Неравенство Клаузиуса-Дюгема

редактировать

Неравенство Клаузиуса-Дюгема - это способ выражения второго закона термодинамики, который используется в механике сплошных сред. Это неравенство особенно полезно при определении того, является ли определяющее отношение материала термодинамически допустимым.

Это неравенство является утверждением, касающимся необратимости природных процессов, особенно когда речь идет о диссипации энергии. Он был назван в честь немецкого физика Рудольфа Клаузиуса и французского физика Пьера Дюгема.

Содержание

1 Неравенство Клаузиуса-Дюгема с точки зрения удельной энтропии
2 Неравенство Клаузиуса-Дюгема в термины удельной внутренней энергии
3 Рассеяние
4 См. также
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Неравенство Клаузиуса-Дюгема в терминах удельной энтропии

Клаузиус-Дюгем неравенство может быть выражено в виде интеграла как

ddt (∫ Ω ρ η dV) ≥ ∫ ∂ Ω ρ η (un - v ⋅ n) dA - ∫ ∂ Ω q ⋅ n T dA + ∫ Ω ρ s T dV. {\ displaystyle {\ cfrac {d} {dt}} \ left (\ int _ {\ Omega} \ rho ~ \ eta ~ {\ text {dV}} \ right) \ geq \ int _ {\ partial \ Omega} \ rho ~ \ eta ~ (u_ {n} - \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {n}) ~ {\ text {dA}} - \ int _ {\ partial \ Omega} {\ cfrac {\ mathbf { q} \ cdot \ mathbf {n}} {T}} ~ {\ text {dA}} + \ int _ {\ Omega} {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}} ~ {\ text {dV} }.}

{\ displaystyle {\ cfrac {d} {dt}} \ left (\ int _ {\ Omega} \ rho ~ \ eta ~ {\ text {dV}} \ right) \ geq \ int _ {\ partial \ Omega} \ rho ~ \ eta ~ (u_ {n} - \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {n}) ~ {\ text {dA}} - \ int _ {\ partial \ Omega} {\ cfrac {\ mathbf {q} \ cdot \ mathbf {n}} {T}} ~ {\ text { dA}} + \ int _ {\ Omega} {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}} ~ {\ text {dV}}.}

В этом уравнении $t {\ displaystyle t \,}$ $t \,$ - время, $Ω {\ displaystyle \ Omega \,}$ $\ Omega \,$ представляет body, а интегрирование выполняется по объему тела, $∂ Ω {\ displaystyle \ partial \ Omega \,}$ ${\ displaystyle \ partial \ Omega \,}$ представляет поверхность тела, $ρ {\ displaystyle \ rho \,}$ $\ rho \,$ - масса плотность тела, $η {\ displaystyle \ eta \,}$ $\ eta \,$ - удельная энтропия (энтропия на единицу массы), $un {\ displaystyle u_ {n} \,}$ ${\ displaystyle u_ {n} \,}$ - нормальная скорость $∂ Ω {\ displaystyle \ partial \ Omega \,}$ ${\ displaystyle \ partial \ Omega \,}$ , $v {\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ - скорость частиц внутри $Ω. {\ dis playstyle \ Omega \,}$ $\ Omega \,$ , $n {\ displaystyle \ mathbf {n}}$ $\ mathbf {n}$ - единица измерения, нормальная к поверхности, $q {\ displaystyle \ mathbf {q}}$ $\ mathbf {q}$ - вектор heat потока, $s {\ displaystyle s \,}$ $s \,$ - источник энергии на единицу массы, а $T {\ displaystyle T \,}$ $T \,$ - абсолютная температура. Все переменные являются функциями материальной точки в $x {\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf {x}$ во время $t {\ displaystyle t \,}$ $t \,$ .

в дифференциале из неравенства Клаузиуса – Дюгема можно записать как

ρ η ˙ ≥ - ∇ ⋅ (q T) + ρ s T {\ displaystyle \ rho ~ {\ dot {\ eta}} \ geq - {\ полужирный символ {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q}} {T}} \ right) + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}}}

{\ displaystyle \ rho ~ {\ dot {\ eta}} \ geq - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q}} {T}} \ right) + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}}}

где $η ˙ {\ displaystyle {\ dot {\ eta}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ eta}}}$ - производная по времени от $η {\ displaystyle \ eta \,}$ $\ eta \,$ и $∇ ⋅ ( а) {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot (\ mathbf {a})}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot (\ mathbf {a})}$ - это расхождение вектора $a {\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf {a}$ .

