Гармоническая карта

редактировать

В математической области дифференциальной геометрии, гладкая карта из одного риманова многообразия в другое риманово многообразие называется гармоническим, если его координатные представители удовлетворяют некоторому нелинейному уравнению в частных производных. Это уравнение в частных производных для отображения также возникает как уравнение Эйлера-Лагранжа функционала, обобщающего энергию Дирихле (которая часто сама называется «энергией Дирихле»). Таким образом, теория гармонических отображений охватывает как теорию геодезических с единичной скоростью в римановой геометрии, так и теорию гармонических функций на открытых подмножествах евклидова пространства и на римановых многообразиях.

Неформально, энергию Дирихле отображения f риманова многообразия M в риманово многообразие N можно представить как общую сумму, которую f "растягивает" M при размещении каждого из его элементов в точке N Например, резиновую ленту, натянутую вокруг (гладкого) камня, можно математически формализовать как отображение точек на нерастянутой ленте на поверхность камня. Нерастянутой ленте и камню даны римановы метрики как вложенные подмногообразия трехмерного евклидова пространства ; тогда энергия Дирихле такого отображения является формализацией понятия полного напряжения. Гармоничность такого отображения означает, что при любом гипотетическом способе физической деформации данного участка натяжение (если рассматривать его как функцию времени) имеет первую производную, равную нулю, когда начинается деформация.

Теория гармонических отображений была начата в 1964 году Джеймсом Иллсом и Джозефом Сэмпсоном, которые показали, что в определенных геометрических контекстах произвольные гладкие отображения могут быть деформированы в гармонические карты. Их работа послужила источником вдохновения для первой работы Ричарда Гамильтона над потоком Риччи. Гармонические карты и связанная с ними гармоническая карта теплового потока сами по себе являются одними из наиболее широко изучаемых тем в области геометрического анализа.

Открытие «пузырящегося» последовательностей гармонических карт, благодаря Джонатану Сакс и Карен Уленбек оказали особое влияние, поскольку те же явления были обнаружены во многих других геометрических контекстах. Примечательно, что параллельное открытие Уленбеком пузырьков в полях Янга-Миллса важно в работе Саймона Дональдсона о четырехмерных многообразиях и в более позднем открытии Михаэлем Громовым пузырьков псевдоголоморфные кривые важны в приложениях к симплектической геометрии и квантовым когомологиям. Методы, использованные Ричардом Шеном и Уленбеком для изучения теории регулярности гармонических отображений, также послужили источником вдохновения для разработки многих аналитических методов в геометрическом анализе.

Содержание

1 Математическое определение
- 1.1 Интегральная формулировка
- 1.2 Локальные координаты
- 1.3 Формализм связки
2 Примеры гармонических карт
3 Гармоническая карта теплового потока
4 Теорема Иллса и Сэмпсона
5 Формула Бохнера и жесткость
6 Проблемы и приложения
7 Гармонические отображения между метрическими пространствами
8 Ссылки
- 8.1 Книги и обзоры
9 Внешние ссылки

Математическое определение

Здесь понятие лапласиана карты рассматривается с трех разных точек зрения. Отображение называется гармоническим, если его лапласиан равен нулю; он называется полностью геодезическим, если его гессиан равен нулю.

Интегральная формулировка

Пусть (M, g) и (N, h) римановы многообразия. Для гладкого отображения f из M в N, откат fh является симметричным 2-тензором на M; плотность энергии e (f) функции f составляет половину ее g-следа. Если M ориентировано и M компактно, энергия Дирихле числа f определяется как

E (f) = ∫ M e (f) d μ g {\ displaystyle E (f) = \ int _ {M} e (f) \, d \ mu _ {g}}

E(f)=\int _{M}e(f)\,d\mu _{g}

где dμ g - форма объема на M, индуцированная g. Даже если M некомпактно, имеет смысл следующее определение: лапласиан или поле напряжений Δf f - это векторное поле в N вдоль f, такое что

∫ M ∂ ∂ s | s знак равно 0 е (фс) d μ g знак равно - ∫ M час (∂ ∂ s | s = 0 фс, Δ е) d μ g {\ displaystyle \ int _ {M} {\ frac {\ partial} {\ partial s}} {\ Big |} _ {s = 0} e (f_ {s}) \, d \ mu _ {g} = - \ int _ {M} h \ left ({\ frac {\ partial} { \ partial s}} {\ Big |} _ {s = 0} f_ {s}, \ Delta f \ right) \, d \ mu _ {g}}

