Теорема Кутты – Жуковского

редактировать

Теорема Кутта – Жуковского является фундаментальной теоремой в аэродинамике, используемой для расчет подъемной силы аэродинамического профиля и любых двумерных тел, включая круглые цилиндры, перемещающихся в однородной жидкости с постоянной скоростью, достаточно большой, чтобы поток, наблюдаемый в неподвижной раме, был устойчивым и неотделимым. Теорема связывает подъемную силу, создаваемую аэродинамическим профилем, со скоростью аэродинамического профиля в текучей среде, плотностью текучей среды и циркуляцией вокруг аэродинамического профиля. Циркуляция определяется как интеграл линии вокруг замкнутого контура, охватывающего аэродинамический профиль составляющей скорости касательной скорости текучей среды к контуру. Он назван в честь Мартина Кутта и Николая Жуковского (или Жуковского), которые впервые разработали его ключевые идеи в начале 20 века. Теорема Кутты – Жуковского - это невязкая теория, но она является хорошим приближением для реального вязкого потока в типичных аэродинамических приложениях.

Теорема Кутта-Жуковски связывает подъемную силу с циркуляцией во многом так же, как эффект Магнуса связывает боковую силу (называемую силой Магнуса) с вращением. Однако здесь циркуляция не вызвана вращением профиля. Поток жидкости при наличии аэродинамического профиля можно рассматривать как суперпозицию поступательного и вращающегося потоков. Этот вращающийся поток вызывается эффектами изгиба, угла атаки и острой задней кромки аэродинамического профиля. Его не следует путать с вихрем, подобным торнадо, окружающим аэродинамический профиль. На большом расстоянии от профиля вращающийся поток можно рассматривать как индуцированный линейным вихрем (при этом вращающаяся линия перпендикулярна двумерной плоскости). При выводе теоремы Кутта – Жуковского профиль обычно отображается на круговой цилиндр. Во многих учебниках теорема доказана для кругового цилиндра и профиля Жуковского, но она верна для общих профилей.

Содержание

  • 1 Формула подъемной силы
  • 2 Циркуляция и условие Кутты
  • 3 Выведение
    • 3.1 Эвристический аргумент
    • 3.2 Формальное вычисление
  • 4 Подъемная сила для более сложных ситуаций
  • 5 См. Также
  • 6 Ссылки

Формула подъемной силы

Теорема применима к двумерному обтеканию фиксированного профиля (или любой формы с бесконечным размахом ). Подъемная сила на единицу пролета L ′ {\ displaystyle L '\,}L'\,профиля задается выражением

L ′ = ρ ∞ V ∞ Γ, {\ displaystyle L ^ {\ prime } = \ rho _ {\ infty} V _ {\ infty} \ Gamma, \,}{\ displaystyle L ^ {\ prime} = \ rho _ {\ infty} V _ {\ infty} \ Gamma, \,}

(1)

где ρ ∞ {\ displaystyle \ rho _ {\ infty} \,}\ rho _ {\ infty} \, и V ∞ {\ displaystyle V _ {\ infty} \,}V _ {\ infty} \, - плотность жидкости и скорость жидкости далеко перед аэродинамическим профилем, а Γ {\ displaystyle \ Гамма \,}\ Gamma \, - это циркуляция, определяемая как линейный интеграл

Γ = ∮ CV ⋅ ds = ∮ CV cos ⁡ θ ds {\ displaystyle \ Gamma = \ oint _ {C} V \ cdot d \ mathbf {s} = \ oint _ {C} V \ cos \ theta \; ds \,}\ Gamma = \ oint _ {{C}} V \ cdot d {\ mathbf {s}} = \ oint _ {{C}} V \ cos \ theta \; ds \,

вокруг замкнутого контура C {\ displaystyle C}C , заключенного в аэродинамического профиля и следовали в отрицательном (по часовой стрелке) направлении. Как поясняется ниже, этот путь должен находиться в области потенциального потока, а не в пограничном слое цилиндра. Подынтегральное выражение V cos ⁡ θ {\ displaystyle V \ cos \ theta \,}V \ cos \ theta \, - это составляющая локальной скорости жидкости в направлении, касательном к кривой C {\ displaystyle C \,}C \, и ds {\ displaystyle ds \,}DS \, - бесконечно малая длина кривой, C {\ displaystyle C \,}C \, . Уравнение (1)является формой теоремы Кутты – Жуковского.