Доказательство
Предположим, что $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ - произвольный фиксированный контрольный объем. Тогда $un = 0 {\ displaystyle u_ {n} = 0}$ ${\ displaystyle u_ {n} = 0}$ и производная может быть взята внутри интеграла, чтобы получить $∫ Ω ∂ ∂ t (ρ η) dV ≥ - ∫ ∂ Ω ρ η (v ⋅ n) dA - ∫ ∂ Ω q ⋅ n T dA + ∫ Ω ρ s T dV. {\ displaystyle \ int _ {\ Omega} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (\ rho ~ \ eta) ~ {\ text {dV}} \ geq - \ int _ {\ partial \ Omega} \ rho ~ \ eta ~ (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {n}) ~ {\ text {dA}} - \ int _ {\ partial \ Omega} {\ cfrac {\ mathbf {q} \ cdot \ mathbf {n}} {T}} ~ {\ text {dA}} + \ int _ {\ Omega} {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}} ~ {\ text {dV}}.}$ ${\ displaystyle \ int _ {\ Omega} {\ frac { \ partial} {\ partial t}} (\ rho ~ \ eta) ~ {\ text {dV}} \ geq - \ int _ {\ partial \ Omega} \ rho ~ \ eta ~ (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {n}) ~ {\ text {dA}} - \ int _ {\ partial \ Omega} {\ cfrac {\ mathbf {q} \ cdot \ mathbf {n}} {T}} ~ {\ text { dA}} + \ int _ {\ Omega} {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}} ~ {\ text {dV}}.}$ Используя теорему о расходимости , получаем $∫ Ω ∂ ∂ t (ρ η) dV ≥ - ∫ Ω ∇ ⋅ (ρ η v) dV - ∫ Ω ∇ ⋅ (q T) dV + ∫ Ω ρ s T dV. {\ displaystyle \ int _ {\ Omega} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (\ rho ~ \ eta) ~ {\ text {dV}} \ geq - \ int _ {\ Omega} {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot (\ rho ~ \ eta ~ \ mathbf {v}) ~ {\ text {dV}} - \ int _ {\ Omega} {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ( {\ cfrac {\ mathbf {q}} {T}} \ right) ~ {\ text {dV}} + \ int _ {\ Omega} {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}} ~ {\ text {dV}}.}$ ${\ displaystyle \ int _ {\ Omega} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (\ rho ~ \ eta) ~ {\ text {dV}} \ geq - \ int _ {\ Omega} {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot (\ rho ~ \ eta ~ \ mathbf {v}) ~ {\ text {dV}} - \ int _ {\ Omega} {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q}} {T }} \ right) ~ {\ text {dV}} + \ int _ {\ Omega} {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}} ~ {\ text {dV}}.}$ Поскольку $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ произвольно, мы должны иметь $∂ ∂ t (ρ η) ≥ - ∇ ⋅ (ρ η v) - ∇ ⋅ (q T) + ρ s T. {\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (\ rho ~ \ eta) \ geq - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot (\ rho ~ \ eta ~ \ mathbf {v}) - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q}} {T}} \ right) + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}}.}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (\ rho ~ \ eta) \ geq - {\ boldsymbol {\ набла}} \ cdot (\ rho ~ \ eta ~ \ mathbf {v}) - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q}} {T}} \ right) + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}}.}$ Расширение выход $∂ ρ ∂ T η + ρ ∂ η ∂ t ≥ - ∇ (ρ η) ⋅ v - ρ η (∇ ⋅ v) - ∇ ⋅ (q T) + ρ s T {\ displaystyle {\ frac { \ partial \ rho} {\ partial t}} ~ \ eta + \ rho ~ {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} \ geq - {\ boldsymbol {\ nabla}} (\ rho _ {\ eta}) \ cdot \ mathbf {v} - \ rho ~ \ eta ~ ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v}) - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q}} {T}} \ right) + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} ~ \ eta + \ rho ~ {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} \ geq - {\ boldsymbol {\ nabla}} (\ rho _ {\ eta}) \ cdot \ mathbf {v} - \ rho ~ \ eta ~ ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v}) - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q}} {T}} \ right) + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}}}$ или, $∂ ρ ∂ t η + ρ ∂ η ∂ t ≥ - η ∇ ρ ⋅ v - ρ ∇ η ⋅ v - ρ η (∇ ⋅ v) - ∇ ⋅ (q T) + ρ s T {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} ~ \ eta + \ rho ~ {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} \ geq - \ eta ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ rho \ cdot \ mathbf {v} - \ rho ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ eta \ cdot \ mathbf {v} - \ rho ~ \ eta ~ ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v}) - {\ bol dsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q}} {T}} \ right) + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ частичный t}} ~ \ eta + \ rho ~ {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} \ geq - \ eta ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ rho \ cdot \ mathbf {v} - \ rho ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ eta \ cdot \ mathbf {v} - \ rho ~ \ eta ~ ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v}) - {\ boldsymbol {\ набла}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q}} {T}} \ right) + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}}}$ или, $(∂ ρ ∂ t + ∇ ρ ⋅ v + ρ ∇ ⋅ v) η + ρ (∂ η ∂ t + ∇ η ⋅ v) ≥ - ⋅ (q T) + ρ s T. {\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ rho \ cdot \ mathbf {v} + \ rho ~ {\ boldsymbol {\ nabla} } \ cdot \ mathbf {v} \ right) ~ \ eta + \ rho ~ \ left ({\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ eta \ cdot \ mathbf {v} \ right) \ geq - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q}} {T}} \ right) + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}}.}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac { \ partial \ rho} {\ partial t}} + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ rho \ cdot \ mathbf {v} + \ rho ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} \ right) ~ \ eta + \ rho ~ \ left ({\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ eta \ cdot \ mathbf {v} \ right) \ geq - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q}} {T}} \ right) + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}}.}$ Итак, материальные производные по времени от $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ и $η {\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$ задаются как $ρ ˙ = ∂ ρ ∂ t + ∇ ρ ⋅ v; η ˙ = ∂ η ∂ t + ∇ η ⋅ v. {\ displaystyle {\ dot {\ rho}} = {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ rho \ cdot \ mathbf {v} ~; ~~ { \ dot {\ eta}} = {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ eta \ cdot \ mathbf {v}.}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ rho}} = {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t} } + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ rho \ cdot \ mathbf {v} ~; ~~ {\ dot {\ eta}} = {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} + {\ полужирный символ {\ nabla}} \ eta \ cdot \ mathbf {v}.}$ Следовательно, $(ρ ˙ + ρ ∇ ⋅ v) η + ρ η ˙ ≥ - ∇ ⋅ (q T) + ρ s T. {\ displaystyle \ left ({\ dot {\ rho}} + \ rho ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} \ right) ~ \ eta + \ rho ~ {\ dot {\ eta} } \ geq - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q}} {T}} \ right) + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}}.}$ ${\ displaystyle \ left ({\ dot {\ rho}} + \ rho ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} \ right) ~ \ eta + \ rho ~ {\ dot {\ eta}} \ geq - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q}} {T }} \ right) + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}}.}$ Из сохранения массы $ρ ˙ + ρ ∇ ⋅ v = 0 {\ displaystyle {\ dot {\ rho}} + \ rho ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} = 0}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ rho}} + \ rho ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} = 0}$ . Следовательно, $ρ η ˙ ≥ - ∇ ⋅ (q T) + ρ s T. {\ displaystyle {\ rho ~ {\ dot {\ eta}} \ geq - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q}} {T}} \ right) + { \ cfrac {\ rho ~ s} {T}}.}}$ ${\ displaystyle {\ rho ~ {\ dot {\ eta}} \ geq - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q} } {T}} \ right) + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}}.}}$

