В математике, А перемещение рама является гибким обобщением понятия упорядоченной основы в виде векторного пространства часто используется для изучения примесной дифференциальной геометрии из гладких многообразий, погруженных в однородном пространстве.
Проще говоря, система отсчета - это система мерных стержней, используемых наблюдателем для измерения окружающего пространства путем предоставления координат. Перемещение рамы является тогда система отсчета, которая движется с наблюдателем вдоль траектории (а кривой ). В этом простом примере метод движущейся системы отсчета стремится создать «предпочтительную» движущуюся систему отсчета на основе кинематических свойств наблюдателя. В геометрической постановке эта проблема была решена в середине 19 века Жаном Фредериком Френе и Жозефом Альфредом Серре. Система Френе-Серре представляет собой подвижную систему координат, заданную на кривой, которую можно построить исключительно по скорости и ускорению кривой.
Система отсчета Френе – Серре играет ключевую роль в дифференциальной геометрии кривых, в конечном итоге приводя к более или менее полной классификации гладких кривых в евклидовом пространстве с точностью до конгруэнтности. В формулах Френе-Serret показывают, что существует пара функций, определенных на кривой, на кручение и кривизны, которые получают путем дифференцирования кадра, и которые описывают полностью, как кадр развивается во времени вдоль кривой. Ключевой особенностью общего метода является то, что предпочтительная движущаяся система координат, при условии, что она может быть найдена, дает полное кинематическое описание кривой.
Трехгранник Дарбу, состоящий из точки P и тройки ортогональных единичных векторов e 1, e 2 и e 3, который адаптирован к поверхности в том смысле, что P лежит на поверхности, а e 3 перпендикулярен поверхности.В конце 19 века Гастон Дарбу изучал проблему построения предпочитаемой подвижной системы отсчета на поверхности в евклидовом пространстве вместо кривой, системы отсчета Дарбу (или подвижного триэдра, как его тогда называли). Построить такую систему отсчета в общем случае оказалось невозможным, и в первую очередь необходимо было выполнить условия интегрируемости.
Позже подвижные реперы были широко разработаны Эли Картаном и другими при изучении подмногообразий более общих однородных пространств (таких как проективное пространство ). В этом случае фрейм переносит геометрическую идею основы векторного пространства на другие виды геометрических пространств ( геометрии Клейна ). Вот несколько примеров фреймов:
В каждом из этих примеров набор всех фреймов в определенном смысле однороден. В случае линейных фреймов, например, любые два фрейма связаны элементом общей линейной группы. Проективные шкалы связаны проективной линейной группой. Эта однородность или симметрия класса фреймов отражает геометрические особенности линейного, аффинного, евклидова или проективного ландшафта. Движущийся фрейм в этих обстоятельствах и есть фрейм, который меняется от точки к точке.
Формально кадр на однородном пространстве G / H состоит из точки в тавтологическое расслоение G → G / H. Перемещение рамы представляет собой сечение этого расслоения. Он движется в том смысле, что, как точка базы изменяется, кадр в слое изменяется на элемент из группы симметрии G. Двигающаяся рамка на подмногообразие M из G / H является сечением отката тавтологического расслоения к М. По сути, подвижный репер можно определить на главном расслоении P над многообразием. В этом случае, двигающийся кадр задаются G -эквивариантное отображение Ф: P → G, таким образом, обрамление многообразия элементов группы Ли G.
Можно распространить понятие каркаса на более общий случай: можно « припаять » пучок волокон к гладкому многообразию таким образом, чтобы волокна вели себя так, как если бы они были касательными. Когда пучок волокон представляет собой однородное пространство, это сводится к описанному выше полю кадра. Когда однородное пространство является фактором специальных ортогональных групп, это сводится к стандартной концепции vierbein.
Хотя есть существенное формальное различие между внешними и внутренними движущимися кадрами, они оба похожи в том смысле, что движущееся кадр всегда дается отображение в G. Стратегия Картана методом перемещения кадров, как это указано кратко в методе эквивалентности Картана, чтобы найти естественный движущийся кадр на коллекторе, а затем принять его производное Дарбу, другими словами препятствие на Маурера-Картана формы из G на М (или P) и тем самым получить полный набор структурных инвариантов многообразия.
Картан (1937) сформулировал общее определение подвижной системы отсчета и метод подвижной системы отсчета, разработанный Вейлем (1938). Элементы теории
Затем предполагается, что между этими элементами выполняются следующие аксиомы:
Интерес к методу являются параметризованными подмногообразиями X. Рассмотрение в основном носит локальный характер, поэтому область параметров берется как открытое подмножество R λ. Немного разные методы применяются в зависимости от того, интересует ли подмногообразие вместе с его параметризацией или подмногообразие вплоть до повторной параметризации.