Кюте и Шетцер формулируют теорему Кутта – Жуковского следующим образом:

Сила на единицу длины, действующая на правый цилиндр любого поперечного сечения, равна ρ ∞ V ∞ Γ {\ displaystyle \ rho _ {\ infty} V _ {\ infty} \ Gamma}{\ displaystyle \ rho _ {\ infty} V _ {\ infty} \ Gamma} и перпендикулярно направлению V ∞. {\ displaystyle V _ {\ infty}.}V _ {\ infty}.

Циркуляция и условие Кутты

Создавающий подъемную силу аэродинамический профиль либо имеет изгиб, либо действует при положительном угле атаки, угол между линией хорды и потоком жидкости далеко вверх по потоку от профиля. Кроме того, профиль должен иметь острую заднюю кромку.

Любая реальная жидкость вязкая, что означает, что скорость жидкости на профиле равна нулю. Прандтль показал, что для большого числа Рейнольдса, определяемого как R e = ρ V ∞ c A μ {\ displaystyle Re = {\ frac {\ rho V _ {\ infty} c_ {A}} { \ mu}} \,}Re = {\ frac {\ rho V _ {{\ infty}} c_ {A}} {\ mu}} \, и малом угле атаки, обтекание тонкого профиля состоит из узкой вязкой области, называемой пограничным слоем около тела и невязкий поток область снаружи. При применении теоремы Кутта-Жуковского петля должна выбираться вне этого пограничного слоя. (Например, циркуляция, рассчитанная с использованием контура, соответствующего поверхности аэродинамического профиля, будет равна нулю для вязкой жидкости.)

Требование острой задней кромки физически соответствует потоку, в котором жидкость движется по нижнему краю. и верхние поверхности аэродинамического профиля встречаются плавно, при этом жидкость не движется по задней кромке аэродинамического профиля. Это известно как условие Кутты.

Кутта и Жуковски показали, что для вычисления давления и подъемной силы тонкого профиля для потока при большом числе Рейнольдса и малом угле атаки поток может быть считается невязким во всей области за пределами профиля при условии выполнения условия Кутта. Это известно как теория потенциального потока и прекрасно работает на практике.

Вывод

Ниже представлены два вывода. Первый - это эвристический аргумент , основанный на физическом понимании. Второй - формальный и технический, требующий базового векторного анализа и комплексного анализа.

Эвристический аргумент

В качестве эвристического аргумента рассмотрим тонкий профиль с хордой . c {\ displaystyle c}c и бесконечный размах, движущийся в воздухе с плотностью ρ {\ displaystyle \ rho}\ rho . Пусть профиль будет наклонен к набегающему потоку, чтобы обеспечить скорость воздуха V {\ displaystyle V}V на одной стороне профиля и скорость воздуха V + v {\ displaystyle V + v}V + v с другой стороны. Тогда циркуляция

Γ = V c - (V + v) c = - v c. {\ displaystyle \ Gamma = Vc- (V + v) c = -vc. \,}\ Gamma = Vc- (V + v) c = - vc. \,

Разница в давлении Δ P {\ displaystyle \ Delta P}\ Delta P между двумя сторонами крылового профиля можно найти, применяя уравнение Бернулли :

