сингулярность BKL

Рисунок 1. Сферическое тело, испытывающее хаотическую динамику BKL (Mixmaster), близкую к сингулярности, согласно правилам ур. 35 . Моделирование было выполнено в Mathematica с начальным $u\; =\; 13\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{13\}\}\}$. Аналогичное анимированное моделирование Дэвида Гарфинкла можно найти в.

Викибук Общая теория относительности имеет страницу по теме: сингулярность BKL

A Белинского - Халатникова - Лифшица (BKL) сингулярность представляет собой модель динамической эволюции Вселенной вблизи начальной сингулярности, описываемой анизотропной, хаотической решения уравнения поля Эйнштейна гравитации. Согласно этой модели, Вселенная хаотически колеблется вокруг гравитационной сингулярности , в которой время и пространство становятся равными нулю. Эта особенность физически реальна в том смысле, что необходимо своим потреблением и также появится в точном решении этих уравнений. Сингулярность не создается искусственно допущениями и упрощениями, сделанными другими специальными ми, такими как Фридман-Лемэтр-Робертсон-Уокер, квазиизотропный и Каснер решения.

Модель названа в честь авторов Владимира Белинского, Исаака Халатникова и Евгения Лифшица, тогда работавших в Институте Ландау. по теоретической физике.

Картина, разработанная БКЛ, имеет несколько важных элементов. Это:

• Вблизи сингулярности эволюция геометрии в различных пространственных точеляется, так что решения уравнения в частных производных могут быть аппроксимированы решениями обыкновенных дифференциальных уравнений относительно времени для правильных пространственных пространственных факторов.. Это называется гипотезой БКЛ .
• . Для всех типов материи влияния полей материи на динамику геометрии становится незначительным вблизи сингулярности. Или, говоря словами Джона Уиллера, «материя не имеет значения» вблизи сингулярности. Первоначальная работа BKL оказывала незначительное влияние на всю материю, но позже они выдвинули теорию, что «жесткая материя» (уравнение состояния p = ε), эквивалентная безмассовому скалярному полю, может иметь модифицирующий эффект на динамику вблизи сингулярности.
• Обыкновенные дифференциальные уравнения, описывающие асимптотику, образующие из класса пространственно однородных решений, динамику Миксмастера : сложную колебательную и хаотическую модель, которая проявляет свойства, аналогичные тем, которые обсуждаются BKL.

Исследование динамики в окрестности космологической сингулярности стало быстро развивающейся областью современной теоретической и математической физики. Обобщение модели БКЛ на космологическую сингулярность в многомерных (тип Калуцы - Клейна ) космологических моделях носит хаотический характер в пространствах-временах, размерность которых не превышает десяти, а в пространствах-временах более высоких размеров - вселенная. после прохождения конечного числа колебаний переходит в монотонный режим сжатия типа Казнера.

Развитие космологических исследований на основе моделей суперструн выявило некоторые новые аспекты динамики в окрестностях необычность. В этих моделях механизмов вызываются смены казнеровских эпох, вызываются не гравитационные взаимодействия, а других присутствующих полей. Было доказано, что космологические модели, основанные на шести моделях суперструн и модели D = 11 супергравитации, демонстрируют хаотическую динамику BKL в направлении сингулярности. Была обнаружена связь между осцилляторными BKL-подобными космологическими моделями и специальным подком бесконечномерных алгебр Ли - так называемыми гиперболическими алгебрами Каца - Муди.

• 1 Введение
• 2 Существование сингулярности физического времени
• 3 Обобщенное однородное решение
  • 3.1 Гипотеза БКЛ
  • 3.2 Решение Казнера
• 4 Осциллирующая мода к сингулярности
• 5 Эволюция метрики
  • 5.1 Два возмущения
  • 5.2 Область малых времен
  • 5.3 Статистический анализ вблизи сингулярности
• 6 Общее решение с небольшими колебаниями
• 7 Выводы
• 8 Примечания
• 9 Ссылки
• 10 Библиография

На основе современной космологии лежат специальные решения уравнений поля Эйнштейна, найденные Александром Фридманом в 1922–1924 годах. Вселенная резолюция однородной (пространство одинаковые метрические свойства (меры) во всех точках) и изотропной (пространство имеет одинаковые меры во всех направлениях). Решения Фридмана допускают две возможные геометрии пространства: замкнутая модель с шарообразным пространством изгибом наружу (положительная кривизна ) и открытая модель с седловидным пространством с изгибом внутрь (отрицательная кривизна ). В обоих моделях Вселенная не стоит на месте, она либо постоянно расширяется (становится больше), либо становится сжимается (сжимается, меньше). Это было подтверждено Эдвином Хабблом, который установил красное смещение Хаббла удаляющихся галактик. Сегодняшний консенсус состоит в том, что изотропная модель, в общем, дает адекватное описание текущего состояния Вселенной; однако изотропия нынешней среды самой по себе не является поводом ожидать, что она адекватна для описания ранней стадий эволюции Вселенной. В то же время очевидно, что в реальном мире однородность в лучшем случае является лишь приближением. Даже если можно говорить об однородном распределении плотности материи на пространстве, больших по сравнению с межгалактическим пространством, эта однородность исчезает на меньших масштабах. С другой стороны, предположение об однородности заходит очень далеко в математическом аспекте: оно делает решение в высокой степени симметричным, которое может придавать специфические свойства, которые исчезают при рассмотрении более общего случая.

Другим важным свойством изотропной модели неизбежное существование сингулярности времени : течение времени не является непрерывным, но останавливается или обращаетсяять после того, как время некоторого очень большого или очень малого значения. Между сингулярностями время течет в одном направлении: от сингулярности (стрелка времени ). В открытой модели есть одна сингулярность времени, поэтому время ограничено на одном конце, но неограничено на другом, в то время как в закрытой модели есть две сингулярности, ограничивающие время на обоих концах (Большой взрыв и Большой хруст ).

Единственными физически интересными свойствами пространства-времени (такими как сингулярности) являются те, которые стабильны, то есть те свойства, которые все еще проявляются, когда исходные данные слегка изменяются.. Сингулярность может быть стабильной и при этом не физического значимости: стабильность является необходимым, но не достаточным условием для физического значимости. Например, сингулярность может быть стабильной только в окрестности наборов исходных данных, соответствующих сильно анизотропной вселенной. Данная реальная Вселенная теперь, по-видимому, почти изотропна, такая сингулярность не могла возникнуть в нашей Вселенной. Достаточным условием того, что стабильная особенность представляет собой физический интерес, требование, требуемое, чтобы особенность была (или общей). Грубо говоря, устойчивая сингулярность является общей, если она возникает около каждого начального состояния, негравитационные поля ограничиваются определенным образом «физически реалистичными» полями, так что уравнения Эйнштейна, различные уравнения состояния и т. Д. окончательно, что они сохранят эволюционировавшее пространство-время. Может случиться так, что сингулярность устойчива при небольших измененияхх истинных гравитационных степеней свободы, и все же она не является общей, поскольку сингулярность каким-то образом зависит от системы координат , или скорее на выборе исходной гиперповерхности, из которой происходит развитие пространства-времени.

Для системы нелинейных дифференциальных уравнений, такой как решение Эйнштейна, общее не определено однозначно. В принципе, может быть несколько интегралов, и из них может содержать только конечное подмножество всех виновников начальных условий. Каждый из этих интегралов может содержать все требуемые независимые функции, которые, однако, могут подчиняться некоторым условиям (некоторым неравенствам ). Таким образом, наличие общих решений с особенностями не исключает существования других общих решений. Например, нет оснований сомневаться в существовании общего решения без особенностей, описывающего изолированное тело с относительно небольшой массой.

Невозможно найти общий интеграл для всего пространства и для всех времен. Однако для решения проблемы в этом нет необходимости: достаточно изучить решение вблизи особенности. Это также решило бы другие проблемы: характеристики метрики пространства-времени эволюции в общем решении, когда она физической сингулярности, понимаемой как точка, где плотность материи и инварианты тензора кривизны Римана становятся бесконечными.

Одна из основных проблем, изучаемых группа Ландау (к которой принадлежит BKL), заключалась в том, релятивистский космологические модели обязательно содержат сингулярность времени или сингулярность времени артефактом допущений, используемых для упрощения моделей. Независимость сингулярности от предположений о симметрии означала бы, что временные особенности существуют не только в частных, но и в общих решениях решений Эйнштейна. Разумно предположить, что если сингулярность присутствует в общем решении, должны быть некоторые инструкции, основанные только на самых общих свойствах Эйнштейна, хотя самих по себе этих указаний может быть недостаточно для характеристик сингулярности.

Критерием общности решений является количеством независимых пространственных функций, которые они содержат. Они включают в себя только «физически независимые» функции, число которых не может быть уменьшен путем выбора любого опорного кадра. В общем случае количество таких функций быть достаточным для полного определения начальных условий (распределение и движение материи, распределение гравитационного поля ) в некоторый момент времени, выбранный как начальный. Это число четыре для пустого (вакуумного) пространства и восемь для пространства, заполненного материей и / или излучением.

Предыдущая работа группы Ландау; обзор в) привел к выводу, что общее решение не содержит физических особенностей. Этот поиск более широкого класса решений с особенностью проводился, по сути, методом проб и ошибок, отсутствовал систематический подход к изучению правил Эйнштейна. Отрицательный результат, полученный таким образом, сам по себе неубедителен; решение с необходимой степенью общности сделало бы его недействительным и в то же время подтвердило любые положительные результаты, относящиеся к конкретному решению.

В том случае, когда используется способ синштейна, записанных в синхронной системе, то есть в кадре, в котором собственное время x = t синхронизировано всем пространство; в этом кадре элемент пространственного помещения dl отделен от временного интервала dt. Уравнение Эйнштейна

$R\; 0\; 0\; =\; T\; 0\; 0\; -\; 1\; 2\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{0\}\; ^\; \{0\}\; =\; T\_\; \{0\}\; ^\; \{0\}\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; T\}$

(уравнение 1)

, записанное в синхронном кадре, дает результат, в котором детерминант метрики g неизбежно обращается в ноль за конечное время, независимо от любых предположений о распределении материи.

попытки найти общую физическую сингулярность были прекращены после того, как стало ясно, что связанная выше сингулярность связана с определенным геометрическим своим синхронностью системы отсчета: пересечением координат временной линии. Это пересечение происходит на некоторых окружающих гиперповерхностях, которые являются четырехмерными аналогами каустических поверхностей в геометрической оптике ; g обращается в ноль именно на этом пересечении. Следовательно, эта особенность является общей, она фиктивна, а не физическая; он исчезает при изменении системы отсчета. Это, по-видимому, отговори исследователей от дальнейших исследований в этом направлении.

Прошло несколько лет, прежде чем интерес к этой проблеме снова возник, когда Пенроуз (1965) опубликовал своиоремы, связывающие наличие сингулярности неизвестного характера с некоторыми очень общие предположения, не имеющие ничего общего с выбором системы отсчета. Другие аналогичные теоремы были позже найдены Хокингом и Герохом (см. теоремы об особенностях Пенроуза - Хокинга ). Это возродило интерес к поиску особых решений.

В пространстве, которое одновременно является однородным и изотропным, метрика определяется, полностью свободным только знак кривизны. Допущение только однородности пространства без дополнительной симметрии, такой как изотропия, оставляет значительно больше свободы в выборе метрики. Следующее относится к пространственной части метрики в данный момент времени, предполагаемая синхронный кадр, который является одинаковым синхронизированным временем для всего пространства.

Гипотеза BKL

В своей работе 1970 года BKL заявили, что по мере прибли к сингулярности членов, содержащих производные по времени в уравнениях Эйнштейна, преобладают над членами, содержащими пространственные производные. С тех пор это откуда известно как гипотеза БКЛ и подразумевает, что уравнения в частных производных (PDE) Эйнштейна хорошо аппроксимируются обыкновенными дифференциальными уравнениями (ODE), теории относящейся к данной картине и колебательной. Временная эволюция полей в каждой пространственной точке хорошо работает однородными космологиями в классификации Бианки.

Разделив производные по пространству в уравнениях Эйнштейна, например, способом, используемым выше для классных пространств, и установив члены, члены производного пространства по пространству, равными нулю, можно определить так называемая усеченная теория системы ( усеченные уравнения). Затем гипотеза BKL может быть уточнена:

Слабая гипотеза: по мере приближения к сингулярности членов, пространственные производные уравнения Эйнштейна, пренебрежимо малы по сравнению с членами, содержащими производими по времени. Таким образом, по мере приближения к сингулярности уравнения Эйнштейна приближаются к найденным, устанавливаетя производные члены равными нулю. Таким образом, слабая гипотеза гласит, что уравнения Эйнштейна могут быть хорошо аппроксимированы усеченными уравнениями в окрестности сингулярности. Обратите внимание, что это означает, что решения полных движений будут приближаться к решениям усеченных положений по мере приближения к сингулярности. Это дополнительное условие отражено в сильной версии следующим образом.

Сильная гипотеза: по мере приближения к сингулярности уравнения Эйнштейна приближаются к приближениям усеченной теории, кроме того решения полных уравнений хорошо аппроксимируются решениями усеченных уравнений.

Вначале гипотеза BKL казалась зависимой от координат и довольно неправдоподобной. Барроу и Типлер, например, среди десяти критических замечаний к исследованиям BKL включает неуместный (по их мнению) выбор синхронной системы отсчета как средства разделения производных времени и пространства. Гипотеза БКЛ иногда перефразировалась в литературе как утверждение, что вблизи сингулярности важны только производные по времени. Такое утвержденное, принятое за чистую монету, неверно или в лучшем случае, вводит в заблуждение, поскольку, как показано в самом анализе BKL, пространственными градиентами метрического тензора нельзя пренебрегать для общих методов чистой гравитации Эйнштейна в четырех пространственно-временных измерениях, а также Фактически играют решающую роль в возникновении колебательного режима. Однако существуют переформулировки теории Эйнштейна в терминах новых переменных, включающих соответствующие градиенты, например, в переменных типа Аштекар, для которых утверждение о доминирующей роли производных по времени является правильным. Верно, что в каждой пространственной точке можно получить эффективное описание сингулярности в терминах конечномерной динамической системы, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями относительно времени, но пространственные градиенты действительно входят в эти уравнения нетривиально.

Последующий анализ, проведенный большим количеством авторов, показал, что гипотеза BKL может быть сделана точной, и к настоящему времени в ее поддержку имеется впечатляющее количество числовых и аналитических свидетельств. Будет справедливо сказать, что мы все еще довольно далеки от доказательства сильной гипотезы. Но в более простых моделях был достигнут выдающийся прогресс. В частности, Бергер, Гарфинкль, Монкриф, Изенберг, Уивер и другие показали, что в классе моделей по мере приближения к сингулярности решения полных уравнений Эйнштейна приближаются к «усеченным» (усеченным) уравнениям с преобладанием скоростного члена. пренебрегая пространственными производными. Андерссон и Рендалл показали, что для гравитации, связанной с безмассовым скалярным полем или жесткой жидкостью, для каждого решения усеченных уравнений существует решение полных уравнений поля, которое сходится к усеченному решению по мере приближения к сингулярности, даже при отсутствии симметрий. Эти результаты были обобщены, чтобы также включить калибровочные поля p-формы . В этих усеченных моделях динамика более простая, что позволяет точно сформулировать гипотезу, которая может быть доказана. В общем случае, самые убедительные доказательства на сегодняшний день получены из числовой эволюции. Бергер и Монкриф начали программу анализа космологических сингулярностей общего вида. В то время как первоначальная работа была сосредоточена на случаях редуцированной симметрии, недавно Гарфинкль выполнил численную эволюцию пространства-времени без симметрии, в которой, опять же, очевидно поведение миксмастера. Наконец, дополнительное подтверждение гипотезы пришло из численного исследования поведения тестовых полей вблизи сингулярности черной дыры Шварцшильда.