\int _{M}{\frac {\partial }{\partial s}}{\Big |}_{s=0}e(f_{s})\,d\mu _{g}=-\int _{M}h\left({\frac {\partial }{\partial s}}{\Big |}_{s=0}f_{s},\Delta f\right)\,d\mu _{g}

для любого однопараметрического семейства отображений f s : M → N с f 0 = f и для которого существует предкомпактное открытое множество K для M такое, что f s|M - K = f | M - K для всех s; предполагается, что параметризованное семейство является гладким в том смысле, что ассоциированное отображение (−ε, ε) × M → N, заданное формулой (s, p) ↦ f s (p), является гладким.

В случае компактности M лапласиан f можно представить как градиент функционала энергии Дирихле.

Локальные координаты

Пусть U - открытое подмножество ℝ, а V - открытое подмножество ℝ. Для каждого i и j от 1 до n, пусть g ij будет гладкой вещественнозначной функцией на U, такой, что для каждого p в U имеется матрица m × m [g ij (p)] симметрично и положительно определено. Для каждого α и β между 1 и m пусть h αβ будет гладкой вещественнозначной функцией на V, такой, что для каждого q в V имеется матрица размера n × n [h αβ (q)] симметрично и положительно определено. Обозначим обратные матрицы через [g (p)] и [h (q)].

Для каждого i, j, k между 1 и n и каждого α, β, γ между 1 и m определите символы Кристоффеля Γ (g) ij : U → ℝ и Γ (h) αβ : V → ℝ

Γ (g) ijk = 1 2 ∑ ℓ = 1 mgk ℓ (∂ gj ℓ ∂ xi + ∂ gi ℓ ∂ xj - ∂ gij ∂ x ℓ) Γ (h) α β γ = 1 2 ∑ δ = 1 nh γ δ (∂ h β δ ∂ y α + ∂ h α ​​δ ∂ y β - ∂ h α ​​β ∂ y δ) {\ displaystyle {\ begin {align} \ Gamma (g) _ {ij} ^ {k} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {\ ell = 1} ^ {m} g ^ {k \ ell } {\ Big (} {\ frac {\ partial g_ {j \ ell}} {\ partial x ^ {i}}} + {\ frac {\ partial g_ {i \ ell}} {\ partial x ^ {j }}} - {\ frac {\ partial g_ {ij}} {\ partial x ^ {\ ell}}} {\ Big)} \\\ Гамма (h) _ {\ alpha \ beta} ^ {\ gamma} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {\ delta = 1} ^ {n} h ^ {\ gamma \ delta} {\ Big (} {\ frac {\ partial h _ {\ beta \ delta) }} {\ partial y ^ {\ alpha}}} + {\ frac {\ partial h _ {\ alpha \ delta}} {\ partial y ^ {\ beta}}} - {\ frac {\ partial h _ {\ alpha \ beta}} {\ partial y ^ {\ delta}}} {\ Big)} \ end {align}}}

{\begin{aligned}\Gamma (g)_{ij}^{k}={\frac {1}{2}}\sum _{\ell =1}^{m}g^{k\ell }{\Big (}{\frac {\partial g_{j\ell }}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{i\ell }}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{\ell }}}{\Big)}\\\Gamma (h)_{\alpha \beta }^{\gamma }={\frac {1}{2}}\sum _{\delta =1}^{n}h^{\gamma \delta }{\Big (}{\frac {\partial h_{\beta \delta }}{\partial y^{\alpha }}}+{\frac {\partial h_{\alpha \delta }}{\partial y^{\beta }}}-{\frac {\partial h_{\alpha \beta }}{\partial y^{\delta }}}{\Big)}\end{aligned}}

Учитывая гладкое отображение f из U в V, его гессиан определяет для каждый i и j от 1 до m и для e Каждому α между 1 и n действительнозначная функция ∇ (df) ij на U по

