Определенная матрица

редактировать
Не путать с положительной матрицей и полностью положительной матрицей.

В математике, симметричная матрица с реальными записями является положительно определенной, если действительное число является положительным для любого ненулевого реального вектора - столбца, где является транспонированным из. В более общем смысле, эрмитова матрица (то есть комплексная матрица, равная ее сопряженному транспонированию ) является положительно определенной, если действительное число положительно для каждого ненулевого комплексного вектора-столбца, где обозначает сопряженное транспонирование M {\ displaystyle M} z Т M z {\ Displaystyle Z ^ {\textf {T}} Mz} z , {\ displaystyle z,} z Т {\ Displaystyle Z ^ {\textf {T}}} z {\ displaystyle z} z * M z {\ displaystyle z ^ {*} Mz} z , {\ displaystyle z,} z * {\ displaystyle z ^ {*}} z . {\ displaystyle z.}

Положительные полуопределенные матрицы определяются аналогично, за исключением того, что скаляры и должны быть положительными или нулевыми (то есть неотрицательными). Аналогично определяются отрицательно-определенные и отрицательно-полуопределенные матрицы. Матрица, которая не является положительно полуопределенной и не отрицательной полуопределенной, иногда называется неопределенной. z Т M z {\ Displaystyle Z ^ {\textf {T}} Mz} z * M z {\ displaystyle z ^ {*} Mz}

Таким образом, матрица положительно определена тогда и только тогда, когда она является матрицей положительно определенной квадратичной формы или эрмитовой формы. Другими словами, матрица положительно определена тогда и только тогда, когда она определяет внутренний продукт.

Положительно определенные и положительно-полуопределенные матрицы можно охарактеризовать по-разному, что может объяснить важность этого понятия в различных разделах математики. Матрица M положительно определена тогда и только тогда, когда она удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий.

Матрица является положительно полуопределенной, если она удовлетворяет аналогичным эквивалентным условиям, где «положительная» заменяется «неотрицательной», а «обратимая матрица» заменяется «матрицей».

Положительно определенные и положительно-полуопределенные вещественные матрицы лежат в основе выпуклой оптимизации, поскольку, если задана дважды дифференцируемая функция нескольких действительных переменных, то если ее матрица Гессе (матрица ее вторых частных производных) положительно определена в точке в точке p, то функция выпукла около точки p, и, наоборот, если функция выпукла около точки p, то матрица Гессе положительно-полуопределенная в точке p.

Некоторые авторы используют более общие определения определенности, включая некоторые несимметричные вещественные матрицы или неэрмитовы комплексные.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Определения
    • 1.1 Определения для вещественных матриц
    • 1.2 Определения для комплексных матриц
    • 1.3 Согласованность между реальными и сложными определениями
    • 1.4 Обозначения
  • 2 Примеры
  • 3 Собственные значения
  • 4 Разложение
    • 4.1 Единственность с точностью до унитарных преобразований
    • 4.2 квадратный корень
    • 4.3 Разложение Холецкого
  • 5 Другие характеристики
  • 6 Квадратичные формы
  • 7 Одновременная диагонализация
  • 8 Недвижимость
    • 8.1 Индуцированное частичное упорядочивание
    • 8.2 Обращение к положительно определенной матрице
    • 8.3 Масштабирование
    • 8.4 Дополнение
    • 8.5 Умножение
    • 8.6 Трассировка
    • 8.7 Произведение Адамара
    • 8.8 произведение Кронекера
    • 8.9 Произведение Фробениуса
    • 8.10 Выпуклость
    • 8.11 Связь с косинусом
    • 8.12 Дополнительные свойства
    • 8.13 Блочные матрицы и подматрицы
    • 8.14 Локальные экстремумы
    • 8.15 Ковариация
  • 9 Расширение для неэрмитовых квадратных матриц
  • 10 приложений
    • 10.1 Матрица теплопроводности
  • 11 См. Также
  • 12 Примечания
  • 13 Ссылки
  • 14 Внешние ссылки

Определения

В следующих определениях, является транспонированием, является сопряженной транспозицией от и обозначает п - мерный вектор нулевого. Икс Т {\ Displaystyle \ mathbf {x} ^ {\textf {T}}} Икс {\ displaystyle \ mathbf {x}} Икс * {\ Displaystyle \ mathbf {х} ^ {*}} Икс {\ displaystyle \ mathbf {x}} 0 {\ displaystyle \ mathbf {0}}

Определения для вещественных матриц

Симметричная вещественная матрица называется положительно определенной, если для всех ненулевых в. Формально, п × п {\ Displaystyle п \ раз п} M {\ displaystyle M} Икс Т M Икс gt; 0 {\ Displaystyle \ mathbf {x} ^ {\textf {T}} M \ mathbf {x}gt; 0} Икс {\ displaystyle \ mathbf {x}} р п {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}

M  положительно определенный Икс Т M Икс gt; 0  для всех  Икс р п { 0 } {\ Displaystyle M {\ text {положительно определенный}} \ quad \ iff \ quad \ mathbf {x} ^ {\textf {T}} M \ mathbf {x}gt; 0 {\ text {для всех}} \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus \ {\ mathbf {0} \}}

Симметричная вещественная матрица называется неотрицательно или неотрицательно определенной, если для всех в. Формально, п × п {\ Displaystyle п \ раз п} M {\ displaystyle M} Икс Т M Икс 0 {\ Displaystyle \ mathbf {x} ^ {\textf {T}} M \ mathbf {x} \ geq 0} Икс {\ displaystyle \ mathbf {x}} р п {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}

M  положительный полуопределенный Икс Т M Икс 0  для всех  Икс р п {\ displaystyle M {\ text {положительное полуопределенное}} \ quad \ iff \ quad \ mathbf {x} ^ {\textf {T}} M \ mathbf {x} \ geq 0 {\ text {для всех}} \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}

Симметричная вещественная матрица называется отрицательно определенной, если для всех ненулевых в. Формально, п × п {\ Displaystyle п \ раз п} M {\ displaystyle M} Икс Т M Икс lt; 0 {\ Displaystyle \ mathbf {x} ^ {\textf {T}} M \ mathbf {x} lt;0} Икс {\ displaystyle \ mathbf {x}} р п {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}

M  отрицательно-определенный Икс Т M Икс lt; 0  для всех  Икс р п { 0 } {\ displaystyle M {\ text {отрицательно-определенный}} \ quad \ iff \ quad \ mathbf {x} ^ {\textf {T}} M \ mathbf {x} lt;0 {\ text {для всех}} \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus \ {\ mathbf {0} \}}

Симметричная вещественная матрица называется отрицательным полуопределенным или без положительной определенности, если для всех в. Формально, п × п {\ Displaystyle п \ раз п} M {\ displaystyle M} Икс Т M Икс 0 {\ Displaystyle х ^ {\textf {T}} Mx \ leq 0} Икс {\ displaystyle x} р п {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}

M  отрицательный полуопределенный Икс Т M Икс 0  для всех  Икс р п {\ displaystyle M {\ text {отрицательное полуопределенное}} \ quad \ iff \ quad \ mathbf {x} ^ {\textf {T}} M \ mathbf {x} \ leq 0 {\ text {для всех}} \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}

Симметричная вещественная матрица, которая не является ни положительным, ни полуопределенной полуотрицательно называется неопределенным. п × п {\ Displaystyle п \ раз п}