Решение Казнера

Рис. 3. Динамика показателей Казнера экв. 2 в сферических координатах в сторону сингулярности. Параметр Лифшица-Халатникова равен u = 2 (1 / u = 0,5), а координата r равна 2p α (1 / u) τ, где τ - логарифмическое время: τ = ln t. Сжатие по осям является линейным и анизотропным (без хаотичности).

Подход BKL к анизотропным (в отличие от изотропных) однородных пространств начинается с обобщения точного частного решения, полученного Казнером для поля в вакууме, в котором пространство однородно и имеет евклидову метрику, которая зависит от времени согласно метрике Казнера

$dl\; 2\; =\; t\; 2\; p\; 1\; dx\; 2\; +\; t\; 2\; p\; 2\; dy\; 2\; +\; t\; 2\; p\; 3\; dz\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; dl\; ^\; \{2\}\; =\; t\; ^\; \{2p\_\; \{1\}\}\; dx\; ^\; \{2\}\; +\; t\; ^\; \{2p\_\; \{2\}\}\; dy\; ^\; \{2\}\; +\; t\; ^\; \{2p\_\; \{\; 3\}\}\; dz\; ^\; \{2\}\}$

(уравнение 2)

(dl - это линейный элемент ; dx, dy, dz - бесконечно малые смещения в трех пространственных измерениях, и t - период времени, прошедший с некоторого начальногомомент t 0 = 0). Здесь p 1, p 2, p 3 - любые три числа, которые удовлетворяют следующим условиям Казнера

$p\; 1\; +\; p\; 2\; +\; p\; 3\; =\; p\; 1\; 2\; +\; p\; 2\; 2\; +\; p\; 3\; 2\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{1\}\; +\; p\_\; \{2\}\; +\; p\_\; \{3\}\; =\; p\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; p\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; p\_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\; =\; 1.\}$

(уравнение 3)

Из-за этих ресурсов только одно из трех чисел независимое (два уравнения с тремя неизвестными ). Все три числа не совпадают; два числа одинаковы только в наборах значений $(-\; 1\; 3,\; 2\; 3,\; 2\; 3)\; \{\backslash \; textstyle\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\; 3\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\})\}$и (0, 0, 1). Во всех остальных случаях числа разные, одно число отрицательное, а два других положительных. Это частично подтверждается возведением в квадратных частях первого условия ур. 3 и развернув квадрат:

$(p\; 1\; +\; p\; 2\; +\; p\; 3)\; 2\; =\; (p\; 1\; 2\; +\; p\; 2\; 2\; +\; p\; 3\; 2)\; +\; (2\; p\; 1\; p\; 2\; +\; 2\; p\; 2\; п\; 3\; +\; 2\; п\; 1\; п\; 3)\; знак\; равно\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (p\_\; \{1\}\; +\; p\_\; \{2\}\; +\; p\_\; \{3\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; left\; (p\_\; \{1\}\; ^\; \{2\; \}\; +\; p\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; p\_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; left\; (2p\_\; \{1\}\; p\_\; \{2\}\; +\; 2p\_\; \{2\}\; p\_\; \{3\}\; +\; 2p\_\; \{1\}\; p\_\; \{\; 3\}\; \backslash \; right)\; =\; 1\}$

Член $(p\; 1\; 2\; +\; p\; 2\; 2\; +\; p\; 3\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (p\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; p\_\; \{2\}\; ^\; \{2\; \}\; +\; p\_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\}$равно 1 по второму условию ур. 3 и, следовательно, член со смешанными продуктами должен быть равен нулю. Это возможно, если хотя бы одно из значений p 1, p 2, p 3 является отрицательным.

Если в порядке возрастания, p 1< p2< p3, они меняются в интервалах (рис. 4)

$-\; 1\; 3\; \le \; p\; 1\; \le \; 0,\; 0\; \le \; p\; 2\; \le \; 2\; 3,\; 2\; 3\; \le \; п\; 3\; \le \; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; leq\; p\_\; \{1\}\; \backslash \; leq\; 0,\; \backslash \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; leq\; p\_\; \{2\; \}\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; tfrac\; \{2\}\; \{3\}\},\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\}\; \backslash \; leq\; p\_\; \{3\}\; \backslash \; leq\; 1.\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\}$

(уравнение 4)

Рисунок 4. График p 1, p 2, p 3 с аргументом 1 / u. Числа p 1 (u) и p 3 (u) монотонно возрастают, в то время как p 2 (u) монотонно убывает. функция u.

Метрика Каснера ур. 2 соответствует плоскому однородному, но анизотропному пространству, в котором все объемы увеличиваются со временем таким образом, что линейные расстояния по двум осям y и z увеличиваются, а расстояние по оси x уменьшается. Момент t = 0 особенность в решении; сингулярности в метрике при t = 0 нельзя избежать никаким преобразованием системы отсчета. В особенности инварианты четырехмерного тензора кривизны уходят на бесконечность. Исключение составляет случай p 1 = р 2 = 0, р 3 = 1; эти значения соответствуют плоскому пространству-времени: преобразование t sh z = ζ, t ch z = τ превращает метрику экв. 2 в Галилея.

BKL параметризация чисел p 1, p 2, p 3 в терминах единственного (действительного) u (параметр Лифшица-Халатникова) следующим образом

$p\; 1\; (u)\; =\; -\; u\; 1\; +\; u\; +\; u\; 2,\; p\; 2\; (u)\; =\; 1\; +\; u\; 1\; +\; u\; +\; u\; 2,\; п\; 3\; (u)\; знак\; равно\; u\; (1\; +\; u)\; 1\; +\; u\; +\; u\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{1\}\; (u)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-u\}\; \{1\; +\; u\; +\; u\; ^\; \{2\}\}\},\; \backslash \; p\_\; \{2\}\; (u)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; +\; u\}\; \{1\; +\; u\; +\; u\; ^\; \{2\}\}\},\; \backslash \; p\_\; \{3\}\; (u)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{u\; (1\; +\; u)\}\; \{1\; +\; u\; +\; u\; ^\; \{2\}\}\}\}$

(уравнение 5)

Параметризация индекса Казнера кажется загадочной, пока не задумаешься о двух ограничениях на индексы экв. 3 . Оба ограничения фиксируют общие параметры индексов, поэтому могут изменяться только их отношения . Естественно выбрать одно из этих средств в качестве нового механизма. Выбирая, например, u = u 32 = p 3 / p 2, легко выразить через него все шесть использовений. Исключение p 3 = up 2, а затем использование линейного ограничения для исключения p 1 = 1 - p 2 - up 2 = 1 - (1 + u) p 2, квадратное ограничение сводится к квадратному уравнению в p 2

$[1\; -\; (1\; +\; u)\; п\; 2]\; 2\; +\; п\; 2\; 2\; +\; (вверх\; 2)\; 2\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [1-\; \backslash \; left\; (1\; +\; u\; \backslash \; right)\; p\_\; \{2\}\; \backslash \; right]\; ^\; \{2\}\; +\; p\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; left\; (up\_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; 1\}$

(ур. 5a)

с корнями p2= 0 (очевидно) и p 2 = (1 + u) / (1 + u + u), из которых p 1 и p 3 затем получаются с помощью обратной подстановки. Можно определить шесть таких параметров u ab = p a / p b, для p c ≤ p b ≤ p a, когда (c, b, a) является циклической перестановкой из (1, 2, 3).

Все разные значения p 1, p 2, p 3, упорядоченные, как указано выше, получаются с u, работающим в диапазоне u ≥ 1. Значения u < 1 are brought into this range according to

$p\; 1\; (1\; u)\; знак\; равно\; п\; 1\; (и),\; п\; 2\; (1\; и)\; =\; п\; 3\; (и),\; п\; 3\; (1\; и)\; =\; п\; 2\; (и)\; \{\backslash \; Displaystyle\; p\_\; \{1\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{u\}\}\; \backslash \; right)\; =\; p\_\; \{1\}\; (u),\; \backslash \; p\_\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{u\}\}\; \backslash \; right)\; =\; p\_\; \{3\}\; (u),\; \backslash \; p\_\; \{3\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{u\}\}\; \backslash \; right)\; =\; p\_\; \{2\}\; (u)\}$

(уравнение 6)

В общую форму, соответствующую экв. 2 применяется только к асимптотической метрике (метрика, близкая к сингулярности t = 0), соответственно, к основным его разложениям в ряд по степеням т. В синхронной системе отсчета это записывается в виде экв. 1 с элемента пространственного расстояния

$dl\; 2\; =\; (a\; 2\; l\; \alpha \; l\; \beta \; +\; b\; 2\; m\; \alpha \; m\; \beta \; +\; c\; 2\; n\; \alpha \; n\; \beta )\; dx\; \alpha \; dx\; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; dl\; ^\; \{2\; \}\; =\; \backslash \; left\; (a\; ^\; \{2\}\; l\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; l\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\; m\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; m\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; +\; c\; ^\; \{2\}\; n\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; n\_\; \{\backslash \; beta\}\; \backslash \; right)\; dx\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; dx\; ^\; \{\backslash \; beta\}\}$

(ур. 7)

где

$a\; =\; tpl,\; b\; =\; tpm,\; c\; =\; tpn\; \{\; \backslash \; displaystyle\; a\; =\; t\; ^\; \{p\_\; \{l\}\},\; \backslash \; b\; =\; t\; ^\; \{p\_\; \{m\}\},\; \backslash \; c\; =\; t\; ^\; \{p\_\; \{n\}\}\}$

(ур. 8)

три- размерные электрические l, m, nопределяют направления, в пространственном пространстве изменяется со временем по законам мощности ур. 8 . Эти рекомендации, а также числа p l, p m, p n, которые, как и раньше, связаны этим ур. 3, используются функции пространственных координат. Мощности p l, p m, p n не установлены в порядке возрастания, зарезервированы символы p 1, p 2, p 3 для чисел в ур. 5, которые остаются в порядке возрастания. Определитель метрики экв. 7 равно

$-\; g\; =\; a\; 2\; b\; 2\; c\; 2\; v\; 2\; =\; t\; 2\; v\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; -g\; =\; a\; ^\; \{2\}\; b\; ^\; \{2\}\; c\; ^\; \{2\}\; v\; ^\; \{2\}\; =\; t\; ^\; \{2\}\; v\; ^\; \{2\}\}$

(уравнение 9)

, где v = l[mn]. Удобно следующие величины

$\lambda \; =\; lcurllv,\; \mu \; =\; mcurlmv,\; \nu \; =\; ncurln\; v.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; lambda\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{l\}\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{curl\}\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{l\}\}\; \{v\; \}\},\; \backslash \; \backslash \; mu\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{m\}\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{curl\}\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{m\}\}\; \{v\}\},\; \backslash \; \backslash \; nu\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{n\}\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{curl\}\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{n\}\}\; \{v\}\}.\}$

(ур.10)

Метрика пространства в ур. 7 является анизотропным, потому что степень t в ур. 8 не может иметь одинаковые значения. При приближении к сингулярности при t = 0 линейные расстояния в каждом элементе пространства уменьшаются в двух направлениях и увеличиваются в третьем направлении. Объем элемента пропорционально t.

Метрика Казнера вводится в уравнения Эйнштейна путем замены соответствующего метрического тензора γ αβ из <277 ур. 7 без определения априори зависимости a, b, c от t:

$\varkappa \; \alpha \; \beta \; =\; 2\; a\; \dot{}\; al\; \alpha \; l\; \beta \; +\; 2\; b\; \dot{}\; bm\; \alpha \; m\; \beta \; +\; 2\; c\; \dot{}\; cn\; \alpha \; п\; \beta \; \{\; \backslash \; Displaystyle\; \backslash \; varkappa\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; ^\; \{\backslash \; beta\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \{\backslash \; dot\; \{a\}\}\}\; \{a\}\}\; l\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; l\; ^\; \{\backslash \; beta\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \{\backslash \; dot\; \{b\}\}\}\; \{b\}\}\; m\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; m\; ^\; \{\backslash \; beta\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \{\backslash \; dot\; \{c\}\}\}\; \{c\}\}\; n\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; n\; ^\; \{\backslash \; beta\}\}$

где точка над символом обозначающей дифференциацию по времени. Уравнение Эйнштейна ур. 11 принимает форму

$-\; R\; 0\; 0\; =\; a\; ¨\; a\; +\; b\; ¨\; b\; +\; c\; ¨\; c\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; -R\_\; \{0\}\; ^\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; ddot\; \{a\}\}\; \{a\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; ddot\; \{b\}\}\; \{b\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; ddot\; \{c\}\}\; \{c\}\}\; =\; 0.\}$

(ур. 14)

Все его члены второй порядок для большой (при t → 0) величиной 1 / t. В уравнениях Эйнштейна ур. 12, термины такого порядка появляются только из терминов, дифференцированных по времени. Если компоненты P αβ не входят в состав порядка вышеупомянутого, то

$-\; R\; ll\; =\; (a\; \dot{}\; bc)\; \dot{}\; abc\; =\; 0,\; -\; R\; mm\; =\; (ab\; \dot{}\; c)\; \dot{}\; abc\; =\; 0,\; -\; R\; nn\; знак\; равно\; (abc\; \dot{})\; \dot{}\; abc\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; -R\_\; \{l\}\; ^\; \{l\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(\{\backslash \; dot\; \{a\}\}\; bc)\; \{\backslash \; dot\; \{\}\}\}\; \{abc\}\}\; =\; 0,\; \backslash \; -R\_\; \{m\}\; ^\; \{m\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(a\; \{\backslash \; dot\; \{b\}\}\; c)\; \{\backslash \; dot\; \{\}\}\}\; \{abc\}\}\; =\; 0,\; \backslash \; -R\_\; \{n\}\; ^\; \{\; n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(ab\; \{\backslash \; dot\; \{c\}\})\; \{\backslash \; dot\; \{\}\}\}\; \{abc\}\}\; =\; 0\}$

(ур. 15)

где индексы l, m, n обозначают компоненты тензора в направлениях l, m, n. Эти уравнения вместе с ур. 14 приведем выражения экв. 8 с мощностями, удовлетворяющими ур. 3 .

Однако одной отрицательной степени среди трех степеней p l, p m, p n приводит к появлению из P αβ на порядок больше т. Если отрицательная p l(pl= p 1< 0), then Pαβсоздает мощность координатную функцию λ и экв. 12 стать

$-\; R\; ll\; =\; (a\; \dot{}\; bc)\; \dot{}\; abc\; +\; \lambda \; 2\; a\; 2\; 2\; b\; 2\; c\; 2\; =\; 0,\; -\; R\; mm\; =\; (ab\; \dot{}\; c)\; \dot{}\; abc\; -\; \lambda \; 2\; a\; 2\; 2\; b\; 2\; c\; 2\; знак\; равно\; 0,\; -\; R\; nn\; =\; (abc\; \dot{})\; \dot{}\; abc\; -\; \lambda \; 2\; a\; 2\; 2\; b\; 2\; c\; 2\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; -R\_\; \{l\}\; ^\; \{l\; \}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(\{\backslash \; dot\; \{a\}\}\; bc)\; \{\backslash \; dot\; \{\}\}\}\; \{abc\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; a\; ^\; \{2\}\}\; \{2b\; ^\; \{2\; \}\; c\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; 0,\; \backslash \backslash \; -\; R\_\; \{m\}\; ^\; \{m\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(a\; \{\backslash \; dot\; \{b\}\}\; c)\; \{\backslash \; dot\; \{\}\}\}\; \{abc\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; a\; ^\; \{2\}\}\; \{2b\; ^\; \{2\}\; c\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; 0,\; \backslash \backslash \; -\; R\_\; \{n\}\; ^\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; (ab\; \{\backslash \; dot\; \{c\}\})\; \{\backslash \; dot\; \{\}\}\}\; \{abc\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; a\; ^\; \{2\}\}\; \{2b\; ^\; \{2\}\; c\; ^\; \{2\}\}\; \}\; =\; 0.\; \backslash \backslash \backslash \; конец\; \{выровнено\}\}\}$

(уравнение 16)

Здесь вторые члены имеют порядок t, при этом p m + p n - p l = 1 + 2 | p l |>1. Чтобы удалить эти термины и восстановить показатель экв. 7, необходимо наложить на координатные функции λ условие = 0.