Наиболее часто встречающийся случай подвижного репера - это связка касательных реперов (также называемая связкой реперов ) многообразия. В этом случае, движущейся касательной рамы на многообразии М состоит из набора векторных полей е 1, е 2,..., е п образующих базис касательного пространства в каждой точке открытого множества U ⊂ M.
Если - система координат на U, то каждое векторное поле e j может быть выражено как линейная комбинация векторных полей координат:
где каждая функция на U. Их можно рассматривать как компоненты матрицы. Эта матрица полезна для нахождения координатного выражения двойного coframe, как объясняется в следующем разделе.Движущаяся рама определяет двойную рамку или корепер из кокасательного расслоения над U, который иногда также называют движущийся кадр. Это n -набор гладких 1 -форм
которые линейно независимы в каждой точке Q в U. Наоборот, для такого кофрейма существует единственный подвижный репер e 1, e 2,…, e n, который двойственен ему, т. Е. Удовлетворяет соотношению двойственности θ i ( e j) = δ ij, где δ ij это Кронекера функция на U.
Если - система координат на
U, как в предыдущем разделе, то каждое ковекторное поле θ i может быть выражено как линейная комбинация координатных ковекторных полей: где каждый является функцией на U. Так как два приведенных выше выражения координат объединяются, чтобы дать ; в терминах матриц это просто говорит о том, что и являются обратными друг другу.В рамках классической механики при работе с каноническими координатами канонический кофрейм задается тавтологической одноформой. Интуитивно он связывает скорости механической системы (заданные векторными полями на касательном расслоении координат) с соответствующими импульсами системы (заданными векторными полями в кокасательном расслоении, т. Е. Заданными формами). Тавтологическая одноформа - это частный случай более общей формы припоя, которая обеспечивает поле (ко) каркаса на общем пучке волокон.
Подвижные системы отсчета важны в общей теории относительности, где нет привилегированного способа расширить выбор системы отсчета в событии p (точка в пространстве-времени, которая является многообразием размерности четыре) до ближайших точек, и поэтому выбор должен быть сделан. В отличие от специальной теории относительности, M рассматривается как векторное пространство V (размерности четыре). В этом случае кадр в точке p может быть переведен из p в любую другую точку q четко определенным способом. Вообще говоря, движущаяся система отсчета соответствует наблюдателю, а выделенные системы отсчета в специальной теории относительности представляют инерциальных наблюдателей.
В теории относительности и в римановой геометрии наиболее полезными видами подвижных систем отсчета являются ортогональные и ортонормированные системы отсчета, то есть системы отсчета, состоящие из ортогональных (единичных) векторов в каждой точке. В данной точке p общая система отсчета может быть сделана ортонормированной путем ортонормировки ; фактически это можно сделать плавно, так что существование движущейся системы отсчета подразумевает существование движущейся ортонормированной системы отсчета.
Подвижный репер всегда существует локально, т. Е. В некоторой окрестности U любой точки p в M ; однако существование подвижного репера глобально на M требует топологических условий. Например, когда M - круг или, в более общем смысле, тор, такие системы отсчета существуют; но не тогда, когда M является 2- сферой. Многообразие, у которого есть глобальная подвижная система отсчета, называется параллелизуемым. Обратите внимание, например, как единичные направления широты и долготы на поверхности Земли распадаются на движущуюся систему координат на северном и южном полюсах.
Метод перемещения кадров из Эли Картан основан на том, двигающийся кадр, который приспособлен к особой проблема изучается. Например, для данной кривой в пространстве первые три производных вектора кривой могут в общем случае определять систему отсчета в ее точке (сравните с тензором кручения для количественного описания - здесь предполагается, что кручение не равно нулю). На самом деле, в методе перемещения фреймов чаще работают с кадрами, а не с фреймами. В более общем смысле, движущиеся кадры можно рассматривать как сечения главных расслоений над открытыми множествами U. Общий метод Картана использует эту абстракцию, используя понятие связи Картана.
Во многих случаях невозможно определить единую систему координат, которая действительна в глобальном масштабе. Чтобы преодолеть это, фреймы обычно собирают вместе в атлас, таким образом, придя к понятию локального фрейма. Кроме того, часто желательно наделить эти атласы гладкой структурой, чтобы поля результирующих кадров были дифференцируемыми.
Несмотря на то, что эта статья создает поля кадра в качестве системы координат на касательном расслоении в виде многообразия, общие идеи подвинуться легко понятия векторного расслоения, которое является многообразием наделенным векторного пространства в каждой точке, что векторное пространство существо произвольным и, вообще говоря, не связанным с касательным расслоением.
Маневры самолета могут быть выражены в терминах движущейся системы координат ( главных осей самолета ), когда они описаны пилотом.