Доказательство

Предположим, что

Ω {\ displaystyle \ Omega}

\ Omega

- произвольный фиксированный контрольный объем. Тогда

$un = 0 {\ displaystyle u_ {n} = 0}$ ${\ displaystyle u_ {n} = 0}$ и производная может быть взята внутри интеграла, чтобы получить

∫ Ω ∂ ∂ t (ρ η) dV ≥ - ∫ ∂ Ω ρ η (v ⋅ n) dA - ∫ ∂ Ω q ⋅ n T dA + ∫ Ω ρ s T dV. {\ displaystyle \ int _ {\ Omega} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (\ rho ~ \ eta) ~ {\ text {dV}} \ geq - \ int _ {\ partial \ Omega} \ rho ~ \ eta ~ (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {n}) ~ {\ text {dA}} - \ int _ {\ partial \ Omega} {\ cfrac {\ mathbf {q} \ cdot \ mathbf {n}} {T}} ~ {\ text {dA}} + \ int _ {\ Omega} {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}} ~ {\ text {dV}}.}

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} {\ frac { \ partial} {\ partial t}} (\ rho ~ \ eta) ~ {\ text {dV}} \ geq - \ int _ {\ partial \ Omega} \ rho ~ \ eta ~ (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {n}) ~ {\ text {dA}} - \ int _ {\ partial \ Omega} {\ cfrac {\ mathbf {q} \ cdot \ mathbf {n}} {T}} ~ {\ text { dA}} + \ int _ {\ Omega} {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}} ~ {\ text {dV}}.}