Остальные три уравнения Эйнштейна ур. 13 содержат только производные по времени первого порядка метрического тензора. Они дают независимые от времени отношения, которые должны быть наложены как необходимые условия на координатные функции в ур. 7 . Это вместе с условием λ = 0 дает четыре условия. Эти условия связывают десять различных координатных функций: три компонента каждого из векторов l, m, nи одну функцию в степенях t (любую из функций p l, p m, p n, которые связаны условиями уравнение 3 ). Используемая синхронная система допускает независимые от времени произвольные преобразования трех пространственных координат. Таким образом, окончательное решение содержит всего 10 - 4 - 3 = 3 физически произвольных функций, что на единицу меньше, чем требуется для общего решения в вакууме.

Степень общности, достигаемая на этом этапе, не уменьшается путем введения материи; материя записывается в метрическую экв. 7 и вносит четыре новые функции координат, необходимые для описания начального распределения его плотности и трех компонентов его скорости. Это позволяет определять эволюцию материи просто по законам ее движения в априори заданном гравитационном поле, которые являются гидродинамическими уравнениями

$1\; -\; g\; \partial \; \partial \; xi\; (-\; g\; \sigma \; ui)\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{-g\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{i\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{-g\}\}\; \backslash \; sigma\; u\; ^\; \{i\}\; \backslash \; right)\; =\; 0,\}$

(уравнение 17)

$(p\; +\; \epsilon )\; uk\; \{\partial \; ui\; \partial \; xk\; -\; 1\; 2\; ul\; \partial \; gkl\; \partial \; xi\}\; =\; -\; \partial \; p\; \partial \; xi\; -\; uiuk\; \partial \; p\; \partial \; xk,\; \{\backslash \; displaystyle\; (p\; +\; \backslash \; varepsilon)\; u\; ^\; \{k\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{k\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; 2\}\}\; u\; ^\; \{l\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; g\_\; \{kl\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{i\}\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rbrace\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; p\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{i\; \}\}\}\; -\; u\_\; \{i\}\; u\; ^\; \{k\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; p\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{k\}\}\},\}$

(уравнение 18)

где u - 4- размерная скорость, ε и σ - плотности энергии и энтропии вещества (см. а также; также; подробнее см.). Для ультрарелятивистского уравнения состояния p = ε / 3 энтропия σ ~ ε. Основные члены в ур. 17 и экв. 18 - это те, которые содержат временные производные. Из экв. 17 и пространственные компоненты экв. 18 один имеет

$\partial \; \partial \; t\; (-\; gu\; 0\; \epsilon \; 3\; 4)\; =\; 0,\; 4\; \epsilon \; \cdot \; \partial \; u\; \alpha \; \partial \; t\; +\; u\; \alpha \; \cdot \; \partial \; \epsilon \; \partial \; t\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{-g\}\}\; u\_\; \{0\}\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 0,\; \backslash \; 4\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; +\; u\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; varepsilon\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; 0,\}$

результат в

$abcu\; 0\; \epsilon \; 3\; 4\; =\; const,\; u\; \alpha \; \epsilon \; 1\; 4\; =\; const,\; \{\backslash \; displaystyle\; abcu\_\; \{0\}\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\}\; =\; \backslash \; mathrm\; \{const\},\; \backslash \; u\_\; \{\; \backslash \; alpha\}\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; =\; \backslash \; mathrm\; \{const\},\}$

(уравнение 19)

где 'const' - не зависящие от времени величины. Кроме того, из тождества u i u = 1 (поскольку все ковариантные компоненты u α одного порядка)

$u\; 0\; 2\; \approx \; unun\; =\; un\; 2\; c\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; приблизительно\; u\_\; \{n\}\; u\; ^\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{u\_\; \{n\}\; ^\; \{2\}\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\},\}$

где u n - составляющая скорости вдоль направления n, которая связана с наивысшей (положительной) степенью t (предполагая, что p n = p 3). Из приведенных выше соотношений следует, что

$\epsilon \; \sim \; 1\; a\; 2\; b\; 2,\; u\; \alpha \; \sim \; ab\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; sim\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\; ^\; \{2\}\; b\; ^\; \{2\}\}\},\; \backslash \; u\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; sim\; \{\backslash \; sqrt\; \{ab\}\}\}$

(ур.20)

или

$\epsilon \; \sim \; t\; -\; 2\; (p\; 1\; +\; p\; 2)\; =\; t\; -\; 2\; (1\; -\; p\; 3),\; u\; \alpha \; \sim \; t\; (1\; -\; p\; 3)\; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; sim\; t\; ^\; \{-\; 2\; (p\_\; \{1\}\; +\; p\_\; \{2\})\}\; =\; t\; ^\; \{-\; 2\; (1-p\_\; \{3\})\},\; \backslash \; u\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; sim\; t\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{(1-p\_\; \{3\})\}\; \{2\}\}.\}$

(уравнение 21)

Приведенные выше уравнения можно использовать для подтверждения того, что компоненты вещества энергия-напряжение - тензор импульса, стоящий в правой части уравнений

$R\; 0\; 0\; =\; T\; 0\; 0\; -\; 1\; 2\; T,\; R\; \alpha \; \beta \; =\; T\; \alpha \; \beta \; -\; 1\; 2\; \delta \; \alpha \; \beta \; T,\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{\; 0\}\; ^\; \{0\}\; =\; T\_\; \{0\}\; ^\; \{0\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; T,\; \backslash \; R\; \_\; \{\backslash \; al\; pha\}\; ^\; \{\backslash \; beta\}\; =\; T\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; ^\; \{\backslash \; beta\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; ^\; \{\backslash \; beta\}\; T,\}$

действительно, на 1 / т ниже, чем основные члены в их левых частях. В уравнениях $R\; \alpha \; 0\; =\; T\; \alpha \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; ^\; \{0\}\; =\; T\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; ^\; \{0\}\}$присутствие вещества приводит только к изменению состояний, налагаемые на их составляющие координатные функции.

Тот факт, что ε становится бесконечным по закону ур. 21 подтверждает, что в решении для ур. 7 имеет дело с физической сингулярностью при любых значениях мощностей p 1, p 2, p 3 за исключением только (0, 0, 1). Для этих последних значений сингулярность является нефизической и может быть устранена путем изменения системы отсчета.

Вымышленная сингулярность, соответствующая степеням (0, 0, 1), возникает в результате пересечения временной линии над некоторой двумерной «фокальной поверхности ». Как указано в разделе, синхронная система отсчета всегда может быть выбрана таким образом, чтобы это неизбежное пересечение временной линии происходящего именно на такой поверхности (вместо трехмерной каустической поверхности). Следовательно, решение с таким одновременным для всего пространства вымышленной сингулярностью должно существовать с полным набором произвольных функций, необходимых для общего решения. Вблизи точки t = 0 все это имеет регулярное расширение целыми степенями t. Для анализа этого случая см.

Общее решение по определению полностью устойчиво; иначе Вселенная не существовала бы. Любое возмущение эквивалентно изменению начальных условий в некоторый момент времени; поскольку общее решение допускает произвольные начальные условия, возмущение не может изменить своего характера. Если посмотреть под таким углом, четыре условия, наложенные на координатные функции в решении ур. 7 бывают разных типов: три условия, которые возникают из уравнений $R\; \alpha \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; ^\; \{0\}\}$= 0, являются «естественными »; они являются следствием структуры Эйнштейна. Однако дополнительное условие λ = 0, приводящее к потере одной производной, совершенно другого типа неустойчивость, вызванная возмущениями, может нарушить это условие. Действие такого возмущения должно перевести модель в другой, более общий режим. Возмущение нельзя считать малым: переход в новый режим выходит за рамки очень малых возмущений.

Анализ поведения модели при пертурбативном воздействии, выполненный BKL, выявляет сложную колебательную моду при приближении к сингулярности. Они не могли дать всех подробностей этого режима в общем контексте случая. Однако BKL объяснил наиболее важные свойства и характер решений на конкретных моделях, которые позволяют распространять идущие аналитические исследования.

Эти модели основаны на метрике однородного пространства определенного типа. Предположение об однородности пространства без какой-либо дополнительной симметрии оставляет большую свободу в выборе метрики. Все возможные однородные (но анизотропные) пространства классифицируются в соответствии с Бьянки на несколько типов Бьянки (типы от I до IX). (см. также Обобщенное однородное решение) BKL исследуют только пространства типов Бьянки VIII и IX.

Если показатель имеет вид экв. 7, для каждого типа однородных пространств некоторая функциональная связь между опорными помещениями l, m, nи координатами пространства. Конкретная форма этого отношения не важна. Важным фактом является то, что для пространств типа VIII и IX величины λ, μ, ν экв. 10 - константы, тогда как все "смешанные" продукты l rot m, lrot n, mrot l и т. Д. Являются нулями. Для пространств типа IX величины λ, μ, ν имеют один и тот же знак, и можно записать λ = μ = ν = 1 (одновременная смена знака трех констант ничего не меняет). Для пространств типа VIII две константы знака имеют противоположный знаку третьей константы; можно записать, например, λ = - 1, μ = ν = 1.

Таким образом, изучение возмущения на «моду Казнера» ограничивает исследование λ -содержащих элементов в уравнениях Эйнштейна. Пространства VIII и IX - наиболее подходящие модели для такого исследования. Независимо от того, какое направление l, m, nимеет отрицательную зависимость от условий, соответствуют все 3 величины λ, μ, ν в этих типах.

Уравнения Эйнштейна для космических моделей типов VIII и IX:

$- R ll = (a ˙ bc) ˙ abc + 1 2 (a 2 b 2 c 2) [λ 2 a 4 - (μ b 2 - ν c 2) 2] = 0, - R mm = (ab ˙ c) ˙ abc + 1 2 (a 2 b 2 c 2) [μ 2 b 4 - (λ a 2 - ν c 2) 2] знак равно 0, - р nn знак равно (abc ˙) ˙ abc + 1 2 (a 2 b 2 c 2) [ν 2 c 4 - (λ a 2 - μ b 2) 2] = 0, {\ displaystyle { \ begin {align} -R_ {l} ^ {l} = {\ frac {\ left ({\ dot {a}} bc \ right) {\ dot {}}} {abc}} + {\ frac { 1} {2}} \ left (a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} \ right) \ left [\ lambda ^ {2} a ^ {4} - \ left (\ mu b ^ { 2} - \ nu c ^ {2} \ right) ^ {2} \ right] = 0, \\ - R_ {m} ^ {m} = {\ frac {(a {\ dot {b}} c) {\ dot {}}} {abc}} + {\ frac {1} {2}} \ left (a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} \ right) \ left [\ mu ^ {2} b ^ {4} - \ left (\ lambda a ^ {2} - \ nu c ^ {2} \ right) ^ {2} \ right] = 0, \\ - R_ {n} ^ {n } = {\ frac {\ left (ab {\ dot {c}} \ right) {\ dot {}}} {abc}} + {\ frac {1} {2}} \ left(a ^ {2 } b ^ {2} c ^ {2} \ right) \ left [\ nu ^ {2} c ^ {4} - \ left (\ lambda a ^ {2} - \ mu b ^ {2} \ right) ^ {2} \ right] = 0, \\\ конец {выровнено}}}$

(уравнение 22)

$-\; R\; 0\; 0\; знак\; равно\; a\; ¨\; a\; +\; b\; ¨\; b\; +\; c\; ¨\; c\; =\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; -R\_\; \{0\}\; ^\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; ddot\; \{a\}\}\; \{a\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; ddot\; \{b\}\}\; \{b\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; ddot\; \{c\}\}\; \{c\}\}\; =\; 0\}$

(ур. 23)

(остальные компоненты $R\; l\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{l\}\; ^\; \{0\}\}$, $R\; m\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{m\}\; ^\; \{0\}\}$, $R\; n\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{n\}\; ^\; \{0\}\}$, $R\; lm\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{l\}\; ^\; \{m\}\}$, $R\; ln\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{l\}\; ^\; \{n\}\}$, $R\; mn\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{m\}\; ^\; \{n\}\}$- идентичные нули). Эти уравнения содержат только функции времени; это условие продукта во всех однородных пространств. Здесь уравнение. 22 и экв. 23 являются точными, и их достоверность не зависит от того, насколько близко один из них находится к сингулярности при t = 0.

Производные по времени в ур. 22 и экв. 23 примут более простой вид, если а, b, с заменить их логарифмами α, β, γ:

$a\; =\; e\; \alpha ,\; b\; =\; e\; \beta ,\; c\; =\; e\; \gamma ,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; alpha\},\; \backslash \; b\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; beta\},\; \backslash \; c\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; gamma\},\}$

(ур. 24)

заменяя переменную t вместо τ согласно:

$dt\; =\; abcd\; \tau .\; \{\backslash \; displaystyle\; dt\; =\; abc\; \backslash \; d\; \backslash \; tau.\}$

(уравнение 25)

Тогда (нижние индексы обозначают дифференцирование по τ):

$2\; \alpha \; \tau \; \tau \; =\; (\mu \; b\; 2\; -\; \nu \; c\; 2)\; 2\; -\; \lambda \; 2\; a\; 4\; =\; 0,\; 2\; \beta \; \tau \; \tau \; =\; (\lambda \; a\; 2\; -\; \nu \; c\; 2)\; 2\; -\; \mu \; 2\; b\; 4\; =\; 0,\; 2\; \gamma \; \tau \; \tau \; =\; (\lambda \; a\; 2\; -\; \mu \; b\; 2)\; 2\; -\; \nu \; 2\; c\; 4\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; 2\; \backslash \; alpha\; \_\; \{\backslash \; tau\; \backslash \; tau\}\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; mu\; b\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; nu\; c\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; a\; ^\; \{4\}\; =\; 0,\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash \; beta\; \_\; \{\backslash \; tau\; \backslash \; tau\}\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; lambda\; a\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; nu\; c\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; mu\; ^\; \{2\}\; b\; ^\; \{4\}\; =\; 0,\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash \; gamma\; \_\; \{\backslash \; tau\; \backslash \; tau\}\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; lambda\; a\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; mu\; b\; ^\; \{2\; \}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; nu\; ^\; \{2\}\; c\; ^\; \{4\}\; =\; 0,\; \backslash \backslash \backslash \; конец\; \{выровнено\}\}$

(уравнение 26)

$1\; 2\; (\alpha \; +\; \beta \; +\; \gamma )\; \tau \; \tau \; =\; \alpha \; \tau \; \beta \; \tau \; +\; \alpha \; \tau \; \gamma \; \tau \; +\; \beta \; \tau \; \gamma \; \tau .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta\; +\; \backslash \; gamma\; \backslash \; right)\; \_\; \{\backslash \; tau\; \backslash \; tau\}\; =\; \backslash \; alpha\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; \backslash \; beta\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; +\; \backslash \; alpha\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; \backslash \; gamma\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; +\; \backslash \; beta\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; \backslash \; gamma\; \_\; \{\backslash \; tau\}.\}$

(уравнение 27)

Сложение уравнений экв. 26 и подставив в левую часть суммы (α + β + γ) τ τ согласно ур. 27, формируется уравнение, содержащее только первые производные, которое является первым интегралом системы уравнение. 26 :