Определения для комплексных матриц

Все следующие определения включают этот термин. Обратите внимание, что это всегда действительное число для любой квадратной эрмитовой матрицы. Икс * M Икс {\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*} M \ mathbf {x}} M {\ displaystyle M}

Эрмитова комплексная матрица называется положительно определенной, если для всех ненулевых в. Формально, п × п {\ Displaystyle п \ раз п} M {\ displaystyle M} Икс * M Икс gt; 0 {\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*} M \ mathbf {x}gt; 0} Икс {\ displaystyle \ mathbf {x}} C п {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}

M  положительно определенный Икс * M Икс gt; 0  для всех  Икс C п { 0 } {\ Displaystyle M {\ text {положительно определенный}} \ quad \ iff \ quad \ mathbf {x} ^ {*} M \ mathbf {x}gt; 0 {\ text {для всех}} \ mathbf {x} \ в \ mathbb {C} ^ {n} \ setminus \ {\ mathbf {0} \}}

Эрмитова комплексная матрица называется положительной полуопределенная или неотрицательно определенной, если для всех в. Формально, п × п {\ Displaystyle п \ раз п} M {\ displaystyle M} Икс * M Икс 0 {\ displaystyle x ^ {*} Mx \ geq 0} Икс {\ displaystyle x} C п {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}

M  положительный полуопределенный Икс * M Икс 0  для всех  Икс C п {\ displaystyle M {\ text {положительный полуопределенный}} \ quad \ iff \ quad \ mathbf {x} ^ {*} M \ mathbf {x} \ geq 0 {\ text {для всех}} \ mathbf {x } \ in \ mathbb {C} ^ {n}}

Эрмитова комплексная матрица называется отрицательно определенной, если для всех ненулевых в. Формально, п × п {\ Displaystyle п \ раз п} M {\ displaystyle M} Икс * M Икс lt; 0 {\ Displaystyle \ mathbf {x} ^ {*} M \ mathbf {x} lt;0} Икс {\ displaystyle \ mathbf {x}} C п {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}

M  отрицательно-определенный Икс * M Икс lt; 0  для всех  Икс C п { 0 } {\ displaystyle M {\ text {отрицательно-определенный}} \ quad \ iff \ quad \ mathbf {x} ^ {*} M \ mathbf {x} lt;0 {\ text {для всех}} \ mathbf {x} \ в \ mathbb {C} ^ {n} \ setminus \ {\ mathbf {0} \}}

Эрмитова комплексная матрица называется отрицательной полуопределенная или без положительной определенности, если для всех в. Формально, п × п {\ Displaystyle п \ раз п} M {\ displaystyle M} Икс * M Икс 0 {\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*} M \ mathbf {x} \ leq 0} Икс {\ displaystyle \ mathbf {x}} C п {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}

M  отрицательный полуопределенный Икс * M Икс 0  для всех  Икс C п {\ displaystyle M {\ text {отрицательное полуопределенное}} \ quad \ iff \ quad \ mathbf {x} ^ {*} M \ mathbf {x} \ leq 0 {\ text {для всех}} \ mathbf {x } \ in \ mathbb {C} ^ {n}}

Эрмитова комплексная матрица, которая не является ни положительным, ни полуопределенной полуотрицательно называется неопределенным. п × п {\ Displaystyle п \ раз п}

Согласованность между реальными и сложными определениями

Поскольку каждая вещественная матрица также является комплексной матрицей, определения «определенности» для этих двух классов должны согласовываться.

Для сложных матриц наиболее распространенное определение гласит, что « положительно определен, если и только если он действительный и положительный для всех ненулевых комплексных векторов-столбцов ». Это условие означает, что оно эрмитово (т. Е. Его транспонирование совпадает со своим сопряженным). Чтобы убедиться в этом, рассмотрим матрицы и, чтобы и. Матрицы и эрмитовы, поэтому и индивидуально реально. Если реально, то для всех должно быть ноль. Тогда - нулевая матрица и, что доказывает, эрмитова. M {\ displaystyle M} z * M z {\ Displaystyle \ mathbf {z} ^ {*} М \ mathbf {z}} z {\ displaystyle \ mathbf {z}} M {\ displaystyle M} А знак равно 1 2 ( M + M * ) {\ textstyle A = {\ frac {1} {2}} \ left (M + M ^ {*} \ right)} B знак равно 1 2 я ( M - M * ) {\ textstyle B = {\ frac {1} {2i}} \ left (MM ^ {*} \ right)} M знак равно А + я B {\ displaystyle M = A + iB} z * M z знак равно z * А z + я z * B z {\ displaystyle \ mathbf {z} ^ {*} M \ mathbf {z} = \ mathbf {z} ^ {*} A \ mathbf {z} + я \ mathbf {z} ^ {*} B \ mathbf {z }} А {\ displaystyle A} B {\ displaystyle B} z * А z {\ displaystyle \ mathbf {z} ^ {*} A \ mathbf {z}} z * B z {\ displaystyle \ mathbf {z} ^ {*} B \ mathbf {z}} z * M z {\ Displaystyle \ mathbf {z} ^ {*} М \ mathbf {z}} z * B z {\ displaystyle \ mathbf {z} ^ {*} B \ mathbf {z}} z {\ displaystyle \ mathbf {z}} B {\ displaystyle B} M знак равно А {\ displaystyle M = A} M {\ displaystyle M}

По этому определению положительно определенная вещественная матрица эрмитова, следовательно, симметрична; и положительный для всех ненулевых действительных векторов-столбцов. Однако одного последнего условия недостаточно для того, чтобы быть положительно определенным. Например, если M {\ displaystyle M} z Т M z {\ Displaystyle \ mathbf {z} ^ {\textf {T}} М \ mathbf {z}} z {\ displaystyle \ mathbf {z}} M {\ displaystyle M}

M знак равно [ 1 1 - 1 1 ] , {\ Displaystyle M = {\ begin {bmatrix} 1 amp; 1 \\ - 1 amp; 1 \ end {bmatrix}},}

то для любого действительного вектора с элементами, а у нас есть, что всегда положительно, если не равно нулю. Однако, если это сложный вектор с элементами и, получается z {\ displaystyle \ mathbf {z}} а {\ displaystyle a} б {\ displaystyle b} z Т M z знак равно ( а + б ) а + ( - а + б ) б знак равно а 2 + б 2 {\ Displaystyle \ mathbf {z} ^ {\textf {T}} M \ mathbf {z} = \ left (a + b \ right) a + \ left (-a + b \ right) b = a ^ {2} + b ^ {2}} z {\ displaystyle \ mathbf {z}} z {\ displaystyle \ mathbf {z}} 1 {\ displaystyle 1} я {\ displaystyle i}

z * M z знак равно [ 1 - я ] M [ 1 я ] знак равно [ 1 + я 1 - я ] [ 1 я ] знак равно 2 + 2 я {\ displaystyle \ mathbf {z} ^ {*} M \ mathbf {z} = {\ begin {bmatrix} 1 amp; -i \ end {bmatrix}} M {\ begin {bmatrix} 1 \\ i \ end {bmatrix} } = {\ begin {bmatrix} 1 + i amp; 1-i \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 \\ i \ end {bmatrix}} = 2 + 2i}

что не реально. Следовательно, не является положительно-определенным. M {\ displaystyle M}

С другой стороны, для симметричной вещественной матрицы, условие « для всех ненулевых вещественных векторов » это означает, что положительно определена в комплексном смысле. M {\ displaystyle M} z Т M z gt; 0 {\ Displaystyle \ mathbf {z} ^ {\textf {T}} М \ mathbf {z}gt; 0} z {\ displaystyle \ mathbf {z}} M {\ displaystyle M}

Обозначение

Если эрмитова матрица положительно полуопределенная, иногда пишут, а если положительно определенную - пишут. Для обозначения отрицательно-определенного пишут, а для обозначения отрицательно-определенного пишут. M {\ displaystyle M} M 0 {\ Displaystyle M \ successq 0} M {\ displaystyle M} M 0 {\ Displaystyle M \ succ 0} M {\ displaystyle M} M 0 {\ Displaystyle M \ prevq 0} M {\ displaystyle M} M 0 {\ Displaystyle M \ Prec 0}

Это понятие пришло из функционального анализа, в котором положительные полуопределенные матрицы определяют положительные операторы.

