Ковариантная формулировка классического электромагнетизма

редактировать

Ковариантная формулировка классического электромагнетизма относится к способам записи законов классического электромагнетизма (в частности, уравнений Максвелла и силы Лоренца ) в форме, которая явно инвариантна относительно преобразований Лоренца, в формализме специальной теории относительности с использованием прямолинейных инерциальных систем координат. Эти выражения упрощают доказательство того, что законы классического электромагнетизма принимают одинаковую форму в любой инерциальной системе координат, а также предоставляют способ перевода полей и сил из одной системы координат в другую. Однако это не так широко, как уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени или в непрямолинейных системах координат.

В этой статье используется классическая обработка тензоров и соглашение о суммировании Эйнштейна, а метрика Минковского имеет вид diag (+1, - 1, −1, −1). В тех случаях, когда уравнения заданы как удерживаемые в вакууме, можно было бы вместо этого рассматривать их как формулировку уравнений Максвелла в терминах полного заряда и тока.

Для более общего обзора отношений между классическим электромагнетизмом и специальной теорией относительности, включая различные концептуальные значения этой картины, см. Классический электромагнетизм и специальная теория относительности.

Содержание

1 Ковариантные объекты
- 1.1 Предварительные четырехвекторы
- 1.2 Электромагнитный тензор
- 1.3 Четыре-токи
- 1.4 Четырехпотенциал
- 1.5 Электромагнитный тензор энергии-напряжения
2 Уравнения Максвелла в вакууме
- датчик Лоренца
3 Сила Лоренца
- 3.1 Заряженная частица
- 3.2 Континуум заряда
4 Законы сохранения
- 4.1 Электрический заряд
- 4.2 Электромагнитная энергия-импульс
5 Ковариантные объекты в материи
- 5.1 Свободные и связанные четырехтоки
- 5.2 Тензор намагниченности-поляризации
- 5.3 Тензор электрических смещений
6 Уравнения Максвелла в веществе
- 6.1 Материальные уравнения
  - 6.1.1 Вакуум
  - 6.1. 2 Линейное недисперсное вещество
7 Лагранжиан для классической электродинамики
- 7.1 Vacu um
- 7.2 Материя
8 См. также
9 Примечания и ссылки
10 Дополнительная литература

Ковариантные объекты

Предварительные четырехвекторы

Тензоры Лоренца Следующие виды могут использоваться в этой статье для описания тел или частиц:

четыре смещения :

x α = (ct, x) = (ct, x, y, z). {\ displaystyle x ^ {\ alpha} = (ct, \ mathbf {x}) = (ct, x, y, z) \,.}

{ \ Displaystyle х ^ {\ альфа} = (ct, \ mathbf {x}) = (ct, x, y, z) \,.}

Четыре скорости :

u α = γ (c, u), {\ displaystyle u ^ {\ alpha} = \ gamma (c, \ mathbf {u}),}

{\ displaystyle u ^ {\ alpha} = \ gamma (c, \ mathbf {u}),}

, где γ (u ) - фактор Лоренца при 3-скорость u.

Четыре-импульс :

p α = (E / c, p) = m 0 u α {\ displaystyle p ^ {\ alpha} = (E / c, \ mathbf {p}) = m_ {0} u ^ {\ alpha} \,}

p^{\alpha }=(E/c,\mathbf {p})=m_{0}u^{\alpha }\,

где

p {\ displaystyle \ mathbf {p}}

\ mathbf {p}

- 3-моментум,

E {\ displaystyle E}

E

- это полная энергия, а

m 0 {\ displaystyle m_ {0}}

m_ {0}

- масса покоя.

Четыре градиента

∂ ν знак равно ∂ ∂ Икс ν знак равно (1 с ∂ ∂ T, - ∇), {\ displaystyle \ partial ^ {\ nu} = {\ frac {\ partial} {\ partial x _ {\ nu}}} = \ left ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}}, - \ mathbf {\ nabla} \ right) \,,}

{ \ Displaystyle \ partial ^ {\ nu} = {\ frac {\ partial} {\ partial x _ {\ nu}}} = \ left ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ частичный t}}, - \ mathbf {\ nabla} \ right) \,,}

d ' Оператор Алемберта обозначается $∂ 2 {\ displaystyle {\ partial} ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ partial} ^ {2}}$ , $∂ 2 = 1 c 2 ∂ ∂ t ∂ ∂ t - ∇ 2 {\ displaystyle \ partial ^ {2 } = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ partial \ over \ partial t} {\ partial \ over \ partial t} - \ nabla ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ partial ^ {2} = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ partial \ over \ partial t} {\ partial \ over \ partial t} - \ nabla ^ {2}}$ .

Знаки в следующем тензорном анализе зависят от соглашения, используемого для метрического тензора. Используемое здесь соглашение - (+ - - -), что соответствует метрическому тензору Минковского :

η μ ν = (1 0 0 0 0 - 1 0 0 0 0 - 1 0 0 0 0 - 1) { \ displaystyle \ eta ^ {\ mu \ nu} = {\ begin {pmatrix} 1 0 0 0 \\ 0 -1 0 0 \\ 0 0 -1 0 \\ 0 0 0 -1 \ end {pmatrix}} \,}

\ eta ^ {\ mu \ nu} = \ begin {pmatrix} 1 0 0 0 \\ 0 -1 0 0 0 \\ 0 0 - 1 0 \\ 0 0 0 -1 \ end {pmatrix} \,

Электромагнитный тензор

Электромагнитный тензор - это комбинация электрического и магнитного полей в ковариантный антисимметричный тензор, элементами которого являются величины B-поля.

