Оператор звезды Ходжа

редактировать

инволютивная карта на внешних алгебрах

В математике звезда Ходжа оператор или звезда Ходжа - это линейное отображение, определенное на внешней алгебре конечномерного ориентированного вектора пространство наделено невырожденной симметричной билинейной формой. Применение оператора к элементу алгебры дает двойственный элемент Ходжа . Эта карта была представлена У. В.Д. Ходж.

Например, в ориентированном трехмерном евклидовом пространстве ориентированная плоскость может быть представлена внешним произведением двух базисных векторов, а ее двойственный по Ходжу - нормальный вектор , полученное их перекрестным произведением ; наоборот, любой вектор двойственен перпендикулярной ему ориентированной плоскости, наделенной подходящим бивектором. Обобщая это на n-мерное векторное пространство, звезда Ходжа представляет собой взаимно однозначное отображение k-векторов в (n - k) -векторы; размеры этих пространств равны биномиальным коэффициентам $(nk) = (nn - k) {\ displaystyle {\ tbinom {n} {k}} = {\ tbinom {n} {nk} }}$ ${\tbinom {n}{k}}={\tbinom {n}{n-k}}$ .

естественность оператора звезды означает, что он может играть роль в дифференциальной геометрии, когда применяется к котангенсу расслоению псевдориманова многообразия и, следовательно, в дифференциальные k-формы. Это позволяет определить кодифференциал как сопряжение Ходжа к внешней производной, что приводит к оператору Лапласа – де Рама. Это обобщает случай трехмерного евклидова пространства, в котором дивергенция векторного поля может быть реализована как кодифференциал, противоположный оператору градиента, и оператору Лапласа на функции - это дивергенция ее градиента. Важным приложением является разложение Ходжа дифференциальных форм на замкнутом римановом многообразии.

Содержание

1 Формальное определение k-векторов
2 Геометрическое объяснение
3 Примеры
- 3.1 Два измерения
- 3.2 Три измерения
- 3.3 Четыре измерения
- 3.4 Пример: производные в трех измерениях
4 Двойственность
5 На многообразиях
- 5.1 Вычисление в индексной нотации
- 5.2 Кодифференциальное
6 Примечания
7 Ссылки

Формальное определение k-векторов

Пусть V будет n-мерным векторным пространством с невырожденной симметричной билинейной формой $⟨⋅, ⋅⟩ {\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$ $\langle \cdot,\cdot \rangle$ , называемый здесь внутренним продуктом. Это индуцирует внутренний продукт на k- векторах $α, β ∈ ⋀ K V {\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in {\ textstyle \ bigwedge} ^ {\ ! k} V}$ $\alpha,\beta \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}V$ , для $0 ≤ k ≤ n {\ displaystyle 0 \ leq k \ leq n}$ $0\leq k\leq n$ , определяя его на разложимых k-векторах $α знак равно α 1 ∧ ⋯ ∧ α К {\ Displaystyle \ альфа = \ альфа _ {1} \ клин \ cdots \ клин \ альфа _ {k}}$ $\alpha =\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}$ и $β = β 1 ∧ ⋯ ∧ β К {\ displaystyle \ beta = \ beta _ {1} \ wedge \ cdots \ wedge \ beta _ {k}}$ $\beta =\beta _{1}\wedge \cdots \wedge \beta _{k}$ , чтобы равняться определителю Грама

⟨α, β⟩ знак равно Det (⟨α я, β J⟩) я, J знак равно 1 К {\ Displaystyle \ langle \ альфа, \ бета \ rangle = \ det (\ left \ langle \ alpha _ {i}, \ beta _ {j} \ right \ rangle) _ {i, j = 1} ^ {k}}

\langle \alpha,\beta \rangle =\det(\left\langle \alpha _{i},\beta _{j}\right\rangle)_{i,j=1}^{k}

расширен до $⋀ k V {\ displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} ^ {\! k} V}$ ${\textstyle \bigwedge }^{\!k}V$ за счет линейности.

Единица n-вектор $ω ∈ ⋀ n V {\ displaystyle \ omega \ in {\ textstyle \ bigwedge} ^ {\! N} V}$ $\omega \in {\textstyle \bigwedge }^{\!n}V$ определяется в терминах ориентированного ортонормированного базиса ${e 1,…, en} {\ displaystyle \ {e_ {1}, \ ldots, e_ {n} \}}$ $\{e_{1},\ldots,e_{n}\}$ of V как:

ω: = e 1 ∧ ⋯ ∧ en. {\ displaystyle \ omega \: = \ e_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge e_ {n}.}

\omega \ :=\ e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n}.

звездный оператор Ходжа - это линейный оператор на внешней алгебре из V, отображение k-векторов в (n - k) -векторы для $0 ≤ k ≤ n {\ displaystyle 0 \ leq k \ leq n}$ $0\leq k\leq n$ . Он имеет следующее свойство, которое полностью его определяет:

α ∧ (⋆ β) = ⟨α, β⟩ ω {\ displaystyle \ alpha \ wedge ({\ star} \ beta) = \ langle \ alpha, \ beta \ rangle \, \ omega}

\alpha \wedge ({\star }\beta)=\langle \alpha,\beta \rangle \,\omega

для любой пары k-векторов

α, β ∈ ⋀ k V. {\ Displaystyle \ альфа, \ бета \ in {\ textstyle \ bigwedge} ^ {\! k} V.}

\alpha,\beta \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}V.

Дважды, в пространстве $⋀ n V ∗ {\ displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} ^ {\! n} V ^ {*}}$ ${\textstyle \bigwedge }^{\!n}V^{*}$ n-форм (чередующиеся n-полилинейные функции на $V n {\ displaystyle V ^ {n}}$ $V^{n}$ ), двойственное к $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ - это форма объема $det {\ displaystyle \ det}$ $\det$ , функция, значение которой на $v 1 ∧ ⋯ ∧ vn {\ displaystyle v_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge v_ {n}}$ $v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}$ - это определитель $n × n {\ displaystyle n \ times n}$ $n\times n$ матрица, собранная из векторов-столбцов $vi {\ displaystyle v_ {i}}$ $v_{i}$ в $ei {\ displaystyle e_ { i}}$ $e_{i}$ -координаты.

Применяя $det {\ displaystyle \ det}$ $\det$ к приведенному выше уравнению, мы получаем двойное определение:

det (α ∧ ⋆ β) = ⟨α, β⟩. {\ displaystyle \ det (\ alpha \ wedge {\ star} \ beta) = \ langle \ alpha, \ beta \ rangle.}

\det(\alpha \wedge {\star }\beta)=\langle \alpha,\beta \rangle.