$\alpha \; \tau \; \beta \; \tau \; +\; \alpha \; \tau \; \gamma \; \tau \; +\; \beta \; \tau \; \gamma \; \tau \; =\; 1\; 4\; (\lambda \; 2\; a\; 4\; +\; \mu \; 2\; b\; 4\; +\; \nu \; 2\; c\; 4\; -\; 2\; \lambda \; \mu \; a\; 2\; b\; 2\; -\; 2\; \lambda \; \nu \; a\; 2\; c\; 2\; -\; 2\; \mu \; \nu \; b\; 2\; c\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; \backslash \; beta\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; +\; \backslash \; alpha\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; \backslash \; gamma\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; +\; \backslash \; beta\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; \backslash \; gamma\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; a\; ^\; \{4\}\; +\; \backslash \; mu\; ^\; \{2\}\; b\; ^\; \{4\}\; +\; \backslash \; nu\; ^\; \{2\}\; c\; ^\; \{4\}\; -2\; \backslash \; lambda\; \backslash \; mu\; a\; ^\; \{2\}\; b\; ^\; \{2\}\; -2\; \backslash \; lambda\; \backslash \; nu\; a\; ^\; \{2\}\; c\; ^\; \{2\}\; -2\; \backslash \; mu\; \backslash \; nu\; b\; ^\; \{2\}\; c\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right).\}$

(ур. 28)

Это уравнение играет роль связующего условия, наложенного на начальное состояние ур. 26 . Режим Каснера экв. 8 является решением ур. 26 при игнорировании всех членов в правой части. Но такая ситуация не может продолжаться (при t → 0) бесконечно, потому что среди этих членов всегда есть растущие. Таким образом, если отрицательная мощность находится в функции a (t) (p l = p 1), то возмущение казнеровской моды будет возникать из-за членов λa; остальные члены будут уменьшаться с уменьшением t. Если в правых частях экв. 26, получаем систему:

$\alpha \; \tau \; \tau \; =\; -\; 1\; 2\; \lambda \; 2\; e\; 4\; \alpha ,\; \beta \; \tau \; \tau \; =\; \gamma \; \tau \; \tau \; =\; 1\; 2\; \lambda \; 2\; e\; 4\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{\backslash \; tau\; \backslash \; tau\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; e\; ^\; \{4\; \backslash \; alpha\},\; \backslash \; \backslash \; beta\; \_\; \{\backslash \; tau\; \backslash \; tau\}\; =\; \backslash \; gamma\; \_\; \{\backslash \; tau\; \backslash \; tau\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; e\; ^\; \{4\; \backslash \; alpha\}\}$

(уравнение 29)

(сравните уравнение 16 ; ниже подставляется λ = 1). Решение этих уравнений должно описывать эволюцию метрики из начального состояния, в котором она описывается ур. 8 с заданным набором степеней (при p l< 0); let pl= р 1, p m = р 2, p n = р 3 так что

$a\; \sim \; tp\; 1,\; b\; \sim \; tp\; 2,\; c\; \sim \; tp\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; sim\; t\; ^\; \{p\_\; \{1\}\},\; \backslash \; b\; \backslash \; sim\; t\; ^\; \{p\_\; \{2\}\},\; \backslash \; c\; \backslash \; sim\; t\; ^\; \{p\_\; \{3\}\}.\}$

(уравнение 30)

Тогда

$abc\; =\; \Lambda \; t,\; \tau \; =\; \Lambda \; -\; 1\; ln\; \; T\; +\; const\; \{\backslash \; displaystyle\; abc\; =\; \backslash \; Lambda\; t,\; \backslash \; \backslash \; tau\; =\; \backslash \; Lambda\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; ln\; t\; +\; \backslash \; mathrm\; \{const\}\}$

(уравнение 31)

где Λ - константа. Начальные условия для уравнение 29 переопределяются как

$\alpha \; \tau \; =\; \Lambda \; p\; 1,\; \beta \; \tau \; =\; \Lambda \; p\; 2,\; \gamma \; \tau \; =\; \Lambda \; p\; 3\; при\; \tau \; \to \; \infty \; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; =\; \backslash \; Lambda\; p\_\; \{1\},\; \backslash \; \backslash \; beta\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; =\; \backslash \; Lambda\; p\_\; \{2\},\; \backslash \; \backslash \; gamma\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; =\; \backslash \; Lambda\; p\_\; \{3\}\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{at\}\; \backslash \; \backslash \; tau\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}$

(уравнение 32)

Уравнения уравнение 29 легко интегрировать; решение, которое удовлетворяет условию уравнение 32 равно

$\{a\; 2\; =\; 2\; |\; p\; 1\; |\; \Lambda \; ch\; \; (2\; |\; p\; 1\; |\; \Lambda \; \tau ),\; b\; 2\; =\; b\; 0\; 2\; e\; 2\; \Lambda \; (p\; 2\; -\; |\; p\; 1\; |)\; \tau \; ch\; \; (2\; |\; p\; 1\; |\; \Lambda \; \tau ),\; c\; 2\; =\; c\; 0\; 2\; e\; 2\; \Lambda \; (p\; 2\; -\; |\; p\; 1\; |)\; \tau \; ch\; \; (2\; |\; п\; 1\; |\; \Lambda \; \tau ),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; a\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; |\; p\_\; \{1\}\; |\; \backslash \; Lambda\}\; \{\backslash \; operatorname\; \{ch\}\; (2\; |\; p\_\; \{1\}\; |\; \backslash \; Lambda\; \backslash \; tau)\}\},\; \backslash \backslash \; b\; ^\; \{2\}\; =\; b\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; e\; ^\; \{2\; \backslash \; Lambda\; (p\_\; \{\; 2\}\; -\; |\; p\_\; \{1\}\; |)\; \backslash \; tau\}\; \backslash \; operatorname\; \{ch\}\; (2\; |\; p\_\; \{1\}\; |\; \backslash \; Lambda\; \backslash \; tau),\; \backslash \backslash \; c\; ^\; \{2\}\; =\; c\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; e\; ^\; \{2\; \backslash \; Lambda\; (p\_\; \{2\}\; -\; |\; p\_\; \{1\}\; |)\; \backslash \; tau\}\; \backslash \; operatorname\; \{ch\}\; (2\; |\; p\_\; \{1\}\; |\; \backslash \; Lambda\; \backslash \; tau),\; \backslash \; end\; \{ases\}\}\}$

( ур.33)

, где b 0 и c 0 - еще две константы.

Легко видеть, что асимптотика функций ур. 33 при t → 0 равно экв. 30 . Астотимпика этих функций и функций t (τ) при τ → −∞ имеет вид

$a\; \sim \; e\; -\; \Lambda \; p\; 1\; \tau ,\; b\; \sim \; e\; \Lambda \; (p\; 2\; +\; 2\; p\; 1)\; \tau ,\; c\; \sim \; e\; \Lambda \; (p\; 3\; +\; 2\; p\; 1)\; \tau ,\; t\; \sim \; e\; \Lambda \; (1\; +\; 2\; p\; 1)\; \tau .\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; sim\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; Lambda\; p\_\; \{1\}\; \backslash \; tau\},\; \backslash \; b\; \backslash \; sim\; e\; ^\; \{\backslash \; Lambda\; (p\_\; \{2\}\; +\; 2p\_\; \{1\})\; \backslash \; tau\},\; \backslash \; c\; \backslash \; sim\; e\; ^\; \{\backslash \; Lambda\; (p\_\; \{3\}\; +\; 2p\_\; \{1\})\; \backslash \; tau\},\; \backslash \; t\; \backslash \; sim\; e\; ^\; \{\backslash \; Lambda\; (1\; +\; 2p\_\; \{1\})\; \backslash \; tau\}.\}$

Выражение a, b, c как функции t, каждый имеет

$a\; \sim \; tpl\; \prime ,\; b\; \sim \; tpm\; \prime ,\; c\; \sim \; tpn\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; sim\; t\; ^\; \{p\; \text{'}\_\; \{l\}\},\; b\; \backslash \; sim\; t\; ^\; \{p\text{'}\; \_\; \{m\}\},\; c\; \backslash \; sim\; t\; ^\; \{p\; \text{'}\_\; \{n\}\}\}$

(ур. 34)

где

$pl\; \prime \; =\; |\; п\; 1\; |\; 1-2\; |\; п\; 1\; |,\; p\; m\; \prime \; =\; -\; 2\; |\; п\; 1\; |\; -\; п\; 2\; 1\; -\; 2\; |\; п\; 1\; |,\; p\; n\; \prime \; =\; p\; 3\; -\; 2\; |\; п\; 1\; |\; 1-2\; |\; п\; 1\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \text{'}\_\; \{l\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{|\; p\_\; \{1\}\; |\}\; \{1-2\; |\; p\_\; \{1\}\; |\}\},\; p\; \text{'}\_\; \{m\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2\; |\; p\_\; \{1\}\; |\; -p\_\; \{2\}\}\; \{1-2\; |\; p\_\; \{1\}\; |\}\},\; p\; \text{'}\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{p\_\; \{3\}\; -2\; |\; p\_\; \{1\}\; |\}\; \{1-2\; |\; p\_\; \{1\}\; |\}\}.\}$

(уравнение 35)

Тогда

$abc\; =\; \Lambda \; \prime \; t,\; \Lambda \; \prime \; =\; (1-2\; |\; p\; 1\; |)\; \Lambda .\; \{\backslash \; displaystyle\; abc\; =\; \backslash \; Lambda\; \text{'}t,\; \backslash \; \backslash \; Lambda\text{'}\; =\; (1-2\; |\; p\_\; \{1\}\; |)\; \backslash \; Lambda.\}$

(ур. 36)

Выше показано, что возмущение действует в таком способе, с которым он меняет один режим Каснера на другой режим Каснера, и в этом процессе отрицательная мощность t меняется с направления l на направление m : если раньше это было p l< 0, now it is p'm< 0. During this change the function a(t) passes through a maximum and b(t) passes through a minimum; b, which before was decreasing, now increases: a from increasing becomes decreasing; and the decreasing c(t) decreases further. The perturbation itself (λa in экв. 29 ), которая раньше увеличивалась, теперь начинает уменьшаться и затухать. Дальнейшая эволюция таким же образом увеличивает возмущения от членов с μ (вместо λ) в ур. 26, следующее изменение режима Каснера и так далее.

Удобно записать правило замены мощности ур. 35 с помощью параметров ур. 5 :

$еслиpl\; =\; p\; 1\; (u)\; pm\; =\; p\; 2\; (u)\; pn\; =\; p\; 3\; (u),\; то\; pl\; \prime \; =\; p\; 2\; (u\; -\; 1)\; pm\; \prime \; =\; p\; 1\; (u\; -\; 1)\; pn\; \prime \; =\; п\; 3\; (U\; -\; 1)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \backslash \; mathrm\; \{if\}\; p\_\; \{l\}\; =\; p\_\; \{1\}\; (u)\; p\_\; \{m\}\; =\; p\_\; \{2\}\; (u)\; p\_\; \{\; n\}\; =\; p\_\; \{3\}\; (u)\; \backslash \backslash \backslash \; mathrm\; \{then\}\; p\; \text{'}\_\; \{l\}\; =\; p\_\; \{2\}\; (u-1)\; p\text{'}\; \_\; \{m\}\; =\; p\_\; \{1\}\; (u-1)\; p\; \text{'}\_\; \{n\}\; =\; p\_\; \{3\}\; (u-1)\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\}$

(уравнение 37)

Большая из двух положительных степеней остается положительной.

BKL называют это переключением отрицательной силы между направлениями эпохой Каснера . Ключом к пониманию характера эволюции метрики при приближении к сингулярности является именно этот процесс смены казнеровских эпох с изменением степеней p l, p m, p n по правиламу экв. 37 .

Последовательные чередования ур. 37 с переворотом отрицательной мощности p 1 между направлениями l и m (эпохи Казнера) продолжается истощением всей части начального u до момента, когда u < 1. The value u < 1 transforms into u>1 согласно ур. 6 ; в этот момент отрицательная степень равна p l или p m, в то время как p n становится меньшим из двух положительных чисел (p n = р 2). Следующая серия эпоха Казнера затем меняетательную мощность между направлениями n и l или между n и m . При произвольном (иррациональном ) начальном значении u этот процесс чередования продолжается неограниченно.

В точном уравнении формулы Эйнштейна степени p l, p m, p n теряют свой собственный, точный смысл. Это обстоятельство вносит некоторую «размытость» в определение этих чисел (а вместе с ними и небольшое значение u), которое хоть и делает, но делает бессмысленным анализ любых определенных (например, рациональных ) значений u. Следовательно, только те законы, которые касаются произвольных иррациональных значений u, имеют какое-либо конкретное значение.

Большие периоды, в которых шкалы пространственных расстояний по двум осям колеблются, а расстояния по третьей оси монотонно уменьшаются, называются эрами ; объемы уменьшаются по закону, близкому к ~ t. При переходе от одной эры к другому направлению, в котором уменьшаются монотонно, меняется с одной оси на другую. Порядок этих переходов приобретает асимптотический характер случайного процесса. Такой же порядок характерен и для чередования длинных последовательных эр (под длиной эры BKL понимают номер казнеровской эпохи, случай в эре, а не временной интервал).

Каждая эре (s-я эра) соответствует ряду параметров u, начиная с наибольшего, $u\; max\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \_\; \{\backslash \}\; ^\; \{(s)\}\}$, а через значения $u\; max\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \_\; \{\backslash \; max\}\; ^\; \{(s)\}\}$- 1, $u\; max\; (s)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; u\; \_\; \{\backslash \; max\}\; ^\; \{(s)\}\}$- 2,..., до наименьшего, $u\; min\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \_\; \{\backslash \; min\}\; ^\; \{\; (s)\}\}$< 1. Then

$u\; мин\; (s)\; =\; x\; (s),\; u\; max\; (s)\; =\; k\; (s)\; +\; x\; (s),\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \_\; \{\backslash \; min\}\; ^\; \{(s)\}\; =\; x\; ^\; \{(s)\},\; \backslash \; u\; \_\; \{\backslash \; max\}\; ^\; \{(s)\}\; =\; k\; ^\; \{(s)\}\; +\; x\; ^\; \{(s)\},\}$

(уравнение 41)

, то есть k = [$u\; max\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \_\; \{\backslash \; max\}\; ^\; \{(s)\}\}$], где квадратные скобки означают целую часть значения. Число k - это длина эры, измеряемая длина эры, измеряемая величина казнеровских эпох, безопасся в эре. Для следующей эры

$u\; max\; (s\; +\; 1)\; =\; 1\; x\; (s),\; k\; (s\; +\; 1)\; =\; [1\; x\; (s)].\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \_\; \{\backslash \; max\}\; ^\; \{(s\; +\; 1)\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\; ^\; \{(s)\}\}\},\; \backslash \; k\; ^\; \{(s\; +\; 1)\}\; =\; \backslash \; left\; [\{\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\; ^\; \{(s)\}\}\}\; \backslash \; right].\}$

(ур. 42)

В безграничном ряду чисел u, составленном по этим правилам, есть бесконечно малые (но никогда ноль) значения x и соответственно бесконечно большие длины k.

Эпоха становится более плотной по мере приближения к t = 0. этой современной логарифмической эволюции не является мировое время t, а его эволюция происходит до -∞.