∇ (df) ij α = ∂ 2 f α ∂ xi ∂ xj - ∑ k = 1 m Γ (ж) ijk ∂ f α ∂ xk + ∑ β = 1 n ∑ γ = 1 n ∂ f β ∂ xi ∂ f γ ∂ xj Γ (h) β γ α ∘ f. {\ displaystyle \ nabla (df) _ {ij} ^ {\ alpha} = {\ frac {\ partial ^ {2} f ^ {\ alpha}} {\ partial x ^ {i} \ partial x ^ {j} }} - \ sum _ {k = 1} ^ {m} \ Gamma (g) _ {ij} ^ {k} {\ frac {\ partial f ^ {\ alpha}} {\ partial x ^ {k}} } + \ sum _ {\ beta = 1} ^ {n} \ sum _ {\ gamma = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f ^ {\ beta}} {\ partial x ^ {i}} } {\ frac {\ partial f ^ {\ gamma}} {\ partial x ^ {j}}} \ Gamma (h) _ {\ beta \ gamma} ^ {\ alpha} \ circ f.}

\nabla (df)_{ij}^{\alpha }={\frac {\partial ^{2}f^{\alpha }}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}-\sum _{k=1}^{m}\Gamma (g)_{ij}^{k}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial x^{k}}}+\sum _{\beta =1}^{n}\sum _{\gamma =1}^{n}{\frac {\partial f^{\beta }}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial f^{\gamma }}{\partial x^{j}}}\Gamma (h)_{\beta \gamma }^{\alpha }\circ f.

Его лапласиан или поле напряжений определяет для каждого α между 1 и n действительную функцию (∆f) на U как

(Δ f) α = ∑ i = 1 м ∑ j = 1 mgij ∇ (df) ij α. {\ displaystyle (\ Delta f) ^ {\ alpha} = \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ sum _ {j = 1} ^ {m} g ^ {ij} \ nabla (df) _ { ij} ^ {\ alpha}.}

(\Delta f)^{\alpha }=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{m}g^{ij}\nabla (df)_{ij}^{\alpha }.

Плотность энергии функции f - это действительная функция на U, заданная как

∑ i = 1 m ∑ j = 1 m ∑ α = 1 n ∑ β знак равно 1 ngij ∂ f α ∂ xi ∂ f β ∂ xj (h α β f). {\ displaystyle \ sum _ {я = 1} ^ {m} \ sum _ {j = 1} ^ {m} \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {n} \ sum _ {\ beta = 1} ^ {n} g ^ {ij} {\ frac {\ partial f ^ {\ alpha}} {\ partial x ^ {i}}} {\ frac {\ partial f ^ {\ beta}} {\ partial x ^ { j}}} (h _ {\ alpha \ beta} \ circ f).}

\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{m}\sum _{\alpha =1}^{n}\sum _{\beta =1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial f^{\beta }}{\partial x^{j}}}(h_{\alpha \beta }\circ f).

Формализм расслоения

Пусть (M, g) и (N, h) римановы многообразия. Для гладкого отображения f из M в N можно рассматривать его дифференциал df как часть векторного расслоения TM ⊗ fTN над M; все это говорит о том, что для каждого p в M имеется линейное отображение df p как T p M → T f (p) N. Римановы метрики на M и N индуцируют метрику расслоения на TM ⊗ fTN, поэтому можно определить 1/2 | df | как гладкая функция на M, известная как плотность энергии .

Связка TM ⊗ fTN также имеет метрическую совместимую связь, индуцированную связями Леви-Чивита на M и N. Таким образом, можно взять ковариантную производную ∇ (df), которая является сечением векторного расслоения TM ⊗ TM ⊗ fTN над M; это означает, что для каждого p в M имеется билинейное отображение (∇ (df)) p как T p M × T p M → T f (p) N. Этот раздел известен как гессиан из f.

Используя g, можно проследить гессиан f, чтобы прийти к лапласиану или полю напряжения f, которое является сечением пучка fTN над M; это означает, что лапласиан f присваивает каждому p в M элемент из T f (p) N. Он определяется выражением

(Δ е) п = ∑ я знак равно 1 м (∇ (df)) п (ei, ei) {\ displaystyle (\ Delta f) _ {p} = \ sum _ {i = 1 } ^ {m} {\ big (} \ nabla (df) {\ big)} _ {p} (e_ {i}, e_ {i})}

(\Delta f)_{p}=\sum _{i=1}^{m}{\big (}\nabla (df){\big)}_{p}(e_{i},e_{i})

где e 1,..., e m является ag p -ортонормальным базисом T p M.