или эквивалентно, беря $α = α 1 ∧ ⋯ ∧ α k {\ displaystyle \ alpha = \ alpha _ {1} \ wedge \ cdots \ wedge \ alpha _ {k}}$ $\alpha =\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}$ , $β = β 1 ∧ ⋯ ∧ β k {\ displaystyle \ beta = \ beta _ {1} \ wedge \ cdots \ клин \ beta _ {k}}$ $\beta =\beta _{1}\wedge \cdots \wedge \beta _{k}$ и $⋆ β = β 1 ⋆ ∧ ⋯ ∧ β N - k ⋆ {\ displaystyle \ star \ beta = \ beta _ {1} ^ {\ star} \ wedge \ cdots \ wedge \ beta _ {nk} ^ {\ star}}$ $\star \beta =\beta _{1}^{\star }\wedge \cdots \wedge \beta _{n-k}^{\star }$ :

det (α 1 ∧ ⋯ ∧ α k ∧ β 1 ⋆ ∧ ⋯ β n - k ⋆) = det ( ⟨Α i, β j⟩). {\ displaystyle \ det (\ alpha _ {1} \ wedge \ cdots \ wedge \ alpha _ {k} \ wedge \ beta _ {1} ^ {\ star} \ wedge \ cdots \ wedge \ beta _ {nk} ^ {\ star}) \ = \ \ det (\ langle \ alpha _ {i}, \ beta _ {j} \ rangle).}

\det(\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}\wedge \beta _{1}^{\star }\wedge \cdots \wedge \beta _{n-k}^{\star })\ =\ \det(\langle \alpha _{i},\beta _{j}\rangle).

Это означает, что запись ортонормированного базиса k-векторов как $e I = ei 1 ∧ ⋯ ∧ eik {\ displaystyle e_ {I} \ = \ e_ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge e_ {i_ {k}}}$ $e_{I}\ =\ e_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}$ по всем подмножествам $I = {i 1 < ⋯ < i k } {\displaystyle I=\{i_{1}<\cdots$ $I=\{i_{1}<\cdots <i_{k}\}$ из $[n] = {1,…, n} {\ displaystyle [n] = \ {1, \ ldots, n \}}$ $[n]=\{1,\ldots,n\}$ , двойственным по Ходжу является (n - k) -вектор, соответствующий дополнительному множеству $I ¯ = [n] ∖ I = {i ¯ 1 < ⋯ < i ¯ n − k } {\displaystyle {\bar {I}}=[n]\setminus I=\{{\bar {i}}_{1}<\cdots <{\bar {i}}_{n-k}\}}$ ${\bar {I}}=[n]\setminus I=\{{\bar {i}}_{1}<\cdots <{\bar {i}}_{n-k}\}$ :

⋆ e ​​I = (- 1) σ (I) е Я ¯, {\ displaystyle {\ star} e_ {I} = (- 1) ^ {\ sigma (I)} e _ {\ bar {I}},}

{\star }e_{I}=(-1)^{\sigma (I)}e_{\bar {I}},

где $(- 1) σ (I) {\ displaystyle (-1) ^ {\ sigma (I)}}$ $(-1)^{\sigma (I)}$ - знак перестановки $σ (I) = i 1 ⋯ iki ¯ 1 ⋯ я ¯ N - К {\ Displaystyle \ sigma (I) = i_ {1} \ cdots i_ {k} {\ bar {i}} _ {1} \ cdots {\ bar {i}} _ {nk }}$ $\sigma (I)=i_{1}\cdots i_{k}{\bar {i}}_{1}\cdots {\bar {i}}_{n-k}$ .

Поскольку звезда Ходжа переводит ортонормированный базис в ортонормированный базис, она s и изометрия на внешней алгебре $⋀ V {\ displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} V}$ ${\textstyle \bigwedge }V$ .

Геометрическое объяснение

Звезда Ходжа мотивирована соответствием между подпространство W в V и его ортогональное подпространство (относительно внутреннего продукта), где каждое пространство наделено ориентацией , и числовым масштабным коэффициентом. В частности, ненулевой разложимый k-вектор $w 1 ∧ ⋯ ∧ wk ∈ ⋀ k V {\ displaystyle w_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge w_ {k} \ in \ textstyle \ bigwedge ^ {\! k} V}$ $w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}\in \textstyle \bigwedge ^{\!k}V$ соответствует вложению Плюккера подпространству $W {\ displaystyle W}$ $W$ с ориентированным базисом $w 1,…, wk {\ displaystyle w_ {1}, \ ldots, w_ {k}}$ $w_{1},\ldots,w_{k}$ , с коэффициентом масштабирования, равным k-мерному объему параллелепипеда, натянутому на этот базис (равному Грамиан, определитель матрицы скалярных произведений $⟨wi, wj⟩ {\ displaystyle \ langle w_ {i}, w_ {j} \ rangle}$ $\langle w_{i},w_{j}\rangle$ ). Звезду Ходжа, действующую на разложимый вектор, можно записать как разложимый (n - k) -вектор:

⋆ (w 1 ∧ ⋯ ∧ wk) = u 1 ∧ ⋯ ∧ un - k, {\ displaystyle \ star ( w_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge w_ {k}) \, = \, u_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge u_ {nk},}

\star (w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k})\,=\,u_{1}\wedge \cdots \wedge u_{n-k},

где $u 1,…, un - k {\ displaystyle u_ {1}, \ ldots, u_ {nk}}$ $u_{1},\ldots,u_{n-k}$ образуют ориентированный базис ортогонального пространства $U = W ⊥ {\ displaystyle U = W ^ {\ perp} \!}$ $U=W^{\perp }\!$ . Кроме того, (n - k) -объем параллелепипеда $ui {\ displaystyle u_ {i}}$ $u_{i}$ должен равняться k-объему $wi {\ displaystyle w_ {i }}$ $w_{i}$ -параллелепипед и $w 1,…, wk, u 1,…, un - k {\ displaystyle w_ {1}, \ ldots, w_ {k}, u_ {1}, \ ldots, u_ {nk}}$ $w_{1},\ldots,w_{k},u_{1},\ldots,u_{n-k}$ должны образовывать ориентированный базис V.

Общий k-вектор - это линейная комбинация разложимых k-векторов, и определение Ходжа star расширяется до общих k-векторов, определяя ее как линейную.

Примеры

Два измерения

В двух измерениях с нормализованной евклидовой метрикой и ориентацией, заданной порядком (x, y), дается звезда Ходжа на k-формах по

⋆ 1 = dx ∧ dy {\ displaystyle {\ star} \, 1 = dx \ wedge dy}

{\star }\,1=dx\wedge dy

⋆ dx = dy {\ displaystyle {\ star} \, dx = dy}

{\star }\,dx=dy

⋆ dy = - dx {\ displaystyle {\ star} \, dy = -dx}

{\star }\,dy=-dx

⋆ (dx ∧ dy) = 1. {\ displaystyle {\ star} (dx \ wedge dy) = 1.}

{\star }(dx\wedge dy)=1.