Согласно ур. 33, одна из функций a, b, c, которая проходит через максимум во время перехода между казнеровскими эпохами, на пике своего максимума

$a\; max\; =\; 2\; \Lambda \; |\; p\; 1\; (u)\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \_\; \{\backslash \; max\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; Lambda\; |\; p\_\; \{1\}\; (u)\; |\}\}\}$

(ур. 38)

где принято, что max больше по сравнению с b 0 и c 0 ; в экв. 38 u - значение параметра в эпоху Каснера до перехода. Отсюда видно, что пики последовательных максимумов в течение каждой эры постепенно снижаются. Действительно, в следующую эпоху Казнера этот параметр будет иметь значение u '= u - 1, и Λ подставляется согласно ур. 36 с Λ '= Λ (1-2 | p 1 (u) |). Следовательно, отношение двух последовательных максимумов равно

$a\; max\; \prime \; a\; max\; =\; [p\; 1\; (u\; -\; 1)\; p\; 1\; (u)\; (1\; -\; 2\; |\; p\; 1\; (u)\; |)]\; 1\; 2;\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{a\; \text{'}\_\; \{\backslash \; max\}\}\; \{a\; \_\; \{\backslash \; max\}\}\}\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{p\_\; \{1\}\; (u-1)\}\; \{p\_\; \{1\}\; (u)\; \}\}\; \backslash \; left\; (1-2\; |\; p\_\; \{1\}\; (u)\; |\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\};\}$

и, наконец,

$a\; max\; \prime \; a\; max\; =\; u\; -\; 1\; u\; \equiv \; u\; \prime \; u.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{a\; \text{'}\_\; \{\backslash \; max\}\}\; \{a\; \_\; \{\backslash \; max\}\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{u-1\}\; \{u\}\}\}\; \backslash \; Equ\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\; u\; \text{'}\}\; \{u\}\}\}.\}$

(ур. 39)

Выше приведенные решения Эйнштейна в вакууме. Что касается казнеровской моды, то вещество не меняет качественных свойств этого раствора и может быть записано в него без учета его реакции на поле. Если это для модели высокой симметрии, неизбежной для данной модели. Математически эта специфика связана с тем, что для обсуждаемой здесь геометрии однородного пространства компоненты тензора Риччи $R\; \alpha \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; ^\; \{0\}\}$тождественно равны нулю. и поэтому уравнения Эйнштейна не допускают движения материи (что дает ненулевые компоненты тензора энергии-импульса напряжения $T\; \alpha \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; ^\; \{0\}\}$). Другими словами, синхронная система отсчета также должна двигаться вместе с веществом. Если заменить в экв. 19 uα= 0, u = 1, становится ε ~ (abc) ~ t.

Этой трудности можно избежать, если включить в нее только основные члены предельной (при t → 0) метрики и записать в нее материю с произвольным начальным распределением плотностей и скоростей. Тогда ход эволюции материи основан на ее общими законами движения ур. 17 и экв. 18, что приводит к ур. 21 . В течение каждой казнеровской эпохи плотность увеличивается по закону

$\epsilon \; =\; t\; -\; 2\; (1\; -\; p\; 3),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; =\; t\; ^\; \{-\; 2\; (1-p\_\; \{3\})\},\}$

( уравнение 40)

, где p 3, как указано выше, является наибольшим из чисел p 1, p 2, p 3. Плотность материи монотонно возрастает на протяжении всей эволюции к сингулярности.

Очень большие значения u соответствуют степеням Каснера

$p\; 1\; \approx \; -\; 1\; u,\; p\; 2\; \approx \; 1\; u,\; p\; 3\; \approx \; 1\; -\; 1\; u\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{1\}\; \backslash \; приблизительно\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{u\}\},\; \backslash \; p\_\; \{2\}\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{u\}\},\; \backslash \; p\_\; \{3\}\; \backslash \; приблизительно\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{u\; ^\; \{2\}\}\},\}$

(ур. 43)

, которые близки к значениям (0, 0, 1). Два значения, близкие к нулю, также близкие друг к другу, и поэтому изменения двух из трех типов «достоинств» (члены с λ, μ и ν в правых частях уравнение 26 ) также очень похожи. Они могут быть близкими на протяжении большей части всей эпохи. эпоха. В этом случае (BKL называют это случаем малых колебаний) анализ, основанный на действии одного типа возмущений, становится некорректным; необходимо выполнить действие двух типов возмущений.

Два возмущения

Рассмотрим длительную эпоху, в течение которой две функции a, b, c (пусть это будут a и b) претерпевают небольшие колебания, а третья функция (c) монотонно убивает. Функция Последняя быстро становится маленькой; рассмотрим решение только в той области, где можно игнорировать c по сравнению с a и b. Вычисления сначала выполняются для космической модели типа IX путем замены соответственно λ = μ = ν = 1.

После игнорирования функции c первые 2 уравнения eq. 26 дать

$\alpha \; \tau \; +\; \beta \; \tau \; \tau \; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{\backslash \; tau\; \backslash \; tau\}\; +\; \backslash \; beta\; \_\; \{\backslash \; tau\; \backslash \; tau\}\; =\; 0,\; \backslash ,\}$

(ур. 44)

$\alpha \; \tau \; -\; \beta \; \tau \; \tau \; знак\; равно\; е\; 4\; \beta \; -\; е\; 4\; \alpha ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{\backslash \; tau\; \backslash \; tau\}\; -\; \backslash \; beta\; \_\; \{\backslash \; tau\; \backslash \; tau\}\; =\; e\; ^\; \{4\; \backslash \; beta\}\; -e\; ^\; \{4\; \backslash \; alpha\},\; \backslash ,\}$

(ур. 45)

и ур. 28 можно использовать как третье уравнение, которое принимает вид

$\gamma \; \tau \; \tau \; (\alpha \; \tau \; \tau \; +\; \beta \; \tau \; \tau )\; =\; -\; \alpha \; \tau \; \beta \; \tau \; +\; 1\; 4\; (e\; 2\; \alpha \; -\; e\; 2\; \beta )\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{\backslash \; tau\; \backslash \; tau\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; alpha\; \_\; \{\backslash \; tau\; \backslash \; tau\}\; +\; \backslash \; beta\; \_\; \{\backslash \; tau\; \backslash \; tau\}\; \backslash \; right)\; =\; -\; \backslash \; alpha\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; \backslash \; beta\; \_\; \{\; \backslash \; tau\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{2\; \backslash \; alpha\}\; -e\; ^\; \{2\; \backslash \; beta\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}.\}$

(уравнение 46)

Решение ур. 44 записывается в виде

$\alpha \; +\; \beta \; =\; 2\; a\; 0\; 2\; \xi \; 0\; (\tau \; -\; \tau \; 0)\; +\; 2\; ln\; \; a\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2a\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; xi\; \_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; tau\; -\; \backslash \; tau\; \_\; \{0\}\; \backslash \; right)\; +2\; \backslash \; ln\; a\_\; \{0\},\}$

где α 0, ξ 0 - положительные константы, а τ 0 - верхний предел эры для переменной τ. Далее удобно ввести новую переменную (вместо τ)

$\xi \; =\; \xi \; 0\; exp\; \; [2\; a\; 0\; 2\; \xi \; 0\; (\tau \; -\; \tau \; 0)].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\; =\; \backslash \; xi\; \_\; \{0\}\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{2a\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; xi\; \_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; tau\; -\; \backslash \; tau\; \_\; \{0\; \}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right].\}$

(уравнение 47)

Тогда

$\alpha \; +\; \beta \; =\; ln\; \; \xi \; \xi \; 0\; +\; 2\; ln\; \; a\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta\; =\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; xi\}\; \{\backslash \; xi\; \_\; \{0\}\}\}\; +\; 2\; \backslash \; ln\; a\_\; \{0\}.\}$

(уравнение 48)

Уравнения экв. 45 и экв. 46 преобразуются путем введения переменной χ = α - β:

$\chi \; \xi \; \xi \; =\; \chi \; \xi \; \xi \; +\; 1\; 2\; sh\; \; 2\; \chi \; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; \_\; \{\backslash \; xi\; \backslash \; xi\; \}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; chi\; \_\; \{\backslash \; xi\}\}\; \{\backslash \; xi\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{sh\}\; 2\; \backslash \; chi\; =\; 0,\}$

(ур. 49)

$\gamma \; \xi \; =\; -\; 1\; 4\; \xi \; +\; 1\; 8\; \xi \; (2\; \chi \; \xi \; 2\; +\; ch\; \; 2\; \chi \; -\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{\backslash \; xi\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; xi\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{8\}\}\; \backslash \; xi\; \backslash \; left\; (2\; \backslash \; chi\; \_\; \{\backslash \; xi\}\; ^\; \{\; 2\}\; +\; \backslash \; operatorname\; \{ch\}\; 2\; \backslash \; chi\; -1\; \backslash \; right).\}$

(уравнение 50)

Уменьшение τ с τ 0 до −∞ соответствует уменьшению ξ от ξ 0 до 0. Рассматриваемая здесь длинная эра с близкими a и b (то есть с малым χ) получается, если ξ 0 является очень большой величиной. Действительно, при больших ξ решение ур. 49 в первом приближении на 1 / ξ равно

$\chi \; =\; \alpha \; -\; \beta \; =\; 2\; A\; \xi \; sin\; \; (\xi \; -\; \xi \; 0),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; =\; \backslash \; alpha\; -\; \backslash \; beta\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{2A\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; xi\}\}\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\backslash \; xi\; -\; \backslash \; xi\; \_\; \{0\}\; \backslash \; right),\}$

(ур. 51)

где A - константа; множитель $1\; \xi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; xi\}\}\}\}$делает χ небольшой величиной, поэтому ее можно заменить в eq. 49 по sh 2χ ≈ 2χ.

Из ур. 50 получаем

$\gamma \; \xi \; =\; 1\; 4\; \xi \; (2\; \chi \; \xi \; 2\; +\; \chi \; 2)\; =\; A\; 2,\; \gamma \; =\; A\; 2\; (\xi \; -\; \xi \; 0)\; +\; c\; o\; n\; s\; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{\backslash \; xi\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; xi\; \backslash \; left\; (2\; \backslash \; chi\; \_\; \{\backslash \; xi\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; chi\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; =\; A\; ^\; \{2\},\; \backslash \; \backslash \; gamma\; =\; A\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; xi\; -\; \backslash \; xi\; \_\; \{0\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; mathrm\; \{const\}.\}$

После определения α и β из ур. 48 и экв. 51 и раскладывая e и e последовательно в соответствии с приведенным выше приближением, окончательно получаем:

$\{ab\; =\; a\; 0\; \xi \; \xi \; 0\; [1\; \pm \; A\; \xi \; sin\; \; (\xi \; -\; \xi \; 0)],\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; a\; \backslash \backslash \; b\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\; =\; a\_\; \{0\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; xi\}\; \{\backslash \; xi\; \_\; \{0\}\}\}\}\; \backslash \; left\; [1\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; frac\; \{A\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; xi\}\}\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\backslash \; xi\; -\; \backslash \; xi\; \_\; \{0\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right],\}$

(уравнение 52)

$c\; =\; c\; 0\; e\; -\; A\; 2\; (\xi \; 0\; -\; \xi ).\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; =\; c\_\; \{0\}\; e\; ^\; \{-\; A\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; xi\; \_\; \{0\}\; -\; \backslash \; xi\; \backslash \; right)\}.\}$

(ур. 53)

Связь между переменная ξ и время t получается интегрированием определения dt = abc dτ, что дает

$tt\; 0\; =\; e\; -\; A\; 2\; (\xi \; 0\; -\; \xi ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{t\}\; \{t\_\; \{0\}\}\}\; =\; e\; ^\; \{-\; A\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; xi\; \_\; \{0\}\; -\; \backslash \; xi\; \backslash \; right)\}.\}$

(ур. 54)

Константа c 0 (значение с при ξ = ξ 0) теперь должна быть c 0$\ll \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ll\}$α0·

Рисунок 5. Пространство типа Бьянки VIII (открытое), испытывающее хаотическую динамику BKL (Mixmaster), близкую к сингулярности, согласно правилам ур. 35 с начальным $u\; =\; 13\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{13\}\}\}$. Сингулярность находится в центральной точке поверхности гиперболоида.

Теперь рассмотрим область ξ $\ll \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ll\}$1.Здесь основные члены решения ур. 49 :

$\chi \; =\; \alpha \; -\; \beta \; =\; k\; ln\; \; \xi \; +\; const,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; =\; \backslash \; alpha\; -\; \backslash \; beta\; =\; k\; \backslash \; ln\; \backslash \; xi\; +\; \backslash \; mathrm\; \{const\},\; \backslash ,\; \}$

где k - постоянная в диапазоне - 1 < k < 1; this condition ensures that the last term in экв. 49 мало (sh 2χ содержит ξ и ξ). Тогда после определения α, β и t получаем

$a\; \sim \; \xi \; 1\; +\; k\; 2,\; b\; \sim \; \xi \; 1\; -\; k\; 2,\; c\; \sim \; \xi \; -\; 1\; -\; k\; 2\; 4,\; t\; \sim \; \xi \; 3\; +\; k\; 2\; 4.\; \{\backslash \; Displaystyle\; a\; \backslash \; sim\; \backslash \; xi\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\; +\; k\}\; \{2\}\},\; \backslash \; b\; \backslash \; sim\; \backslash \; xi\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1-k\}\; \{2\}\},\; \backslash \; c\; \backslash \; sim\; \backslash \; xi\; ^\; \{\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1-k\; ^\; \{2\}\}\; \{4\}\}\},\; \backslash \; t\; \backslash \; sim\; \backslash \; xi\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{3\; +\; k\; ^\; \{2\}\}\; \{4\}\}.\}$

(ур. 55)

Это снова мода Каснера с отрицательной t-степенью, присутствующей в функции c (t).

Эти результаты отображают эволюцию, которая качественно аналогична описанной выше. В течение длительного периода времени, который соответствует значительному уменьшению значения ξ, две функции a и b колеблются, оставаясь близкими по величине $a\; -\; ba\; \sim \; 1\; \xi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{ab\}\; \{a\}\}\; \backslash \; sim\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; xi\}\}\}\}$; в то же время обе функции a и b медленно ($\sim \; \xi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sim\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; xi\}\}\}$) уменьшаются. Период колебаний постоянен по переменной ξ: Δξ = 2π (или, что то же самое, с постоянным периодом по логарифмическому времени: Δ ln t = 2πΑ). Третья функция, c, монотонно убывает по закону, близкому к c = c 0 t / t 0.

. Эта эволюция продолжается до ξ ≈1 и формулы ур. 52 и экв. 53 больше не применяются. Его продолжительность соответствует изменению t от t 0 до значений t 1, связанного с ξ 0 согласно

$A\; 2\; \xi \; 0\; =\; ln\; \; т\; 0\; т\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{2\}\; \backslash \; xi\; \_\; \{0\}\; =\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; frac\; \{t\_\; \{0\}\}\; \{t\_\; \{1\}\}\}.\}$

(ур. 56)

Связь между ξ и т за это время можно представить в виде

$\xi \; \xi \; 0\; =\; ln\; \; tt\; 1\; ln\; \; t\; 0\; t\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; xi\}\; \{\backslash \; xi\; \_\; \{0\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; ln\; \{\backslash \; tfrac\; \{t\}\; \{t\_\; \{1\}\}\}\}\; \{\backslash \; ln\; \{\backslash \; tfrac\; \{t\_\; \{0\}\}\}\; \{t\_\; \{1\}\}\}\}\}.\}$

(ур. 57)

После этого, как видно из ур. 55 убывающая функция c начинает увеличиваться, а функции a и b начинают увеличиваться. Эта эпоха Каснера продолжается до тех пор, пока члены c / ab в ур. 22 становятся ~ t, и начинается следующая серия колебаний.

Закон изменения плотности в течение обсуждаемой длительной эпохи получается заменой экв. 52 в ур. 20 :

$\epsilon \; \sim \; (\xi \; 0\; \xi )\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; sim\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; xi\; \_\; \{0\}\}\; \{\backslash \; xi\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}.\}$

(уравнение 58)

Когда ξ изменяется с ξ 0 до ξ ≈1, плотность увеличивается в $\xi \; 0\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\}$раз.

Следует подчеркнуть, что, хотя функция c (t) изменяется по закону, близкому к c ~ t, метрика ур. 52 не соответствует метрике Казнера со степенями (0, 0, 1). Последнее соответствует тому решению, найденному Таубом, которое использует уравнениями. 26–27и в котором

$a\; 2\; =\; b\; 2\; =\; p\; 2\; ch\; (2\; p\; \tau \; +\; \delta \; 1)\; ch\; 2\; (p\; \tau \; +\; \delta \; 2),\; c\; 2\; =\; 2\; pch\; (2\; p\; \tau \; +\; \delta \; 1),\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{2\}\; =\; b\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{p\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{ch\}\; (2p\; \backslash \; tau\; +\; \backslash \; delta\; \_\; \{1\})\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{ch\}\; ^\; \{2\}\; (p\; \backslash \; tau\; +\; \backslash \; delta\; \_\; \{2\})\}\},\; \backslash ;\; c\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2p\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{ch\}\; (2p\; \backslash \; tau\; +\; \backslash \; delta\; \_\; \{1\})\}\},\}$

(уравнение 59)

где p, δ 1, δ 2 являются постоянными. В астотической области τ → −∞ отсюда можно получить a = b = const, c = const.t после замены е = t. В этой метрике особенность при t = 0 нефизическая.

