Войти
В математике, особенно в линейной алгебре, M-матрица представляет собой Z-матрицу с собственные значения, вещественные части которых неотрицательны. Множество невырожденных M-матриц является подмножеством класса P-матриц, а также класса обратно-положительных матриц (т.е. матриц с обратными, принадлежащих к классу положительных матриц ). Название M-матрица, по-видимому, изначально было выбрано Александром Островским в ссылка на Герман Минков ski, который доказал, что если у Z-матрицы все строчные суммы положительны, то определитель этой матрицы положителен.
M-матрица обычно определяется следующим образом:
Определение: Пусть A будет вещественным числом × n Z- матрица. То есть A = (a ij), где a ij ≤ 0 для всех i ≠ j, 1 ≤ i, j ≤ n. Тогда матрица A также является M-матрицей, если ее можно выразить в виде A = sI - B, где B = (b ij) с b ij ≥ 0, для всех 1 ≤ i, j ≤ n, где s по крайней мере равно максимуму модулей собственных значений B, а I - единичная матрица.
Для неособенности A, согласно теореме Перрона-Фробениуса, должно быть s>ρ (B). Кроме того, для невырожденной M-матрицы диагональные элементы a ii матрицы A должны быть положительными. Далее мы охарактеризуем только класс неособых M-матриц.
Известно множество утверждений, эквивалентных этому определению невырожденных M-матриц, и любое из этих утверждений может служить начальным определением невырожденной M-матрицы. Например, Plemmons перечисляет 40 таких эквивалентов. Эти характеристики были классифицированы Племмонсом в терминах их отношения к следующим свойствам: (1) положительность главных миноров, (2) обратная положительность и расщепления, (3) стабильность и (4) полуположительность и диагональное преобладание. Имеет смысл категоризировать свойства таким образом, потому что утверждения в определенной группе связаны друг с другом, даже если матрица A является произвольной матрицей, а не обязательно Z-матрицей. Здесь мы упоминаем несколько характеристик из каждой категории.
Ниже ≥ обозначает поэлементный порядок (а не обычный положительный полуопределенный порядок на матрицах). То есть для любых вещественных матриц A, B размера m × n мы пишем A ≥ B (или A>B), если a ij ≥ b ij (или a ij>bij) для всех i, j.
Пусть A - вещественная Z-матрица × n, тогда следующие утверждения эквивалентны A, являющейся невырожденной M-матрицей:
Положительность основных миноров
Обратно-положительность и расщепления
Стабильность
Полуположительность и диагональное преобладание
Основной вклад в теорию M-матрицы внесен в основном математиками и экономистами. M-матрицы используются в математике для установления границ собственных значений и установления критериев сходимости для итерационных методов для решения больших разреженных систем линейных уравнений. M-матрицы естественным образом возникают при некоторых дискретизации дифференциальных операторов, таких как лапласиан, и как таковые хорошо изучены в научных вычислениях. M-матрицы также встречаются при исследовании решений задачи линейной дополнительности. Проблемы линейной дополнительности возникают в линейном и квадратичном программировании, вычислительной механике и в задаче нахождения точки равновесия биматричной игры. Наконец, M-матрицы встречаются при исследовании конечных цепей Маркова в области теории вероятностей и исследования операций, таких как теория массового обслуживания. Между тем, экономисты изучали М-матрицы в связи с общей заменяемостью, стабильностью общего равновесия и анализ затрат-выпуска в экономических системах. Условие положительности всех основных миноров также известно в экономической литературе как условие Хокинса – Саймона. В технике M-матрицы также встречаются в задачах устойчивости по Ляпунову и управления с обратной связью в теории управления и связаны с матрицей Гурвица. В вычислительной биологии M-матрицы встречаются при исследовании популяционной динамики.