На комплексной плоскости, рассматриваемой как вещественное векторное пространство со стандартной полуторалинейной формой в качестве метрики, звезда Ходжа обладает замечательным свойством, состоящим в том, что она инвариантна относительно голоморфных изменений координаты. Если z = x + iy - голоморфная функция от w = u + iv, то по уравнениям Коши – Римана имеем ∂x / ∂u = ∂y / ∂v и ∂y / ∂u = –∂x / ∂v. В новых координатах

α = pdx + qdy = (p ∂ x ∂ u + q ∂ y ∂ u) du + (p ∂ x ∂ v + q ∂ y ∂ v) dv = p 1 du + q 1 dv, {\ Displaystyle \ альфа \ = \ p \, dx + q \, dy \ = \ \ left (p {\ frac {\ partial x} {\ partial u}} + q {\ frac {\ partial y} { \ partial u}} \ right) \, du + \ left (p {\ frac {\ partial x} {\ partial v}} + q {\ frac {\ partial y} {\ partial v}} \ right) \, dv \ = \ p_ {1} du + q_ {1} \, dv,}

\alpha \ =\ p\,dx+q\,dy\ =\ \left(p{\frac {\partial x}{\partial u}}+q{\frac {\partial y}{\partial u}}\right)\,du+\left(p{\frac {\partial x}{\partial v}}+q{\frac {\partial y}{\partial v}}\right)\,dv\ =\ p_{1}du+q_{1}\,dv,

так, что

⋆ α = - q 1 du + p 1 dv = - (p ∂ x ∂ v + q ∂ y ∂ v) du + (p ∂ x ∂ u + q ∂ y ∂ u) dv = - q (∂ x ∂ udu + ∂ x ∂ vdv) + p (∂ y ∂ udu + ∂ y ∂ vdv) = - qdx + pdy, {\ displaystyle {\ begin {align} {\ star} \ alpha = -q_ {1} \, du + p_ {1} \, dv = - \ left (p {\ frac {\ partial x} {\ partial v}} + q {\ frac {\ partial y} {\ partial v}} \ right) du + \ left (p {\ frac {\ partial x} {\ partial u}} + q {\ frac {\ partial y} {\ partial u}} \ right) dv \\ [4pt] = - q \ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial u}} du + {\ frac {\ partial x} {\ partial v}} dv \ right) + p \ left ({\ frac {\ partial y} {\ partial u}} du + {\ frac {\ partial y} {\ partial v}} dv \ right) \\ [4pt] = - q \, dx + p \, dy, \ end {align}}}

{\begin{aligned}{\star }\alpha =-q_{1}\,du+p_{1}\,dv=-\left(p{\frac {\partial x}{\partial v}}+q{\frac {\partial y}{\partial v}}\right)du+\left(p{\frac {\partial x}{\partial u}}+q{\frac {\partial y}{\partial u}}\right)dv\\[4pt]=-q\left({\frac {\partial x}{\partial u}}du+{\frac {\partial x}{\partial v}}dv\right)+p\left({\frac {\partial y}{\partial u}}du+{\frac {\partial y}{\partial v}}dv\right)\\[4pt]=-q\,dx+p\,dy,\end{aligned}}

доказывает заявленную инвариантность.

Три измерения

Типичным примером звездного оператора Ходжа является случай n = 3, когда его можно рассматривать как соответствие между векторами и бивекторами. В частности, для евклидова Rс базисом $dx, dy, dz {\ displaystyle dx, dy, dz}$ $dx,dy,dz$ из одной формы, часто используемой в векторное исчисление, получается, что

⋆ dx = dy ∧ dz ⋆ dy = dz ∧ dx ⋆ dz = dx ∧ dy. {\ displaystyle {\ begin {align} {\ star} \, dx = dy \ wedge dz \\ {\ star} \, dy = dz \ wedge dx \\ {\ star} \, dz = dx \ wedge dy. \ end {align}}}

{\begin{aligned}{\star }\,dx=dy\wedge dz\\{\star }\,dy=dz\wedge dx\\{\star }\,dz=dx\wedge dy.\end{aligned}}

Звезда Ходжа связывает внешний вид и перекрестное произведение в трех измерениях:

$⋆ (u ∧ v) = u × v ⋆ (u × v) = u ∧ v. {\ displaystyle {\ star} (\ mathbf {u} \ wedge \ mathbf {v}) = \ mathbf {u} \ times \ mathbf {v} \ qquad {\ star} (\ mathbf {u} \ times \ mathbf {v}) = \ mathbf {u} \ wedge \ mathbf {v}.}$ ${\star }(\mathbf {u} \wedge \mathbf {v})=\mathbf {u} \times \mathbf {v} \qquad {\star }(\mathbf {u} \times \mathbf {v})=\mathbf {u} \wedge \mathbf {v}.$

В применении к трём измерениям звезда Ходжа обеспечивает изоморфизм между аксиальными векторами и бивектор, поэтому каждый аксиальный вектор a связан с бивектором A и наоборот, то есть: $A = ⋆ a, a = ⋆ A { \ Displaystyle \ mathbf {A} = {\ star} \ mathbf {a}, \ \ \ mathbf {a} = {\ star} \ mathbf {A}}$ $\mathbf {A} ={\star }\mathbf {a},\ \ \mathbf {a} ={\star }\mathbf {A}$ . Звезду Ходжа также можно интерпретировать как форму геометрического соответствия между осью и бесконечно малым вращением вокруг оси со скоростью, равной длине вектора оси. Внутренний продукт в векторном пространстве $V {\ displaystyle V}$ $V$ дает изоморфизм $V ≅ V ∗ {\ displaystyle V \ cong V ^ {*} \ !}$ $V\cong V^{*}\!$ идентифицирующий $V {\ displaystyle V}$ $V$ с его двойным пространством и пространством всех линейных операторов $L: V → V {\ displaystyle L: V \ to V}$ $L:V\to V$ естественно изоморфен тензорному произведению $V ∗ ⊗ V ≅ V ⊗ V {\ displaystyle V ^ {*} \! \! \ время V \ cong V \ время V}$ ${\displayst yle V^{*}\!\!\otimes V\cong V\otimes V}$ . Таким образом, для $V = R 3 {\ displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {3}}$ $V=\mathbb {R} ^{3}$ звездное отображение $⋆: V → ⋀ 2 V ⊂ V ⊗ V {\ displaystyle \ textstyle \ star: V \ to \ bigwedge ^ {\! 2} \! V \ subset V \ otimes V}$ $\textstyle \star :V\to \bigwedge ^{\!2}\!V\subset V\otimes V$ принимает каждый вектор $v {\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\mathbf {v}$ в бивектор $⋆ v ∈ V ⊗ V {\ displaystyle \ star \ mathbf {v} \ in V \ otimes V}$ $\star \mathbf {v} \in V\otimes V$ , что соответствует линейному оператору $L v: V → V {\ displaystyle L _ {\ mathbf {v}}: V \ to V}$ $L_{\mathbf {v} }:V\to V$ . В частности, $L v {\ displaystyle L _ {\ mathbf {v}}}$ $L_{\mathbf {v} }$ - это кососимметричный оператор, который соответствует бесконечно малому вращению : то есть макроскопические повороты вокруг оси $v {\ displaystyle \ mathbb {v}}$ $\mathbb {v}$ задаются экспоненциальной матрицей $exp ⁡ (t L v) {\ Displaystyle \ ехр (tL _ {\ mathbf {v}})}$ $\exp(tL_{\mathbf {v} })$ . Относительно основы $dx, dy, dz {\ displaystyle dx, dy, dz}$ $dx,dy,dz$ из $R 3 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\mathbb {R} ^{3}$ , тензор $dx ⊗ dy {\ displaystyle dx \ otimes dy}$ $dx\otimes dy$ соответствует матрице координат с 1 в $dx {\ displaystyle dx}$ $dx$ строка и $dy {\ displaystyle dy}$ $dy$ столбец и т. д., а также клин $dx ∧ dy = dx ⊗ dy - dy ⊗ dx {\ displaystyle dx \ wedge dy \, = \, dx \ otimes dy-dy \ otimes dx}$ $dx\wedge dy\,=\,dx\otimes dy-dy\otimes dx$ - это кососимметричная матрица $[0 1 0 - 1 0 0 0 0 0] {\ displaystyle \ scriptscriptstyle \ left [{\ begin { array} {rrr} \, 0 \! \! \! \! 1 \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \\ [-. 5em] \, \! -1 \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \\ [-. 5em] \, 0 \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \ End {array}} \! \! \! \ Right]}$ $\scriptscriptstyle \left[{\begin{array}{rrr}\,0\!\!\!\!1\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\\[-.5em]\,\!-1\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\\[-.5em]\,0\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\end{array}}\!\!\!\right]$ и т. Д. То есть мы можем интерпретировать звездообразный оператор как:

$v = adx + bdy + cdz ⟶ ⋆ v ≅ L v = [0 c - b - c 0 ab - a 0]. {\ displaystyle \ mathbf {v} = a \, dx + b \, dy + c \, dz \ quad \ longrightarrow \ quad \ star {\ mathbf {v}} \ \ cong \ L _ {\ mathbf {v}} \ = \ left [{\ begin {array} {rrr} 0 c -b \\ - c 0 a \\ b -a 0 \ end {array}} \ right].}$ $\mathbf {v} =a\,dx+b\,dy+c\,dz\quad \longrightarrow \quad \star {\mathbf {v} }\ \cong \ L_{\mathbf {v} }\ =\left[{\begin{array}{rrr}0c-b\\-c0a\\b-a0\end{array}}\right].$

Согласно этому соответствию, векторное произведение векторов соответствует коммутатор скобка Ли линейных операторов: $L u × v = L u L v - L v L u {\ displaystyle L _ {\ mathbf {u} \ times \ mathbf {v}} = L _ {\ mathbf {u}} L _ {\ mathbf {v}} -L _ {\ mathbf {v}} L _ {\ mathbf {u}}}$ $L_{\mathbf {u} \times \mathbf {v} }=L_{\mathbf {u} }L_{\mathbf {v} }-L_{\mathbf {v} }L_{\mathbf {u} }$ .

Четыре измерения

В случае n = 4, звезда Ходжа действует как эндоморфизм второй внешней степени (т.е. она отображает 2-формы в 2-формы, поскольку 4 - 2 = 2). Если сигнатура метрического тензора полностью положительна, т.е. на римановом многообразии, то звезда Ходжа является инволюцией ; если подпись смешанная, то приложение дважды вернет аргумент до знака - см. § Двойственность ниже. Например, в пространстве-времени Минковского, где n = 4 с метрической сигнатурой (+ - - -) и координатами (t, x, y, z), где (используя $ε 0123 = 1 {\ displaystyle \ varepsilon _ {0123} = 1}$ $\varepsilon _{0123}=1$ ):

⋆ dt = dx ∧ dy ∧ dz ⋆ dx = dt ∧ dy ∧ dz ⋆ dy = - dt ∧ dx ∧ dz ⋆ dz = dt ∧ dx ∧ dy {\ displaystyle { \ begin {align} \ star dt = dx \ wedge dy \ wedge dz \\\ star dx = dt \ wedge dy \ wedge dz \\\ star dy = - dt \ wedge dx \ wedge dz \\\ star dz = dt \ wedge dx \ wedge dy \ end {align}}}

{\begin{aligned}\star dt=dx\wedge dy\wedge dz\\\star dx=dt\wedge dy\wedge dz\\\star dy=-dt\wedge dx\wedge dz\\\star dz=dt\wedge dx\wedge dy\end{aligned}}

для одной формы, а

⋆ (dt ∧ dx) = - dy ∧ dz ⋆ (dt ∧ dy) = dx ∧ dz ⋆ (dt ∧ dz) = - dx ∧ dy ⋆ (dx ∧ dy) = dt ∧ dz ⋆ (dx ∧ dz) = - dt ∧ dy ⋆ (dy ∧ dz) = dt ∧ dx {\ displaystyle {\ begin { выровнено} \ star (dt \ wedge dx) = - dy \ wedge dz \\\ star (dt \ wedge dy) = dx \ wedge dz \\\ star (dt \ wedge dz) = - dx \ wedge dy \\\ звезда (dx \ wedge dy) = dt \ wedge dz \\\ star (dx \ wedge dz) = - dt \ wedge dy \\\ star (dy \ wedge dz) = dt \ wedge dx \ конец {выровнен}}}

{\begin{aligned}\star (dt\wedge dx)=-dy\wedge dz\\\star (dt\wedge dy)=dx\wedge dz\\\star (dt\wedge dz)=-dx\wedge dy\\\star (dx\wedge dy)=dt\wedge dz\\\star (dx\wedge dz)=-dt\wedge dy\\\star (dy\wedge dz)=dt\wedge dx\end{aligned}}

для 2-форм. Поскольку их детерминанты одинаковы в (+ - - -) и (- + + +), знаки двойственных 2-форм пространства Минковского зависят только от выбранной ориентации.

Простое правило для запоминания для вышеупомянутых операций Ходжа имеет форму $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\alpha$ , его двойственный ход $⋆ α {\ displaystyle {\ star} \ alpha}$ ${\star }\alpha$ можно получить, записав компоненты, не участвующие в $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\alpha$ , в таком порядке, что $α ∧ (⋆ α) = dt ∧ dx ∧ dy ∧ dz { \ Displaystyle \ альфа \ клин (\ звезда \ альфа) = dt \ клин dx \ клин dy \ клин dz}$ $\alpha \wedge (\star \alpha)=dt\wedge dx\wedge dy\wedge dz$ . Дополнительный знак минус вводится, только если $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\alpha$ не содержит $d t {\ displaystyle dt}$ $dt$ . (Последнее соглашение проистекает из выбора (+ - - -) для метрической подписи. Для (- + + +) знак минус ставится, только если $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\alpha$ включает $dt {\ displaystyle dt}$ $dt$ .)

Пример: производные в трех измерениях

Сочетание $⋆ {\ displaystyle \ star }$ $\star$ и внешняя производная d генерируют классические операторы grad, curl и div на векторные поля в трехмерном евклидовом пространстве. Это работает следующим образом: d принимает 0-форму (функцию) в 1-форму, 1-форму в 2-форму и 2-форму в 3-форму (и принимает 3-форму для нуль). Для 0-формы $f = f (x, y, z) {\ displaystyle f = f (x, y, z)}$ $f=f(x,y,z)$ первый регистр, записанный в компонентах, дает:

df = ∂ f ∂ xdx + ∂ f ∂ ydy + ∂ f ∂ zdz. {\ displaystyle df = {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} \, dx + {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} \, dy + {\ frac {\ partial f} {\ partial z}} \, dz.}

df={\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,dy+{\frac {\partial f}{\partial z}}\,dz.