Общая альтернатива обозначение,, и для положительных полуопределенных и положительно определенных, отрицательно полуопределенных и отрицательных определенных матриц, соответственно. Это может сбивать с толку, так как иногда неотрицательные матрицы (соответственно, неположительные матрицы) также обозначаются таким образом. M 0 {\ displaystyle M \ geq 0} M gt; 0 {\ displaystyle Mgt; 0} M 0 {\ Displaystyle M \ leq 0} M lt; 0 {\ displaystyle M lt;0}

Примеры

  • Единичная матрица положительно определена (и, как таковые, также положительно полуопределенная). Это действительная симметричная матрица, и для любого ненулевого вектора-столбца z с действительными элементами a и b один имеет я знак равно [ 1 0 0 1 ] {\ displaystyle I = {\ begin {bmatrix} 1 amp; 0 \\ 0 amp; 1 \ end {bmatrix}}}
    z Т я z знак равно [ а б ] [ 1 0 0 1 ] [ а б ] знак равно а 2 + б 2 {\ displaystyle \ mathbf {z} ^ {\textf {T}} I \ mathbf {z} = {\ begin {bmatrix} a amp; b \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 amp; 0 \\ 0 amp; 1 \ end {bmatrix }} {\ begin {bmatrix} a \\ b \ end {bmatrix}} = a ^ {2} + b ^ {2}}.

    Рассматриваемый как комплексная матрица, для любого ненулевого вектора-столбца z с комплексными элементами a и b один имеет

    z * я z знак равно [ а ¯ б ¯ ] [ 1 0 0 1 ] [ а б ] знак равно а ¯ а + б ¯ б знак равно | а | 2 + | б | 2 {\ displaystyle \ mathbf {z} ^ {*} I \ mathbf {z} = {\ begin {bmatrix} {\ overline {a}} amp; {\ overline {b}} \ end {bmatrix}} {\ begin { bmatrix} 1 amp; 0 \\ 0 amp; 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a \\ b \ end {bmatrix}} = {\ overline {a}} a + {\ overline {b}} b = | a | ^ {2} + | b | ^ {2}}.
    В любом случае результат будет положительным, поскольку вектор не является нулевым (то есть хотя бы один из и не равен нулю). z {\ displaystyle \ mathbf {z}} а {\ displaystyle a} б {\ displaystyle b}
  • Действительная симметричная матрица
    M знак равно [ 2 - 1 0 - 1 2 - 1 0 - 1 2 ] {\ displaystyle M = {\ begin {bmatrix} 2 amp; -1 amp; 0 \\ - 1 amp; 2 amp; -1 \\ 0 amp; -1 amp; 2 \ end {bmatrix}}}
    положительно определен, поскольку для любого ненулевого вектора-столбца z с элементами a, b и c мы имеем
    z Т M z знак равно ( z Т M ) z знак равно [ ( 2 а - б ) ( - а + 2 б - c ) ( - б + 2 c ) ] [ а б c ] знак равно ( 2 а - б ) а + ( - а + 2 б - c ) б + ( - б + 2 c ) c знак равно 2 а 2 - б а - а б + 2 б 2 - c б - б c + 2 c 2 знак равно 2 а 2 - 2 а б + 2 б 2 - 2 б c + 2 c 2 знак равно а 2 + а 2 - 2 а б + б 2 + б 2 - 2 б c + c 2 + c 2 знак равно а 2 + ( а - б ) 2 + ( б - c ) 2 + c 2 {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {z} ^ {\ textf {T}} M \ mathbf {z} = \ left (\ mathbf {z} ^ {\textf {T}} M \ right) \ mathbf {z} amp; = {\ begin {bmatrix} (2a-b) amp; (- a + 2b-c) amp; (- b + 2c) \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a \\ b \ \ c \ end {bmatrix}} \\ amp; = (2a-b) a + (- a + 2b-c) b + (- b + 2c) c \\ amp; = 2a ^ {2} -ba-ab + 2b ^ {2} -cb-bc + 2c ^ {2} \\ amp; = 2a ^ {2} -2ab + 2b ^ {2} -2bc + 2c ^ {2} \\ amp; = a ^ {2} + a ^ {2} -2ab + b ^ {2} + b ^ {2} -2bc + c ^ {2} + c ^ {2} \\ amp; = a ^ {2} + (ab) ^ {2} + ( бс) ^ {2} + с ^ {2} \ конец {выровнено}}}
    Этот результат представляет собой сумму квадратов и, следовательно, неотрицателен; и равен нулю, только если, то есть когда z является нулевым вектором. а знак равно б знак равно c знак равно 0 {\ Displaystyle а = Ь = с = 0}
  • Для любой действительной обратимой матрицы продукт является положительно определенной матрицей (если средние значения столбцов матрицы A равны 0, это также называется ковариационной матрицей ). Простое доказательство состоит в том, что для любого ненулевого вектора условие обратимости матрицы означает, что А {\ displaystyle A} А Т А {\ Displaystyle A ^ {\textf {T}} A} z {\ displaystyle \ mathbf {z}} z Т А Т А z знак равно ( А z ) Т ( А z ) знак равно А z 2 gt; 0 , {\ displaystyle \ mathbf {z} ^ {\textf {T}} A ^ {\textf {T}} A \ mathbf {z} = (A \ mathbf {z}) ^ {\textf {T}} (A \ mathbf {z}) = \ | A \ mathbf {z} \ | ^ {2}gt; 0,} А {\ displaystyle A} А z 0. {\ Displaystyle А \ mathbf {z} \ neq 0.}
  • Приведенный выше пример показывает, что матрица, в которой некоторые элементы отрицательны, может быть положительно определенной. И наоборот, матрица, все элементы которой положительны, не обязательно положительно определена, как, например, M {\ displaystyle M}
    N знак равно [ 1 2 2 1 ] , {\ Displaystyle N = {\ begin {bmatrix} 1 и 2 \\ 2 amp; 1 \ end {bmatrix}},}
    для которого [ - 1 1 ] N [ - 1 1 ] Т знак равно - 2 lt; 0. {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} -1 amp; 1 \ end {bmatrix}} N {\ begin {bmatrix} -1 amp; 1 \ end {bmatrix}} ^ {\textf {T}} = - 2 lt;0.}

Собственные значения

Позвольте быть эрмитовой матрицей (включая вещественные симметричные матрицы ). Все собственные значения действительны, и их знак характеризует его определенность: M {\ displaystyle M} п × п {\ Displaystyle п \ раз п} M {\ displaystyle M}

  • M {\ displaystyle M} положительно определен тогда и только тогда, когда все его собственные значения положительны.
  • M {\ displaystyle M} положительно полуопределено тогда и только тогда, когда все его собственные значения неотрицательны.
  • M {\ displaystyle M} отрицательно определен тогда и только тогда, когда все его собственные значения отрицательны
  • M {\ displaystyle M} отрицательно полуопределено тогда и только тогда, когда все его собственные значения неположительны.
  • M {\ displaystyle M} неопределенно тогда и только тогда, когда у него есть как положительные, так и отрицательные собственные значения.

Пусть быть eigendecomposition из, где представляет собой унитарную матрицу сложной, столбцы которой содержит ортогональный базис из собственных векторов из, и является реальной диагональной матрицей, чья главной диагональ содержит соответствующие собственные значения. Матрицу можно рассматривать как диагональную матрицу, которая была повторно выражена в координатах базиса (собственных векторов). Другими словами, применение M к некоторому вектору z в нашей системе координат ( M z) аналогично изменению базиса нашего z на систему координат собственного вектора с использованием P −1 ( P −1z), применяя преобразование растяжения D к it ( DP −1z), а затем вернем базис в нашу систему с помощью P ( PDP −1z). п D п - 1 {\ Displaystyle PDP ^ {- 1}} M {\ displaystyle M} п {\ displaystyle P} M {\ displaystyle M} D {\ displaystyle D} M {\ displaystyle M} D {\ displaystyle D} п {\ displaystyle P}

Имея это в виду, однозначное изменение переменной показывает, что она действительна и положительна для любого комплексного вектора тогда и только тогда, когда она действительна и положительна для любого ; другими словами, если положительно определено. Для диагональной матрицы это верно, только если каждый элемент главной диагонали, то есть каждое собственное значение, положителен. Поскольку спектральная теорема гарантирует, что все собственные значения эрмитовой матрицы будут действительными, положительность собственных значений может быть проверена с помощью правила чередования знаков Декарта, когда доступен характеристический многочлен реальной симметричной матрицы. у знак равно п z {\ displaystyle \ mathbf {y} = P \ mathbf {z}} z * M z {\ Displaystyle \ mathbf {z} ^ {*} М \ mathbf {z}} z {\ displaystyle \ mathbf {z}} у * D у {\ Displaystyle \ mathbf {y} ^ {*} D \ mathbf {y}} у {\ displaystyle y} D {\ displaystyle D} M {\ displaystyle M} M {\ displaystyle M}

Разложение

См. Также: Матрица Грама

Позвольте быть эрмитовой матрицей. положительно полуопределено тогда и только тогда, когда оно может быть разложено как произведение M {\ displaystyle M} п × п {\ Displaystyle п \ раз п} M {\ displaystyle M}

M знак равно B * B {\ Displaystyle M = B ^ {*} B}

матрицы с сопряженным транспонированием. B {\ displaystyle B}

Когда реально, также может быть реальным, и разложение можно записать как M {\ displaystyle M} B {\ displaystyle B}

M знак равно B Т B . {\ Displaystyle M = B ^ {\textf {T}} B.}

M {\ displaystyle M}положительно определено тогда и только тогда, когда такое разложение существует с обратимым. В более общем смысле, положительно полуопределенный с рангом тогда и только тогда, когда существует разложение с матрицей полного ранга строки (т. Е. Ранга). Кроме того, для любого разложения,. B {\ displaystyle B} M {\ displaystyle M} k {\ displaystyle k} k × п {\ Displaystyle к \ раз п} B {\ displaystyle B} k {\ displaystyle k} M знак равно B * B {\ Displaystyle M = B ^ {*} B} классифицировать ( M ) знак равно классифицировать ( B ) {\ Displaystyle \ OperatorName {ранг} (M) = \ OperatorName {ранг} (B)}

Доказательство

Если, то так положительно полуопределено. Если к тому же обратимо, то неравенство строго для и положительно определено. Если имеет звание, то. M знак равно B * B {\ Displaystyle M = B ^ {*} B} Икс * M Икс знак равно ( Икс * B * ) ( B Икс ) знак равно B Икс 2 0 {\ Displaystyle х ^ {*} Mx = (x ^ {*} B ^ {*}) (Bx) = \ | Bx \ | ^ {2} \ geq 0} M {\ displaystyle M} B {\ displaystyle B} Икс 0 {\ Displaystyle х \ neq 0} M {\ displaystyle M} B {\ displaystyle B} k × п {\ Displaystyle к \ раз п} k {\ displaystyle k} классифицировать ( M ) знак равно классифицировать ( B * ) знак равно k {\ Displaystyle \ OperatorName {ранг} (M) = \ OperatorName {ранг} (B ^ {*}) = k}

В другом направлении предположим, что положительно полуопределенное. Так как эрмитов, он имеет eigendecomposition, где есть унитарная и диагональная матрица, элементы которой являются собственные значения С неотрицательно, собственные неотрицательные вещественные числа, так что можно определить как диагональная матрица, элементы которой неотрицательны квадратные корни из собственных значений. Тогда для. Если к тому же положительно определено, то собственные значения (строго) положительны, поэтому обратимы, а значит, также обратимы. Если имеет ранг, то он имеет в точности положительные собственные значения, а остальные равны нулю, поэтому все, кроме строк, все обнулены. Вырезание нулевых строк дает матрицу, такую ​​что. M {\ displaystyle M} M {\ displaystyle M} M знак равно Q - 1 D Q {\ Displaystyle M = Q ^ {- 1} DQ} Q {\ displaystyle Q} D {\ displaystyle D} M {\ displaystyle M} M {\ displaystyle M} D 1 2 {\ displaystyle D ^ {\ frac {1} {2}}} M знак равно Q - 1 D Q знак равно Q * D Q знак равно Q * D 1 2 D 1 2 Q знак равно Q * D 1 2 * D 1 2 Q знак равно B * B {\ Displaystyle M = Q ^ {- 1} DQ = Q ^ {*} DQ = Q ^ {*} D ^ {\ frac {1} {2}} D ^ {\ frac {1} {2}} Q = Q ^ {*} D ^ {{\ frac {1} {2}} *} D ^ {\ frac {1} {2}} Q = B ^ {*} B} B знак равно D 1 2 Q {\ displaystyle B = D ^ {\ frac {1} {2}} Q} M {\ displaystyle M} D 1 2 {\ displaystyle D ^ {\ frac {1} {2}}} B знак равно D 1 2 Q {\ displaystyle B = D ^ {\ frac {1} {2}} Q} M {\ displaystyle M} k {\ displaystyle k} k {\ displaystyle k} B знак равно D 1 2 Q {\ displaystyle B = D ^ {\ frac {1} {2}} Q} k {\ displaystyle k} k × п {\ Displaystyle к \ раз п} B {\ displaystyle B '} B * B знак равно B * B знак равно M {\ displaystyle B '^ {*} B' = B ^ {*} B = M}

Колонны из можно рассматривать как векторы в комплексном или вещественном векторном пространстве, соответственно. Тогда элементы являются внутренними продуктами (то есть скалярными произведениями, в реальном случае) этих векторов б 1 , , б п {\ displaystyle b_ {1}, \ dots, b_ {n}} B {\ displaystyle B} р k {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}} M {\ displaystyle M}

M я j знак равно б я , б j . {\ displaystyle M_ {ij} = \ langle b_ {i}, b_ {j} \ rangle.}

Другими словами, эрмитова матрица положительно полуопределенная тогда и только тогда, когда она является матрицей Грама некоторых векторов. Она положительно определена тогда и только тогда, когда она является матрицей Грама некоторых линейно независимых векторов. В общем, ранг матрицы векторов Грама равен размерности пространства, натянутого на эти векторы. M {\ displaystyle M} б 1 , , б п {\ displaystyle b_ {1}, \ dots, b_ {n}} б 1 , , б п {\ displaystyle b_ {1}, \ dots, b_ {n}}

Единственность с точностью до унитарных преобразований

Разложение не однозначно: если для некоторой матрицы и если - любая унитарная матрица (смысл), то для. M знак равно B * B {\ Displaystyle M = B ^ {*} B} k × п {\ Displaystyle к \ раз п} B {\ displaystyle B} Q {\ displaystyle Q} k × k {\ Displaystyle к \ раз к} Q * Q знак равно Q Q * знак равно я {\ displaystyle Q ^ {*} Q = QQ ^ {*} = I} M знак равно B * B знак равно B * Q * Q B знак равно А * А {\ Displaystyle M = B ^ {*} B = B ^ {*} Q ^ {*} QB = A ^ {*} A} А знак равно Q B {\ displaystyle A = QB}

Однако это единственный способ, которым два разложения могут различаться: разложение уникально с точностью до унитарных преобразований. Более формально, если это матрица и является матрицей, такими, что, то есть матрица с ортонормирован- столбцами (смысловой) такие, что. Когда это средство является унитарным. А {\ displaystyle A} k × п {\ Displaystyle к \ раз п} B {\ displaystyle B} × п {\ displaystyle \ ell \ times n} А * А знак равно B * B {\ Displaystyle A ^ {*} A = B ^ {*} B} × k {\ displaystyle \ ell \ times k} Q {\ displaystyle Q} Q * Q знак равно я k × k {\ Displaystyle Q ^ {*} Q = I_ {k \ times k}} B знак равно Q А {\ displaystyle B = QA} знак равно k {\ displaystyle \ ell = k} Q {\ displaystyle Q}

Это утверждение имеет интуитивно понятную геометрическую интерпретацию в реальном случае: пусть столбцы и будут векторами и in. Реальная унитарная матрица - это ортогональная матрица, которая описывает жесткое преобразование (изометрия евклидова пространства), сохраняющее точку 0 (т.е. повороты и отражения без сдвигов). Следовательно, скалярные произведения и равны тогда и только тогда, когда какое-то жесткое преобразование преобразует векторы в (и 0 в 0). А {\ displaystyle A} B {\ displaystyle B} а 1 , , а п {\ displaystyle a_ {1}, \ dots, a_ {n}} б 1 , , б п {\ displaystyle b_ {1}, \ dots, b_ {n}} р k {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}} р k {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}} а я а j {\ displaystyle a_ {i} \ cdot a_ {j}} б я б j {\ displaystyle b_ {i} \ cdot b_ {j}} р k {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}} а 1 , , а п {\ displaystyle a_ {1}, \ dots, a_ {n}} б 1 , , б п {\ displaystyle b_ {1}, \ dots, b_ {n}}

Квадратный корень

Основная статья: квадратный корень из матрицы

Матрица является положительно полуопределенной тогда и только тогда, когда существует положительно полуопределенная матрица (в частности, эрмитова, поэтому) удовлетворяющая. Эта матрица уникальна, называется неотрицательным квадратным корнем из и обозначается значком. Когда положительно определено, так и есть, поэтому его также называют положительным квадратным корнем из. M {\ displaystyle M} B {\ displaystyle B} B {\ displaystyle B} B * знак равно B {\ displaystyle B ^ {*} = B} M знак равно B B {\ displaystyle M = BB} B {\ displaystyle B} M {\ displaystyle M} B знак равно M 1 2 {\ displaystyle B = M ^ {\ frac {1} {2}}} M {\ displaystyle M} M 1 2 {\ displaystyle M ^ {\ frac {1} {2}}} M {\ displaystyle M}

Неотрицательный квадратный корень не следует путать с другими разложениями. Некоторые авторы используют имя квадратный корень и для любого такого разложения, или конкретно для разложения Холецкого, или любого разложения формы ; другие используют его только для неотрицательного квадратного корня. M знак равно B * B {\ Displaystyle M = B ^ {*} B} M 1 2 {\ displaystyle M ^ {\ frac {1} {2}}} M знак равно B B {\ displaystyle M = BB}

Если тогда. M gt; N gt; 0 {\ displaystyle Mgt; Ngt; 0} M 1 2 gt; N 1 2 gt; 0 {\ displaystyle M ^ {\ frac {1} {2}}gt; N ^ {\ frac {1} {2}}gt; 0}

Разложение Холецкого

Положительная полуопределенная матрица может быть записана как, где - нижний треугольник с неотрицательной диагональю (эквивалентно где - верхний треугольник); это разложение Холецкого. Если положительно определен, то диагональ положительна и разложение Холецкого единственно. Разложение Холецкого особенно полезно для эффективных численных расчетов. Разложение тесно связано это разложение ЛНП, где диагоналей и находится ниже унитреугольная. M {\ displaystyle M} M знак равно L L * {\ displaystyle M = LL ^ {*}} L {\ displaystyle L} M знак равно B * B {\ Displaystyle M = B ^ {*} B} B знак равно L * {\ displaystyle B = L ^ {*}} M {\ displaystyle M} L {\ displaystyle L} M знак равно L D L * {\ Displaystyle M = ЛПНП ^ {*}} D {\ displaystyle D} L {\ displaystyle L}

Другие характеристики

Позвольте быть эрмитовой матрицей. Следующие свойства эквивалентны положительной определенности: M {\ displaystyle M} п × п {\ Displaystyle п \ раз п} M {\ displaystyle M}

Соответствующая полуторалинейная форма является внутренним продуктом.
Полуторалинейная форма определяется функция от, чтобы таким образом, что для всех и в, где сопряженном транспонированном. Для любой комплексной матрицы эта форма линейна по и полулинейна по. Следовательно, форма является внутренним продуктом в том и только в том случае, если она действительна и положительна для всех ненулевых ; то есть тогда и только тогда, когда положительно определен. (Фактически, каждое внутреннее произведение на возникает таким образом из эрмитовой положительно определенной матрицы.) M {\ displaystyle M} , {\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle} C п × C п {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} \ times \ mathbb {C} ^ {n}} C п {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}} Икс , у знак равно у * M Икс {\ displaystyle \ langle x, y \ rangle: = y ^ {*} Mx} Икс {\ displaystyle x} у {\ displaystyle y} C п {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}} у * {\ displaystyle y ^ {*}} у {\ displaystyle y} M {\ displaystyle M} Икс {\ displaystyle x} у {\ displaystyle y} C п {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}} z , z {\ displaystyle \ langle z, z \ rangle} z {\ displaystyle z} M {\ displaystyle M} C п {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}
Все ведущие основные несовершеннолетние положительные
К - й ведущий главный минор матрицы является определяющим фактором его верхнего левого подматрицы. Оказывается, матрица положительно определена тогда и только тогда, когда все эти определители положительны. Это условие известно как критерий Сильвестра и обеспечивает эффективную проверку положительной определенности симметричной вещественной матрицы. А именно, матрица сводится к верхнетреугольной матрице с использованием элементарных операций со строками, как в первой части метода исключения Гаусса, заботясь о сохранении знака ее определителя во время процесса поворота. Поскольку k- й ведущий главный минор треугольной матрицы является произведением ее диагональных элементов до строки, критерий Сильвестра эквивалентен проверке, все ли ее диагональные элементы положительны. Это условие можно проверять каждый раз, когда получается новая строка треугольной матрицы. M {\ displaystyle M} k × k {\ Displaystyle к \ раз к} k {\ displaystyle k} k {\ displaystyle k}