F α β = (0 E x / c E y / c E z / c - E x / c 0 - B z B y - E y / c B z 0 - B x - E z / c - B Y В Икс 0) {\ Displaystyle F _ {\ alpha \ beta} = \ left ({\ begin {matrix} 0 E_ {x} / c E_ {y} / c E_ {z} / c \\ - E_ {x} / c 0 -B_ {z} B_ {y} \\ - E_ {y} / c B_ {z} 0 -B_ {x} \\ - E_ {z} / c -B_ {y} B_ {x} 0 \ end {матрица }} \ right) \,}

F _ {\ alpha \ beta} = \ left (\ begin {matrix} 0 E_x / c E_y / c E_z / c \\ -E_x / c 0 -B_z B_y \\ -E_y / c B_z 0 -B_x \\ -E_z / c - B_y B_x 0 \ end {matrix} \ right) \,

. и результат повышения его индексов равен

F μ ν = def η μ α F α β η β ν = (0 - E x / c - E y / c - E z / c E x / c 0 - B z B y E y / c B z 0 - B x E z / c - B y B x 0). {\ Displaystyle F ^ {\ mu \ nu} \, {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \, \ eta ^ {\ mu \ alpha} \, F _ {\ alpha \ beta} \, \ eta ^ {\ beta \ nu} = \ left ({\ begin {matrix} 0 -E_ {x} / c -E_ {y} / c -E_ {z} / c \\ E_ {x} / c 0 -B_ {z} B_ {y} \\ E_ {y} / c B_ {z} 0 -B_ {x} \\ E_ {z} / c -B_ {y} B_ {x} 0 \ end {matrix}} \ right) \,.}

F ^ {\ mu \ nu} \, \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \, \ eta ^ {\ mu \ alpha} \, F _ {\ alpha \ beta} \, \ eta ^ {\ beta \ nu} = \ left (\ begin {matrix} 0 -E_x / c -E_y / c -E_z / c \\ E_x / c 0 -B_z B_y \\ E_y / c B_z 0 -B_x \\ E_z / c -B_y B_x 0 \ end {matrix} \ right) \,.

где E - электрическое поле, B, магнитное поле, а c скорость света.

Четыре- ток

Четыре-ток - это контравариантный четырехвектор, который объединяет плотность электрического заряда ρ и плотность электрического тока j:

J α = (c ρ, j). {\ displaystyle J ^ {\ alpha} = (c \ rho, \ mathbf {j}) \,.}

{\ displaystyle J ^ {\ alpha} = (c \ rho, \ mathbf {j}) \,.}

Четырехпотенциал

Электромагнитный четырехпотенциал - это ковариантный четырехмерный вектор, содержащий электрический потенциал (также называемый скалярным потенциалом ) ϕ и векторный магнитный потенциал (или векторный потенциал ) A, как показано ниже:

A α знак равно (ϕ / c, A). {\ displaystyle A ^ {\ alpha} = \ left (\ phi / c, \ mathbf {A} \ right) \,.}

{\ displaystyle A ^ {\ alpha} = \ left (\ phi / c, \ mathbf {A} \ right) \,.}

Дифференциал электромагнитного потенциала равен

F α β знак равно ∂ α A β - ∂ β A α. {\ Displaystyle F _ {\ alpha \ beta} = \ partial _ {\ alpha} A _ {\ beta} - \ partial _ {\ beta} A_ { \ alpha} \,.}

F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }\,.

На языке дифференциальных форм, который обеспечивает обобщение на искривленное пространство-время, это компоненты 1-формы $A = A α dx α { \ Displaystyle A = A _ {\ alpha} dx ^ {\ alpha}}$ $A=A_{\alpha }dx^{\alpha }$ и 2-форма $F = d A = 1 2 F α β dx α ∧ dx β {\ displaystyle F = dA = {\ frac {1} {2}} F _ {\ alpha \ beta} dx ^ {\ alpha} \ wedge dx ^ {\ beta}}$ $F=dA={\frac {1}{2}}F_{\alpha \beta }dx^{\alpha }\wedge dx^{\beta }$ соответственно. Здесь $d {\ displaystyle d }$ $d$ - внешняя производная и $∧ {\ displaystyle \ wedge}$ $\wedge$ произведение клина.

Электромагнитный тензор энергии-напряжения

Электромагнитный тензор энергии-импульса можно интерпретировать как плотность потока четырехвектора импульса и представляет собой контравариантный симметричный тензор, который представляет собой вклад электромагнитных полей в общий тензор энергии-импульса :

T α β = (ϵ 0 E 2/2 + B 2/2 μ 0 S x / c S y / c S z / c S x / c - σ xx - σ xy - σ xz S y / c - σ yx - σ yy - σ yz S z / c - σ zx - σ zy - σ zz), {\ displaystyle T ^ {\ alpha \ beta} = {\ begin {pmatrix} \ epsilon _ {0} E ^ {2 } / 2 + B ^ {2} / 2 \ mu _ {0} S_ {x} / c S_ {y} / c S_ {z} / c \\ S_ {x} / c - \ sigma _ {xx} - \ sigma _ {xy} - \ sigma _ {xz} \\ S_ {y} / c - \ sigma _ {yx} - \ sigma _ {yy} - \ sigma _ {yz} \\ S_ {z } / c - \ sigma _ {zx} - \ sigma _ {zy} - \ sigma _ {zz} \ end {pmatrix}} \,,}

