Часть серии о | |||||||
Механика сплошной среды | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Законы
| |||||||
Механика твердого тела | |||||||
Гидравлическая механика
| |||||||
Реология
| |||||||
Ученые | |||||||
|
В механике сплошных сред, завихренность является псевдовектор поле, которое описывает локальное спиннинг движения континуума вблизи некоторой точки (тенденция чего - то, чтобы повернуть), как можно было бы рассматривать в качестве наблюдателя, расположенного в этой точке и путешествии вместе с потоком. Это важная величина в динамической теории жидкостей и обеспечивает удобную основу для понимания множества сложных явлений течения, таких как образование и движение вихревых колец.
Математически завихренности является ротор от скорости потока :
где - оператор del. Концептуально это можно определить, отмечая части континуума в небольшой окрестности рассматриваемой точки и наблюдая за их относительными смещениями по мере их движения по потоку. Завихренность будет вдвое больше вектора средней угловой скорости этих частиц относительно их центра масс, ориентированных согласно правилу правой руки.
В двумерном потоке, всегда перпендикулярно к плоскости потока, и, следовательно, можно рассматривать как скалярное поле.
В континууме, который вращается как твердое тело, завихренность в два раза больше вектора угловой скорости этого вращения. Так обстоит дело, например, в центральном ядре вихря Ренкина.
Завихренность может быть отличной от нуля, даже когда все частицы движутся по прямым и параллельным траекториям, если есть сдвиг (то есть, если скорость потока изменяется по линиям тока ). Например, в ламинарном потоке внутри трубы с постоянным поперечным сечением все частицы движутся параллельно оси трубы; но быстрее около этой оси и практически неподвижен рядом со стенами. Завихренность будет нулевой на оси и максимальной у стенок, где сдвиг наибольший.
И наоборот, поток может иметь нулевую завихренность, даже если его частицы движутся по искривленным траекториям. Примером может служить идеальный безвихревой вихрь, где большинство частиц вращаются вокруг некоторой прямой оси со скоростью, обратно пропорциональной их расстоянию до этой оси. Небольшой кусок континуума, который не охватывает ось, будет вращаться в одном смысле, но срезаться в противоположном, так что их средняя угловая скорость относительно центра масс равна нулю.
Примеры потоков: | ||
Твердотельный вихрь v ∝ r | Параллельный поток со сдвигом | Безвихревой вихрь v ∝ 1/р |
где v - скорость потока, r - расстояние до центра вихря, а ∝ указывает на пропорциональность. Абсолютные скорости вокруг выделенной точки: | ||
Относительные скорости (увеличены) вокруг выделенной точки | ||
Завихренность ≠ 0 | Завихренность ≠ 0 | Завихренность = 0 |
Другой способ визуализировать завихренность - представить, что мгновенно крошечная часть континуума становится твердой, а остальная часть потока исчезает. Если эта крошечная новая твердая частица вращается, а не просто движется вместе с потоком, тогда в потоке есть завихренность. На рисунке ниже левая часть рисунка демонстрирует отсутствие завихренности, а правая часть рисунка демонстрирует наличие завихренности.
Математически завихренность трехмерного потока представляет собой псевдовекторное поле, обычно обозначаемое как ротор поля скорости, описывающего движение континуума. В декартовых координатах :
На словах завихренность говорит о том, как изменяется вектор скорости, когда человек движется на бесконечно малое расстояние в направлении, перпендикулярном ему.
В двумерном потоке, где скорость не зависит от -координаты и не имеет -компоненты, вектор завихренности всегда параллелен -оси и, следовательно, может быть выражен как скалярное поле, умноженное на постоянный единичный вектор:
Завихренность также связана с циркуляцией потока (линейный интеграл скорости) по замкнутой траектории согласно (классической) теореме Стокса. А именно, для любой бесконечно малой поверхности элемента C с нормальным направлением и областью, циркуляция по периметру части является скалярным произведением, где находится завихренность в центре.
Эволюция поля завихренности во времени описывается уравнением завихренности, которое может быть получено из уравнений Навье – Стокса.
Во многих реальных потоках, где вязкостью можно пренебречь (точнее, в потоках с большим числом Рейнольдса ), поле завихренности можно моделировать набором дискретных вихрей, причем завихренность пренебрежимо мала везде, кроме небольших областей пространства, окружающих оси вихри. Это верно в случае двумерного потенциального потока (т.е. двумерного потока с нулевой вязкостью), и в этом случае поле потока можно моделировать как комплексное поле на комплексной плоскости.