Положительно полуопределенная матрица положительно определена тогда и только тогда, когда она обратима. Матрица отрицательна (полу) определена тогда и только тогда, когда она положительна (полу) определена. M {\ displaystyle M} - M {\ displaystyle -M}

Квадратичные формы

Основная статья: Определенная квадратичная форма

(Чисто) квадратичная форма, связанная с вещественной матрицей, - это функция, такая что для всех. можно считать симметричным, заменив его на. п × п {\ Displaystyle п \ раз п} M {\ displaystyle M} Q : р п р {\ Displaystyle Q: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}} Q ( Икс ) знак равно Икс Т M Икс {\ Displaystyle Q (х) = х ^ {\textf {T}} Mx} Икс {\ displaystyle x} M {\ displaystyle M} 1 2 ( M + M Т ) {\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ left (M + M ^ {\textf {T}} \ right)}

Симметричная матрица положительно определена тогда и только тогда, когда ее квадратичная форма является строго выпуклой функцией. M {\ displaystyle M}

В более общем смысле, любую квадратичную функцию от до можно записать как где - симметричная матрица, - действительный вектор и действительная константа. Эта квадратичная функция строго выпукла и, следовательно, имеет единственный конечный глобальный минимум тогда и только тогда, когда она положительно определена. По этой причине положительно определенные матрицы играют важную роль в задачах оптимизации. р п {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}} р {\ Displaystyle \ mathbb {R}} Икс Т M Икс + Икс Т б + c {\ Displaystyle х ^ {\textf {T}} Mx + x ^ {\textf {T}} b + c} M {\ displaystyle M} п × п {\ Displaystyle п \ раз п} б {\ displaystyle b} п {\ displaystyle n} c {\ displaystyle c} M {\ displaystyle M}

Одновременная диагонализация

Симметричная матрица и другая симметричная и положительно определенная матрица могут быть одновременно диагонализованы, хотя и не обязательно с помощью преобразования подобия. Этот результат не распространяется на случай трех и более матриц. В этом разделе мы пишем для реального случая. Немедленное распространение на сложный случай.

Позвольте быть симметричной и симметричной и положительно определенной матрицы. Напишите обобщенное уравнение на собственные значения как там, где мы налагаем нормировку, т. Е. Теперь мы используем разложение Холецкого, чтобы записать обратное к as. Умножая на и позволяя, мы получаем, что можно переписать как где. Манипуляция теперь дает где - матрица, имеющая в качестве столбцов обобщенные собственные векторы, а - диагональная матрица обобщенных собственных значений. Теперь предварительное умножение на дает окончательный результат: и, но обратите внимание, что это больше не ортогональная диагонализация по отношению к внутреннему произведению где. Фактически, мы диагонализовали относительно внутреннего продукта, индуцированного. M {\ displaystyle M} N {\ displaystyle N} ( M - λ N ) Икс знак равно 0 {\ Displaystyle \ влево (М- \ лямбда N \ вправо) \ mathbf {x} = 0} Икс {\ displaystyle x} Икс Т N Икс знак равно 1 {\ Displaystyle \ mathbf {x} ^ {\textf {T}} N \ mathbf {x} = 1} N {\ displaystyle N} Q Т Q {\ Displaystyle Q ^ {\textf {T}} Q} Q {\ displaystyle Q} Икс знак равно Q Т у {\ Displaystyle \ mathbf {x} = Q ^ {\textf {T}} \ mathbf {y}} Q ( M - λ N ) Q Т у знак равно 0 {\ displaystyle Q \ left (M- \ lambda N \ right) Q ^ {\textf {T}} \ mathbf {y} = 0} ( Q M Q Т ) у знак равно λ у {\ displaystyle \ left (QMQ ^ {\textf {T}} \ right) \ mathbf {y} = \ lambda \ mathbf {y}} у Т у знак равно 1 {\ Displaystyle \ mathbf {y} ^ {\textf {T}} \ mathbf {y} = 1} M Икс знак равно N Икс Λ {\ displaystyle MX = NX \ Lambda} Икс {\ displaystyle X} Λ {\ displaystyle \ Lambda} Икс Т {\ Displaystyle X ^ {\textf {T}}} Икс Т M Икс знак равно Λ {\ Displaystyle X ^ {\textf {T}} MX = \ Lambda} Икс Т N Икс знак равно я {\ Displaystyle X ^ {\textf {T}} NX = I} у Т у знак равно 1 {\ Displaystyle \ mathbf {y} ^ {\textf {T}} \ mathbf {y} = 1} M {\ displaystyle M} N {\ displaystyle N}

Обратите внимание, что этот результат не противоречит тому, что сказано об одновременной диагонализации в статье « Диагонализируемая матрица», которая относится к одновременной диагонализации с помощью преобразования подобия. Наш результат здесь больше похож на одновременную диагонализацию двух квадратичных форм и полезен для оптимизации одной формы при условиях другой.

Характеристики

Индуцированное частичное упорядочение

Для произвольных квадратных матриц, мы пишем, если есть, является положительным полуопределенным. Это определяет частичный порядок на множестве всех квадратных матриц. Аналогичным образом можно определить строгий частичный порядок. Заказ называется заказом Лёвнера. M {\ displaystyle M} N {\ displaystyle N} M N {\ Displaystyle M \ geq N} M - N 0 {\ displaystyle MN \ geq 0} M - N {\ displaystyle MN} M gt; N {\ displaystyle Mgt; N}

Обращение к положительно определенной матрице

Любая положительно определенная матрица обратима, и ее обратная матрица также положительно определена. Если тогда. Более того, по теореме min-max, k- е наибольшее собственное значение больше, чем k- е наибольшее собственное значение. M N gt; 0 {\ displaystyle M \ geq Ngt; 0} N - 1 M - 1 gt; 0 {\ Displaystyle N ^ {- 1} \ geq M ^ {- 1}gt; 0} M {\ displaystyle M} N {\ displaystyle N}

Масштабирование

Если положительно определено и является действительным числом, то положительно определено. M {\ displaystyle M} р gt; 0 {\ displaystyle rgt; 0} р M {\ displaystyle rM}

Добавление

  • Если и положительно определены, то сумма также положительно определена. M {\ displaystyle M} N {\ displaystyle N} M + N {\ displaystyle M + N}
  • Если и положительно-полуопределенные, то и положительно-полуопределенная сумма. M {\ displaystyle M} N {\ displaystyle N} M + N {\ displaystyle M + N}
  • Если положительно определен и положительно полуопределен, то сумма также положительно определена. M {\ displaystyle M} N {\ displaystyle N} M + N {\ displaystyle M + N}

Умножение

  • Если и положительно определены, то произведения и также положительно определены. Если, то также положительно определено. M {\ displaystyle M} N {\ displaystyle N} M N M {\ displaystyle MNM} N M N {\ displaystyle NMN} M N знак равно N M {\ displaystyle MN = NM} M N {\ displaystyle MN}
  • Если положительно полуопределенный, то положительно полуопределенный для любой (возможно, прямоугольной) матрицы. Если положительно определен и имеет полный ранг столбца, то положительно определен. M {\ displaystyle M} А * M А {\ displaystyle A ^ {*} MA} А {\ displaystyle A} M {\ displaystyle M} А {\ displaystyle A} А * M А {\ displaystyle A ^ {*} MA}