Давайте теперь опишем аналогичное исследование модели Типа VIII, подставив в уравнения. экв. 26 '–'28λ = −1, μ = ν = 1.

Если в течение долгой эпохи монотонно убывающая функция представляет собой a, в предшествующем анализе ничего не меняется: игнорируется в правой части уравнения 26и 28восходит к тем же уравнениям 49и 50(с измененными обозначениями). Однако некоторые изменения происходят, если монотонно убывающая функция равна b или c; пусть будет c.

Как и раньше, имеется уравнение 49с теми же символами, и, следовательно, предыдущие выражения ур. 52 для функций a (ξ) и b (ξ), но уравнение 50заменяется на

$\gamma \; \xi \; =\; -\; 1\; 4\; \xi \; +\; 1\; 8\; \xi \; (2\; \chi \; \xi \; 2\; +\; ch\; 2\; х\; +\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{\backslash \; xi\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; xi\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{8\}\}\; \backslash \; xi\; \backslash \; left\; (2\; \backslash \; chi\; \_\; \{\backslash \; xi\}\; ^\; \{\; 2\}\; +\; \backslash \; mathrm\; \{ch\}\; 2\; \backslash \; chi\; +1\; \backslash \; right).\}$

(ур. 60)

Главный член в целом ξ теперь становится

$\gamma \; \xi \; \approx \; 1\; 8\; \xi \; \cdot \; 2,\; \gamma \; \approx \; 1\; 8\; (\xi \; 2\; -\; \xi \; 0\; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{\backslash \; xi\}\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{8\}\}\; \backslash \; xi\; \backslash \; cdot\; 2,\; \backslash \; quad\; \backslash \; gamma\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{8\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; xi\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; xi\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right),\}$

так, чтобы

$cc\; 0\; =\; tt\; 0\; =\; e\; -\; 1\; 8\; (\; \xi \; 0\; 2\; -\; \xi \; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{c\_\; \{0\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{t\}\; \{t\_\; \{0\}\}\}\; =\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{8\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; xi\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; xi\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\}.\}$

(уравнение 61)

Значение c как функция времени снова равно c = c 0 t / t 0, но временная зависимость ξ изменяется. Длина длинной эры зависит от ξ 0 согласно

$\xi \; 0\; =\; 8\; ln\; \; tt\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\; \_\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{8\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; frac\; \{t\}\; \{\; t\_\; \{0\}\}\}\}\}.\}$

(ур. 62)

С другой стороны, значение ξ 0 определить количество колебаний функций a и b в течение эры (равно ξ 0 / 2π). Учитывая длину эры в логарифмическом времени (то есть при заданном отношении 0/t1), количество колебаний для Типа VIII будет, вообще говоря, меньше, чем для Типа IX. Для периода колебаний теперь Δ ln t = πξ / 2; в от типа IX, период непостоянен на протяжении долгой эры и медленно уменьшается вместе с ξ.

Область малых времен

Длинные эпохи нарушают «регулярный» ход эволюции, что затрудняет изучение эволюции временных интервалов, охватывающих несколько эпох. Можно показать, что такие «аномальные эволюции» возникают при спонтанной точке в асимптотически малых расстояниях от начальной точки с произвольными начальными условиями. Даже в длинных эпохах все колебательные функции при переходах между казнеровскими эпохами остаются разными, что происходит под одним только одним возмущением. Все результаты в этом разделе в равной степени к моделям VIII и IX.

В каждую казнеровскую эпоху abc = Λt, i. е. α + β + γ = ln Λ + ln t. При переходе от одной эпохи (с заданным значением параметра u) к следующей эпохе постоянная Λ умножается на 1 + 2p 1 = (1 - u + u) / (1 + u + u) < 1. Thus a systematic decrease in Λ takes place. But it is essential that the mean (with respect to the lengths k of eras) value of the entire variation of ln Λ during an era is finite. Actually the divergence of the mean value could be due only to a too rapid increase of this variation with increasing k. For large value of the parameter u, ln(1 + 2p1) ≈ −2 / ед. При большом k максимальное значение u = k + x ≈ k. Следовательно, полное изменение ln Λ в течение эры дается суммой вида

$\sum \; ln\; \; (1\; +\; 2\; p\; 1)\; =\; \cdots \; +\; 1\; k\; -\; 2\; +\; 1\; k\; -\; 1\; +\; 1\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; amount\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\; 1\; +\; 2p\_\; \{1\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; dots\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k-2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k-1\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k\}\}\}$

с записью только тех членов, которые соответствуют большим значениям u. При увеличении k эта сумма увеличивается как ln k. Но вероятность появления эры большой длины k уменьшается как 1 / k 2 согласно ур. 76 ; следовательно, среднее значение суммы, указанной выше, конечно. Следовательно, систематическое изменение величины ln Λ за большое количество эпох будет пропорционально этому числу. Но это видно в ур. 85 видно, что при t → 0 число s увеличивается просто как ln | ln t |. Таким образом, в асимптотическом пределе сколь угодно малого t членом ln Λ действительно можно пренебречь по сравнению с ln t. В этом приближении

$\alpha \; +\; \beta \; +\; \gamma \; =\; -\; \Omega ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta\; +\; \backslash \; gamma\; =\; -\; \backslash \; Omega,\; \backslash ,\}$

(ур. 63)

где Ω обозначает " логарифмическое время "

$\Omega \; =\; -\; ln\; \; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; =\; -\; \backslash \; ln\; t.\; \backslash ,\}$

(ур. 64)

и процесс смены эпох можно рассматривать как серию коротких временных вспышек. Величины максимумов осциллирующих масштабных функций также подвержены систематическому изменению. Из экв. 39 для u ≫ 1 следует, что $a\; max\; \text{'}-\; a\; max\; \approx \; -\; 1/2\; u\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \_\; \{\backslash \; max\}\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; -a\; \_\; \{\backslash \; max\}\; \backslash \; ок.\; -1\; /\; 2u\}$. Таким же образом, как это было сделано выше для величины ln Λ, отсюда можно сделать вывод, что среднее уменьшение высоты максимумов за эру конечно, а общее уменьшение за большое количество эр увеличивается при t → 0 просто как ln Ω. В то же время понижение минимумов и, тем самым, увеличение амплитуды колебаний, происходит (уравнение 77 ) пропорционально Ω. В соответствии с принятым приближением снижением максимумов пренебрегают по сравнению с увеличением амплитуд, поэтому α max = 0, β max = 0, γ max = 0 для максимальных значений всех осциллирующих функций, а величины α, β, γ проходят только через отрицательные значения, которые связаны друг с другом в каждый момент времени соотношением ур. 63 .

Рисунок 4. Изменение α, β и γ как функции логарифмического времени Ω в течение одной эры. Вертикальными штриховыми линиями обозначены смены казнеровских эпох, соответствующие линейным участкам кривых. Вверху указаны значения u, определяющие показатели Казнера. Последняя эпоха имеет большую продолжительность, если x мало. В первую эпоху следующую эры γ начинает увеличиваться, и α становится монотонно убивающая функция.

Учитывая такое мгновенное изменение, переходные периоды игнорируются как малые по сравнению с длиной эпохи; это условие действительно выполнено. Для максимумов замены α, β и γ нуля необходимо, чтобы величины ln (| p 1 | Λ) были малы по сравнению с амплитудами колебаний соответствующих функций. Как освящено выше, во время переходов между эпохами | p 1 | значения могут стать очень маленькими, а их величина и вероятность не связаны с амплитудами колебаний в соответствующий момент. Следовательно, в принципе, можно достичь столь малого | p 1 | значения, что указанное выше условие (нулевые максимумы) нарушается. Такое резкое падение α max может привести к различным особым ситуациям, в которых переход между эпохами Каснера по правиламу ур. 37 становится неправильным (включая ситуации, описанные выше). Эти «опасные» ситуации могут нарушить законы, используемые для статистического анализа ниже. Однако, как уже упоминалось, вероятность таких отклонений асимптотически сходится к нулю; этот вопрос будет рассмотрен ниже.

Рассмотрим эру, которая содержит k эпоху Каснера с параметром u, проходящим через значения

$un\; =\; k\; +\; x\; -\; 1\; -\; n,\; n\; =\; 0,\; 1,\; \cdots ,\; k\; -\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{n\}\; =\; k\; +\; x-1-n,\; \backslash \; quad\; n\; =\; 0,1,\; \backslash \; cdots,\; k-1,\}$

(уравнение 65)

и пусть α и β - колебательные функции во время эры (рис. 4).

Начальные моменты казнеровских эпох с соблюдением u n равны Ω n. В каждый начальный момент одно из значений α или β равно нулю, а другое имеет минимум. Значения α или β в последовательных минимумах, то есть в моменты Ω n равны

$\alpha \; n\; =\; -\; \delta \; n\; \Omega \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{n\}\; =\; -\; \backslash \; delta\; \_\; \{n\}\; \backslash \; Omega\; \_\; \{n\}\; \backslash ,\}$

(уравнение 66)

(без различий минимумов α и β). Значения δ n, которые измеряют эти минимумы в соответствующих единицах Ω n, находятся в диапазоне от 0 до 1. Функция γ монотонно может уменьшаться в течение этой эры; согласно ур. 63 его значение в момент Ω n равно

$\gamma \; n\; =\; -\; \Omega \; n\; (1\; -\; \delta \; n).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{n\}\; =\; -\; \backslash \; Omega\; \_\; \{n\}\; (1-\; \backslash \; delta\; \_\; \{n\}).\; \backslash ,\}$

(экв. 67)

В эпоху, начинающуюся в момент Ω n и заканчивающуюся в момент Ω n + 1, одна из функций α или β увеличивает с −δ nΩnдо нуля, а другой убывает от 0 до −δ n + 1 Ω n + 1 соответственно линейным законам:

$const\; +\; |\; p\; 1\; (u\; n)\; |\; Ом\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{const\}\; +\; |\; p\_\; \{1\}\; (u\_\; \{n\})\; |\; \backslash \; Omega\; \backslash ,\}$и $const\; -\; p\; 2\; (un)\; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{const\}\; -p\_\; \{2\}\; (u\_\; \{n\})\; \backslash \; Omega\; \backslash ,\}$

, что приводит к рекуррентному применению

$\delta \; n\; +\; 1\; \Omega \; n\; +\; 1\; =\; 1\; +\; unun\; \delta \; n\; \Omega \; n\; =\; 1\; +\; u\; 0\; un\; \delta \; 0\; \Omega \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{n\; +\; 1\}\; \backslash \; Омега\; \_\; \{n\; +\; 1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; +\; u\_\; \{n\}\}\; \{u\_\; \{n\}\}\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{n\}\; \backslash \; Omega\; \_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; +\; u\_\; \{0\}\}\; \{u\_\; \{n\}\}\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{0\}\; \backslash \; Omega\; \_\; \{0\}\}$

(уравнение 68)

и для логарифмической длительности эпохи

$\Delta \; n\; +\; 1\; \equiv \; \Omega \; n\; +\; 1\; -\; \Omega \; n\; знак\; равно\; е\; (ун)\; ун\; \delta \; N\; Ом\; N\; знак\; равно\; е\; (ун)\; (1\; +\; ун\; -\; 1)\; е\; (ун\; -\; 1)\; ООН\; \Delta \; N,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Delta\; \_\; \{n\; +\; 1\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; Omega\; \_\; \{n\; +\; 1\}\; -\; \backslash \; Omega\; \_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (u\_\; \{n\})\}\; \{u\_\; \{n\}\}\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{n\}\; \backslash \; Omega\; \_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (u\_\; \{n\})\; (1\; +\; u\_\; \{n-1\})\}\; \{f\; (u\_\; \{n-1\})\; u\_\; \{n\}\}\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{n\},\}$

(ур. 69)

где, для краткости, f (u) = 1 + u + u. Сумма длительностей n эпоха получается по формуле

$\Omega \; n\; -\; \Omega \; 0\; =\; [n\; (n\; -\; 1)\; +\; nf\; (un\; -\; 1)\; un\; -\; 1]\; \delta \; 0\; \Omega \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; \_\; \{n\}\; -\; \backslash \; Омега\; \_\; \{0\}\; =\; \backslash \; left\; [n\; (n-1)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{nf\; (u\_\; \{n-1\})\}\; \{u\_\; \{n-1\}\}\}\}\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; delta\; \_\; \{0\}\; \backslash \; Омега\; \_\; \{0\}.\}$

(ур. 70)

Это видно из ур. 68 что | α n + 1 |>| α n |, т.е. амплитуды колебаний функций α и β увеличиваются в течение всей эры, хотя коэффициенты δ n могут быть небольшими. Если минимум в начале эры глубокий, следующие минимумы не будут мельче; другими словами, вычет | α - β | на момент перехода между казнеровскими эпохами остается большой. Это утверждение не зависит от длины эры k, поскольку переходы между эпохами вводимых общими предписаниями ур. 37 также на долгие эпохи.

Амплитуда последнего колебания функций α или β в этой эпоху пытается с амплитудой первого колебания этим | α k - 1 | = | α 0 | (к + х) / (1 + х). Даже при малых k, как несколько единиц, x можно игнорировать по сравнению с k, так что увеличение амплитуды колебаний α и β становится пропорциональным длине эры. Для функций a = e и b = e это означает, что если амплитуда их колебаний в начале эры была A 0, в конце этой эры амплитуда станет $A\; 0\; k\; /\; (1\; +\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{0\}\; ^\; \{k\; /\; (1\; +\; x)\}\}$.

Длина казнеровских эпох (в логарифмическом времени) также увеличивается внутри данной эпохи; легко вычислить из экв. 69, что Δ n + 1>Δn. Общая длина эры

$\Omega \; 0\; \prime \; -\; \Omega \; 0\; \equiv \; \Omega \; k\; -\; \Omega \; 0\; =\; k\; (k\; +\; x\; +\; 1\; x)\; \delta \; 0\; \Omega \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; -\; \backslash \; Омега\; \_\; \{0\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; Omega\; \_\; \{k\}\; -\; \backslash \; Omega\; \_\; \{0\}\; =\; k\; \backslash \; left\; (k\; +\; x\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; delta\; \_\; \{0\}\; \backslash \; Omega\; \_\; \{\; 0\}\}$

(ур. 71)

(член с 1 / x происходит от последней, k-й, эпохи, длина которой велика при малых x; см. Рис. 2). Момент Ω n, когда заканчивается k-я эпоха данной эры, совпадает с моментом Ω '0 начала следующей эры.

В первую казнеровскую эпоху новой эры функция γ первой поднимается от минимального значения γ k = - Ω k (1 - δ k), достигнутого в предыдущую эпоху; это играет значение роли стартовой амплитуды δ '0Ω'0для новой серии колебаний. Легко получить, что:

$\delta \; 0\; \prime \; \Omega \; 0\; \prime \; =\; (\delta \; 0\; -\; 1\; +\; k\; 2\; +\; kx\; -\; 1)\; \delta \; 0\; \Omega \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; \backslash \; Omega\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; delta\; \_\; \{0\}\; ^\; \{-\; 1\}\; +\; k\; ^\; \{2\}\; +\; kx-1\; \backslash \; right)\; \backslash \; delta\; \_\; \{0\}\; \backslash \; Omega\; \_\; \{0\}.\}$

(ур.72)

Очевидно, что δ '0Ω'0>δ0Ω0. Даже при не очень большом k увеличение амплитуды очень: функция c = e начинает колебаться от амплитуды $A\; 0\; \prime \; \sim \; A\; 0\; k\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{0\}\; \text{'}\backslash \; sim\; A\_\; \{0\}\; ^\; \{k\; ^\; \{2\}\; \}\}$. Вопрос об упомянутых выше «угрозах» резкого нижнего предела колебаний пока остается в стороне.

Согласно ур. 40 увеличение плотности материи в течение первых (k - 1) эпох определяет формулой

$ln\; \; (\epsilon \; n\; +\; 1\; \epsilon \; n)\; =\; 2\; [1\; -\; p\; 3\; (un)]\; \Delta \; п\; +\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; varepsilon\; \_\; \{n\; +\; 1\}\}\; \{\backslash \; varepsilon\; \_\; \{n\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 2\; \backslash \; left\; [1-p\_\; \{3\}\; (u\_\; \{n\})\; \backslash \; right]\; \backslash \; Delta\; \_\; \{n\; +\; 1\}.\}$

Для последних k данной эпохи эры при u = x < 1 the greatest power is p2(x) (не p 3 (x)). Следовательно, для увеличения плотности за всю эпоху получаем

$ln\; \; (\epsilon \; k\; \epsilon \; 0)\; \equiv \; ln\; \; (\epsilon \; 0\; \prime \; \epsilon \; 0)\; =\; 2\; (k\; -\; 1\; +\; x)\; \delta \; 0\; \Omega \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; varepsilon\; \_\; \{k\}\}\; \{\backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; \text{'}\}\; \{\backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\; \}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 2\; (k-1\; +\; x)\; \backslash \; delta\; \_\; \{0\}\; \backslash \; Omega\; \_\; \{0\}.\}$

(ур. 73)

Следовательно, даже при не очень большие значения k, $\epsilon \; 0\; \prime \; /\; \epsilon \; 0\; \sim \; A\; 0\; 2\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; \text{'}/\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; \backslash \; sim\; A\_\; \{0\}\; ^\; \{2k\}\}$. В течение следующей эры (длиной k ') плотность будет расти быстрее из-за увеличения амплитуды амплитуды A 0 ': $\epsilon \; 0\; ″\; /\; \epsilon \; 0\; \prime \; \sim \; A\; 0\; \prime \; 2\; k\; ″\; \sim \; A\; 0\; 2\; К\; 2\; К\; \text{'}\{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\text{'}\; \text{'}/\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\text{'}\; \backslash \; sim\; A\_\; \{0\}\; \text{'}^\; \{2k\text{'}\; \text{'}\}\; \backslash \; sim\; A\_\; \{0\}\; ^\; \{2k\; ^\; \{2\}\; k\; \text{'}\}\}$и т.д. Эти формулы иллюстрируют резкое увеличение плотности материи.

Статистический анализ вблизи сингулярности

Последовательность длинных эр k, измеряемая данныеся в них казнеровских эпох, асимптотически приобретает характер случайного процесса. То же самое относится и к последовательным пар осциллирующих функций при переходе от одной эры к другому (это зависит от того, четные или нечетные числа k). Источником этой стохастичности является правило экв. 41 –42, согласно переходу от одной эры к другой установлен в бесконечной числовой последовательности значений u. Другими словами, это правило гласит, что если бесконечная последовательность начинается с определенного начального значения $u\; max\; (0)\; =\; k\; (0)\; +\; x\; (0)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \_\; \{\backslash \; max\}\; ^\; \{(0)\}\; =\; k\; ^\; \{(0)\}\; +\; x\; ^\; \{(0)\}\}$, тогда длина эр k, k,... - число в непрерывной дроби расширение

$k\; (\; 0)\; +\; x\; (0)\; =\; k\; (0)\; +\; 1\; k\; (1)\; +\; 1\; k\; (2)\; +\dots .\; \{\backslash \; Displaystyle\; к\; ^\; \{(0)\}\; +\; x\; ^\; \{(0)\}\; =\; k\; ^\; \{(0)\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k\; ^\; \{(1)\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k\; ^\; \{(2)\}\; +\; \backslash \; dots\}\}\}\}.\}$

(ур. 73a)

Это разложение соответствует преобразованию отображения интер [0, 1] на себя по формуле Tx = {1 / x}, то есть x s + 1 = {1 / x s }. Это преобразование принадлежит к так называемым расширяемым преобразованием интервала [0, 1], т.е. преобразованиям x → f (x) с | f ′ (x) |>1. Такие преобразования обладают своей экспоненциальной неустойчивостью: сначала две близкие точки, их взаимное расстояние при увеличении итераций преобразователей. Хорошо известно, что экспоненциальная неустойчивость приводит к появлению сильных стохастических свойств.

Можно перейти к вероятностному описанию такого следа, рассматривая не определенное начальное значение x, а значения x = x, распределенные в интервале от 0 до 1 в соответствии с определенным вероятностный закон распределения w0(x). Тогда значения x, завершающие каждую эру, также имеют распределения, подчиняющиеся определенным законам s (x). Пусть w s (x) dx будет вероятностью того, что s-я эра завершится со значением $u\; max\; (s)\; =\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \_\; \{\backslash \; max\}\; ^\; \{(s)\}\; =\; x\}$, лежащий в указанном интервале dx.

Значение x = x, завершающее s-ю эру, может быть результатом начальных (для этой эры) значений $u\; max\; (s)\; =\; x\; +\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \_\; \{\backslash \; max\}\; ^\; \{\; (s)\}\; =\; x\; +\; k\}$, где k = 1, 2,...; эти значения $u\; max\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \_\; \{\backslash \; max\}\; ^\; \{(s)\}\}$соответствуют значениям x = 1 / (k + x) для предыдущей эпохи. Учитывая это, можно записать следующее рекуррентное соотношение, которое выражает распределение вероятностей w s (x) через распределение w s - 1 (x):

$ws\; (x)\; dx\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; \infty \; ws\; -\; 1\; (1\; k\; +\; x)\; |\; d\; 1\; k\; +\; x\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{s\}\; (x)\; dx\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; w\_\; \{s-1\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k\; +\; x\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; \backslash \; vert\; d\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k\; +\; x\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; vert\}$

или

$ws\; (x)\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; \infty \; 1\; (k\; +\; x)\; 2\; ws\; -\; 1\; (1\; к\; +\; х).\; \{\backslash \; Displaystyle\; w\_\; \{s\}\; (х)\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{к\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; left\; (k\; +\; x\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\; w\_\; \{s-\; 1\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k\; +\; x\}\}\; \backslash \; right).\}$

(ур. 73c)

Если распределение w s (x) имеет тенденцию к увеличению s до стационарного (не зависящего от s) предельного распределения w (x), то последнее удовлетворять уравнению, полученному из ур. 73c, отбрасывая индексы функций w s - 1 (x) и w s (x). Это уравнение имеет решение

$w\; (x)\; =\; 1\; (1\; +\; x)\; ln\; \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; left\; (1\; +\; x\; \backslash \; right)\; \backslash \; ln\; 2\}\}\; \}$

(ур. 74)

(нормализовано к единице и принято к первому порядку по x).

Для того, чтобы предыдущая эра должна заканчиваться в интервале от 1 / (k + 1) до 1 / k. Следовательно, вероятность того, что эра будет иметь длину, равна (в стационарном пределе)

$W\; (k)\; =\; \int \; 1\; /\; (k\; +\; 1)\; 1\; /\; kw\; (x)\; dx\; =\; 1\; ln\; \; 2\; ln\; \; (к\; +\; 1)\; 2\; к\; (к\; +\; 2).\; \{\backslash \; Displaystyle\; W\; (к)\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; limits\; \_\; \{1\; /\; (k\; +\; 1)\}\; ^\; \{1\; /\; k\}\; w\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; ln\; 2\}\}\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; frac\; \{(k\; +\; 1)\; ^\; \{2\}\}\; \{k\; (k\; +\; 2)\}\}.\}$

(уравнение 75)

При больших значениях k

$W\; (k)\; \approx \; 1\; k\; 2\; ln\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; (k)\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k\; ^\; \{2\}\; \backslash \; ln\; 2\}\}.\}$

(уравнение 76)

В связи со статистическими свойствами косм модели с эргодические свойства преобразования x s + 1 = {1 / x s } Следует отметить важный момент. В бесконечной последовательности x, построенной в соответствии с этим правилом, наблюдаются сколь угодно малые (но никогда не исчезающие) значения x, соответствующие сколь угодно большой длине k. Такие случаи (ни в коем случае!) Вызывать ситуации, когда понятие, как последовательности казнеровских эпох, сменяющих друг друга по правиламу ур. 37, теряет смысл (хотя колебательный режим эволюции модели все еще сохраняется). Такая «аномальная» ситуация может проявляться, например, в необходимости сохранить в правой части ур. 26 термины не только с одной из функций a, b, c (скажем, a), как в случае «регулярной» смены казнеровских эпох, но и одновременно с двумя из них (скажем, а, б, аб).

При выходе из «аномальной» серии колебаний возникает череда регулярных эпох. Статистический анализ поведения модели, который основан на регулярных итерациях преобразователей ур. 42 подтверждает теоремой: вероятность появления аномальных случаев асимптотически стремится к нулю при количестве итераций s → ∞ (т.е. времени t → 0), что доказывается в конце эта секция. Справедливость этого утверждения во многом обусловлена ​​очень быстрой скоростью увеличения амплитуд колебаний в каждой эпоху и особенно при переходе от одной эпохи к другому.

Однако процесс релаксации космологической модели к «стационарному» статистическому режиму (при t → 0, начиная с данного «начального момента») менее интересен, чем самого этого режима с должным образом учтены законы изменения физических характеристик модели в последовательные эпохи.

Представление о скорости, с которой устанавливается стационарное распределение, получено из следующего примера. Пусть начальные значения x распределены в узком интервале шириной δx около некоторого определенного числа. Из рекуррентного соотношения ур. 73c (или непосредственно из разложения уравнение 73a ) легко сделать вывод, что ширины распределений w s (x) (о других числах) тогда будет равно

$\delta \; x\; (s)\; \approx \; \delta \; x\; (0)\; \cdot \; k\; (1)\; 2\; k\; (2)\; 2\dots \; k\; (s)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; x\; ^\; \{(s)\}\; \backslash \; приблизительно\; \backslash \; дельта\; x\; ^\; \{(0)\}\; \backslash \; cdot\; k\; ^\; \{(1)\; 2\}\; k\; ^\; \{(2)\; 2\}\; \backslash \; dots\; k\; ^\; \{(s)\; 2\}\}$

(ур. 76a)

( это выражение действительно только до тех пор, пока оно определяет величину δx ≪ 1).

Среднее значение $k\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{k\}\}\}$, вычисленное из этого распределения, логарифмически расходится. Для продолжения обрезанной по очень большому, но все же конечному N, мы имеем $k\; ¯\; \sim \; ln\; \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{k\}\}\; \backslash \; sim\; \backslash \; ln\; N\}$. Полезность среднего в этом случае очень ограничена из-за его нестабильности: из-за медленного уменьшения W (k) флуктуации k расходятся быстрее, чем его среднее значение. Более адекватной численностью этой системы является вероятность того, что случайно выбранное из нее соответствует K, где K велико. Эта вероятность равна lnK / lnN. Это мало, если $1\; \ll \; K\; \ll \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \backslash \; ll\; K\; \backslash \; ll\; N\}$. В связи с этим можно сказать, что случайно выбранное число из заданной придержанной с большой вероятностью относится к длинной эре.

Удобно усреднять выражения, которые зависят от k и x. Согласно формулой k + x = 1 / x, их статистические распределения нельзя рассматривать как независимые. Совместное распределение W s (k, x) dx величин может быть получено из распределения w s - 1 (x) dx, сделав в последнем замену x → 1 / (х + к). Другими словами, функция W s (k, x) задается самим выражением под знаком суммы в правой части ур. 73c . В стационарном пределе, взяв w из экв. 74, получаем

$W\; (k,\; x)\; =\; k\; +\; x\; +\; 1\; (k\; +\; x)\; ln\; \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; (k,\; x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{k\; +\; x\; +\; 1\}\; \{\backslash \; left\; (k\; +\; x\; \backslash \; right)\; \backslash \; ln\; 2\}\}.\}$

(ур. 76b)

Суммирование это распределение по k возвращает нас к ур. 74, и интегрирование по dx до ур. 75 .

Рекуррентные формулы, определяющие переходы между эрами, переписываются с индексом s, который нумерация эр (не казнеровских эпох в данной эре!), Существующей с некоторой эры (s = 0), такой как начальная. Ω и ε - соответственно начальный момент и начальная плотность вещества в s-ю эру; δΩ - начальная амплитуда колебаний той пары функций α, β, γ, которая колеблется в данной эре: k - длина s-й эры, а x определяет длину (количество казнеровских эпох) следующей эры в соответствии с к k = [1 / x]. Согласно ур. 71 –73

$\Omega \; (s\; +\; 1)\; /\; \Omega \; (s)\; =\; 1\; +\; \delta \; (s)\; k\; (s)\; (k\; (s)\; +\; x\; (s)\; +\; 1\; x\; (s))\; \equiv \; exp\; \; \xi \; (s),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Omega\; ^\; \{(s\; +\; 1)\}\; /\; \backslash \; Omega\; ^\; \{(s)\}\; =\; 1+\; \backslash \; delta\; ^\; \{(s)\}\; k\; ^\; \{(s)\}\; \backslash \; left\; (k\; ^\; \{(s)\; \}\; +\; x\; ^\; \{(s)\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\; ^\; \{(s)\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; exp\; \backslash \; xi\; ^\; \{(s)\},\}$

(ур. 77)

$\delta \; (s\; +\; 1)\; =\; 1\; -\; (k\; (s)\; /\; x\; (s)\; +\; 1)\; \delta \; (s)\; 1\; +\; \delta \; (s)\; k\; (s)\; (1\; +\; x\; (s)\; +\; 1\; /\; х\; (s)),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; ^\; \{(s\; +\; 1)\}\; =\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (k\; ^\; \{(s)\}\; /\; x\; ^\; \{(s)\}\; +\; 1\; \backslash \; right)\; \backslash \; дельта\; ^\; \{(s)\}\}\; \{1+\; \backslash \; delta\; ^\; \{(s)\}\; k\; ^\; \{(s)\}\; \backslash \; left\; (1\; +\; x\; ^\; \{(s)\}\; +\; 1\; /\; x\; ^\; \{(s)\}\; \backslash \; right)\}\},\}$

(уравнение 78)

$ln\; \; (\epsilon \; (s\; +\; 1)\; \epsilon \; (s))\; =\; 2\; (k\; (s)\; +\; x\; (s)\; -\; 1)\; \delta \; (s)\; \Omega \; (\; s)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; varepsilon\; ^\; \{(s\; +\; 1)\}\}\; \{\backslash \; varepsilon\; ^\; \{(s)\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 2\; \backslash \; left\; (k\; ^\; \{(s)\; \}\; +\; x\; ^\; \{(s)\}\; -\; 1\; \backslash \; right)\; \backslash \; delta\; ^\; \{(s)\}\; \backslash \; Omega\; ^\; \{(s)\}\}$

(ур. 79)

(ξ вводится в уравнение 77 для дальнейшего использования).

Величины δ имеют устойчивое стационарное статистическое распределение P (δ) и стабильное (небольшие относительные колебания) среднее значение. Для их определения БКЛ использовал (с оговорками) приближенный метод, основанный на предположении о статистической независимости случайной величины и случайных величин k, x. Для функции P (δ) было составлено интегральное уравнение, которое выражало тот факт, что величины δ и δ связаны с помощью ур. 78 имеют такое же распределение; это уравнение решалось численно. В более поздней работе Халатников и др. показал, что распределение P (δ) действительно может быть точно найдено аналитическим методом.