Внутренний продукт идентифицирует 1-формы с векторными полями как $dx ↦ (1, 0, 0) {\ displaystyle dx \ mapsto (1,0, 0)}$ $dx\mapsto (1,0,0)$ и т. Д., Так что $df {\ displaystyle df}$ $df$ становится $gradf = (∂ f ∂ x, ∂ f ∂ y, ∂ f ∂ Z) {\ Displaystyle \ mathrm {grad} \, е = ({\ tfrac {\ partial f} {\ partial x}}, {\ tfrac {\ partial f} {\ partial y}}, {\ tfrac { \ partial f} {\ partial z}})}$ $\mathrm {grad} \,f=({\tfrac {\partial f}{\partial x}},{\tfrac {\partial f}{\partial y}},{\tfrac {\partial f}{\partial z}})$ .

Во втором случае векторное поле $F = (A, B, C) {\ displaystyle \ mathbf {F} = (A, B, C)}$ $\mathbf {F} =(A,B,C)$ соответствует 1-форме $φ = A dx + B dy + C dz {\ displaystyle \ varphi = A \, dx + B \, dy + C \, dz}$ $\varphi =A\,dx+B\,dy+C\,dz$ , имеющий внешнюю производную:

d φ = (∂ C ∂ y - ∂ B ∂ z) dy ∧ dz + (∂ C ∂ x - ∂ A ∂ z) dx ∧ dz + (∂ B ∂ x - ∂ A ∂ y) dx ∧ dy. {\ displaystyle d \ varphi = \ left ({\ partial C \ over \ partial y} - {\ partial B \ over \ partial z} \ right) dy \ wedge dz + \ left ({\ partial C \ over \ partial x } - {\ partial A \ over \ partial z} \ right) dx \ wedge dz + \ left ({\ partial B \ over \ partial x} - {\ partial A \ over \ partial y} \ right) dx \ wedge dy.}

d\varphi =\left({\partial C \over \partial y}-{\partial B \over \partial z}\right)dy\wedge dz+\left({\partial C \over \partial x}-{\partial A \over \partial z}\right)dx\wedge dz+\left({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial y}\right)dx\wedge dy.

Применение звезды Ходжа дает 1-форму:

⋆ d φ = (∂ C ∂ y - ∂ B ∂ z) dx - (∂ C ∂ x - ∂ A ∂ z) dy + (∂ B ∂ Икс - ∂ A ∂ Y) dz, {\ displaystyle \ star d \ varphi = \ left ({\ partial C \ over \ partial y} - {\ partial B \ over \ partial z} \ right) \, dx - \ left ({\ partial C \ over \ partial x} - {\ partial A \ over \ partial z} \ right) \, dy + \ left ({\ partial B \ over \ partial x} - {\ partial A \ over \ partial y} \ right) \, dz,}

\star d\varphi =\left({\partial C \over \partial y}-{\partial B \over \partial z}\right)\,dx-\left({\partial C \over \partial x}-{\partial A \over \partial z}\right)\,dy+\left({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial y}\right)\,dz,

который становится векторным полем $curl F = (∂ C ∂ y - ∂ B ∂ z, - ∂ C ∂ x + ∂ A ∂ z, ∂ В ∂ Икс - ∂ A ∂ Y) {\ Displaystyle \ mathrm {curl} \, \ mathbf {F} = ({\ tfrac {\ partial C} {\ partial y}} - {\ tfrac {\ partial B} { \ partial z}}, \, - {\ tfrac {\ partial C} {\ partial x}} + {\ tfrac {\ partial A} {\ partial z}}, \, {\ tfrac { \ partial B} {\ partial x}} - {\ tfrac {\ partial A} {\ partial y}})}$ $\mathrm {curl} \,\mathbf {F} =({\tfrac {\partial C}{\partial y}}-{\tfrac {\partial B}{\partial z}},\,-{\tfrac {\partial C}{\partial x}}+{\tfrac {\partial A}{\partial z}},\,{\tfrac {\partial B}{\partial x}}-{\tfrac {\partial A}{\partial y}})$ .

В третьем случае $F = (A, B, C) {\ displaystyle \ mathbf {F} = (A, B, C)}$ $\mathbf {F} =(A,B,C)$ снова соответствует $φ = A dx + B dy + C dz {\ displaystyle \ varphi = A \, dx + B \, dy + C \, dz}$ $\varphi =A\,dx+B\,dy+C\,dz$ . Снова применяя звезду Ходжа, внешнюю производную и звезду Ходжа:

⋆ φ = A dy ∧ dz - B dx ∧ dz + C dx ∧ dy, d ⋆ φ = (∂ A ∂ x + ∂ B ∂ y + ∂ C ∂ z) dx ∧ dy ∧ dz, ⋆ d ⋆ φ = ∂ A ∂ x + ∂ B ∂ y + ∂ C ∂ z = div F. {\ displaystyle {\ begin {align} \ star \ varphi = A \, dy \ wedge dz-B \, dx \ wedge dz + C \, dx \ wedge dy, \\ d {\ star \ varphi} = \ left ({\ frac {\ partial A} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial B} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial C} {\ partial z}} \ right) dx \ wedge dy \ wedge dz, \\\ star d {\ star \ varphi} = {\ frac {\ partial A} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial B} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial C} {\ partial z}} = \ mathrm {div} \, \ mathbf {F}. \ end {align}}}

{\begin{aligned}\star \varphi =A\,dy\wedge dz-B\,dx\wedge dz+C\,dx\wedge dy,\\d{\star \varphi }=\left({\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}\right)dx\wedge dy\wedge dz,\\\star d{\star \varphi }={\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}=\mathrm {div} \,\mathbf {F}.\end{aligned}}

Одним из преимуществ этого выражения является то, что тождество d = 0, что верно во всех случаях, суммирует два других, а именно, что curl grad f = 0 и div curl F = 0. В частности, уравнения Максвелла принимают особенно простой и элегантная форма, если выразить через внешнюю производную и звезду Ходжа. Выражение $⋆ d ⋆ {\ displaystyle \ star d \ star}$ $\star d\star$ называется кодифференциальным; он определяется в общих чертах для любого измерения далее в статье ниже.

Можно также получить лапласиан Δ f = div grad f в терминах вышеуказанных операций:

Δ f = ⋆ d ⋆ df = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 е ∂ у 2 + ∂ 2 е ∂ z 2. {\ displaystyle \ Delta f = \ star d {\ star df} = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} f } {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial z ^ {2}}}.}

\Delta f=\star d{\star df}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.