Используя теорему о расходимости , получаем

∫ Ω ∂ ∂ t (ρ η) dV ≥ - ∫ Ω ∇ ⋅ (ρ η v) dV - ∫ Ω ∇ ⋅ (q T) dV + ∫ Ω ρ s T dV. {\ displaystyle \ int _ {\ Omega} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (\ rho ~ \ eta) ~ {\ text {dV}} \ geq - \ int _ {\ Omega} {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot (\ rho ~ \ eta ~ \ mathbf {v}) ~ {\ text {dV}} - \ int _ {\ Omega} {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ( {\ cfrac {\ mathbf {q}} {T}} \ right) ~ {\ text {dV}} + \ int _ {\ Omega} {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}} ~ {\ text {dV}}.}

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (\ rho ~ \ eta) ~ {\ text {dV}} \ geq - \ int _ {\ Omega} {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot (\ rho ~ \ eta ~ \ mathbf {v}) ~ {\ text {dV}} - \ int _ {\ Omega} {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q}} {T }} \ right) ~ {\ text {dV}} + \ int _ {\ Omega} {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}} ~ {\ text {dV}}.}

Поскольку $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ произвольно, мы должны иметь

∂ ∂ t (ρ η) ≥ - ∇ ⋅ (ρ η v) - ∇ ⋅ (q T) + ρ s T. {\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (\ rho ~ \ eta) \ geq - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot (\ rho ~ \ eta ~ \ mathbf {v}) - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q}} {T}} \ right) + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}}.}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (\ rho ~ \ eta) \ geq - {\ boldsymbol {\ набла}} \ cdot (\ rho ~ \ eta ~ \ mathbf {v}) - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q}} {T}} \ right) + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}}.}

Расширение выход

∂ ρ ∂ T η + ρ ∂ η ∂ t ≥ - ∇ (ρ η) ⋅ v - ρ η (∇ ⋅ v) - ∇ ⋅ (q T) + ρ s T {\ displaystyle {\ frac { \ partial \ rho} {\ partial t}} ~ \ eta + \ rho ~ {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} \ geq - {\ boldsymbol {\ nabla}} (\ rho _ {\ eta}) \ cdot \ mathbf {v} - \ rho ~ \ eta ~ ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v}) - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q}} {T}} \ right) + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} ~ \ eta + \ rho ~ {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} \ geq - {\ boldsymbol {\ nabla}} (\ rho _ {\ eta}) \ cdot \ mathbf {v} - \ rho ~ \ eta ~ ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v}) - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q}} {T}} \ right) + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}}}

или,

∂ ρ ∂ t η + ρ ∂ η ∂ t ≥ - η ∇ ρ ⋅ v - ρ ∇ η ⋅ v - ρ η (∇ ⋅ v) - ∇ ⋅ (q T) + ρ s T {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} ~ \ eta + \ rho ~ {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} \ geq - \ eta ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ rho \ cdot \ mathbf {v} - \ rho ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ eta \ cdot \ mathbf {v} - \ rho ~ \ eta ~ ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v}) - {\ bol dsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q}} {T}} \ right) + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ частичный t}} ~ \ eta + \ rho ~ {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} \ geq - \ eta ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ rho \ cdot \ mathbf {v} - \ rho ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ eta \ cdot \ mathbf {v} - \ rho ~ \ eta ~ ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v}) - {\ boldsymbol {\ набла}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q}} {T}} \ right) + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}}}

или,

(∂ ρ ∂ t + ∇ ρ ⋅ v + ρ ∇ ⋅ v) η + ρ (∂ η ∂ t + ∇ η ⋅ v) ≥ - ⋅ (q T) + ρ s T. {\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ rho \ cdot \ mathbf {v} + \ rho ~ {\ boldsymbol {\ nabla} } \ cdot \ mathbf {v} \ right) ~ \ eta + \ rho ~ \ left ({\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ eta \ cdot \ mathbf {v} \ right) \ geq - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q}} {T}} \ right) + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}}.}

{\ displaystyle \ left ({\ frac { \ partial \ rho} {\ partial t}} + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ rho \ cdot \ mathbf {v} + \ rho ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} \ right) ~ \ eta + \ rho ~ \ left ({\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ eta \ cdot \ mathbf {v} \ right) \ geq - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q}} {T}} \ right) + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}}.}