Завихренность полезна для понимания того, как идеальные решения для потенциальных потоков могут быть возмущены для моделирования реальных потоков. В общем, наличие вязкости вызывает диффузию завихренности от ядер вихря в общее поле течения; этот поток объясняется диффузионным членом в уравнении переноса завихренности.
Линия вихря или линия завихренности - это линия, которая всюду касается вектора локальной завихренности. Линии вихря определяются соотношением
где - вектор завихренности в декартовых координатах.
Вихревая трубка представляет собой поверхность в непрерывном спектре, образованный всеми вихревых линий, проходящих через данную (приводимой) замкнутой кривой в континууме. «Сила» вихревой трубы (также называемая вихревым потоком) представляет собой интеграл завихренности по поперечному сечению трубы и одинакова везде вдоль трубы (поскольку завихренность имеет нулевую дивергенцию). Следствием теорем Гельмгольца (или, что эквивалентно, теоремы Кельвина о циркуляции ) является то, что в невязкой жидкости «сила» вихревой трубки также постоянна во времени. Вязкие эффекты приводят к потерям на трение и временной зависимости.
В трехмерном потоке завихренность (измеряемая как объемный интеграл от квадрата его величины) может усиливаться, когда линия вихря растягивается - явление, известное как растяжение вихрей. Это явление возникает при образовании водоворота в ванне в вытекающей воде и нарастании торнадо из-за восходящих потоков воздуха.
Пластинчато-вращающийся измеритель завихренности изобрел русский инженер-гидротехник А.Я. Милович (1874–1958). В 1913 году он предложил пробку с четырьмя прикрепленными лопастями как устройство, качественно показывающее величину вертикальной проекции завихренности, и продемонстрировал киносъемку движения поплавка по поверхности воды на модели излучины реки.
Измерители завихренности с вращающимися лопастями обычно показаны в учебных фильмах по механике сплошных сред (известные примеры включают "Завихренность" и "Фундаментальные принципы потока" Института гидравлических исследований штата Айова).
В аэродинамике, то лифт распределение по конечным крылу может быть аппроксимировано в предположении, что каждый сегмент размаха крыла имеет полубесконечный вихревой след за ним. Затем можно определить силу вихрей, используя критерий отсутствия потока, индуцированного через поверхность крыла. Эта процедура называется методом вихревой панели вычислительной гидродинамики. Затем силы вихрей суммируются, чтобы найти общую приблизительную циркуляцию вокруг крыла. Согласно теореме Кутта – Жуковски подъемная сила - это произведение циркуляции, воздушной скорости и плотности воздуха.
Относительная завихренности является завихренность относительно Земли, индуцированного поля скоростей воздуха. Это поле скорости воздуха часто моделируется как двумерный поток, параллельный земле, так что вектор относительной завихренности обычно представляет собой скалярную величину вращения, перпендикулярную земле. Завихренность положительна, когда - глядя на поверхность земли - ветер вращается против часовой стрелки. В северном полушарии положительная завихренность называется циклоническим вращением, а отрицательная завихренность - антициклоническим вращением ; номенклатура обратная в Южном полушарии.
Абсолютный вихорь вычисляется из скорости воздуха по отношению к инерциальной системе координат, и, следовательно, включает в себя член из - за вращение Земли, параметр Кориолиса.
Потенциальный вихрь является абсолютной завихренности, деленное на расстояние по вертикали между уровнями постоянной (потенциальной) температуры (или энтропии ). Абсолютная завихренность воздушной массы изменится, если воздушная масса растягивается (или сжимается) в вертикальном направлении, но потенциальная завихренность сохраняется в адиабатическом потоке. Поскольку в атмосфере преобладает адиабатический поток, потенциальная завихренность полезна в качестве приблизительного индикатора воздушных масс в атмосфере в течение нескольких дней, особенно при рассмотрении на уровнях постоянной энтропии.
Уравнение баротропной завихренности - самый простой способ прогнозирования движения волн Россби (то есть впадин и гребней с геопотенциальной высотой 500 гПа ) на ограниченный период времени (несколько дней). В 1950-х годах первые успешные программы численного прогнозирования погоды использовали это уравнение.
В современных численных моделях прогноза погоды и моделях общей циркуляции (МОЦ) завихренность может быть одной из прогнозируемых переменных, и в этом случае соответствующее зависящее от времени уравнение является прогностическим уравнением.
С понятием завихренности связана спиральность, определяемая как
где интеграл берется по заданному объему. В науке об атмосфере спиральность движения воздуха важна для прогнозирования суперъячейки и потенциальной активности смерчей.