Лапласиан также можно рассматривать как частный случай более общий оператор Лапласа – деРама $Δ = d δ + δ d {\ displaystyle \ Delta = d \ delta + \ delta d}$ $\Delta=d\delta+\delta d$ где $δ = ( - 1) k ⋆ d ⋆ {\ displaystyle \ delta = (- 1) ^ {k} \ star d \ star}$ $\delta =(-1)^{k}\star d\star$ - кодифференциал для $k {\ displaystyle k}$ $k$ -форм. Любая функция $f {\ displaystyle f}$ $f$ является 0-формой, а $δ f = 0 {\ displaystyle \ delta f = 0}$ $\delta f=0$ , поэтому это уменьшает к обычному лапласиану. Для 1-формы $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\varphi$ выше кодифференциал равен $δ = - ⋆ d ⋆ {\ displaystyle \ delta = - \ star d \ star}$ $\delta =-\star d\star$ и после некоторого затыкания и пыхтения получается лапласиан, действующий на $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\varphi$ .

Двойственность

Двойное применение звезды Ходжа оставляет k-вектор не изменился, за исключением его знака: для $η ∈ ⋀ k V {\ displaystyle \ eta \ in {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} V}$ $\eta \in {\textstyle \bigwedge }^{k}V$ в n-мерном пространстве V, один имеет

⋆ ⋆ η = (- 1) К (N - К) s η, {\ Displaystyle {\ star} {\ star} \ eta = (- 1) ^ {k (nk)} s \ eta,}

{\star }{\star }\eta =(-1)^{k(n-k)}s\eta,

где s - четность подписи внутреннего продукта на V, то есть знак детерминанта матрицы внутреннего продукта относительно к любой базе. Например, если n = 4 и подпись внутреннего продукта либо (+ - - -), или (- + + +), то s = −1. Для римановых многообразий (включая евклидовы пространства) всегда s = 1.

Из приведенного выше тождества следует, что обратное к $⋆ {\ displaystyle \ star}$ $\star$ может быть задано как

⋆ - 1: ⋀ К → ⋀ N - К η ↦ (- 1) К (N - К) s ⋆ η {\ Displaystyle {\ begin {align} {\ star} ^ {- 1}: ~ {\ textstyle \ bigwedge} ^ {\! k} \ к {\ textstyle \ bigwedge} ^ {\! nk} \\ \ eta \ mapsto (-1) ^ {k (nk)} \! s {\ star } \ eta \ end {align}}}

{\begin{aligned}{\star }^{-1}:~{\textstyle \bigwedge }^{\!k}\to {\textstyle \bigwedge }^{\!n-k}\\\eta \mapsto (-1)^{k(n-k)}\!s{\star }\eta \end{aligned}}

Если n нечетно, то k (n - k) четно для любого k, тогда как если n четно, то k (n - k) имеет четность k. Следовательно:

⋆ - 1 = {s ⋆ n нечетно (- 1) ks ⋆ n четно {\ displaystyle {\ star} ^ {- 1} = {\ begin {cases} s {\ star} n { \ text {нечетно}} \\ (- 1) ^ {k} s {\ star} n {\ text {четно}} \ end {cases}}}

{\star }^{-1}={\begin{cases}s{\star }n{\text{ is odd}}\\(-1)^{k}s{\star }n{\text{ is even}}\end{cases}}

где k - степень оперируемого элемента на.

На многообразиях

Для n-мерного ориентированного псевдориманова многообразия M мы применяем приведенную выше конструкцию к каждому кокасательному пространству $T p ∗ M {\ displaystyle {\ text {T}} _ {p} ^ {*} M}$ ${\text{T}}_{p}^{*}M$ и его внешние возможности $∧ k T p ∗ M {\ displaystyle \ wedge ^ { k} {\ text {T}} _ {p} ^ {*} M}$ $\wedge ^{k}{\text{T}}_{p}^{*}M$ , и, следовательно, к дифференциальной k -форме $ζ ∈ Ω k (M) Знак равно Γ (∧ К T * M) {\ Displaystyle \ Zeta \ in \ Omega ^ {k} (M) = \ Gamma \ left (\ wedge ^ {k} {\ text {T}} ^ {*} \! M \ right)}$ $\zeta \in \Omega ^{k}(M)=\Gamma \left(\wedge ^{k}{\text{T}}^{*}\!M\right)$ , глобальные разделы пучка $∧ k T ∗ M → M {\ displaystyle \ wedge ^ {k} \ mathrm {T} ^ {*} \! M \ to M}$ $\wedge ^{k}\mathrm {T} ^{*}\!M\to M$ . Метрика Риманнана индуцирует внутреннее произведение на $∧ k T p ∗ M {\ displaystyle \ wedge ^ {k} {\ text {T}} _ {p} ^ {*} M}$ $\wedge ^{k}{\text{T}}_{p}^{*}M$ в каждая точка $p ∈ M {\ displaystyle p \ in M}$ $p\in M$ . Мы определяем дуал Ходжа ак -формы $ζ {\ displaystyle \ zeta}$ $\zeta$ , определяя $⋆ ζ {\ displaystyle {\ star } \ zeta}$ ${\star }\zeta$ как уникальная (n - k) -форма, удовлетворяющая

η ∧ ⋆ ζ = ⟨η, ζ⟩ ω {\ displaystyle \ eta \ wedge {\ star} \ zeta \ = \ \ langle \ eta, \ zeta \ rangle \, \ omega}

\eta \wedge {\star }\zeta \ =\ \langle \eta,\zeta \rangle \,\omega

для каждой k-формы $η {\ displaystyle \ eta}$ $\eta$ , где $⟨η, ζ⟩ { \ displaystyle \ langle \ eta, \ zeta \ rangle}$ $\langle \eta,\zeta \rangle$ - функция с действительным знаком на $M {\ displaystyle M}$ $M$ , а форма объема $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ индуцируется римановой метрикой. Интегрируя это уравнение по $M {\ displaystyle M}$ $M$ , правая часть становится $L 2 {\ displaystyle L ^ {2}}$ $L^{2}$ (интегрируемым с квадратом ) скалярное произведение на k-формах, и мы получаем:

∫ M η ∧ ⋆ ζ = ⟨⟨η, ζ⟩⟩. {\ displaystyle \ int _ {M} \ eta \ wedge {\ star} \ zeta \ = \ \ langle \! \ langle \ eta, \ zeta \ rangle \! \ rangle.}

\int _{M}\eta \wedge {\star }\zeta \ =\ \langle \!\langle \eta,\zeta \rangle \!\rangle.

В общем, если $M {\ displaystyle M}$ $M$ неориентирован, звезду Ходжа k-формы можно определить как (n - k) - псевдодифференциальную форму ; то есть дифференциальная форма со значениями в каноническом линейном пучке.

Вычисление в индексной нотации

Мы вычисляем в терминах тензорной индексной нотации по отношению к (не обязательно ортонормированный) базис ${∂ ∂ x 1,…, ∂ ∂ xn} {\ displaystyle \ {{\ tfrac {\ partial} {\ partial x_ {1}}}, \ ldots, {\ tfrac {\ partial} {\ partial x_ {n}}} \}}$ $\{{\tfrac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots,{\tfrac {\partial }{\partial x_{n}}}\}$ в касательном пространстве $V = T p M {\ displaystyle V = T_ {p} M}$ $V=T_{p}M$ и его двойственное основание ${dx 1,…, dxn} {\ displaystyle \ {dx_ {1}, \ ldots, dx_ {n} \}}$ $\{dx_{1},\ldots,dx_{n}\}$ in $V ∗ = T p ∗ M { \ Displaystyle V ^ {*} = T_ {p} ^ {*} M}$ $V^{*}=T_{p}^{*}M$ , имеющий метрическую матрицу $(gij) = (⟨∂ ∂ xi, ∂ ∂ xj⟩) {\ displaystyle (g_ {ij}) \ = \ (\ langle {\ tfrac {\ partial} {\ partial x_ {i}}}, {\ tfrac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} \ rangle)}$ $(g_{ij})\ =\ (\langle {\tfrac {\partial }{\partial x_{i}}},{\tfrac {\partial }{\partial x_{j}}}\rangle)$ и его обратная матрица $(gij) = (⟨dxi, dxj⟩) {\ displaystyle (g ^ {ij}) \ = \ (\ langle dx_ {i}, dx_ {j} \ rangle)}$ $(g^{ij})\ =\ (\langle dx_{i},dx_{j}\rangle)$ . Двойственный по Ходжу разложимой k-формы равен:

⋆ (d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k) = | det [g a b] | (п - к)! г я 1 j 1 ⋯ г я к j k ε j 1… j n d x j k + 1 ∧ ⋯ ∧ d x j n. {\ displaystyle \ star \ left (dx ^ {i_ {1}} \ wedge \ dots \ wedge dx ^ {i_ {k}} \ right) \ = \ {\ frac {\ sqrt {| \ det [g_ {ab }] |}} {(nk)!}} g ^ {i_ {1} j_ {1}} \ cdots g ^ {i_ {k} j_ {k}} \ varepsilon _ {j_ {1} \ dots j_ { n}} dx ^ {j_ {k + 1}} \ wedge \ dots \ wedge dx ^ {j_ {n}}.}

\star \left(dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}\right)\ =\ {\frac {\sqrt {|\det[g_{ab}]|}}{(n-k)!}}g^{i_{1}j_{1}}\cdots g^{i_{k}j_{k}}\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}dx^{j_{k+1}}\wedge \dots \wedge dx^{j_{n}}.

Здесь $ε j 1… jn {\ displaystyle \ varepsilon _ {j_ { 1} \ dots j_ {n}}}$ $\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}$ - это символ Леви-Чивиты с $ε 1… n = 1 {\ displaystyle \ varepsilon _ {1 \ dots n} = 1}$ $\varepsilon _{1\dots n}=1$ , и мы неявно берем сумму по всем значениям повторяющихся индексов $j 1,…, jn {\ displaystyle j_ {1}, \ ldots, j_ {n}}$ $j_{1},\ldots,j_{n}$ . Факториал $(n - k)! {\ displaystyle (n-k)!}$ $(n-k)!$ учитывает двойной счет и не присутствует, если индексы суммирования ограничены так, что $j k + 1 < ⋯ < j n {\displaystyle j_{k+1}<\dots$ $j_{k+1}<\dots <j_{n}$ . Абсолютное значение определителя необходимо, так как оно может быть отрицательным, как для касательных пространств к лоренцевым многообразиям.

Можно записать произвольную дифференциальную форму:

α = 1 k! α i 1,…, i k d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k = ∑ i 1 < ⋯ < i k α i 1, …, i k d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k. {\displaystyle \alpha \ =\ {\frac {1}{k!}}\alpha _{i_{1},\dots,i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}\ =\ \sum _{i_{1}<\dots

\alpha \ =\ {\frac {1}{k!}}\alpha _{i_{1},\dots,i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}\ =\ \sum _{i_{1}<\dots <i_{k}}\alpha _{i_{1},\dots,i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}.

Факториал $k! {\ displaystyle k!}$ $k!$ снова включен для учета двойного счета, когда мы разрешаем невозрастающие индексы. Мы хотели бы определить двойственный компонент $α i 1,…, ik {\ displaystyle \ alpha _ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}}}$ $\alpha _{i_{1},\dots,i_{k}}$ так, чтобы Двойственная по Ходжу форма задается следующим образом:

⋆ α = 1 (n - k)! (⋆ α) i k + 1,…, i n d x i k + 1 ∧ ⋯ ∧ d x i n. {\ displaystyle \ star \ alpha = {\ frac {1} {(nk)!}} (\ star \ alpha) _ {i_ {k + 1}, \ dots, i_ {n}} dx ^ {i_ {k +1}} \ wedge \ dots \ wedge dx ^ {i_ {n}}.}

\star \alpha ={\frac {1}{(n-k)!}}(\star \alpha)_{i_{k+1},\dots,i_{n}}dx^{i_{k+1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{n}}.

Использование приведенного выше выражения для двойственного по Ходжу $dxi 1 ∧ ⋯ ∧ dxik {\ displaystyle dx ^ {i_ {1 }} \ wedge \ dots \ wedge dx ^ {i_ {k}}}$ $dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}$ , находим:

(⋆ α) ik + 1,…, in = | det [g a b] | к! α i 1,…, i k ε i 1,…, i n. {\ displaystyle (\ star \ alpha) _ {i_ {k + 1}, \ dots, i_ {n}} = {\ frac {\ sqrt {| \ det [g_ {ab}] |}} {k!} } \ alpha ^ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}} \, \, \ varepsilon _ {i_ {1}, \ dots, i_ {n}}.}

(\star \alpha)_{i_{k+1},\dots,i_{n}}={\frac {\sqrt {|\det[g_{ab}]|}}{k!}}\alpha ^{i_{1},\dots,i_{k}}\,\,\varepsilon _{i_{1},\dots,i_{n}}.

Хотя можно применить это выражение к любому тензору $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\alpha$ результат будет антисимметричным, поскольку сокращение с полностью антисимметричным символом Леви-Чивиты отменяет все, кроме полностью антисимметричной части тензора. Таким образом, это эквивалентно антисимметризации с последующим применением звезды Ходжа.

Форма единицы объема $ω = ⋆ 1 ∈ ∧ n V ∗ {\ displaystyle \ omega = \ star 1 \ in \ wedge ^ {n} V ^ {*}}$ $\omega =\star 1\in \wedge ^{n}V^{*}$ определяется выражением:

ω = | det [g i j] | d x 1 ∧ ∧ ∧ d x n. {\ displaystyle \ omega = {\ sqrt {\ left | \ det [g_ {ij}] \ right |}} \; dx ^ {1} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {n}.}

\omega ={\sqrt {\left|\det[g_{ij}]\right|}}\;dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}.

