Производная Дарбу

редактировать

Производная Дарбу карты между многообразием и Группа Ли представляет собой вариант стандартной производной. Возможно, это более естественное обобщение производной одной переменной. Он позволяет обобщить фундаментальную теорему исчисления об одной переменной на более высокие измерения в ином ключе, чем обобщение теоремы Стокса.

Содержание

1 Формальное определение
2 Более естественный?
3 Уникальность примитивов
4 Основная теорема исчисления
5 Ссылки

Формальное определение

Пусть $G {\ displaystyle G}$ $G$ будет группой Ли, и пусть $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ будет ее алгеброй Ли. Форма Маурера-Картана, $ω G {\ displaystyle \ omega _ {G}}$ $\ omega _ {G}$ , является гладкой $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g} }}$ ${\ mathfrak {g}}$ -значная $1 {\ displaystyle 1}$ $1$ -форма на $G {\ displaystyle G}$ $G$ (см. Lie алгебраозначная форма ), определяемая как

ω G (X g) = (T g L g) - 1 X g {\ displaystyle \ omega _ {G} (X_ {g}) = (T_ {g} L_ {g}) ^ {- 1} X_ {g}}

\ omega _ {G} (X_ {g}) = (T_ {g} L_ {g}) ^ {{- 1}} X_ {g}

для всех $g ∈ G {\ displaystyle g \ in G}$ $g \ in G$ и $X g ∈ T g G {\ displaystyle X_ {g} \ in T_ {g} G}$ $X_ {g} \ in T_ {g} G$ . Здесь $L g {\ displaystyle L_ {g}}$ $L_ {g}$ обозначает левое умножение на элемент $g ∈ G {\ displaystyle g \ in G}$ $g \ in G$ и $T g L g {\ displaystyle T_ {g} L_ {g}}$ $T_ {g} L_ {g}$ - его производная в $g {\ displaystyle g}$ $g$ .

Пусть $f: M → G {\ displaystyle f: M \ to G}$ $f: M \ to G$ быть гладкой функцией между гладким коллектором $M {\ displaystyle M}$ $M$ и $G {\ displaystyle G}$ $G$ . Тогда производная Дарбу от $f {\ displaystyle f}$ $f$ - это гладкая $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ -значный $1 {\ displaystyle 1}$ $1$ -form

ω f: = f ∗ ω G, {\ displaystyle \ omega _ {f}: = f ^ {*} \ omega _ {G},}

\ omega _ {f}: = f ^ {*} \ omega _ {G},

откат из $ω G {\ displaystyle \ omega _ {G}}$ $\ omega _ {G}$ на $f {\ displaystyle f}$ $f$ . Карта $f {\ displaystyle f}$ $f$ называется интегральным или примитивом из $ω f {\ displaystyle \ omega _ {f}. }$ $\ omega _ {f}$ .

Более естественно?

Причина, по которой можно было бы назвать производную Дарбу более естественным обобщением производной исчисления с одной переменной, заключается в следующем. В исчислении с одной переменной производное $f ′ {\ displaystyle f '}$ $f'$ функции $f: R → R {\ displaystyle f: \ mathbb { R} \ to \ mathbb {R}}$ $f: { \ mathbb {R}} \ to {\ mathbb {R}}$ присваивает каждой точке в домене один номер. Согласно более общим представлениям о многообразии производных, производная назначает каждой точке в области линейное отображение из касательного пространства в точке области в касательное пространство в точке изображения. Эта производная инкапсулирует две части данных: изображение точки домена и линейную карту. В исчислении с одной переменной мы опускаем некоторую информацию. Мы сохраняем только линейную карту в виде скалярного умножающего агента (т.е. числа).

Один из способов оправдать это соглашение о сохранении только аспекта линейной карты производной - это апеллировать к (очень простой) структуре группы Ли $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ под дополнением. касательное расслоение любой группы Ли может быть тривиализировано с помощью умножения слева (или справа). Это означает, что каждое касательное пространство в $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ может быть идентифицировано с касательным пространством в тождестве, $0 {\ displaystyle 0}$ ${ \ displaystyle 0}$ , которая является алгеброй Ли в $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ . В этом случае левое и правое умножение - это просто перевод. После составления производной типа многообразия с тривиализацией касательного пространства для каждой точки в области мы получаем линейную карту из касательного пространства в точке области в алгебру Ли $R {\ displaystyle \ mathbb {R }}$ $\ mathbb {R}$ . В символах для каждого $x ∈ R {\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$ $x \ in \ mathbb {R}$ мы смотрим на карту

v ∈ T x R ↦ (T f (x) L f (x)) - 1 ∘ (T xf) v ∈ T 0 R. {\ Displaystyle v \ in T_ {x} \ mathbb {R} \ mapsto (T_ {f (x)} L_ {f (x)}) ^ {- 1} \ circ (T_ {x} f) v \ in T_ {0} \ mathbb {R}.}

v \ in T_ {x} {\ mathbb {R}} \ mapsto (T _ {{f (x)}} L _ {{f (x)}}) ^ {{- 1}} \ circ (T_ {x} е) v \ in T_ {0} {\ mathbb {R}}.