Примеры гармонических отображений

Пусть (M, g) и (N, h) - гладкие римановы многообразия. Обозначение g stan используется для обозначения стандартной римановой метрики на евклидовом пространстве.

Всякое вполне геодезическое отображение (M, g) → (N, h) гармонично; это непосредственно следует из приведенных выше определений. В качестве особых случаев:
- Для любого q из N постоянное отображение (M, g) → (N, h) со значением в q является гармоническим.
- Тождественное отображение (M, g) → (M, g) является гармоническим.
Если f: M → N является погружением, то f: (M, fh) → (N, h) гармонично тогда и только тогда, когда f является минимальный относительно h. В качестве особого случая:
- Если f: ℝ → (N, h) - погружение с постоянной скоростью, то f: (ℝ, g stan) → (N, h) - это гармонична тогда и только тогда, когда f решает геодезическое дифференциальное уравнение.

Напомним, что если M одномерно, то минимальность f эквивалентна геодезической f, хотя это не означает, что это параметризация с постоянной скоростью и, следовательно, не означает, что f решает геодезическое дифференциальное уравнение.

Гладкое отображение f: (M, g) → (ℝ, g stan) является гармоническим тогда и только тогда, когда каждая из его n компонентных функций гармонична как отображения (M, g) → (ℝ, g stan). Это совпадает с понятием гармоничности, обеспечиваемым оператором Лапласа-Бельтрами.
Любое голоморфное отображение между кэлеровыми многообразиями гармонично.
Каждые гармонический морфизм между римановыми многообразиями является гармоническим.

Гармоническое отображение теплового потока

Пусть (M, g) и (N, h) - гладкие римановы многообразия. Гармоническая карта теплового потока на интервале (a, b) назначает каждому t в (a, b) дважды дифференцируемую карту f t : M → N таким образом что для каждого p в M отображение (a, b) → N, заданное как t ↦ f t (p), является дифференцируемым, а его производная при заданном значении t является вектором в T ft (p) N, равный (∆ f t)p. Обычно это сокращается как:

∂ f ∂ t = ∆ f. {\ Displaystyle {\ frac {\ partial f} { \ partial t}} = \ Delta f.}

{\frac {\partial f}{\partial t}}=\Delta f.

Иллс и Сэмпсон ввели тепловой поток гармонической карты и доказали следующие фундаментальные свойства:

Регулярность. Любая гармоническая карта теплового потока является гладкой как карта (a, b) × M → N, заданное формулой (t, p) ↦ f t (p).

Теперь предположим, что M - замкнутое многообразие и (N, h) геодезически полно.

Существование. Для непрерывно дифференцируемого отображения f из M в N существует положительное число T и гармоническое отображение теплового потока f t на интервале (0, T) такие, что f t сходится к f в топологии C при уменьшении t до 0.
Уникальность. Если {f t : 0 < t < T } and { f t : 0 < t < T } are two harmonic map heat flows as in the existence theorem, then ft = f t всякий раз, когда 0 < t < min(T, T).

Как следствие теоремы единственности, существует максимальная гармоническая карта теплового потока с начальными данными f, что означает, что имеется гармоническая карта теплового потока {f t : 0 < t < T } as in the statement of the existence theorem, and it is uniquely defined under the extra criterion that T takes on its maximal possible value, which could be infinite.

Теорема Иллса и Сэмпсона

Основной результат статьи Илса и Сэмпсона 1964 года следующий:

Пусть (M, g) и (N, h) - гладкие и замкнутые римановы многообразия, и предположим, что секционная кривизна (N, h) неположительно. Тогда для любого непрерывно дифференцируемого отображения f из M в N максимальное гармоническое отображение теплового потока {f t : 0 < t < T } with initial data f has T = ∞, and as t increases to ∞, the maps ft последовательно сходится в топологии C к гармоническому отображению.

В частности, это показывает, что при предположениях относительно (M, g) и (N, h) любое непрерывное отображение гомотопно гармоническому отображению. Само существование гармонической карты в каждом гомотопическом классе, которое неявно утверждается, является частью результата. В 1967 году Филип Хартман расширил свои методы для изучения единственности гармонических отображений внутри гомотопических классов, дополнительно показав, что сходимость в теореме Эллса-Сэмпсона сильна, без необходимости выбора подпоследовательности. Результат Илса и Сэмпсона был адаптирован к постановке краевой задачи Дирихле, когда M вместо этого компактно с непустой границей, Ричардом Гамильтоном в 1975 году.