Итак, материальные производные по времени от $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ и $η {\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$ задаются как

ρ ˙ = ∂ ρ ∂ t + ∇ ρ ⋅ v; η ˙ = ∂ η ∂ t + ∇ η ⋅ v. {\ displaystyle {\ dot {\ rho}} = {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ rho \ cdot \ mathbf {v} ~; ~~ { \ dot {\ eta}} = {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ eta \ cdot \ mathbf {v}.}

{\ displaystyle {\ dot {\ rho}} = {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t} } + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ rho \ cdot \ mathbf {v} ~; ~~ {\ dot {\ eta}} = {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} + {\ полужирный символ {\ nabla}} \ eta \ cdot \ mathbf {v}.}

Следовательно,

(ρ ˙ + ρ ∇ ⋅ v) η + ρ η ˙ ≥ - ∇ ⋅ (q T) + ρ s T. {\ displaystyle \ left ({\ dot {\ rho}} + \ rho ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} \ right) ~ \ eta + \ rho ~ {\ dot {\ eta} } \ geq - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q}} {T}} \ right) + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}}.}

{\ displaystyle \ left ({\ dot {\ rho}} + \ rho ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} \ right) ~ \ eta + \ rho ~ {\ dot {\ eta}} \ geq - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q}} {T }} \ right) + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}}.}

Из сохранения массы $ρ ˙ + ρ ∇ ⋅ v = 0 {\ displaystyle {\ dot {\ rho}} + \ rho ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} = 0}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ rho}} + \ rho ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} = 0}$ . Следовательно,

ρ η ˙ ≥ - ∇ ⋅ (q T) + ρ s T. {\ displaystyle {\ rho ~ {\ dot {\ eta}} \ geq - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q}} {T}} \ right) + { \ cfrac {\ rho ~ s} {T}}.}}

{\ displaystyle {\ rho ~ {\ dot {\ eta}} \ geq - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q} } {T}} \ right) + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}}.}}

Неравенство Клаузиуса – Дюгема через удельную внутреннюю энергию

Неравенство может быть выражено через внутреннюю энергию как

ρ (е ˙ - T η ˙) - σ: ∇ v ≤ - q ⋅ ∇ TT {\ displaystyle \ rho ~ ({\ dot {e}} - T ~ {\ dot {\ eta}})) - {\ boldsymbol {\ sigma}}: {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} \ leq - {\ cfrac {\ mathbf {q} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} T} {T }}}

{\ displaystyle \ rho ~ ({\ dot {e}} - T ~ {\ dot {\ eta }}) - {\ boldsymbol {\ sigma}}: {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} \ leq - {\ cfrac {\ mathbf {q} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} T} {T}}}

где $e ˙ {\ displaystyle {\ dot {e}}}$ ${\ точка {e}}$ - производная по времени от удельной внутренней энергии $e {\ displaystyle e \,}$ $e \,$ (внутренняя энергия на единицу массы), $σ {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ ${\ boldsymbol {\ sigma}}$ - напряжение Коши, и $∇ v {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v}}$ - это градиент скорости. Это неравенство включает баланс энергии и баланс линейного и углового момента в выражение для неравенства Клаузиуса-Дюгема.

Доказательство
Использование тождества $∇ ⋅ (φ v) = φ ∇ ⋅ v + v ⋅ ∇ φ {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot (\ varphi ~ \ mathbf {v}) = \ varphi ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} \ varphi}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot (\ varphi ~ \ mathb f {v}) = \ varphi ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} \ varphi}$ в неравенства Клаузиуса – Дюгема, получаем $ρ η ˙ ≥ - ∇ ⋅ (q T) + ρ s T или ρ η ˙ ≥ - 1 T ∇ ⋅ q - q ∇ (1 T) + ρ s T. {\ displaystyle \ rho ~ {\ dot {\ eta}} \ geq - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q}} {T}} \ right) + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}} \ qquad {\ text {или}} \ qquad \ rho ~ {\ dot {\ eta}} \ geq - {\ cfrac {1} {T}} ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {q} - \ mathbf {q} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} \ left ({\ cfrac {1} {T}} \ right) + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}}.}$ ${\ displaystyle \ rho ~ { \ dot {\ eta}} \ geq - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q }} {T}} \ right) + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}} \ qquad {\ text {или}} \ qquad \ rho ~ {\ dot {\ eta}} \ geq - {\ cfrac {1} {T}} ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {q} - \ mathbf {q} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} \ left ({\ cfrac {1} { T}} \ right) + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}}.}$ Теперь, используя обозначение индекса относительно декартовой системы координат $ej {\ displaystyle \ mathbf {e} _ {j}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {j} }$ , $∇ (1 T) = ∂ ∂ xj (T - 1) ej = - (T - 2) ∂ T ∂ xjej = - 1 T 2 ∇ T. {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ left ({\ cfrac {1} {T}} \ right) = {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} \ left (T ^ { -1} \ right) ~ \ mathbf {e} _ {j} = - \ left (T ^ {- 2} \ right) ~ {\ frac {\ partial T} {\ partial x_ {j}}} ~ \ mathbf {e} _ {j} = - {\ cfrac {1} {T ^ {2}}} ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} T.}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ left ({\ cfrac {1} {T}} \ right) = {\ frac { \ partial} {\ partial x_ {j}}} \ left (T ^ {- 1} \ right) ~ \ mathbf {e} _ {j} = - \ left (T ^ {- 2} \ right) ~ { \ frac {\ partial T} {\ partial x_ {j}}} ~ \ mathbf {e} _ {j} = - {\ cfrac {1} {T ^ {2}}} ~ {\ boldsymbol {\ nabla} } T.}$ Следовательно, $ρ η ˙ ≥ - 1 T ∇ ⋅ q + 1 T 2 q ⋅ ∇ T + ρ s T или ρ η ˙ ≥ - 1 T (∇ ⋅ q - ρ s) + 1 T 2 q ⋅ ∇ T. {\ displaystyle \ rho ~ {\ dot {\ eta}} \ geq - {\ cfrac {1} {T}} ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {q} + {\ cfrac {1} {T ^ {2}}} ~ \ mathbf {q} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} T + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}} \ qquad {\ text {или}} \ qquad \ rho ~ {\ dot {\ eta}} \ geq - {\ cfrac {1} {T}} \ left ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {q} - \ rho ~ s \ right) + {\ cfrac {1} {T ^ {2}}} ~ \ mathbf {q} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} T.}$ ${\ displaystyle \ rho ~ {\ dot {\ eta}} \ geq - {\ cfrac {1} {T}} ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {q} + {\ cfrac {1} {T ^ {2} }} ~ \ mathbf {q} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} T + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}} \ qquad {\ text {или}} \ qquad \ rho ~ {\ dot { \ eta}} \ geq - {\ cfrac {1} {T}} \ left ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {q} - \ rho ~ s \ right) + {\ cfrac {1} {T ^ {2}}} ~ \ mathbf {q} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} T.}$ Из баланса энергии $ρ e ˙ - σ: v + ∇ ⋅ q - ρ s = 0 ⟹ ρ e ˙ - σ: ∇ v = - (∇ ⋅ q - ρ s). {\ displaystyle \ rho ~ {\ dot {e}} - {\ boldsymbol {\ sigma}}: {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf { q} - \ rho ~ s = 0 \ qquad \ подразумевает \ qquad \ rho ~ {\ dot {e}} - {\ boldsymbol {\ sigma}}: {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} = - ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {q} - \ rho ~ s).}$ ${\ displaystyle \ rho ~ {\ dot {e}} - {\ boldsymbol {\ sigma}}: {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {q} - \ rho ~ s = 0 \ qquad \ подразумевает \ qquad \ rho ~ {\ dot {e}} - {\ boldsymbol {\ sigma}}: {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} = - ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {q} - \ rho ~ s).}$ Следовательно, $ρ η ˙ ≥ 1 T (ρ e ˙ - σ: ∇ v) + 1 T 2 q ⋅ ∇ T ⟹ ρ η ˙ T ≥ ρ e ˙ - σ: ∇ v + q ⋅ ∇ TT. {\ displaystyle \ rho ~ {\ dot {\ eta}} \ geq {\ cfrac {1} {T}} \ left (\ rho ~ {\ dot {e}} - {\ boldsymbol {\ sigma}}: { \ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} \ right) + {\ cfrac {1} {T ^ {2}}} ~ \ mathbf {q} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} T \ qquad \ подразумевает \ qquad \ rho ~ {\ dot {\ eta}} ~ T \ geq \ rho ~ {\ dot {e}} - {\ boldsymbol {\ sigma}}: {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v } + {\ cfrac {\ mathbf {q} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} T} {T}}.}$ ${\ displaystyle \ rho ~ {\ dot {\ eta}} \ geq {\ cfrac {1} {T}} \ left (\ rho ~ {\ dot {e}} - {\ boldsymbol {\ sigma}}: {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} \ right) + {\ cfrac {1} {T ^ {2}}} ~ \ mathbf {q } \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} T \ qquad \ подразумевает \ qquad \ rho ~ {\ dot {\ eta}} ~ T \ geq \ rho ~ {\ dot {e}} - {\ boldsymbol {\ sigma }}: {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} + {\ cfrac {\ mathbf {q} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} T} {T}}.}$ Перестановка, $ρ (e ˙ - T η ˙) - σ: ∇ v ≤ - q ⋅ ∇ TT ◻ {\ displaystyle {\ rho ~ ({\ dot {e}} - T ~ {\ dot {\ eta}}) - {\ boldsymbol {\ sigma}}: {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} \ leq - {\ cfrac {\ mathbf {q} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} T} {T}} \ qquad \ qquad \ square}}$ ${\ displaystyle {\ rho ~ ({\ dot {e}} - T ~ {\ dot {\ eta}}) - {\ boldsymbol {\ sigma }}: {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} \ leq - {\ cfrac {\ mathbf {q} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} T} {T}} \ qquad \ qquad \ square }}$