Поскольку задействованные касательные пространства одномерны, это линейное отображение представляет собой просто умножение на некоторый скаляр. (Этот скаляр может меняться в зависимости от того, какой базис мы используем для векторных пространств, но каноническая единица векторное поле $∂ ∂ t {\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} }$ ${\ frac {\ partial} {\ partial t}}$ на $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ дает канонический выбор базиса и, следовательно, канонический выбор скаляра.) Этот скаляр - это то, что мы обычно обозначаем by $f ′ (x) {\ displaystyle f '(x)}$ $f'(x)$ .

Уникальность примитивов

Если многообразие $M {\ displaystyle M}$ $M$ связано, и $f, g: M → G {\ displaystyle f, g: M \ to G}$ $f, g: M \ to G$ являются примитивами $ω f {\ displaystyle \ omega _ {f}}$ $\ omega _ {f}$ , т.е. $ω f = ω g {\ displaystyle \ omega _ {f} = \ omega _ {g}}$ $\ omega _ {f} = \ omega _ {g}$ , тогда существует некоторая константа $C ∈ G {\ displaystyle C \ in G}$ $C \ in G$ такой, что

f (x) = C ⋅ g (x) {\ displaystyle f (x) = C \ cdot g (x)}

f (x) = C \ cdot g (x)

для всех

x ∈ M {\ displaystyle x \ in M}

x \ in M ​​

Эта константа $C {\ displaystyle C}$ $C$ , конечно, аналог константы, которая появляется, когда t Получение неопределенного интеграла.

Основная теорема исчисления

Структурное уравнение для формы Маурера-Картана :

d ω + 1 2 [ω, ω] = 0. {\ displaystyle d \ omega + {\ frac {1} {2}} [\ omega, \ omega] = 0.}

d \ omega + {\ frac {1} {2}} [\ omega, \ omega] = 0.

Это означает, что для всех векторных полей $X {\ displaystyle X}$ $X$ и $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ на $G {\ displaystyle G}$ $G$ и всех $x ∈ G {\ displaystyle x \ in G}$ $x \ in G$ , мы имеем

(d ω) x (X x, Y x) + [ω x (X x), ω x (Y x) ] = 0. {\ displaystyle (d \ omega) _ {x} (X_ {x}, Y_ {x}) + [\ omega _ {x} (X_ {x}), \ omega _ {x} (Y_ {x})] = 0.}

(d \ omega) _ {x} (X_ {x}, Y_ {x}) + [\ omega _ {x } (X_ {x}), \ omega _ {x} (Y_ {x})] = 0.

Для любой $1 {\ displaystyle 1}$ $1$ -формы со значениями алгебры Ли на любом гладком многообразии все члены в этом уравнении имеют смысл, поэтому для любой такой формы мы можем спросить, удовлетворяет ли она этому структурному уравнению.

Обычная фундаментальная теорема исчисления для исчисления с одной переменной имеет следующее локальное обобщение.

Если $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ -valued $1 {\ displaystyle 1}$ $1$ -form $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ омега$ на $M {\ displaystyle M}$ $M$ удовлетворяет структурному уравнению, тогда каждая точка $p ∈ M {\ displaystyle p \ in M}$ $p \ in M $ имеет открытую окрестность $U {\ displaystyle U}$ $U$ и гладкую карту $f: U → G {\ displaystyle f: U \ to G}$ $f: U \ to G$ такое, что

ω f = ω | U, {\ displaystyle \ omega _ {f} = \ omega | _ {U},}

\ omega _ {f} = \ omega | _ {U},

т.е. $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ омега$ имеет примитив, определенный в окрестности каждой точки $M {\ displaystyle M}$ $M$ .

Для глобального обобщения фундаментальной теоремы требуется для изучения некоторых вопросов монодромии в $M {\ displaystyle M}$ $M$ и $G {\ displaystyle G}$ $G$ .

Ссылки

R. У. Шарп (1996). Дифференциальная геометрия: Обобщение Картана программы Эрлангена Клейна. Шпрингер-Верлаг, Берлин. ISBN 0-387-94732-9.
Шломо Штернберг (1964). «Глава V, Группы Ли. Раздел 2, Инвариантные формы и алгебра Ли». Лекции по дифференциальной геометрии. Прентис-Холл. OCLC 529176. Цитата имеет пустой неизвестный параметр: |1=()