Для Спустя много лет после работы Иллса и Сэмпсона было неясно, в какой степени допущение о секционной кривизне для (N, h) было необходимо. После работ Кунг-Чинг Чанга, Вей-Юэ Дина и Руганга Е в 1992 году широко признано, что максимальное время существования теплового потока на гармонической карте «обычно» не может быть бесконечным. Их результаты убедительно указывают на то, что существуют тепловые потоки с гармонической картой с «раздутием за конечное время», даже если и (M, g), и (N, h) считаются двумерной сферой с ее стандартной метрикой. Поскольку эллиптические и параболические уравнения в частных производных особенно гладкие, когда область является двухмерной, результат Чанг-Дин-Йе считается показателем общего характера потока.

Формула Бохнера и жесткость

Основным вычислительным моментом в доказательстве теоремы Иллса и Сэмпсона является адаптация формулы Бохнера к настройке гармонической карты тепла расход {f t : 0 < t < T }. This formula says

(∂ ∂ t - Δ g) e (f) = - | ∇ (d f) | 2 - ⟨Ric g, f ∗ h⟩ g + scal g ⁡ (f ∗ Rm h). {\ Displaystyle {\ Big (} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} - \ Delta ^ {g} {\ Big)} e (f) = - {\ big |} \ nabla (df) { \ big |} ^ {2} - {\ big \ langle} \ operatorname {Ric} ^ {g}, f ^ {\ ast} h {\ big \ rangle} _ {g} + \ operatorname {scal} ^ { g} {\ big (} f ^ {\ ast} \ operatorname {Rm} ^ {h} {\ big)}.}

{\Big (}{\frac {\partial }{\partial t}}-\Delta ^{g}{\Big)}e(f)=-{\big |}\nabla (df){\big |}^{2}-{\big \langle }\operatorname {Ric} ^{g},f^{\ast }h{\big \rangle }_{g}+\operatorname {scal} ^{g}{\big (}f^{\ast }\operatorname {Rm} ^{h}{\big)}.

Это также представляет интерес для анализа самих гармонических отображений; предположим, что f: M → N гармоническая. Любую гармоническую карту можно рассматривать как решение с постоянной по t теплового потока гармонической карты, и поэтому из приведенной выше формулы можно получить, что

Δ g e (f) = | ∇ (d f) | 2 + ⟨Ric g, f ∗ h⟩ g - scal g ⁡ (f ∗ Rm h). {\ displaystyle \ Delta ^ {g} e (f) = {\ big |} \ nabla (df) {\ big |} ^ {2} + {\ big \ langle} \ operatorname {Ric} ^ {g}, f ^ {\ ast} h {\ big \ rangle} _ {g} - \ operatorname {scal} ^ {g} {\ big (} f ^ {\ ast} \ operatorname {Rm} ^ {h} {\ big)}.}

\Delta ^{g}e(f)={\big |}\nabla (df){\big |}^{2}+{\big \langle }\operatorname {Ric} ^{g},f^{\ast }h{\big \rangle }_{g}-\operatorname {scal} ^{g}{\big (}f^{\ast }\operatorname {Rm} ^{h}{\big)}.

Если кривизна Риччи кривой g положительна, а секционная кривизна h неположительна, то это означает, что ∆e (f) неотрицательна. Если M замкнуто, то умножение на e (f) и однократное интегрирование по частям показывает, что e (f) должно быть постоянным и, следовательно, равным нулю; следовательно, f само должно быть постоянным. Ричард Шон и Шинг-Тунг Яу (1976) отмечают, что это можно распространить на некомпактный M, используя теорему Яу, утверждающую, что неотрицательные субгармонические функции, которые являются L-ограниченный должен быть постоянным. Таким образом, согласно Eells Sampson (1964) и Schoen Yau (1976), мы имеем:

Пусть (M, g) и (N, h) - гладкие и полные римановы многообразия, и пусть f - гармоническое отображение из M в N. Предположим, что кривизна Риччи для g положительна, а секционная кривизна h неположительна.

Если M и N оба замкнуты, то f должно быть постоянным.
Если N замкнуто, а f имеет конечную энергию Дирихле, то оно должно быть постоянным.