Доказательство

Использование тождества

$∇ ⋅ (φ v) = φ ∇ ⋅ v + v ⋅ ∇ φ {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot (\ varphi ~ \ mathbf {v}) = \ varphi ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} \ varphi}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot (\ varphi ~ \ mathb f {v}) = \ varphi ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} \ varphi}$ в неравенства Клаузиуса – Дюгема, получаем

ρ η ˙ ≥ - ∇ ⋅ (q T) + ρ s T или ρ η ˙ ≥ - 1 T ∇ ⋅ q - q ∇ (1 T) + ρ s T. {\ displaystyle \ rho ~ {\ dot {\ eta}} \ geq - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q}} {T}} \ right) + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}} \ qquad {\ text {или}} \ qquad \ rho ~ {\ dot {\ eta}} \ geq - {\ cfrac {1} {T}} ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {q} - \ mathbf {q} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} \ left ({\ cfrac {1} {T}} \ right) + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}}.}

{\ displaystyle \ rho ~ { \ dot {\ eta}} \ geq - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q }} {T}} \ right) + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}} \ qquad {\ text {или}} \ qquad \ rho ~ {\ dot {\ eta}} \ geq - {\ cfrac {1} {T}} ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {q} - \ mathbf {q} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} \ left ({\ cfrac {1} { T}} \ right) + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}}.}

Теперь, используя обозначение индекса относительно декартовой системы координат $ej {\ displaystyle \ mathbf {e} _ {j}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {j} }$ ,

∇ (1 T) = ∂ ∂ xj (T - 1) ej = - (T - 2) ∂ T ∂ xjej = - 1 T 2 ∇ T. {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ left ({\ cfrac {1} {T}} \ right) = {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} \ left (T ^ { -1} \ right) ~ \ mathbf {e} _ {j} = - \ left (T ^ {- 2} \ right) ~ {\ frac {\ partial T} {\ partial x_ {j}}} ~ \ mathbf {e} _ {j} = - {\ cfrac {1} {T ^ {2}}} ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} T.}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ left ({\ cfrac {1} {T}} \ right) = {\ frac { \ partial} {\ partial x_ {j}}} \ left (T ^ {- 1} \ right) ~ \ mathbf {e} _ {j} = - \ left (T ^ {- 2} \ right) ~ { \ frac {\ partial T} {\ partial x_ {j}}} ~ \ mathbf {e} _ {j} = - {\ cfrac {1} {T ^ {2}}} ~ {\ boldsymbol {\ nabla} } T.}

Следовательно,

ρ η ˙ ≥ - 1 T ∇ ⋅ q + 1 T 2 q ⋅ ∇ T + ρ s T или ρ η ˙ ≥ - 1 T (∇ ⋅ q - ρ s) + 1 T 2 q ⋅ ∇ T. {\ displaystyle \ rho ~ {\ dot {\ eta}} \ geq - {\ cfrac {1} {T}} ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {q} + {\ cfrac {1} {T ^ {2}}} ~ \ mathbf {q} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} T + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}} \ qquad {\ text {или}} \ qquad \ rho ~ {\ dot {\ eta}} \ geq - {\ cfrac {1} {T}} \ left ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {q} - \ rho ~ s \ right) + {\ cfrac {1} {T ^ {2}}} ~ \ mathbf {q} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} T.}