ρ 2 (V) 2 + (P + Δ P) = ρ 2 (V + v) 2 + P, {\ displaystyle {\ frac {\ rho } {2}} (V) ^ {2} + (P + \ Delta P) = {\ frac {\ rho} {2}} (V + v) ^ {2} + P, \,}{\ frac {\ rho } {2}} (V) ^ {2} + (P + \ Delta P) = {\ frac {\ rho} {2}} (V + v) ^ {2} + P, \,
ρ 2 (V) 2 + Δ P = ρ 2 (V 2 + 2 V v + v 2), {\ displaystyle {\ frac {\ rho} {2}} (V) ^ {2} + \ Delta P = { \ frac {\ rho} {2}} (V ^ {2} + 2Vv + v ^ {2}), \,}{\ frac {\ rho} {2}} (V) ^ {2} + \ Delta P = {\ frac {\ rho} {2}} (V ^ {2} + 2Vv + v ^ {2}), \,
Δ P = ρ V v (без учета ρ 2 v 2), {\ displaystyle \ Дельта P = \ rho Vv \ qquad {\ text {(игнорируя}} {\ frac {\ rho} {2}} v ^ {2}), \,}\ Delta P = \ r ho Vv \ qquad {\ text {(игнорируя}} {\ frac {\ rho} {2}} v ^ {2}), \,

, поэтому подъемная сила на единицу пролета

L ′ = c Δ P = ρ V vc = - ρ V Γ. {\ displaystyle L '= c \ Delta P = \ rho Vvc = - \ rho V \ Gamma. \,}{\displaystyle L'=c\Delta P=\rho Vvc=-\rho V\Gamma.\,}

A дифференциальная версия этой теоремы применяется к каждому элементу пластины и является основой теория тонкого профиля.

Формальный вывод

Подъемная сила для более сложных ситуаций

Подъемная сила, предсказываемая теоремой Кутта-Жуковского в рамках теории невязкого потенциального потока, является довольно точной даже для реального вязкого потока, при условии, что поток устойчивый и неразделенный. При выводе теоремы Кутта – Жуковского использовалось предположение о безвихревом течении. Когда есть свободные вихри вне тела, как это может иметь место при большом количестве нестационарных течений, течение является вращательным. Когда поток вращательный, для получения подъемных сил следует использовать более сложные теории. Ниже приведены несколько важных примеров.