{\ displaystyle T ^ {\ alpha \ beta} = {\ begin {pmatrix} \ epsilon _ {0} E ^ {2} / 2 + B ^ {2 } / 2 \ mu _ {0} S_ {x} / c S_ {y} / c S_ {z} / c \\ S_ {x} / c - \ sigma _ {xx} - \ sigma _ {xy} - \ sigma _ {xz} \\ S_ {y} / c - \ sigma _ {yx} - \ sigma _ {yy} - \ sigma _ {yz} \\ S_ {z} / c - \ sigma _ { zx} - \ sigma _ {zy} - \ sigma _ {zz} \ end {pmatrix}} \,,}

где $ϵ 0 {\ displaystyle \ epsilon _ {0}}$ $\ epsilon_0$ - электрическая диэлектрическая проницаемость вакуума, μ 0 - магнитная проницаемость Измеримость вакуума, вектор Пойнтинга равен

S = 1 μ 0 E × B {\ displaystyle \ mathbf {S} = {\ frac {1} {\ mu _ {0} }} \ mathbf {E} \ times \ mathbf {B}}

\mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B}

и тензор напряжений Максвелла задается как

σ ij = ϵ 0 E i E j + 1 μ 0 B i B j - (1 2 ϵ 0 E 2 + 1 2 μ 0 B 2) δ ij. {\ displaystyle \ sigma _ {ij} = \ epsilon _ {0} E_ {i} E_ {j} + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} B_ {i} B_ {j} - \ left ({\ frac {1} {2}} \ epsilon _ {0} E ^ {2} + {\ frac {1} {2 \ mu _ {0}}} B ^ {2} \ right) \ delta _ {ij} \,.}

\ sigma_ {ij} = \ epsilon_ {0} E_ {i} E_ {j} + \ frac {1} {\ mu_ {0}} B_ {i} B_ {j} - \ left (\ frac12 \ epsilon_ {0} E ^ 2 + \ frac {1} {2 \ mu_ {0}} B ^ 2 \ right) \ delta_ {ij} \,.

Тензор электромагнитного поля F строит тензор электромагнитного напряжения-энергии T по уравнению:

T α β = 1 μ 0 (η α ν F ν γ F γ β + 1 4 η α β F γ ν F γ ν) {\ displaystyle T ^ {\ alpha \ beta} = {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ left (\ eta ^ {\ alpha \ nu} F _ {\ nu \ gamma} F ^ {\ gamma \ beta} + {\ frac {1} {4}} \ eta ^ {\ alpha \ beta} F _ {\ gamma \ nu} F ^ {\ gamma \ nu} \ right)}

T^{\alpha \beta }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\eta ^{\alpha \nu }F_{\nu \gamma }F^{\gamma \beta }+{\frac {1}{4}}\eta ^{\alpha \beta }F_{\gamma \nu }F^{\gamma \nu }\right)

где η - метрический тензор Минковского (с сигнатурой (+ - - -)). Обратите внимание, что мы используем тот факт, что

ϵ 0 μ 0 c 2 = 1, {\ displaystyle \ epsilon _ {0} \ mu _ {0} c ^ {2} = 1 \,,}

{\ displaystyle \ epsilon _ {0} \ mu _ {0} c ^ {2} = 1 \,,}

, что является предсказывается уравнениями Максвелла.

Уравнения Максвелла в вакууме

В вакууме (или для микроскопических уравнений, не включая описания макроскопических материалов) уравнения Максвелла могут быть записаны в виде двух тензорных уравнений.

Два неоднородных уравнения Максвелла, закон Гаусса и закон Ампера (с поправкой Максвелла) объединяются в (с (+ - - -) метрикой):

Гаусс - Закон Ампера

$∂ α F α β = μ 0 J β {\ displaystyle \ partial _ {\ alpha} F ^ {\ alpha \ beta} = \ mu _ {0 } J ^ {\ beta}}$ $\ partial _ {\ alpha} F ^ {\ alpha \ beta} = \ mu_ {0} J ^ {\ beta}$

в то время как однородные уравнения - закон индукции Фарадея и закон Гаусса для магнетизма объединяются в:

Гаусс - закон Фарадея

$∂ α (1 2 ϵ α β γ δ F γ δ) = 0 {\ displaystyle \ partial _ {\ alpha} ({\ tfrac {1} {2}} \ epsilon ^ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} F _ {\ gamma \ delta}) = 0}$ $\ partial _ {\ alpha} (\ tfrac {1} {2} \ epsilon ^ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} F _ {\ gamma \ delta}) = 0$

где F - электромагнитный тензор, J - четырехтоковый, ε - это символ Леви-Чивиты, и индексы ведут себя согласно соглашению о суммировании Эйнштейна.

Каждое из этих тензорных уравнений соответствует четырем скалярным уравнениям, по одному для каждого значения β.