В сочетании с теоремой Eells-Sampson, это показывает (например), что если (M, g) - замкнутое риманово многообразие с положительной кривизной Риччи и (N, h) - замкнутое риманово многообразие с неположительной секционной кривизной, то любое непрерывное отображение из M в N гомотопно константа.

Общая идея преобразования общей карты в гармоническую и последующего показа того, что любая такая гармоническая карта должна автоматически относиться к очень ограниченному классу, нашла множество приложений. Например, Юм-Тонг Сиу (1980) нашел важную комплексно-аналитическую версию формулы Бохнера, утверждая, что гармоническое отображение между кэлеровыми многообразиями должно быть голоморфным при условии, что цель коллектор имеет соответственно отрицательную кривизну. В качестве приложения, используя теорему Эллса-Сэмпсона о существовании гармонических отображений, он смог показать, что если (M, g) и (N, h) - гладкие и замкнутые кэлеровы многообразия, и если кривизна (N, h) соответственно отрицательно, то M и N должны быть биголоморфными или антибиголоморфными, если они гомотопны друг другу; биголоморфизм (или антибиголоморфизм) - это в точности гармоническое отображение, созданное как предел теплового потока гармонического отображения с начальными данными, заданными гомотопией. С помощью альтернативной формулировки того же подхода Сиу смог доказать вариант все еще не решенной гипотезы Ходжа, хотя и в ограниченном контексте отрицательной кривизны.

Кевин Корлетт (1992) дал значительное расширение формулы Бохнера Сиу и использовал ее для доказательства новых теорем жесткости для решеток в некоторых группах Ли. Вслед за этим Михаэль Громов и Ричард Шон расширили большую часть теории гармонических отображений, чтобы позволить (N, h) заменить на метрическое пространство. Путем расширения теоремы Иллса-Сэмпсона вместе с расширением формулы Сиу-Корлетта Бохнера они смогли доказать новые теоремы жесткости для решеток.

Проблемы и приложения

Если после нанесения резины M на мрамор N с помощью некоторой карты $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\phi$ , кто-то "отпускает" его, он будет пытаться «защелкнуться» в положении наименьшего напряжения. Это «физическое» наблюдение приводит к следующей математической проблеме: учитывая гомотопический класс отображений от M до N, содержит ли он представителя, который является гармоническим отображением?
Существование результатов на гармоническом отображение между многообразиями имеет последствия для их кривизны.
Если известно о существовании, как можно явно построить гармоническое отображение? (Один плодотворный метод использует теорию твисторов.)
. В теоретической физике, квантовая теория поля, действие которой задается энергией Дирихле известен как сигма-модель. В такой теории гармонические карты соответствуют инстантонам.
. Одна из первоначальных идей в методах построения сеток для вычислительной гидродинамики и вычислительной физики заключалась в том, чтобы используйте конформное или гармоническое отображение для создания регулярных сеток.

Гармонические отображения между метрическими пространствами

Интеграл энергии может быть сформулирован в более слабой настройке для функций u: M → N между двумя метрическими пространствами (Jost 1995) harv error: нет цели: CITEREFJost1995 (help ). Подынтегральное выражение энергии вместо этого является функцией вида

e ϵ (u) (x) Знак равно ∫ M d 2 (U (Икс), U (Y)) d μ Икс ϵ (Y) ∫ M d 2 (X, Y) d μ Икс ϵ (Y) {\ Displaystyle е _ {\ epsilon} (и) (x) = {\ frac {\ int _ {M} d ^ {2} (u (x), u (y)) \, d \ mu _ {x} ^ {\ epsilon} (y)} {\ int _ {M} d ^ {2} (x, y) \, d \ mu _ {x} ^ {\ epsilon} (y)}}}

e_{\epsilon }(u)(x)={\frac {\int _{M}d^{2}(u(x),u(y))\,d\mu _{x}^{\epsilon }(y)}{\int _{M}d^{2}(x,y)\,d\mu _{x}^{\epsilon }(y)}}

, в котором μ. x- это семейство мер, прикрепленных к каждой точке M.