След

Диагональные элементы положительно-полуопределенной матрицы действительны и неотрицательны. Как следствие этого, след,. Кроме того, поскольку каждая главная подматрица (в частности, 2 на 2) положительно полуопределена, м я я {\ displaystyle m_ {ii}} tr ( M ) 0 {\ Displaystyle \ OperatorName {tr} (М) \ geq 0}

| м я j | м я я м j j я , j {\ displaystyle \ left | m_ {ij} \ right | \ leq {\ sqrt {m_ {ii} m_ {jj}}} \ quad \ forall i, j}

и, таким образом, когда, п 1 {\ Displaystyle п \ geq 1}

Максимум я , j | м я j | Максимум я м я я {\ displaystyle \ max _ {i, j} \ left | m_ {ij} \ right | \ leq \ max _ {i} m_ {ii}}

Эрмитова матрица положительно определена, если она удовлетворяет следующие неравенства следовых: п × п {\ Displaystyle п \ раз п} M {\ displaystyle M}

tr ( M ) gt; 0 а п d ( tr ( M ) ) 2 tr ( M 2 ) gt; п - 1. {\ displaystyle \ operatorname {tr} (M)gt; 0 \ quad \ mathrm {и} \ quad {\ frac {(\ operatorname {tr} (M)) ^ {2}} {\ operatorname {tr} (M ^ {2})}}gt; n-1.}

Другим важным результатом является то, что для любых и положительной полуопределенных матриц, M {\ displaystyle M} N {\ displaystyle N} tr ( M N ) 0 {\ Displaystyle \ OperatorName {tr} (MN) \ geq 0}

Произведение Адамара

Если, хотя это и не обязательно, положительно полуопределенное произведение, произведение Адамара будет (этот результат часто называют теоремой Шура о произведении ). M , N 0 {\ displaystyle M, N \ geq 0} M N {\ displaystyle MN} M N 0 {\ Displaystyle M \ circ N \ geq 0}

Что касается Адамара двух положительных полуопределенных матриц, есть два заметных неравенства: M знак равно ( м я j ) 0 {\ displaystyle M = (m_ {ij}) \ geq 0} N 0 {\ displaystyle N \ geq 0}

  • Неравенство Оппенгейма: Det ( M N ) Det ( N ) я м я я . {\ displaystyle \ det (M \ circ N) \ geq \ det (N) \ prod \ nolimits _ {i} m_ {ii}.}
  • Det ( M N ) Det ( M ) Det ( N ) {\ Displaystyle \ Det (М \ CIRC N) \ GEQ \ Det (M) \ Det (N)}.

Кронекер продукт

Если, хотя и не обязательно, положительно полуопределенное произведение Кронекера. M , N 0 {\ displaystyle M, N \ geq 0} M N {\ displaystyle MN} M N 0 {\ displaystyle M \ otimes N \ geq 0}

Произведение Фробениуса

Если, хотя и не обязательно, положительно полуопределенное, скалярное произведение Фробениуса (Ланкастер – Тисменецкий, Теория матриц, стр. 218). M , N 0 {\ displaystyle M, N \ geq 0} M N {\ displaystyle MN} M : N 0 {\ displaystyle M: ​​N \ geq 0}

Выпуклость

Множество положительно полуопределенных симметрических матриц выпукло. То есть, если и положительно полуопределены, то для любого между 0 и 1 также положительно полуопределены. Для любого вектора: M {\ displaystyle M} N {\ displaystyle N} α {\ displaystyle \ alpha} α M + ( 1 - α ) N {\ Displaystyle \ альфа М + \ влево (1- \ альфа \ вправо) N} Икс {\ displaystyle \ mathbf {x}}

Икс Т ( α M + ( 1 - α ) N ) Икс знак равно α Икс Т M Икс + ( 1 - α ) Икс Т N Икс 0. {\ Displaystyle \ mathbf {x} ^ {\textf {T}} \ left (\ alpha M + \ left (1- \ alpha \ right) N \ right) \ mathbf {x} = \ alpha \ mathbf {x} ^ {\textf {T}} M \ mathbf {x} + (1- \ alpha) \ mathbf {x} ^ {\textf {T}} N \ mathbf {x} \ geq 0.}

Это свойство гарантирует, что задачи полуопределенного программирования сходятся к глобально оптимальному решению.

Связь с косинусом

Положительная определенность матрицы выражает то, что угол между любым вектором и его изображением всегда равен: А {\ displaystyle A} θ {\ displaystyle \ theta} Икс {\ displaystyle \ mathbf {x}} А Икс {\ displaystyle A \ mathbf {x}} - π / 2 lt; θ lt; + π / 2 {\ Displaystyle - \ пи / 2 lt;\ тета lt;+ \ пи / 2}

потому что θ знак равно Икс Т А Икс Икс А Икс знак равно Икс , А Икс Икс А Икс , θ знак равно θ ( Икс , А Икс ) знак равно Икс , А Икс ^ знак равно угол между  Икс  а также  А Икс {\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {\ mathbf {x} ^ {T} A \ mathbf {x}} {\ lVert \ mathbf {x} \ rVert \ lVert A \ mathbf {x} \ rVert}} = {\ frac {\ langle \ mathbf {x}, A \ mathbf {x} \ rangle} {\ lVert \ mathbf {x} \ rVert \ lVert A \ mathbf {x} \ rVert}}, \ theta = \ theta (\ mathbf {x}, A \ mathbf {x}) = {\ widehat {\ mathbf {x}, A \ mathbf {x}}} = {\ text {угол между}} \ mathbf {x} {\ текст {и}} A \ mathbf {x}}

Другие свойства

  1. Если это симметричная матрица Теплица, т.е. записи приведены в зависимости от их абсолютных разностей индексов: и строгое неравенство имеет место, то есть строго положительно определена. M {\ displaystyle M} м я j {\ displaystyle m_ {ij}} м я j знак равно час ( | я - j | ) {\ displaystyle m_ {ij} = h (| ij |)} j 0 | час ( j ) | lt; час ( 0 ) {\ textstyle \ sum _ {j \ neq 0} \ left | h (j) \ right | lt;h (0)} M {\ displaystyle M}
  2. Пусть и эрмитовски. Если (соответственно), то (соответственно). M gt; 0 {\ displaystyle Mgt; 0} N {\ displaystyle N} M N + N M 0 {\ displaystyle MN + NM \ geq 0} M N + N M gt; 0 {\ displaystyle MN + NMgt; 0} N 0 {\ displaystyle N \ geq 0} N gt; 0 {\ displaystyle Ngt; 0}
  3. Если реально, то существует такое, что, где - единичная матрица. M gt; 0 {\ displaystyle Mgt; 0} δ gt; 0 {\ displaystyle \ deltagt; 0} M gt; δ я {\ displaystyle Mgt; \ delta I} я {\ displaystyle I}
  4. Если обозначает ведущий минор, это k- й стержень во время разложения LU. M k {\ displaystyle M_ {k}} k × k {\ Displaystyle к \ раз к} Det ( M k ) / Det ( M k - 1 ) {\ Displaystyle \ Det \ влево (M_ {k} \ right) / \ det \ left (M_ {k-1} \ right)}
  5. Матрица является отрицательно определенной, если ее ведущий главный минор k- го порядка отрицательный, когда он нечетный, и положительный, когда четный. k {\ displaystyle k} k {\ displaystyle k}

Эрмитова матрица положительно полуопределенная тогда и только тогда, когда все ее главные миноры неотрицательны. Однако недостаточно рассматривать только ведущие главные миноры, как это проверяется на диагональной матрице с элементами 0 и −1.