Используя обозначение антисимметричного тензора и обозначение запятой для частной производной (см. исчисление Риччи ), второе уравнение также можно записать более компактно как:

F [α β, γ] = 0. {\ displaystyle F _ {[\ alpha \ beta, \ gamma]} = 0.}

{\ displaystyle F_ {[\ alpha \ beta, \ gamma]} = 0.}

В отсутствие источников уравнения Максвелла сводятся к:

∂ ν ∂ ν F α β знак равно def ∂ 2 F α β знак равно def 1 с 2 ∂ 2 F α β ∂ T 2 - ∇ 2 F α β = 0, {\ Displaystyle \ partial ^ {\ nu} \ partial _ {\ nu} F ^ {\ alpha \ beta} \, \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \, {\ partial} ^ {2} F ^ {\ alpha \ beta} \, \ {\ stackrel { \ mathrm {def}} {=}} \ {1 \ over c ^ {2}} {\ partial ^ {2} F ^ {\ alpha \ beta} \ over {\ partial t} ^ {2}} - \ nabla ^ {2} F ^ {\ alpha \ beta} = 0 \,,}

\partial ^{\nu }\partial _{\nu }F^{\alpha \beta }\,\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \,{\partial }^{ 2}F^{\alpha \beta }\,\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over c^{2}}{\partial ^{2}F^{\alpha \beta } \over {\partial t}^{2}}-\nabla ^{2}F^{\alpha \beta }=0\,,

который представляет собой уравнение электромагнитной волны в тензоре напряженности поля.

Уравнения Максвелла в калибровке Лоренца

Калибровочное условие Лоренца является лоренц-инвариантным калибровочным условием. (Это можно противопоставить другим калибровочным условиям, таким как кулоновская калибровка, которая, если она выполняется в одной инерциальной системе отсчета, обычно не будет выполняться ни в какой другой.) Он выражается в терминах четырехпотенциала следующим образом:

∂ α A α = ∂ α A α = 0. {\ displaystyle \ partial _ {\ alpha} A ^ {\ alpha} = \ partial ^ {\ alpha} A _ {\ alpha} = 0 \,.}

\ partial _ {\ alpha} A ^ {\ alpha} = \ partial ^ {\ alpha} A _ {\ alpha} = 0 \,.

В шкале Лоренца можно записать микроскопические уравнения Максвелла как:

∂ 2 A σ = μ 0 J σ. {\ displaystyle {\ partial} ^ {2} A ^ {\ sigma} = \ mu _ {0} \, J ^ {\ sigma} \,.}

{\ displaystyle {\ partial} ^ {2} A ^ {\ sigma} = \ mu _ {0} \, J ^ {\ sigma} \,.}

Сила Лоренца

Заряженная частица

сила Лоренца fна заряженную частицу (с зарядом q) в движении (мгновенная скорость v ). Поле E и поле B меняются в пространстве и времени.

Электромагнитные (ЭМ) поля влияют на движение электрически заряженной материи: из-за Сила Лоренца. Таким образом, электромагнитные поля могут быть обнаружены (с приложениями в физике элементарных частиц и естественных явлениях, таких как полярные сияния ). В релятивистской форме сила Лоренца использует тензор напряженности поля следующим образом.

Выражается в терминах координатного времени t, это:

dp α dt = q F α β dx β dt, {\ displaystyle {dp _ {\ alpha} \ over {dt}} = q \, F _ {\ alpha \ beta} \, {\ frac {dx ^ {\ beta}} {dt}},}

{dp_{\alpha } \over {dt}}=q\,F_{\alpha \beta }\,{\frac {dx^{\beta }} {dt} },

где p α - четырехмерный импульс, q - заряд, а x - положение.

Выражаясь в независимой от кадра форме, мы имеем четыре силы

dp α d τ = q F α β u β, {\ displaystyle {\ frac {dp _ {\ alpha}} {d \ tau}} \, = q \, F _ {\ alpha \ beta} \, u ^ {\ beta},}

{\ displaystyle {\ frac {dp _ {\ alpha}} {d \ tau}} \, = q \, F _ {\ alpha \ beta} \, u ^ {\ beta },}

где u - четырехскоростная скорость, а τ - собственное время частицы, которое связано с координатным временем соотношением dt = γdτ.

Континуум заряда

Сила Лоренца на пространственный объем f при непрерывном распределении заряда (плотность заряда ρ) в движении.

Плотность силы из-за электромагнетизма, пространственная часть которой является силой Лоренца, задается как

f α = F α β J β. {\ displaystyle f _ {\ alpha} = F _ {\ alpha \ beta} J ^ {\ beta}. \!}

f_{\alpha} = F_{\alpha\beta}J^{\beta}.\!

и связан с тензором электромагнитного напряжения-энергии соотношением

f α = - T α β, β ≡ - ∂ T α β ∂ x β. {\ Displaystyle е ^ {\ альфа} = - {T ^ {\ alpha \ beta}} _ {, \ beta} \ Equiv - {\ frac {\ partial T ^ {\ alpha \ beta}} {\ partial x ^ {\ beta}}}.}

f ^ {\ alpha} = - {T ^ {\ alpha \ beta}} _ {, \ beta} \ Equiv - \ frac {\ partial T ^ {\ alpha \ beta}} {\ partial x ^ \ beta}.

Законы сохранения

Электрический заряд

Уравнение неразрывности :

J α, α = def ∂ α J α = 0. {\ Displaystyle {J ^ {\ alpha}} _ {, \ alpha} \, {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \, \ partial _ {\ alpha} J ^ {\ alpha} \, = \, 0 \,.}

{J ^ {\ alpha}} _ {, \ alpha} \, \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \, \ partial _ {\ alpha} J ^ {\ alpha} \, = \, 0 \,.

выражает сохранение заряда.