Ссылки

Книги и обзоры

Внешние ссылки

=== !!! == Знак равно <2>{\ displaystyle \ sum _ {я = 1} ^ {m} \ sum _ {j = 1} ^ {m} \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {n} \ sum _ {\ beta = 1} ^ {n} g ^ {ij} {\ frac {\ partial f ^ {\ alpha}} {\ partial x ^ {i}}} {\ frac {\ partial f ^ {\ beta}} {\ частичный x ^ {j}}} (h _ {\ alpha \ beta} \ circ f).} <2><3>{\ displaystyle (\ Delta f) _ {p} = \ sum _ {i = 1} ^ {m} {\ big (} \ nabla (df) {\ big)} _ {p} (e_ {i}, e_ {i})} <3><4>e _ {\ epsilon} (u) (x) = {\ frac {\ int _ {M} d ^ {2} (u (x), u (y)) \, d \ mu _ {x} ^ {\ epsilon} (y)} {\ int _ {M} d ^ {2} (x, y) \, d \ mu _ {x} ^ {\ epsilon} (y)}} <4><5>{\ displaystyle E (f) = \ int _ { M} е (е) \, d \ му _ {g}} <5><6>{\ displaystyle \ int _ {M} {\ frac {\ partial} {\ partial s}} {\ Big |} _ {s = 0} e (f_ {s}) \, d \ mu _ {g} = - \ int _ {M} h \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial s}} {\ Big | } _ {s = 0} f_ {s}, \ Delta f \ right) \, d \ mu _ {g}} <6><7>\ phi <7><8>{ \ Displaystyle {\ Big (} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} - \ Delta ^ {g} {\ Big)} e (f) = - {\ big |} \ nabla (df) {\ большой |} ^ {2} - {\ big \ langle} \ operatorname {Ric} ^ {g}, f ^ {\ ast} h {\ big \ rangle} _ {g} + \ operatorname {scal} ^ {g } {\ big (} е ^ {\ ast} \ operatorname {Rm} ^ {h} {\ big)}.} <8><9>{\ displaystyle (\ Delta f) ^ {\ alpha} = \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ sum _ {j = 1} ^ {m} g ^ {ij} \ nabla (df) _ {ij} ^ {\ alpha}.} <9><10>{ \ displaystyle \ nabla (df) _ {ij} ^ {\ alpha} = {\ frac {\ partial ^ {2} f ^ {\ alpha}} {\ partial x ^ {i} \ partial x ^ {j}} } - \ sum _ {k = 1} ^ {m} \ Gamma (g) _ {ij} ^ {k} {\ frac {\ partial f ^ {\ alpha}} {\ partial x ^ {k}}} + \ sum _ {\ beta = 1} ^ {n} \ sum _ {\ gamma = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f ^ {\ beta}} {\ partial x ^ {i}}} {\ frac {\ partial f ^ {\ gamma}} {\ partial x ^ {j}}} \ Gamma (h) _ {\ beta \ gamma} ^ {\ alpha} \ circ f.} <10><11>{\ displaystyle {\ begin {align} \ Gamma (g) _ {ij} ^ {k} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {\ ell = 1} ^ {m} g ^ {k \ ell} {\ Big (} {\ frac {\ partial g_ {j \ ell}} {\ partial x ^ {i}}} + {\ frac {\ partial g_ {i \ ell}} {\ partial x ^ {j}}} - {\ frac {\ partial g_ {ij}} {\ partial x ^ {\ ell}}} {\ Big)} \\\ Гамма ( h) _ {\ alpha \ beta} ^ {\ gamma} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {\ delta = 1} ^ {n} h ^ {\ gamma \ delta} {\ Big (} {\ frac {\ partial h _ {\ beta \ delta}} {\ partial y ^ {\ alpha}}} + {\ frac {\ partial h _ {\ alpha \ delta}} {\ partial y ^ {\ beta }}} - {\ frac {\ partial h _ {\ alpha \ beta}} {\ partial y ^ {\ delta}}} {\ Big)} \ end {выравнивается}}} <11><12>{\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} = \ Delta f.} <12><13>{\ displaystyle \ Delta ^ {g} e (f) = {\ big |} \ nabla (df) {\ big |} ^ {2} + {\ big \ langle} \ operatorname {Ric} ^ {g}, f ^ {\ ast} h {\ big \ rangle} _ {g} - \ operatorname {scal} ^ {g} {\ big (} f ^ {\ ast} \ operatorname {Rm} ^ {h} {\ big)}.} <13>html