Геометрический анализ

Седельная башня минимальная поверхность. Минимальные поверхности входят в число объектов изучения геометрического анализа.

Геометрический анализ - это математическая дисциплина, в которой используются инструменты из дифференциальных уравнений, особенно эллиптические уравнения в частных производных используются для получения новых результатов в дифференциальной геометрии и дифференциальной топологии. Использование линейных эллиптических PDE восходит как минимум к теории Ходжа. В последнее время он в значительной степени относится к использованию нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных для изучения геометрических и топологических свойств пространств, таких как подмногообразий в евклидовом пространстве, Римановы многообразия и симплектические многообразия. Этот подход восходит к работе Тибора Радо и Джесси Дугласа на минимальных поверхностях, Джона Форбса Нэша младшего на изометрические вложения римановых многообразий в евклидово пространство, работа Луи Ниренберга над проблемой Минковского и проблемой Вейля, а также работа Александра Даниловича Александрова и Алексея Погорелова на выпуклых гиперповерхностях. В 1980-е гг. Фундаментальные работы: Карен Уленбек, Клиффорд Таубс, Шинг-Тунг Яу, Ричард Шон и Ричард Гамильтон положил начало особенно захватывающей и продуктивной эре геометрического анализа, которая продолжается и по сей день. Знаменитым достижением стало решение гипотезы Пуанкаре, выполненное Григорием Перельманом, завершившее программу, начатую и в значительной степени выполнявшуюся Ричардом Гамильтоном.

Объем геометрического анализа включает в себя как использование геометрических методов при изучении дифференциальных уравнений в частных производных (когда он также известен как «геометрическое PDE»), и приложение теории дифференциальных уравнений в частных производных к геометрии. Он включает задачи, связанные с кривыми и поверхностями или областями с искривленными границами, а также изучение римановых многообразий в произвольной размерности. вариационное исчисление иногда рассматривается как часть геометрического анализа, поскольку дифференциальные уравнения, возникающие из вариационных принципов, имеют сильное геометрическое содержание. Геометрический анализ также включает в себя глобальный анализ, который касается изучения дифференциальных уравнений на многообразиях и взаимосвязи между дифференциальными уравнениями и топологией.

Ниже приводится частичный список основные темы геометрического анализа:

• Калибровочная теория
• Гармонические отображения
• метрики Келера – Эйнштейна
• Поток средней кривизны
• Минимальные подмногообразия
• Теоремы о положительной энергии
• Псевдоголоморфные кривые
• Поток Риччи
• Задача Ямабе
• Уравнения Янга – Миллса

• Ричард Шон ; Яу, Шинг Тунг (2010). Лекции по дифференциальной геометрии. Международная пресса Бостона. ISBN 978-1-571-46198-8.
• Эндрюс, Бен (2010). Поток Риччи в римановой геометрии: полное доказательство теоремы о дифференцируемой 1/4-сферической сфере (1-е изд.). Springer. ISBN 978-3-642-16285-5.
• Йост, Юрген (2005). Риманова геометрия и геометрический анализ (4-е изд.). Springer. ISBN 978-3-540-25907-7.
• Ли, Джеффри М. (2009). Многообразия и дифференциальная геометрия. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4815-9.
• Хельгасон, Сигурдур (2000). Группы и геометрический анализ (интегральная геометрия, инвариантные дифференциальные операторы и сферические функции) (2-е изд.). Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-2673-7.
• Хельгасон, Сигурдур (2008). Геометрический анализ на симметричных пространствах (2-е изд.). Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4530-1.