{\{\; \backslash cdot\; \}^\{n!\}\}\}\}\}\}\; \backslash \backslash n!\{\backslash t\_dv\{\; copies\; of\; \}\}n!\backslash end\{matrix\}\}.\}$

This sequence of superfactorials starts

$1\; \$\; =\; 1,\; 2\; \$\; =\; 2\; 2\; =\; 4,\; 3\; \$\; =\; 6\; 6\; 6\; 6\; 6\; 6.\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash begin\{aligned\}1\backslash \$=1\backslash ,,\backslash \backslash 2\backslash \$=2^\{2\}=4\backslash ,,\backslash \backslash 3\backslash \$=6^\{6^\{6^\{6^\{6^\{6\}\}\}\}\}\backslash ,.\backslash end\{aligned\}\}\}$

(Here, as is usual for compound exponentiation, the grouping is understood to be from right to left: a = a.)

This operation may also be expressed as the tetration

$n\; \$\; =\; n\; !\; (\; n\; !),\; \{\backslash displaystyle\; n\backslash \$=\{\}^\{n!\}(n!)\backslash ,,\}$

or using Knuth's up-arrow notation as

$n\; \$\; =\; (\; n\; !)\; \uparrow \uparrow \; (\; n\; !)\; =\; (\; n\; !)\; \uparrow \uparrow \uparrow \; 2.\; \{\backslash displaystyle\; n\backslash \$=(n!)\backslash uparrow\; \backslash uparrow\; (n!)=(n!)\backslash uparrow\; \backslash uparrow\; \backslash uparrow\; 2\backslash ,.\}$

Hyperfactorial

Occasionally the hyperfactorialof n is considered. It is written as H(n) and defined by

$H\; (\; n)\; =\; \prod \; k\; =\; 1\; n\; k\; k\; =\; 1\; 1\; \cdot \; 2\; 2\; \cdot \; 3\; 3\; \cdots \; (\; n\; -\; 1)\; n\; -\; 1\; \cdot \; n\; n.\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash begin\{aligned\}H(n)=\backslash prod\; \_\{k=1\}^\{n\}k^\{k\}\backslash \backslash =1^\{1\}\backslash cdot\; 2^\{2\}\backslash cdot\; 3^\{3\}\backslash cdots\; (n-1)^\{n-1\}\backslash cdot\; n^\{n\}.\backslash end\{aligned\}\}\}$

For n = 1, 2, 3, 4,... the values of H(n) are 1, 4, 108, 27648,... (sequence A002109 in the OEIS ).

The asymptotic growth rate is

$H\; (\; n)\; \sim \; A\; n\; (\; 6\; n\; 2\; +\; 6\; n\; +\; 1)\; /\; 12\; e\; -\; n\; 2\; /\; 4\; \{\backslash displaystyle\; H(n)\backslash sim\; An^\{(6n^\{2\}+6n+1)/12\}e^\{-n^\{2\}/4\}\}$

where A = 1.2824... is the Glaisher–Kinkelin constant. H(14) ≈ 1.8474×10 is already almost equal to a googol, and H(15) ≈ 8.0896×10 is almost of the same magnitude as the Shannon number, the theoretical number of possible chess games. Compared to the Pickover definition of the superfactorial, the hyperfactorial grows relatively slowly.

The hyperfactorial function can be generalized to complex numbers in a similar way as the factorial function. The resulting function is called the K-function.

• Arithmetic portal
• Mathematics portal

• Alternating factorial
• Bhargava factorial
• Digamma function
• Exponential factorial
• Factorial number system
• Factorion
• List of factorial and binomial topics
• Pochhammer symbol, which gives the falling or rising factorial
• Subfactorial
• Trailing zeros of factorial
• Triangular number, the additive analogue of factorial

Sources

Further reading

Wikimedia Commons has media related to Factorial (function).

• Factorial (mathematics) at the Encyclopædia Britannica
• , Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Factorial". MathWorld.
• Factorial at PlanetMath.org.