Блочные матрицы и подматрицы

Положительная матрица также может быть определена блоками : 2 п × 2 п {\ displaystyle 2n \ times 2n}

M знак равно [ А B C D ] {\ Displaystyle M = {\ begin {bmatrix} Aamp;B \\ Camp;D \ end {bmatrix}}}

где каждый блок. Применяя условие положительности, сразу следует, что и являются эрмитовыми, и. п × п {\ Displaystyle п \ раз п} А {\ displaystyle A} D {\ displaystyle D} C знак равно B * {\ displaystyle C = B ^ {*}}

У нас есть это для всего комплекса, и в частности для. потом z * M z 0 {\ Displaystyle \ mathbf {z} ^ {*} M \ mathbf {z} \ geq 0} z {\ displaystyle \ mathbf {z}} z знак равно [ v , 0 ] Т {\ Displaystyle \ mathbf {z} = [\ mathbf {v}, 0] ^ {\textf {T}}}

[ v * 0 ] [ А B B * D ] [ v 0 ] знак равно v * А v 0. {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {v} ^ {*} amp; 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} Aamp;B \\ B ^ {*} amp; D \ end {bmatrix}} {\ begin { bmatrix} \ mathbf {v} \\ 0 \ end {bmatrix}} = \ mathbf {v} ^ {*} A \ mathbf {v} \ geq 0.}

Аналогичный аргумент может быть применен к, и, таким образом, мы заключаем, что оба и должны быть положительно определенными. Аргумент может быть расширен, чтобы показать, что любая главная подматрица из самого по себе положительно определена. D {\ displaystyle D} А {\ displaystyle A} D {\ displaystyle D} M {\ displaystyle M}

Обратные результаты могут быть доказаны с помощью более сильных условий на блоки, например, с использованием дополнения Шура.

Локальные экстремумы

Общая квадратичная форма от вещественных переменных всегда может быть записана как где - вектор-столбец с этими переменными и является симметричной вещественной матрицей. Следовательно, положительно определенная матрица означает, что она имеет единственный минимум (ноль), когда она равна нулю, и строго положительна для любого другого. ж ( Икс ) {\ Displaystyle е (\ mathbf {х})} п {\ displaystyle n} Икс 1 , , Икс п {\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}} Икс Т M Икс {\ Displaystyle \ mathbf {x} ^ {\textf {T}} M \ mathbf {x}} Икс {\ displaystyle \ mathbf {x}} M {\ displaystyle M} ж {\ displaystyle f} Икс {\ displaystyle \ mathbf {x}} Икс {\ displaystyle \ mathbf {x}}

В более общем смысле, дважды дифференцируемая вещественная функция от вещественных переменных имеет локальный минимум в аргументах, если ее градиент равен нулю, а ее гессиан (матрица всех вторых производных) положительно полуопределен в этой точке. Аналогичные утверждения можно сделать для отрицательно определенных и полуопределенных матриц. ж {\ displaystyle f} п {\ displaystyle n} Икс 1 , , Икс п {\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}

Ковариация

В статистике, то ковариационная матрица из многомерного распределения вероятностей всегда положительно полуопределенная; и он положительно определен, если одна переменная не является точной линейной функцией других. И наоборот, каждая положительно полуопределенная матрица является ковариационной матрицей некоторого многомерного распределения.

Расширение для неэрмитовых квадратных матриц

Определение положительно определенной можно обобщить, обозначив любую комплексную матрицу (например, действительную несимметричную) как положительно определенную, если для всех ненулевых комплексных векторов, где обозначает действительную часть комплексного числа. Только эрмитова часть определяет, является ли матрица положительно определенной, и оценивается в более узком смысле выше. Точно так же, если и являются действительными, мы имеем для всех вещественных ненулевых векторов тогда и только тогда, когда симметричная часть положительно определена в более узком смысле. Сразу видно, что нечувствителен к транспозиции М. M {\ displaystyle M} ( z * M z ) gt; 0 {\ displaystyle \ Re \ left (\ mathbf {z} ^ {*} M \ mathbf {z} \ right)gt; 0} z {\ displaystyle \ mathbf {z}} ( c ) {\ Displaystyle \ Re (с)} c {\ displaystyle c} 1 2 ( M + M * ) {\ textstyle {\ frac {1} {2}} \ left (M + M ^ {*} \ right)} Икс {\ displaystyle \ mathbf {x}} M {\ displaystyle M} Икс Т M Икс gt; 0 {\ Displaystyle \ mathbf {x} ^ {\textf {T}} M \ mathbf {x}gt; 0} Икс {\ displaystyle \ mathbf {x}} 1 2 ( M + M Т ) {\ textstyle {\ frac {1} {2}} \ left (M + M ^ {\textf {T}} \ right)} Икс Т M Икс знак равно я j Икс я M я j Икс j {\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {\textf {T}} M \ mathbf {x} = \ sum _ {ij} x_ {i} M_ {ij} x_ {j}}

Следовательно, несимметричная вещественная матрица только с положительными собственными значениями не обязательно должна быть положительно определенной. Например, матрица имеет положительные собственные значения, но не является положительно определенной; в частности, при выборе получается отрицательное значение (которое является собственным вектором, связанным с отрицательным собственным значением симметричной части). M знак равно [ 4 9 1 4 ] {\ displaystyle M = \ left [{\ begin {smallmatrix} 4 amp; 9 \\ 1 amp; 4 \ end {smallmatrix}} \ right]} Икс Т M Икс {\ Displaystyle \ mathbf {x} ^ {\textf {T}} M \ mathbf {x}} Икс знак равно [ - 1 1 ] {\ displaystyle \ mathbf {x} = \ left [{\ begin {smallmatrix} -1 \\ 1 \ end {smallmatrix}} \ right]} M {\ displaystyle M}

Таким образом, различие между действительным и комплексным случаем состоит в том, что ограниченный положительный оператор в комплексном гильбертовом пространстве обязательно эрмитов или самосопряжен. Общее утверждение можно аргументировать, используя поляризационное тождество. В действительности это уже не так.

Приложения

Матрица теплопроводности

Закон теплопроводности Фурье, определяющий тепловой поток в терминах температурного градиента, записывается для анизотропных сред как, в котором - симметричная матрица теплопроводности. Отрицательный элемент вставлен в закон Фурье, чтобы отразить ожидание того, что тепло всегда будет течь от горячего к холодному. Другими словами, поскольку температурный градиент всегда направлен от холодного к горячему, ожидается, что тепловой поток будет иметь отрицательный внутренний продукт с таким образом. Подстановка закона Фурье дает это ожидание как, подразумевая, что матрица проводимости должна быть положительно определенной. q {\ displaystyle \ mathbf {q}} грамм знак равно Т {\ displaystyle \ mathbf {g} = \ nabla T} q знак равно - K грамм {\ displaystyle \ mathbf {q} = -K \ mathbf {g}} K {\ displaystyle K} грамм {\ displaystyle \ mathbf {g}} q {\ displaystyle \ mathbf {q}} грамм {\ displaystyle \ mathbf {g}} q Т грамм lt; 0 {\ Displaystyle \ mathbf {q} ^ {\textf {T}} \ mathbf {g} lt;0} грамм Т K грамм gt; 0 {\ Displaystyle \ mathbf {g} ^ {\textf {T}} K \ mathbf {g}gt; 0}

Смотрите также

Примечания

использованная литература

внешние ссылки

Последняя правка сделана 2023-03-21 09:16:01
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте