Войти
В математике, особенно в линейной алгебре, M -матрица - это Z- матрица с собственными значениями, действительные части которых неотрицательны. Множество невырожденных M -матриц является подмножеством класса P -матриц, а также класса обратноположительных матриц (т.е. матриц с обратными, принадлежащих классу положительных матриц ). Название M -матрица, по-видимому, было первоначально выбрано Александром Островским в связи с Германом Минковским, который доказал, что если Z-матрица имеет положительные суммы всех строк, то определитель этой матрицы положителен.
M-матрица обычно определяется следующим образом:
Определение: Пусть A - вещественная Z-матрица размера n × n. То есть A = ( a ij), где a ij ≤ 0 для всех i ≠ j, 1 ≤ i, j ≤ n. Тогда матрица A также является M-матрицей, если ее можно выразить в виде A = sI - B, где B = ( b ij), где b ij ≥ 0, для всех 1 ≤ i, j ≤ n, где s равно по крайней мере столь же велик, как максимум модулей собственных значений B, и I является единичной матрицей.
Для несингулярности из А, согласно теореме Перрона-Фробениуса, он должен быть так, что s gt; ρ ( B ). Кроме того, для невырожденных М-матрицы, диагональные элементы II из А должны быть положительными. Далее мы охарактеризуем только класс неособых M-матриц.
Известно много утверждений, эквивалентных этому определению невырожденных M-матриц, и любое из этих утверждений может служить начальным определением невырожденной M-матрицы. Например, Plemmons перечисляет 40 таких эквивалентов. Эти характеристики были классифицированы Племмонсом в терминах их отношения к следующим свойствам: (1) положительность главных миноров, (2) обратная положительность и расщепления, (3) стабильность и (4) полуположительность и диагональное преобладание. Имеет смысл категоризировать свойства таким образом, потому что утверждения в определенной группе связаны друг с другом, даже если матрица A является произвольной матрицей, а не обязательно Z-матрицей. Здесь мы упоминаем несколько характеристик из каждой категории.
Ниже ≥ обозначает поэлементный порядок (а не обычный положительный полуопределенный порядок на матрицах). То есть для любых вещественных матриц A, B размера m × n мы пишем A ≥ B (или A gt; B ), если a ij ≥ b ij (или a ij gt; b ij ) для всех i, j.
Пусть A - вещественная Z-матрица размера n × n, тогда следующие утверждения эквивалентны тому, что A - невырожденная M-матрица:
Позитивность основных несовершеннолетних
Обратная положительность и расщепления
Стабильность
Полупозитивность и диагональное преобладание
Основной вклад в теорию М-матрицы в основном внесли математики и экономисты. M-матрицы используются в математике для установления границ собственных значений и установления критериев сходимости итерационных методов решения больших разреженных систем линейных уравнений. M-матрицы естественным образом возникают при дискретизации дифференциальных операторов, таких как лапласиан, и как таковые хорошо изучены в научных вычислениях. M-матрицы также встречаются при изучении решений линейной задачи дополнительности. Проблемы линейной дополнительности возникают в линейном и квадратичном программировании, вычислительной механике и в задаче нахождения точки равновесия биматричной игры. Наконец, M-матрицы встречаются при изучении конечных цепей Маркова в области теории вероятностей и исследований операций, таких как теория массового обслуживания. Между тем, экономисты изучали М-матрицы в связи с общей заменяемостью, стабильностью общего равновесия и анализом затрат-выпуска Леонтьева в экономических системах. Условие положительности всех основных миноров также известно в экономической литературе как условие Хокинса – Саймона. В технике M-матрицы также встречаются в задачах устойчивости по Ляпунову и управления с обратной связью в теории управления и связаны с матрицей Гурвица. В вычислительной биологии М-матрицы используются при изучении динамики популяции.