  1. Импульсный запуск потока при небольшом угле атаки . Для импульсивно запускаемого потока, например, полученного путем резкого ускорения аэродинамического профиля или установки угла атаки, существует вихревой слой, непрерывно сбрасываемый на задней кромке, а подъемная сила нестационарна или зависит от времени. Для начального потока с малым углом атаки вихревой слой следует по плоской траектории, и кривая коэффициента подъемной силы как функция времени задается функцией Вагнера. В этом случае начальная подъемная сила составляет половину конечной подъемной силы, определяемой формулой Кутты – Жуковски. Подъемная сила достигает 90% от своего значения в установившемся режиме, когда крыло прошло расстояние примерно в семь хорд.
  2. Импульсивно запущенный поток с большим углом атаки . Когда угол атаки достаточно велик, вихревой лист на задней кромке изначально имеет спиралевидную форму, а подъемная сила в начальный момент является сингулярной (бесконечно большой). Подъемная сила падает на очень короткий период времени, прежде чем будет достигнута обычно предполагаемая монотонно возрастающая подъемная кривая.
  3. Начальный поток при большом угле атаки для крыльев с острыми передними кромками . Если, как у плоской пластины, передняя кромка также острая, то вихри также исчезают на передней кромке, и роль вихрей передней кромки двукратна : (1) подъемная сила увеличивается, когда они еще близки к передней кромке. кромка, так что они поднимают кривую подъемной силы Вагнера; (2) они препятствуют подъемной силе, когда они конвектируются к задней кромке, вызывая новую вихревую спираль задней кромки, движущуюся в направлении уменьшения подъемной силы. Для этого типа потока карта вихревых силовых линий (VFL) может использоваться, чтобы понять влияние различных вихрей в различных ситуациях (включая большее количество ситуаций, чем начальный поток), и может использоваться для улучшения контроля вихрей для увеличения или уменьшения лифт. Карта линий вихревой силы - это двухмерная карта, на которой отображаются линии вихревой силы. Для вихря в любой точке потока его подъемная сила пропорциональна его скорости, его циркуляции и косинусу угла между линией тока и силовой линией вихря. Следовательно, карта силовых линий вихря ясно показывает, создает ли данный вихрь подъемную силу или подъемную силу отрицательно.
  4. Теорема Лагалли . Когда источник (массы) закреплен вне тела, поправка силы из-за этого источника может быть выражена как произведение силы внешнего источника и индуцированной скорости у этого источника по всем причинам, кроме этого источника. Это известно как теорема Лагалли. Для двумерного невязкого потока классическая теорема Кутты Жуковски предсказывает нулевое сопротивление. Однако, когда есть вихрь вне тела, возникает индуцированное вихрем сопротивление, аналогичное форме индуцированной подъемной силы.
  5. Обобщенная теорема Лагалли . Для свободных вихрей и других тел вне одного тела без связанной завихренности и без образования вихрей справедлива обобщенная теорема Лагалли, в которой силы выражаются как произведения силы внутренних сингулярностей (вихри изображения, источники и дублеты внутри каждого тела) и индуцированная скорость в этих сингулярностях по всем причинам, кроме тех, которые находятся внутри этого тела. Вклад каждой внутренней сингулярности суммируется, чтобы получить полную силу. Движение внешних сингулярностей также влияет на силы, и составляющая силы, обусловленная этим вкладом, пропорциональна скорости сингулярности.
  6. Индивидуальная сила каждого тела для многочастичного вращательного потока . Когда в дополнение к множеству свободных вихрей и множественных тел существуют связанные вихри и образование вихрей на поверхности тела, обобщенная теорема Лагалли все еще сохраняется, но сила, обусловленная образованием вихрей, существует. Эта производящая сила вихря пропорциональна скорости образования вихрей и расстоянию между парой вихрей в процессе производства. При таком подходе явная и алгебраическая формула силы, учитывающая все причины (внутренние особенности, внешние вихри и тела, движение всех сингулярностей и тел, а также образование вихрей) выполняется индивидуально для каждого тела с ролью других тел, представленных дополнительные особенности. Следовательно, возможно силовое разложение по телам.
  7. Обычное трехмерное вязкое течение . Для общих трехмерных вязких и нестационарных течений формулы сил выражаются в интегральных формах. Объемное интегрирование определенных величин потока, таких как моменты завихренности, связано с силами. Теперь доступны различные формы интегрального подхода для неограниченной области и для искусственно усеченной области. Теорема Кутты Жуковски может быть восстановлена ​​из этих подходов при применении к двумерному профилю и когда поток является устойчивым и неотделимым.
  8. Теория подъемных линий для крыльев, вихрей на концах крыльев и индуцированного сопротивления . Крыло имеет конечный размах, и циркуляция в любой секции крыла изменяется в зависимости от направления размаха. Это изменение компенсируется высвобождением продольных вихрей, называемых замыкающими вихрями, из-за сохранения завихренности или теоремы Кельвина о сохранении циркуляции. Эти продольные вихри сливаются в две вращающиеся в противоположных направлениях сильные спирали, разделенные расстоянием, близким к размаху крыльев, и их ядра могут быть видны при высокой относительной влажности. Рассмотрение отстающих вихрей как серии полубесконечных прямых вихрей приводит к хорошо известной теории подъемных линий. Согласно этой теории, крыло имеет подъемную силу, меньшую, чем предсказывается чисто двумерной теорией с использованием теоремы Кутты – Жуковского. Это происходит из-за влияния восходящих вихрей, добавляемых вниз по потоку, на угол атаки крыла. Это уменьшает эффективный угол атаки крыла, уменьшая подъемную силу, создаваемую при заданном угле атаки, и требует большего угла атаки для восстановления этой потерянной подъемной силы. С этим новым более высоким углом атаки сопротивление также увеличилось. Индуцированное сопротивление эффективно уменьшает наклон кривой подъемной силы двумерного аэродинамического профиля и увеличивает угол атаки CL max {\ displaystyle C_ {L_ {max}}}{\ Displaystyle C_ {L_ {max}}} (одновременно уменьшая значение CL max {\ displaystyle C_ {L_ {max}}}{\ Displaystyle C_ {L_ {max}}} ).

См. также

Ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-26 03:54:40
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте