Комплексный анализ

редактировать

Раздел математики, изучающий функции комплексной переменной

График цветового круга функции f (z) = ( z - 1) (z + 2 - i) / (z + 2 - 2i).. Оттенок представляет аргумент , яркость величина.

Комплексный анализ, традиционно известный как теория функций комплексной переменной, является разделом математического анализа, который исследует функции из комплексных чисел. Он полезен во многих областях математики, включая алгебраическую геометрию, теорию чисел, аналитическую комбинаторику, прикладную математику ; а также в физике, включая разделы гидродинамики, термодинамики и особенно квантовой механики. Кроме того, использование комплексного анализа также находит применение в таких областях техники, как ядерная, аэрокосмическая, механическая и электротехника.

. 103>дифференцируемая функция комплексной переменной равна ее ряду Тейлора (то есть аналитическая ), комплексный анализ, в частности, касается аналитических функций комплексной переменной (то есть голоморфные функции ).

Содержание

1 История
2 Сложные функции
3 Голоморфные функции
4 Основные результаты
5 См. Также
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

История

Множество Мандельброта, фрактал

Комплексный анализ - одна из классических ветвей математики, уходящая корнями в XVIII век и незадолго до этого. Важные математики, связанные с комплексными числами, включают Эйлер, Гаусс, Риман, Коши, Вейерштрасс и многие другие. в 20 веке. Комплексный анализ, в частности теория конформных отображений, имеет множество физических приложений, а также используется в аналитической теории чисел. В наше время он стал очень популярным благодаря новому ускорению от сложной динамики и изображений фракталов, созданных путем повторения голоморфных функций. Еще одно важное приложение комплексного анализа - это теория струн, изучающая конформные инварианты в квантовой теории поля.

Комплексные функции

экспоненциальная функция A дискретного (целое число ) переменная n, аналогичная геометрической прогрессии

Комплексная функция - это функция от комплексных чисел к комплексным числам. Другими словами, это функция, которая имеет подмножество комплексных чисел как домен и комплексных чисел как кодомен. Обычно предполагается, что у сложных функций есть область, содержащая непустое открытое подмножество комплексной плоскости.

. Для любой сложной функции значения $z {\ displaystyle z}$ $z$ из домена и их изображения $f (z) {\ displaystyle f (z)}$ $е (z)$ в диапазоне могут быть разделены на действительный и мнимый части:

z = x + iy и f (z) = f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y), {\ displaystyle z = x + iy \ quad { \ text {and}} \ quad f (z) = f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y),}

{\ displaystyle z = x + iy \ quad {\ text {and}} \ четырехъядерный е (г) знак равно е (х + iy) знак равно и (х, у) + iv (х, у),}

где $x, y, u (x, y), v (x, y) {\ displaystyle x, y, u (x, y), v (x, y)}$ ${\ displaystyle x, y, u (x, y), v (x, y)}$ все имеют действительные значения.

Другими словами, сложная функция $f: C → C {\ displaystyle f: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}}$ может быть разложена на

u: R 2 → R {\ displaystyle u: \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} \ quad}

{\ displaystyle u: \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} \ quad}

v: R 2 → R, { \ displaystyle \ quad v: \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R},}

{\ displaystyle \ quad v: \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R},}

т.е. на две функции с действительным знаком ( $u {\ displaystyle u}$ $u$ , $v { \ displaystyle v}$ $v$ ) двух вещественных переменных ( $x {\ displaystyle x}$ $x$ , $y {\ displaystyle y}$ $y$ ).

Аналогично, любую комплексную функцию f на произвольном множестве X можно рассматривать как упорядоченную пару двух функций с действительным знаком : (Re f, Im f) или, альтернативно, как вектор-функция из X в $R 2. {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}.}$

Некоторые свойства комплексных функций (например, непрерывность ) являются не чем иным, как соответствующими свойствами векторных функций двух вещественных переменных.. Другие концепции комплексного анализа, такие как дифференцируемость, являются прямым обобщением аналогичных концепций для реальных функций, но могут иметь очень разные свойства. В частности, каждая дифференцируемая комплексная функция является аналитической (см. Следующий раздел), и две дифференцируемые функции, которые равны в окрестности точки, равны на пересечение их домена (если домены связаны ). Последнее свойство является основой принципа аналитического продолжения, который позволяет уникальным образом расширить каждую действительную аналитическую функцию для получения комплексной аналитической функции, область определения которой представляет собой всю комплексную плоскость с удалено конечное число дуг кривой. Таким образом определяются многие базовые и специальные сложные функции, включая экспоненциальные функции, логарифмические функции и тригонометрические функции.

Голоморфные функции

Сложные функции, которые дифференцируемы в каждой точке открытого подмножества $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ комплексной плоскости, называются быть голоморфным на $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ . В контексте комплексного анализа производная от $f {\ displaystyle f}$ $f$ в $z 0 {\ displaystyle z_ {0}}$ $z_ {0}$ определяется как

f ′ (z 0) = lim z → z 0 f (z) - f (z 0) z - z 0, z ∈ C. {\ displaystyle f '(z_ {0}) = \ lim _ {z \ to z_ {0}} {\ frac {f (z) -f (z_ {0})} {z-z_ {0}}}, \ quad z \ in \ mathbb {C}.}

f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}},\quad z\in \mathbb {C}.

На первый взгляд это определение формально аналогично определению производной действительной функции. Однако сложные производные и дифференцируемые функции ведут себя по-разному по сравнению с их реальными аналогами. В частности, для существования этого предела значение коэффициента разности должно приближаться к одному и тому же комплексному числу, независимо от того, как мы приближаемся к $z 0 {\ displaystyle z_ {0}}$ $z_ {0}$ в комплексная плоскость. Следовательно, комплексная дифференцируемость имеет гораздо более серьезные последствия, чем реальная дифференцируемость. Например, голоморфные функции бесконечно дифференцируемы, тогда как существование n-й производной не обязательно подразумевает существование (n + 1) -й производной для действительных функций. Кроме того, все голоморфные функции удовлетворяют более сильному условию аналитичности, означающему, что функция в каждой точке своей области определения локально задается сходящимся степенным рядом. По сути, это означает, что функции, голоморфные на $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ , могут быть сколь угодно хорошо аппроксимированы полиномами в некоторой окрестности каждой точки в $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ . Это резко контрастирует с дифференцируемыми действительными функциями; существуют бесконечно дифференцируемые действительные функции, нигде не аналитические; см. Неаналитическая гладкая функция § Гладкая функция, которая нигде не является реальной аналитической.

Большинство элементарных функций, включая экспоненциальную функцию , тригонометрические функции и все полиномиальные функции, соответствующим образом расширенные до сложных аргументов, как функции $C → C {\ displaystyle \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}}$ , голоморфны по всей комплексной плоскости, что делает их целыми функциями, тогда как рациональные функции $p / q {\ displaystyle p / q}$ $p / q$ , где p и q - многочлены, голоморфны в областях, исключающих точки, где q равно нулю. Такие функции, которые голоморфны всюду, кроме множества изолированных точек, называются мероморфными функциями. С другой стороны, функции $z ↦ ℜ (z) {\ displaystyle z \ mapsto \ Re (z)}$ ${\ displaystyle z \ mapsto \ Re (z)}$ , $z ↦ | z | {\ displaystyle z \ mapsto | z |}$ ${\ displaystyle z \ mapsto | z |}$ и $z ↦ z ¯ {\ displaystyle z \ mapsto {\ bar {z}}}$ ${\ displaystyle z \ mapsto {\ bar {z}}}$ нигде не голоморфны комплексная плоскость, что может быть показано их невыполнением условий Коши – Римана (см. ниже).

Важным свойством голоморфных функций является связь между частными производными их действительной и мнимой составляющих, известная как условия Коши – Римана. Если $f: C → C {\ displaystyle f: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}}$ , определяется как $f (z) = f (x + iy) знак равно U (x, y) + iv (x, y) {\ displaystyle f (z) = f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y)}$ ${\ displaystyle f (z) = f (x + iy) = u (Икс, Y) + IV (Икс, Y)}$ , где $x, y, u (x, y), v (x, y) ∈ R {\ displaystyle x, y, u (x, y), v (x, y) \ in \ mathbb {R} }$ ${\ displaystyle x, y, u (x, y), v (x, y) \ in \ mathbb {R}}$ , голоморфен в области $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ , затем $(∂ f / ∂ z ¯) (z 0) = 0 {\ displaystyle (\ partial f / \ partial {\ bar {z}}) (z_ {0}) = 0}$ ${\ Displaystyle (\ partial f / \ partial {\ bar {z}}) (z_ {0}) = 0}$ должно выполняться для всех $z 0 ∈ Ω {\ displaystyle z_ {0} \ in \ Omega}$ ${\ displaystyle z_ {0} \ in \ Omega}$ . Здесь дифференциальный оператор $∂ / ∂ z ¯ {\ displaystyle \ partial / \ partial {\ bar {z}}}$ ${\ displaystyle \ partial / \ partial {\ bar {z}}}$ определяется как $(1/2) (∂ / ∂ Икс + я ∂ / ∂ Y) {\ Displaystyle (1/2) (\ partial / \ partial x + i \ partial / \ partial y)}$ ${\ displaystyle (1/2) (\ partial / \ partial x + i \ partial / \ partial y)}$ . С точки зрения действительной и мнимой частей функции u и v это эквивалентно паре уравнений $ux = vy {\ displaystyle u_ {x} = v_ {y}}$ ${\ displaystyle u_ {x} = v_ {y}}$ и $uy = - vx {\ displaystyle u_ {y} = - v_ {x}}$ ${\ displaystyle u_ {y} = - v_ {x}}$ , где нижние индексы указывают на частичное дифференцирование. Однако условия Коши – Римана не характеризуют голоморфные функции без дополнительных условий непрерывности (см. теорема Лумана – Менхоффа ).

Голоморфные функции обладают некоторыми замечательными особенностями. Например, теорема Пикара утверждает, что диапазон всей функции может принимать только три возможных формы: $C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$ , $C ∖ {z 0} {\ displaystyle \ mathbb {C} \ smallsetminus \ {z_ {0} \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ smallsetminus \ {z_ {0} \}}$ или ${z 0} {\ displaystyle \ {z_ {0} \}}$ ${\ displaystyle \ {z_ {0} \}}$ для некоторых $z 0 ∈ C {\ displaystyle z_ {0} \ in \ mathbb {C}}$ $z_ {0} \ in {\ mathbb {C}}$ . Другими словами, если два различных комплексных числа $z {\ displaystyle z}$ $z$ и $w {\ displaystyle w}$ $w$ не находятся в диапазоне всей функции $f {\ displaystyle f}$ $f$ , тогда $f {\ displaystyle f}$ $f$ - постоянная функция. Кроме того, для голоморфной функции $f {\ displaystyle f}$ $f$ , определенной на открытом множестве $U {\ displaystyle U}$ $U$ , аналитическое продолжение из $f {\ displaystyle f}$ $f$ к большему открытому множеству $V ⊃ U {\ displaystyle V \ supset U}$ ${\ displaystyle V \ supset U}$ уникально. В результате значение голоморфной функции в сколь угодно малой области фактически определяет значение функции всюду, до которой она может быть продолжена как голоморфная функция.

См. Также: аналитическая функция, когерентный пучок и векторные пучки.

Основные результаты

Один из центральных инструментов в комплексе анализ - это линейный интеграл. Интеграл по линии вокруг замкнутого пути функции, голоморфной всюду внутри области, ограниченной замкнутым путем, всегда равен нулю, как утверждается в интегральной теореме Коши. Значения такой голоморфной функции внутри диска могут быть вычислены с помощью интеграла по путям на границе диска (как показано в интегральной формуле Коши ). Интегралы по траекториям в комплексной плоскости часто используются для определения сложных вещественных интегралов, и здесь, помимо прочего, применима теория вычетов (см. методы контурного интегрирования ). «Полюс» (или изолированная особенность ) функции - это точка, в которой значение функции становится неограниченным или «взрывается». Если функция имеет такой полюс, то можно вычислить в нем вычет функции, который можно использовать для вычисления интегралов по путям, включающим функцию; это содержание мощной теоремы об остатках. Замечательное поведение голоморфных функций вблизи существенных особенностей описывается теоремой Пикара. Функции, которые имеют только полюсы, но не имеют существенных особенностей, называются мероморфными. Ряд Лорана является комплексным эквивалентом ряда Тейлора, но может использоваться для изучения поведения функций вблизи сингулярностей с помощью бесконечных сумм более хорошо изученных функций, таких как полиномы.

A ограниченная функция, голоморфная на всей комплексной плоскости, должна быть постоянной; это теорема Лиувилля. Его можно использовать, чтобы обеспечить естественное и короткое доказательство фундаментальной теоремы алгебры, которая утверждает, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто.

Если функция голоморфный во всем связанном домене, то его значения полностью определяются его значениями в любой меньшей подобласти. Говорят, что функция в большей области аналитически продолжается от ее значений в меньшей области. Это позволяет расширить определение функций, таких как дзета-функция Римана, которые изначально определены в терминах бесконечных сумм, сходящихся только в ограниченных областях, почти до всей комплексной плоскости. Иногда, как в случае натурального логарифма, невозможно аналитически продолжить голоморфную функцию на неодносвязную область на комплексной плоскости, но можно продолжить ее до голоморфной функции на тесно связанная поверхность, известная как риманова поверхность.

Все это относится к комплексному анализу по одной переменной. Существует также очень богатая теория комплексного анализа более чем в одном комплексном измерении, в которой сохраняются аналитические свойства, такие как степенной ряд разложения, тогда как большинство геометрических свойств голоморфных функций в одно сложное измерение (например, конформность ) не переносятся. Теорема об отображении Римана о конформном соотношении определенных областей в комплексной плоскости, которая может быть наиболее важным результатом в одномерной теории, резко терпит неудачу в более высоких измерениях.

В квантовой механике в основном используются определенные сложные пространства как волновые функции.

См. Также

Ссылки

Альфорс, Л., Комплексный анализ, 3 изд. (McGraw-Hill, 1979).
, Complex Variables, 2 ed. (Довер, 1999 г.)
Каратеодори, К., Теория функций комплексной переменной (Челси, Нью-Йорк). [2 тома]
Хенрици, П., Прикладной и вычислительный комплексный анализ (Wiley). [Три тома: 1974, 1977, 1986.]
Крейсциг, Э., Высшая инженерная математика, 10 изд., Гл. 13–18 (Wiley, 2011).
Маркушевич А.И. Теория функций комплексной переменной (Прентис-Холл, 1965). [Три тома.]
Марсден и Хоффман, Базовый комплексный анализ. 3-е изд. (Freeman, 1999).
Needham, T., Visual Complex Analysis (Oxford, 1997).
Rudin, W., Real and Complex Analysis, 3 ed. (McGraw-Hill, 1986).
Scheidemann, V., Введение в комплексный анализ с несколькими переменными (Birkhauser, 2005)
Shaw, WT, Complex Analysis with Mathematica (Cambridge, 2006).
Шпигель, Мюррей Р. Теория и проблемы комплексных переменных - с введением в конформное отображение и его приложения (McGraw-Hill, 1964).
Штайн и Шакарчи, Комплексный анализ (Принстон, 2003).
Абловиц Фокас, Комплексные переменные: введение и приложения (Кембридж, 2003).

Внешние ссылки

Страница комплексного анализа MathWorld от Wolfram Research