Кодифференциальный

Самым важным применением звезды Ходжа на многообразиях является определение дифференциала $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\delta$ на k-формах. Пусть

δ = (- 1) n (k - 1) + 1 s ⋆ d ⋆ = (- 1) k ⋆ - 1 d ⋆ {\ displaystyle \ delta = (- 1) ^ {n (k-1)) +1} s \ {\ star} d {\ star} = (- 1) ^ {k} \, {\ star} ^ {- 1} d {\ star}}

\delta =(-1)^{n(k-1)+1}s\ {\star }d{\star }=(-1)^{k}\,{\star }^{-1}d{\star }

где $d { \ displaystyle d}$ $d$ - внешняя производная или дифференциал, а $s = 1 {\ displaystyle s = 1}$ $s=1$ для римановых многообразий. Тогда

d: Ω k (M) → Ω k + 1 (M) {\ displaystyle d: \ Omega ^ {k} (M) \ to \ Omega ^ {k + 1} (M)}

d:\Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k+1}(M)

δ: Ω k (M) → Ω k - 1 (M). {\ displaystyle \ delta: \ Omega ^ {k} (M) \ to \ Omega ^ {k-1} (M).}

\delta :\Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k-1}(M).

Кодифференциал не является антидеривацией внешней алгебры, в отличие от внешней производной.

Кодифференциал - это , сопряженный внешней производной относительно интегрируемого с квадратом внутреннего произведения:

⟨⟨η, δ ζ⟩⟩ = ⟨⟨d η, ζ⟩ ⟩, {\ Displaystyle \ langle \! \ Langle \ eta, \ delta \ zeta \ rangle \! \ Rangle \ = \ \ langle \! \ Langle d \ eta, \ zeta \ rangle \! \ Rangle,}

\langle \!\langle \eta,\delta \zeta \rangle \!\rangle \ =\ \langle \!\langle d\eta,\zeta \rangle \!\rangle,

где $ζ {\ displaystyle \ zeta}$ $\zeta$ - это (k + 1) -форма, а $η {\ displaystyle \ eta}$ $\eta$ k-форма. This identity follows from Stokes' theorem for smooth forms:

0 = ∫ M d ( η ∧ ⋆ ζ) = ∫ M ( d η ∧ ⋆ ζ − η ∧ ⋆ ( − 1) k + 1 ⋆ − 1 d ⋆ ζ) = ⟨ ⟨ d η, ζ ⟩ ⟩ − ⟨ ⟨ η, δ ζ ⟩ ⟩, {\displaystyle 0\ =\ \int _{M}d(\eta \wedge {\star }\zeta)\ =\ \int _{M}\left(d\eta \wedge {\star }\zeta -\eta \wedge {\star }(-1)^{k+1}\,{\star }^{-1}d{\star }\zeta \right)\ =\ \langle \!\langle d\eta,\zeta \rangle \!\rangle -\langle \!\langle \eta,\delta \zeta \rangle \!\rangle,}

0\ =\ \int _{M}d(\eta \wedge {\star }\zeta)\ =\ \int _{M}\left(d\eta \wedge {\star }\zeta -\eta \wedge {\star }(-1)^{k+1}\,{\star }^{-1}d{\star }\zeta \right)\ =\ \langle \!\langle d\eta,\zeta \rangle \!\rangle -\langle \!\langle \eta,\delta \zeta \rangle \!\rangle,

provided M has empty boundary, or $η {\displaystyle \eta }$ $\eta$ or $⋆ ζ {\displaystyle \star \zeta }$ $\star \zeta$ has zero boundary values. (The proper definition of the above requires specifying a topological vector space that is closed and complete on the space of smooth forms. The Sobolev space is conventionally used; it allows the convergent of a sequence of forms $ζ i → ζ {\displaystyle \zeta _{i}\to \zeta }$ $\zeta _{i}\to \zeta$ (as $i → ∞ {\displaystyle i\to \infty }$ $i\to \infty$ ) to be interchanged with the combined differential and integral operations, so that $⟨ ⟨ η, δ ζ i ⟩ ⟩ → ⟨ ⟨ η, δ ζ ⟩ ⟩ {\displaystyle \langle \!\langle \eta,\delta \zeta _{i}\rangle \!\rangle \to \langle \!\langle \eta,\delta \zeta \rangle \!\rangle }$ $\langle \!\langle \eta,\delta \zeta _{i}\rangle \!\rangle \to \langle \!\langle \eta,\delta \zeta \rangle \!\rangle$ and likewise for sequences converging to $η {\displaystyle \eta }$ $\eta$ .)

Since the differential satisfies $d 2 = 0 {\displaystyle d^{2}=0}$ $d^2 = 0$ , the codifferential has the corresponding property

δ 2 = s 2 ⋆ d ⋆ ⋆ d ⋆ = ( − 1) k ( n − k) s 3 ⋆ d 2 ⋆ = 0. {\displaystyle \delta ^{2}=s^{2}{\star }d{\star }{\star }d{\star }=(-1)^{k( n-k)}s^{3}{\star }d^{2}{\star }=0.}

\delta ^{2}=s^{2}{\star }d{\star }{\star }d{\star }=(-1)^{k(n-k)}s^{3}{\star }d^{2}{\star }=0.

The Laplace–deRham operator is given by

Δ = ( δ + d) 2 = δ d + d δ {\displaystyle \Delta =(\delta +d)^{2}=\delta d+d\delta }

\Delta =(\delta +d)^{2}=\delta d+d\delta

and lies at the heart of Hodge theory. It is symmetric:

⟨ ⟨ Δ ζ, η ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ ζ, Δ η ⟩ ⟩ {\displaystyle \langle \!\langle \Delta \zeta,\eta \rangle \!\rangle =\langle \!\langle \zeta,\Delta \eta \rangle \!\rangle }

\langle \!\langle \Delta \zeta,\eta \rangle \!\rangle =\langle \!\langle \zeta,\Delta \eta \rangle \!\rangle

and non-negative:

⟨ ⟨ Δ η, η ⟩ ⟩ ≥ 0. {\displaystyle \langle \!\langle \Delta \eta,\eta \rangle \!\rangle \geq 0.}

\langle \!\langle \Delta \eta,\eta \rangle \!\rangle \geq 0.

The Hodge star sends harmonic forms to harmonic forms. As a consequence of Hodge theory, the de Rham cohomology is naturally isomorphic to the space of harmonic k-forms, and so the Hodge star induces an isomorphism of cohomology groups

⋆ : H Δ k ( M) → H Δ n − k ( M), {\displaystyle {\star }:H_{\Delta }^{k}(M)\to H_{\Delta }^{n-k}(M),}

{\star }:H_{\Delta }^{k}(M)\to H_{\Delta }^{n-k}(M),

which in turn gives canonical identifications via Poincaré duality of H(M) with its dual space.

Notes

References

David Bleecker (1981) Gauge Theory and Variational Principles. Эддисон-Уэсли Паблишинг. ISBN 0-201-10096-7. Гл. 0 contains a condensed review of non-Riemannian differential geometry.
Jurgen Jost (2002) Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2. A detailed exposition starting from basic principles; does not treat the pseudo-Riemannian case.
Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler (1970) Gravitation. W.H. Фримен. ISBN 0-7167-0344-0. A basic review of differential geometry in the special case of four-dimensional spacetime.
Steven Rosenberg (1997) The Laplacian on a Riemannian manifold. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-46831-0. An introduction to the heat equation and the Atiyah–Singer theorem.
Tevian Dray (1999) The Hodge Dual Operator. A thorough overview of the definition and properties of the Hodge star operator.