Электромагнитная энергия-импульс

Используя уравнения Максвелла, можно видеть, что тензор электромагнитного напряжения-энергии (определенное выше) удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению, связывающему его с электромагнитным тензором и четырехвектором тока

T α β, β + F α β J β = 0 {\ displaystyle {T ^ {\ alpha \ beta }} _ {, \ beta} + F ^ {\ alpha \ beta} J _ {\ beta} = 0}

{Т ^ {\ alpha \ bet a}} _ {, \ beta} + F ^ {\ alpha \ beta} J _ {\ beta} = 0

или

η α ν T ν β, β + F α β J β = 0, { \ displaystyle \ eta _ {\ alpha \ nu} {T ^ {\ nu \ beta}} _ {, \ beta} + F _ {\ alpha \ beta} J ^ {\ beta} = 0,}

\ eta _ {\ alpha \ nu} {T ^ {\ nu \ beta}} _ {, \ beta} + F _ {\ alpha \beta} J^{\beta} = 0,

который выражает сохранение количества движения и энергии за счет электромагнитных взаимодействий.

Ковариантные объекты в материи

Свободные и связанные четыре-токи

Чтобы решить приведенные здесь уравнения электромагнетизма, необходимо добавить информацию о том, как вычислить электрический ток, Дж. Часто бывает удобно разделить ток на две части, свободный ток и связанный ток, которые моделируются различными уравнениями;

J ν = J ν бесплатно + J ν граница, {\ displaystyle J ^ {\ nu} = {J ^ {\ nu}} _ {\ text {free}} + {J ^ {\ nu}} _ {\ text {bound}} \,,}

J^{\nu} = {J^{\nu}}_{\text{free}} + {J^{\nu}}_{\text{bound}} \,,

где

J ν free = (c ρ free, J free) = (c ∇ ⋅ D, - ∂ D ∂ t + ∇ × H), {\ displaystyle {J ^ {\ nu}} _ {\ text {free}} = (c \ rho _ {\ text {free}}, \ mathbf {J} _ {\ text {free}}) = \ left (c \ nabla \ cdot \ mathbf {D}, - \ {\ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ partial t}} + \ nabla \ times \ mathbf {H} \ right) \,,}

{J ^ {\ nu}} _ {\ text {free}} = (c \ rho _ {\ text {free}}, \ mathbf {J} _ {\ text {free}}) = \ left (c \ nabla \ cdot \ mathbf {D}, - \ \ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ partial t} + \ nabla \ times \ mathbf {H} \ right) \,,

J ν bound = (c ρ bound, J bound) = (- c ∇ ⋅ P, ∂ P ∂ t + ∇ × M). {\ displaystyle {J ^ {\ nu}} _ {\ text {bound}} = (c \ rho _ {\ text {bound}}, \ mathbf {J} _ {\ text {bound}}) = \ left (- \ c \ nabla \ cdot \ mathbf {P}, {\ frac {\ partial \ mathbf {P}} {\ partial t}} + \ nabla \ times \ mathbf {M} \ right) \,.}

{J ^ {\ nu}} _ {\ text {bound}} = (c \ rho _ {\ text {bound}}, \ mathbf {J} _ {\ text {bound}}) = \ left (- \ c \ nabla \ cdot \ mathbf {P}, \ frac {\ partial \ mathbf {P}} {\ partial t} + \ nabla \ times \ mathbf {M} \ right) \,.

были использованы макроскопические уравнения Максвелла, а также определения электрического смещения Dи магнитной напряженности H:

D = ϵ 0 E + P, {\ displaystyle \ mathbf { D} = \ epsilon _ {0} \ mathbf {E} + \ mathbf {P},}

{\ displaystyle \ mathbf {D} = \ epsilon _ {0} \ mathbf {E} + \ mathbf {P},}

H = 1 μ 0 B - M. {\ displaystyle \ mathbf {H} = {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ mathbf {B} - \ mathbf {M} \,.}

{\ displaystyle \ mathbf {H} = {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ mathbf {B} - \ mathbf {M} \,.}

где M намагниченность и P электрическая поляризация.

тензор намагниченности-поляризации

Связанный ток получается из P и M поля, которые образуют антисимметричный контравариантный тензор намагниченности-поляризации

M μ ν = (0 P xc P yc P zc - P xc 0 - M z M y - P yc M z 0 - M x - P zc - M Y M x 0), {\ displaystyle {\ mathcal {M}} ^ {\ mu \ nu} = {\ begin {pmatrix} 0 P_ {x} c P_ {y} c P_ {z} c \ \ -P_ {x} c 0 -M_ {z} M_ {y} \\ - P_ {y} c M_ {z} 0 -M_ {x} \\ - P_ {z} c -M_ {y} M_ {x} 0 \ end {pmatrix}},}

\ mathcal {M} ^ {\ mu \ nu} = \ begin {pmatrix} 0 P_xc P_yc P_zc \\ - P_xc 0 - M_z M_y \\ - P_yc M_z 0 - M_x \\ - P_zc - M_y M_x 0 \ end {pmatrix},

, который определяет связанный ток

J ν bound = ∂ μ M μ ν. {\ displaystyle {J ^ {\ nu}} _ {\ text {bound}} = \ partial _ {\ mu} {\ mathcal {M}} ^ {\ mu \ nu} \,.}

{J^{\nu}}_{\text{bound}}=\partial_{\mu} \mathcal{M}^{\mu \nu} \,.