{\ displaystyle \ rho ~ {\ dot {\ eta}} \ geq - {\ cfrac {1} {T}} ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {q} + {\ cfrac {1} {T ^ {2} }} ~ \ mathbf {q} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} T + {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}} \ qquad {\ text {или}} \ qquad \ rho ~ {\ dot { \ eta}} \ geq - {\ cfrac {1} {T}} \ left ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {q} - \ rho ~ s \ right) + {\ cfrac {1} {T ^ {2}}} ~ \ mathbf {q} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} T.}

Из баланса энергии

ρ e ˙ - σ: v + ∇ ⋅ q - ρ s = 0 ⟹ ρ e ˙ - σ: ∇ v = - (∇ ⋅ q - ρ s). {\ displaystyle \ rho ~ {\ dot {e}} - {\ boldsymbol {\ sigma}}: {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf { q} - \ rho ~ s = 0 \ qquad \ подразумевает \ qquad \ rho ~ {\ dot {e}} - {\ boldsymbol {\ sigma}}: {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} = - ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {q} - \ rho ~ s).}

{\ displaystyle \ rho ~ {\ dot {e}} - {\ boldsymbol {\ sigma}}: {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {q} - \ rho ~ s = 0 \ qquad \ подразумевает \ qquad \ rho ~ {\ dot {e}} - {\ boldsymbol {\ sigma}}: {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} = - ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {q} - \ rho ~ s).}

Следовательно,

ρ η ˙ ≥ 1 T (ρ e ˙ - σ: ∇ v) + 1 T 2 q ⋅ ∇ T ⟹ ρ η ˙ T ≥ ρ e ˙ - σ: ∇ v + q ⋅ ∇ TT. {\ displaystyle \ rho ~ {\ dot {\ eta}} \ geq {\ cfrac {1} {T}} \ left (\ rho ~ {\ dot {e}} - {\ boldsymbol {\ sigma}}: { \ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} \ right) + {\ cfrac {1} {T ^ {2}}} ~ \ mathbf {q} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} T \ qquad \ подразумевает \ qquad \ rho ~ {\ dot {\ eta}} ~ T \ geq \ rho ~ {\ dot {e}} - {\ boldsymbol {\ sigma}}: {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v } + {\ cfrac {\ mathbf {q} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} T} {T}}.}

{\ displaystyle \ rho ~ {\ dot {\ eta}} \ geq {\ cfrac {1} {T}} \ left (\ rho ~ {\ dot {e}} - {\ boldsymbol {\ sigma}}: {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} \ right) + {\ cfrac {1} {T ^ {2}}} ~ \ mathbf {q } \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} T \ qquad \ подразумевает \ qquad \ rho ~ {\ dot {\ eta}} ~ T \ geq \ rho ~ {\ dot {e}} - {\ boldsymbol {\ sigma }}: {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} + {\ cfrac {\ mathbf {q} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} T} {T}}.}

Перестановка,

ρ (e ˙ - T η ˙) - σ: ∇ v ≤ - q ⋅ ∇ TT ◻ {\ displaystyle {\ rho ~ ({\ dot {e}} - T ~ {\ dot {\ eta}}) - {\ boldsymbol {\ sigma}}: {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} \ leq - {\ cfrac {\ mathbf {q} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} T} {T}} \ qquad \ qquad \ square}}

{\ displaystyle {\ rho ~ ({\ dot {e}} - T ~ {\ dot {\ eta}}) - {\ boldsymbol {\ sigma }}: {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} \ leq - {\ cfrac {\ mathbf {q} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} T} {T}} \ qquad \ qquad \ square }}

Рассеивание

Величина

D: = ρ (T η ˙ - e ˙) + σ: ∇ v - q ⋅ ∇ TT ≥ 0 {\ displaystyle {\ mathcal {D}}: = \ rho ~ (T ~ {\ dot {\ eta}} - {\ dot {e}}) + {\ boldsymbol {\ sigma}}: {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} - {\ cfrac {\ mathbf {q } \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} T} {T}} \ geq 0}

{\ displaystyle {\ mathcal {D}}: = \ rho ~ (T ~ {\ dot {\ eta}} - {\ dot {e}}) + {\ boldsymbol {\ sigma }}: {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} - {\ cfrac {\ mathbf {q} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} T} {T}} \ geq 0}

называется диссипацией, которая определяется как s скорость производства внутренней энтропии на единицу объема, умноженная на абсолютную температуру. Следовательно, неравенство Клаузиуса-Дюгема также называется диссипативным неравенством . В реальном материале рассеивание всегда больше нуля.

См. Также

Ссылки

Внешние ссылки

Воспоминания Клиффорда Трусделла Бернарда Д. Коулмана, Journal of Elasticity, 2003.
Мысли о термомеханике Уолтер Нолл, 2008.