Электрическое смещение тензор

Если это объединить с F, мы получим антисимметричный контравариантный тензор электромагнитного смещения, который объединяет поля D и H следующим образом:

D μ ν = (0 - D xc - D yc - D zc D xc 0 - H z H y D yc H z 0 - H x D zc - H y H x 0). {\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ mu \ nu} = {\ begin {pmatrix} 0 -D_ {x} c -D_ {y} c -D_ {z} c \\ D_ {x} c 0 -H_ {z} H_ {y} \\ D_ {y} c H_ {z} 0 -H_ {x} \\ D_ {z} c -H_ {y} H_ {x} 0 \ end {pmatrix}}.}

\ mathcal {D} ^ {\ mu \ nu} = \ begin {pmatrix} 0 - D_xc - D_yc - D_zc \\ D_xc 0 - H_z H_y \\ D_yc H_z 0 - H_x \\ D_zc - H_y H_x 0 \ end {pmatrix}.

Три тензора поля связаны соотношением:

D μ ν = 1 μ 0 F μ ν - M μ ν {\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ mu \ nu} = {\ frac { 1} {\ mu _ {0}}} F ^ {\ mu \ nu} - {\ mathcal {M}} ^ {\ mu \ nu} \,}

\mathcal{D}^{\mu \nu} = \frac{1}{\mu_{0}} F^{\mu \nu} - \mathcal{M}^{\mu \nu} \,

, что эквивалентно определениям D и H, указанные выше.

Уравнения Максвелла в материи

В результате закон Ампера,

∇ × H = J free + ∂ D ∂ t {\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {H} = \ mathbf {J} _ {\ text {free}} + {\ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ partial t}}}

{\ displaystyle \ mat hbf {\ nabla} \ times \ mathbf {H} = \ mathbf {J} _ {\ text {free}} + {\ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ partial t}}}

и закон Гаусса,

∇ ⋅ D = ρ free {\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {D} = \ rho _ {\ text {free}}}

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {D} = \ rho _ {\ text {free}}}

объединить в одно уравнение:

Гаусс - Закон Ампера закон (материя)

$J ν бесплатно = ∂ μ D μ ν {\ displaystyle {J ^ {\ nu}} _ {\ text {free}} = \ partial _ {\ mu} {\ mathcal {D}} ^ {\ mu \ nu}}$ ${J^{\nu}}_{\text{free}} = \partial_{\mu} \mathcal{D}^{\mu \nu}$

Связанный ток и свободный ток, как определено выше, автоматически и отдельно сохраняются

∂ ν J ν bound = 0 { \ Displaystyle \ partial _ {\ nu} {J ^ {\ nu}} _ {\ text {bound}} = 0 \,}

\ partial_ {\ nu} {J ^ {\ nu}} _ {\ text {bound}} = 0 \,

∂ ν J ν бесплатно = 0. {\ displaystyle \ partial _ {\ nu} {J ^ {\ nu}} _ {\ text {free}} = 0 \,.}

\ partial _ {\ nu} {J ^ {\ nu}} _ {\ text {free}} = 0 \,.

Материальные уравнения

Вакуум

В вакууме определяющие соотношения между тензором поля и тензором смещения следующие:

μ 0 D μ ν = η μ α F α β η β ν. {\ displaystyle \ mu _ {0} {\ mathcal {D}} ^ {\ mu \ nu} = \ eta ^ {\ mu \ alpha} F _ {\ alpha \ beta} \ eta ^ {\ beta \ nu} \,.}

\mu_0 \mathcal{D}^{\mu \nu} = \eta^{\mu \alpha} F_{\alpha \beta} \eta^{\beta \ nu} \,.

Антисимметрия сводит эти 16 уравнений всего к шести независимым уравнениям. Поскольку F обычно определяют как

F μ ν = η μ α F α β η β ν, {\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu} = \ eta ^ {\ mu \ alpha} F _ {\ alpha \ beta} \ eta ^ {\ beta \ nu},}

{\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu} = \ eta ^ {\ mu \ alpha} F _ {\ alpha \ beta} \ eta ^ {\ beta \ nu},}

в вакууме определяющие уравнения могут быть объединены с законом Гаусса – Ампера, чтобы получить:

∂ β F α β = μ 0 J α. {\ displaystyle \ partial _ {\ beta} F ^ {\ alpha \ beta} = \ mu _ {0} J ^ {\ alpha}. \!}

\ partial_ \ beta F ^ {\ alpha \ beta} = \ mu_0 J ^ {\ alpha}. \!

Электромагнитный тензор энергии-напряжения в единицах смещения равен :

T α π знак равно F α β D π β - 1 4 δ α π F μ ν D μ ν, {\ displaystyle T _ {\ alpha} {} ^ {\ pi} = F _ {\ alpha \ beta} {\ mathcal {D}} ^ {\ pi \ beta} - {\ frac {1} {4}} \ delta _ {\ alpha} ^ {\ pi} F _ {\ mu \ nu} {\ mathcal {D} } ^ {\ mu \ nu},}

{\ displaystyle T _ {\ alpha} {} ^ {\ pi} = F _ {\ alpha \ beta} {\ mathcal {D} } ^ {\ pi \ beta} - {\ frac {1} {4}} \ delta _ {\ alpha} ^ {\ pi} F _ {\ mu \ nu} {\ mathcal {D}} ^ {\ mu \ nu},}

где δ α - дельта Кронекера. Когда верхний индекс понижается на η, он становится симметричным и является частью источника гравитационного поля.

Линейное недисперсное вещество

Таким образом, мы сократили задачу моделирования тока J до двух (надеюсь) более простых задач - моделирования свободного тока J free и моделирование намагниченности и поляризации, $M μ ν {\ displaystyle {\ mathcal {M}} ^ {\ mu \ nu}}$ $\mathcal{M}^{\mu\nu}$ . Например, в простейших материалах на низких частотах

J free = σ E {\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ text {free}} = \ sigma \ mathbf {E} \,}

{\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ text {free}} = \ sigma \ mathbf {E} \,}

П = ϵ 0 χ е E {\ Displaystyle \ mathbf {P} = \ epsilon _ {0} \ chi _ {e} \ mathbf {E} \,}

{\ displaystyle \ mathbf {P} = \ epsilon _ {0} \ chi _ {e} \ mathbf {E} \, }

M = χ м H {\ displaystyle \ mathbf {M} = \ chi _ {m} \ mathbf {H} \,}

{\ displaystyle \ mathbf {M} = \ chi _ {m} \ mathbf {H } \,}

где один находится в мгновенно движущейся инерциальной системе отсчета материала, σ - его электропроводность, χ e - его электрическая восприимчивость, а χ m - его магнитная восприимчивость.

Материальные отношения между $D {\ displaystyle {\ mathcal { D}}}$ ${\ mathcal {D}}$ и тензоры F, предложенные Минковским для линейных материалов (то есть E пропорционально к D и B, пропорциональные H ), равны:

D μ ν u ν = c 2 ϵ F μ ν u ν {\ displaystyle {\ mathcal {D }} ^ {\ mu \ nu} u _ {\ nu} = c ^ {2} \ epsilon F ^ {\ mu \ nu} u _ {\ nu}}

\mathcal{D}^{\mu\nu}u_\nu= c^2\epsilon F^{\mu\nu} u_\nu

⋆ D μ ν u ν = 1 μ ⋆ F μ ν U ν {\ Displaystyle {\ звезда {\ mathcal {D}} ^ {\ му \ ню} } u _ {\ nu} = {\ frac {1} {\ mu}} {\ star F ^ {\ mu \ nu}} u _ {\ nu}}

{\star\mathcal{D}^{\mu\nu}}u_\nu= \frac{1}{\mu}{\star F^{\mu\nu}} u_\nu

где u - четырехскоростная скорость материала, ε и μ - соответственно правильная диэлектрическая проницаемость и проницаемость материала (т. е. в кадре покоя материала), $⋆ {\ displaystyle \ star}$ $\ star$ и обозначает дуальный.

лагранжиан Ходжа для классической электродинамики

Вакуум

Плотность лагранжиана для классической электродинамики состоит из двух компонентов: компонента поля и компонента источника:

L = L field + L int = - 1 4 μ 0 F α β F α β - A α J α. {\ displaystyle {\ mathcal {L}} \, = \, {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {field}} + {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {int}} = - {\ frac {1} {4 \ mu _ {0}}} F ^ {\ alpha \ beta} F _ {\ alpha \ beta} -A _ {\ alpha} J ^ {\ alpha} \,.}

\ mathcal {L} \, = \, \ mathcal {L} _ {\ mathrm {field}} + \ mathcal {L} _ {\ mathrm {int}} = - \ frac {1} {4 \ mu_0 } F ^ {\ alpha \ beta} F _ {\ alpha \ beta} - A _ {\ alpha} J ^ {\ alpha} \,.

В термин взаимодействия, четырехтоковый следует понимать как сокращение многих терминов, выражающих электрические токи других заряженных полей через их переменные; четыре-ток сам по себе не является фундаментальным полем.

Уравнения Лагранжа для плотности электромагнитного лагранжа $L (A α, ∂ β A α) {\ displaystyle {\ mathcal {L}} (A _ {\ alpha}, \ partial _ {\ beta} A _ {\ alpha}) \,}$ $\mathcal{L}(A_{\alpha},\partial_{\beta}A_{\alpha})\,$ можно сформулировать следующим образом:

∂ β [∂ L ∂ (∂ β A α)] - ∂ L ∂ A α = 0. {\ displaystyle \ partial _ {\ beta} \ left [{\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ beta} A _ {\ alpha})}} \ right] - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial A _ {\ alpha}}} = 0 \,.}

\ partial _ {\ beta} \ left [\ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial (\ partial _ {\ beta } A _ {\ alpha})} \ right] - \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial A _ {\ alpha}} = 0 \,.

Принимая во внимание

F μ ν = ∂ μ A ν - ∂ ν A μ {\ displaystyle F _ {\ mu \ nu} = \ partial _ {\ mu} A _ {\ nu} - \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} \,}

F_{\mu \nu}=\partial_{\mu} A_{\nu} - \partial_{\nu} A_{\mu}\,

выражение внутри квадратной скобки:

∂ L ∂ (∂ β A α) = - 1 4 μ 0 ∂ (F μ ν η μ λ η ν σ F λ σ) ∂ (∂ β A α) = - 1 4 μ 0 η μ λ η ν σ (F λ σ (δ μ β δ ν α - δ ν β δ μ α) + F μ ν (δ λ β δ σ α - δ σ β δ λ α)) = - F β α μ 0. {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ beta} A _ {\ alpha})}} = - \ {\ frac { 1} {4 \ mu _ {0}}} \ {\ frac {\ partial (F _ {\ mu \ nu} \ eta ^ {\ mu \ lambda} \ eta ^ {\ nu \ sigma} F _ {\ lambda \ sigma})} {\ partial (\ partial _ {\ beta} A _ {\ alpha})}} \\ = - \ {\ frac {1} {4 \ mu _ {0}}} \ \ eta ^ { \ mu \ lambda} \ eta ^ {\ nu \ sigma} \ left (F _ {\ lambda \ sigma} (\ delta _ {\ mu} ^ {\ beta} \ delta _ {\ nu} ^ {\ alpha} - \ delta _ {\ nu} ^ {\ beta} \ delta _ {\ mu} ^ {\ alpha}) + F _ {\ mu \ nu} (\ delta _ {\ lambda} ^ {\ beta} \ delta _ { \ sigma} ^ {\ alpha} - \ delta _ {\ sigma} ^ {\ beta} \ delta _ {\ lambda} ^ {\ alpha}) \ right) \\ = - \ {\ frac {F ^ { \ beta \ alpha}} {\ mu _ {0}}} \,. \ end {align}}}

\ begin {align} \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial (\ partial _ {\ beta} A _ {\ alpha})} = - \ \ frac { 1} {4 \ mu_0} \ \ frac {\ partial (F _ {\ mu \ nu} \ eta ^ {\ mu \ lambda} \ eta ^ {\ nu \ sigma} F _ {\ lambda \ sigma})} {\ частичное (\ partial _ {\ beta} A _ {\ alpha})} \\ = - \ \ frac {1} {4 \ mu_0} \ \ eta ^ {\ mu \ lambda} \ eta ^ {\ nu \ sigma} \ lef t (F _ {\ lambda \ sigma} (\ delta ^ {\ beta} _ {\ mu} \ delta ^ {\ alpha} _ {\ nu} - \ delta ^ {\ beta} _ {\ nu} \ delta ^ {\ alpha} _ {\ mu}) + F _ {\ mu \ nu} (\ delta ^ {\ beta} _ {\ lambda} \ delta ^ {\ alpha} _ {\ sigma} - \ delta ^ {\ beta } _ {\ sigma} \ delta ^ {\ alpha} _ {\ lambda}) \ right) \\ = - \ \ frac {F ^ {\ beta \ alpha}} {\ mu_0} \,. \ end {align}

Второй член равен

∂ L ∂ A α = - J α. {\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial A _ {\ alpha}}} = - J ^ {\ alpha} \,.}

\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_{\alpha}}= - J^{ \alpha} \,.

Следовательно, уравнения движения электромагнитного поля равны

∂ F β α ∂ x β = μ 0 J α. {\ displaystyle {\ frac {\ partial F ^ {\ beta \ alpha}} {\ partial x ^ {\ beta}}} = \ mu _ {0} J ^ {\ alpha} \,.}

\ frac {\ partial F ^ {\ beta \ alpha}} {\ partial х ^ {\ бета}} = \ mu_0 J ^ {\ alpha} \,.

который является одним из приведенных выше уравнений Максвелла.

Материя

Отделяя свободные токи от связанных токов, другой способ записать плотность лагранжиана выглядит следующим образом:

L = - 1 4 μ 0 F α β F α β - A α J свободный α + 1 2 F α β M α β. {\ displaystyle {\ mathcal {L}} \, = \, - {\ frac {1} {4 \ mu _ {0}}} F ^ {\ alpha \ beta} F _ {\ alpha \ beta} -A_ { \ alpha} J _ {\ text {free}} ^ {\ alpha} + {\ frac {1} {2}} F _ {\ alpha \ beta} {\ mathcal {M}} ^ {\ alpha \ beta} \,.}

\ mathcal {L} \, = \, - \ frac {1} {4 \ mu_0} F ^ {\ alpha \ beta} F _ {\ alpha \ beta} - A_ { \ alpha} J ^ {\ alpha} _ {\ text {free}} + \ frac12 F _ {\ alpha \ beta} \ mathcal {M} ^ {\ alpha \ beta} \,.

Используя уравнение Лагранжа, можно получить уравнения движения для $D μ ν {\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ mu \ nu}}$ $\mathcal{D}^{\mu\nu}$ .

Эквивалентное выражение в нерелятивистской векторной системе обозначений:

L = 1 2 (ϵ 0 E 2 - 1 μ 0 B 2) - ϕ ρ free + A ⋅ J free + E ⋅ P + B ⋅ М. {\ displaystyle {\ mathcal {L}} \, = \, {\ frac {1} {2}} \ left (\ epsilon _ {0} E ^ {2} - {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} B ^ {2} \ right) - \ phi \, \ rho _ {\ text {free}} + \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {J} _ {\ text {free}} + \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {P} + \ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {M} \,.}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \, = \, {\ frac {1} {2}} \ left (\ epsilon _ {0} E ^ {2} - {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} B ^ {2} \ right) - \ phi \, \ rho _ {\ text {free}} + \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {J} _ {\ text {free}} + \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {P} + \ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {M} \,.}

См. также

Примечания и ссылки

Дополнительная литература

Эйнштейн, А. (1961). Относительность: специальная и общая теория. Нью-Йорк: Корона. ISBN 0-517-02961-8.
Миснер, Чарльз; Thorne, Kip S.; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация. Сан-Франциско: В. Х. Фриман. ISBN 0-7167-0344-0.
Ландау, Л.Д.; Лифшиц, Э. М. (1975). Классическая теория полей (четвертое исправленное английское издание). Оксфорд: Пергамон. ISBN 0-08-018176-7.
R. П. Фейнман; Ф. Б. Моринго; В. Г. Вагнер (1995). Лекции Фейнмана по гравитации. Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-62734-5.