Для статистических свойств в стационарном пределе разумно вводимое так называемое естественное расширение преобразования Tx = {1 / x}, продолжая его без ограничения до отрицательных индексов. Иначе говоря, это переход от односторонней бесконечной последовательности чисел (x 0, x 1, x 2,...), связаны равенствами Tx = {1 / x} с «дважды бесконечной» последовательностью X = (..., x −1, x 0, x 1, x 2,...) числа, которые связаны одинаковыми равенствами для всех –∞ < s < ∞. Of course, such expansion is not unique in the literal meaning of the word (since xs - 1 не определяет однозначно посредством x s), но все статистические свойства расширенной следует единообразны по всей ее длине, т. Е. Инвариантны относительно произвольного сдвига (и x 0 теряет смысл «начального» условий). Последовательность X эквивалентна последовательным числам K = (..., k −1, k 0, k 1, k 2,...), построенный по правилам k s = [1 / x s - 1 ]. И наоборот, каждое число X определяется целыми числами K как бесконечная непрерывная дробь

$xs\; =\; 1\; ks\; +\; 1\; +\; 1\; ks\; +\; 2\; +\dots \; \equiv \; xs\; +\; 1\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{s\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{k\_\; \{s\; +\; 1\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k\_\; \{s\; +\; 2\}\; +\; \backslash \; dots\}\}\}\}\; \backslash \; Equiv\; x\_\; \{s\; +\; 1\}\; ^\; \{+\}\}$

(ур. 79a)

(удобство введения обозначения $xs\; +\; 1\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{s\; +\; 1\}\; ^\; \{+\}\}$со сдвигом индекс на 1 станет ясно в следующем). Для краткости обозначений непрерывная дробь обозначается простым перечислением (в квадратных скобках) ее знаменателей; тогда определение $xs\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{s\}\; ^\; \{+\}\}$можно записать как

$xs\; +\; =\; [ks,\; ks\; +\; 1,\dots ]\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{s\}\; ^\; \{+\}\; =\; \backslash \; left\; [k\_\; \{s\},\; k\_\; \{s\; +\; 1\},\; \backslash \; dots\; \backslash \; right]\}$

(ур. 79b)

Обратные параметры непрерывной дробью с ретроградная (в сторону убывания индексов) последовательность знаменателей

$xs\; -\; =\; [ks\; -\; 1,\; ks\; -\; 2,\dots ]\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{s\}\; ^\; \{-\}\; =\; \backslash \; left\; [k\_\; \{s-1\},\; k\_\; \{s-2\},\; \backslash \; dots\; \backslash \; right]\}$

(ур. 79c)

Рекуррентное соотношение ур. 78 преобразуется путем временного введения обозначения η s = (1 - δ s ) / δ s. Тогда экв. 78 можно переписать как

$\eta \; s\; +\; 1\; =\; 1\; \eta \; sxs\; -\; 1\; +\; ks\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; \_\; \{s\; +\; 1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; eta\; \_\; \{s\}\; x\_\; \{s-1\}\; +\; k\_\; \{s\}\}\}\}$

Итерацией получается бесконечная непрерывная дробь

$\eta \; s\; +\; 1\; xs\; =\; [ks,\; ks\; -\; 1,\dots ]\; =\; xs\; +\; 1\; -\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; eta\; \_\; \{s\; +\; 1\}\; x\_\; \{s\}\; =\; \backslash \; left\; [k\_\; \{s\},\; k\_\; \{s-1\},\; \backslash \; dots\; \backslash \; right]\; =\; x\_\; \{s\; +\; 1\}\; ^\; \{-\}\}$

Следовательно, $\eta \; s\; =\; xs\; -\; /\; xs\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; \_\; \{s\}\; =\; x\_\; \{s\}\; ^\; \{-\}\; /\; x\_\; \{s\}\; ^\; \{+\}\}$и, наконец,

$\delta \; s\; =\; xs\; +\; xs\; +\; +\; xs\; -\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{s\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{s\}\; ^\; \{+\}\}\; \{x\_\; \{s\}\; ^\; \{+\}\; +\; x\_\; \{s\}\; ^\; \{\; -\; \}\}\}\}$

(ур. 79d)

Это выражение для δ s содержит только две (вместо трех) случайных величин $xs\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{s\; \}\; ^\; \{+\; \}\}$и $xs\; -\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{s\}\; ^\; \{-\}\}$, каждый из которых принимает значения в интервале [0, 1].

Из определения ур. 79c что $1\; /\; xs\; -\; =\; xs\; -\; +\; ks\; =\; xs\; -\; +\; [1\; /\; xs\; +]\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; x\_\; \{s\}\; ^\; \{-\}\; =\; x\_\; \{s\}\; ^\; \{\; -\}\; +\; k\_\; \{s\}\; =\; x\_\; \{s\}\; ^\; \{-\}\; +\; \backslash \; left\; [1\; /\; x\_\; \{s\}\; ^\; \{+\}\; \backslash \; right]\}$. Следовательно, сдвиг всей последовательности X на один шаг вправо означает совместное преобразование величин $xs\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{s\}\; ^\; \{+\}\}$и $xs\; -\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{s\}\; ^\; \{-\}\}$согласно

$xs\; +\; 1\; +\; =\; 1\; xs\; +,\; xs\; +\; 1\; -\; =\; 1\; 1\; xs\; +\; +\; xs\; -\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{s\; +1\}\; ^\; \{+\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\_\; \{s\}\; ^\; \{+\}\}\},\; \backslash \; quad\; x\_\; \{s\; +\; 1\}\; ^\; \{-\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{x\_\; \{s\}\; ^\; \{+\}\}\}\; +\; x\_\; \{s\}\; ^\; \{-\}\}\}\}$

(ур. 79e)

Это взаимно-однозначное сопоставление в единичном квадрате. Таким образом, теперь у нас есть преобразование «один-к-одному» двух величин, а не однозначное преобразование Tx = {1 / x} одной величины.

Величины $xs\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{s\}\; ^\; \{+\}\}$и $xs\; -\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{s\}\; ^\; \{-\}\}$имеют совместное стационарное распределение P (x, x). Поскольку экв. 79e является преобразованием один к одному, условие стационарности распределения выражается просто уравнением функции

$P\; (xs\; +,\; xs\; -)\; =\; P\; (xs\; +\; 1\; +,\; хз\; +\; 1\; -)\; J\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; left\; (x\_\; \{s\}\; ^\; \{+\},\; x\_\; \{s\}\; ^\; \{-\}\; \backslash \; right)\; =\; P\; \backslash \; left\; (x\_\; \{s\; +\; 1\}\; ^\; \{+\},\; x\_\; \{s\; +\; 1\}\; ^\; \{-\}\; \backslash \; right)\; J\}$

(ур. 79f)

где J - якобиан преобразования.

Сдвиг последовательности X на один шаг приводит к следующему преобразованию T единичного квадрата:

$x\; \prime \; =\; 1\; x,\; y\; \prime \; =\; 1\; 1\; x\; +\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{\; \backslash \; prime\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\},\; \backslash \; quad\; y\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}\; +\; y\}\}\}$

( с $Икс\; \equiv \; Икс\; 0\; +\; \{\backslash \; Displaystyle\; х\; \backslash \; эквив\; х\_\; \{0\}\; ^\; \{+\}\}$, $у\; \equiv \; х\; 0\; -\; \{\backslash \; Displaystyle\; у\; \backslash \; эквив\; х\_\; \{0\}\; ^\; \{-\}\}$, ср. уравнение 79e ). Плотность P (x, y) определяет инвариантную меру этого преобразования. Естественно предположить, что P (x, y) является симметричной функцией x и y. Это означает, что мера инвариантна относительно преобразования S (x, y) = (y, x) и, следовательно, относительно произведения ST с ST (x, y) = (x ″, y ″) и

$x\; ″\; =\; 1\; 1\; x\; +\; y,\; y\; ″\; =\; 1\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \text{'}\text{'}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}\; +\; y\}\},\; \backslash \; quad\; y\; \text{'}\text{'}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}\}$

Очевидно, ST имеет первый интеграл H = 1 / x + y. На линии H = const ≡ c преобразование имеет вид

$1\; x\; ″\; =\; [1\; x]\; +\; y\; =\; [1\; x]\; +\; c\; -\; 1\; x\; =\; c\; -\; \{1\; x\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{x\; \text{'}\text{'}\}\}\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}\; \backslash \; right]\; +\; y\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}\; \backslash \; right]\; +\; c\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}\; =\; c-\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$

Следовательно, плотность инвариантной меры ST должна иметь вид

$f\; (c)\; dcd\; 1\; Икс\; знак\; равно\; е\; (1\; Икс\; +\; Y)\; 1\; Икс\; 2\; dxdy\; \{\backslash \; Displaystyle\; f\; (c)\; \backslash \; dc\; \backslash \; d\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}\; =\; f\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\; \}\}\; +\; y\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\; ^\; \{2\}\}\}\; dx\; \backslash \; dy\}$

С учетом симметрии P (x, y) = P (y, x) получается f ( c) = c и, следовательно, (после нормализации)

$P\; (xs\; +,\; xs\; -)\; =\; 1\; (1\; +\; x\; +\; x\; -)\; 2\; ln\; \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; left\; (x\_\; \{s\}\; ^\; \{+\},\; x\_\; \{s\}\; ^\; \{-\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; left\; (1\; +\; x\; ^\; \{+\}\; x\; ^\; \{-\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; ln\; 2\}\}\}$

(ур. 79g)

(его интегрирование по x или x дает функцию w (x) ур. 74 ). Редукция преобразования к взаимно однозначному отображению уже использовалась Черноффом и Барроу, и они получили формулу вида ур. 79g, но для других переменных; их статья не содержит приложений к проблемам, рассмотренным в Халатников и др.

Правильность ур. 79g быть проверено также прямым вычислением; якобиан преобразования ур. 79e равно

$J\; =\; \partial \; (xs\; +\; 1\; +,\; xs\; +\; 1\; -)\; \partial \; (xs\; +,\; xs\; -)\; =\; \partial \; xs\; +\; 1\; +\; \partial \; xs\; +\; \partial \; xs\; +\; 1\; -\; \partial \; xs\; -\; знак\; равно\; (xs\; +\; 1\; +\; xs\; +)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; left\; (x\_\; \{s\; +\; 1\}\; ^\; \{+\},\; x\_\; \{s\; +\; 1\}\; ^\; \{-\}\; \backslash \; right)\}\; \{\; \backslash \; partial\; \backslash \; left\; (x\_\; \{s\}\; ^\; \{+\},\; x\_\; \{s\}\; ^\; \{-\}\; \backslash \; right)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{s\; +\; 1\}\; ^\; \{+\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{\; s\}\; ^\; \{+\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{s\; +\; 1\}\; ^\; \{-\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{s\}\; ^\; \{-\}\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{s\; +\; 1\}\; ^\; \{+\}\}\; \{x\_\; \{s\}\; ^\; \{+\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}$

(при его вычислении необходимо учитывать, что $[1\; /\; xs\; +]\; +\; \{1\; /\; xs\; +\}\; =\; 1\; /\; xs\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [1\; /\; x\_\; \{s\}\; ^\; \{+\}\; \backslash \; right]\; +\; \backslash \; left\; \backslash \; \{1\; /\; x\_\; \{s\}\; ^\; \{+\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; =\; 1\; /\; x\_\; \{s\}\; ^\; \{+\}\}$).

Рисунок 5. Функция распределения вероятностей P (δ). Красная линия: точная функция экв. 79h . Синяя линия: приближенное решение интегрального уравнения в. Обе кривые кажутся поразительно похожими, и средние значения обоих распределений равны 0,50.

Поскольку по уравн. 79d δsвыражается в терминах случайных величин x и x, знание их совместного распределения позволяет вычислить статистическое распределение P (δ) путем интегрирования P (x, x) по одной из переменных при постоянной значение δ. Из-за симметрии функции экв. 79g по переменным x и x P (δ) = P (1 - δ), т.е. функция P (δ) симметрична относительно точки δ = 1/2. Тогда

$P\; (\delta )\; d\; \delta \; знак\; равно\; d\; \delta \; \int \; 0\; 1\; P\; (x\; +,\; x\; +\; \delta \; 1\; -\; \delta )\; (\partial \; x\; -\; \partial \; \delta )\; x\; +\; dx\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (\backslash \; delta)\; \backslash \; d\; \backslash \; delta\; =\; d\; \backslash \; delta\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; P\; \backslash \; left\; (x\; ^\; \{+\},\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{+\}\; \backslash \; delta\}\; \{1-\; \backslash \; delta\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{-\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; delta\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{x\; ^\; \{+\}\}\; dx\; ^\; \{+\}\}$

При вычислении этого интеграла (для 0 ≤ δ ≤ 1 / 2, а затем используя вышеупомянутую симметрию), наконец,

$P\; (\delta )\; =\; 1\; (|\; 1-2\; \delta \; |\; +\; 1)\; ln\; \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (\backslash \; delta)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; left\; (|\; 1-2\; \backslash \; delta\; |\; +1\; \backslash \; right)\; \backslash \; ln\; 2\}\}\}$

(ур. 79h)

Среднее значение $\delta \; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; delta\; \}\}\}$= 1/2 уже в результате симметрии функции P (δ). Таким образом, среднее значение начальной (в каждую эпоху) амплитуды колебаний функций α, β, γ увеличивается как Ω / 2.

Статистическая связь между большими временными интервалами Ω и количеством эр s, содержащихся в них, находится путем повторного применения ур. 77 :

$Ом\; (s)\; \Omega \; (0)\; =\; exp\; \; (\sum \; p\; =\; 0\; s\; -\; 1\; \xi \; (p)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Omega\; ^\; \{(s)\}\}\; \{\backslash \; Omega\; ^\; \{(0)\}\}\}\; =\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{p\; =\; 0\}\; ^\; \{s-1\}\; \backslash \; xi\; ^\; \{(p)\}\; \backslash \; right).\}$

(уравнение 80)

Однако прямое усреднение этого уравнения не имеет смысла: из-за медленного убывания функции W (k) экв. 76, средние значения величины exp ξ нестабильны в указанном выше смысле - флуктуации нарастают даже быстрее, чем само среднее значение, с увеличением области усреднения. Эта неустойчивость устраняется логарифмированием: «дважды логарифмический» интервал времени

$\tau \; s\; \equiv \; ln\; \; (\Omega \; (s)\; \Omega \; (0))\; =\; ln\; \; |\; ln\; \; t\; s\; |\; -\; ln\; \; |\; ln\; \; t\; 0\; |\; Знак\; равно\; \sum \; п\; знак\; равно\; 0\; s\; -\; 1\; \xi \; (p)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; тау\; \_\; \{s\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Omega\; ^\; \{(s)\}\}\; \{\backslash \; Omega\; ^\; \{(0)\}\; \}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; ln\; |\; \backslash \; ln\; t\_\; \{s\}\; |\; -\; \backslash \; ln\; |\; \backslash \; ln\; t\_\; \{0\}\; |\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{p\; =\; 0\}\; ^\; \{s-1\}\; \backslash \; xi\; ^\; \{(p)\}\; \}$

(ур. 81)

выражается суммой величин ξ, которые имеют стабильное статистическое распределение. Среднее значение τ равно $\tau \; ¯\; =\; s\; \xi \; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; tau\}\}\; =\; s\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; xi\}\}\}$. Чтобы вычислить $\xi \; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; xi\}\}\}$, обратите внимание, что ур. 77 можно переписать как

$\xi \; s\; =\; ln\; \; (ks\; +\; xs)\; \delta \; sxs\; (1\; -\; \delta \; s\; +\; 1)\; =\; ln\; \; \delta \; sxsxs\; -\; 1\; (1\; -\; \delta \; s\; +\; 1)\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; \backslash \; xi\; \_\; \{s\}\; =\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (k\_\; \{s\}\; +\; x\_\; \{s\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; delta\; \_\; \{s\}\}\; \{x\_\; \{s\}\; \backslash \; left\; (1-\; \backslash \; delta\; \_\; \{s\; +\; 1\}\; \backslash \; right)\}\}\; =\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; delta\; \_\; \{s\}\}\; \{x\_\; \{s\}\; x\_\; \{s-1\}\; \backslash \; left\; (1-\; \backslash \; delta\; \_\; \{s\; +\; 1\}\; \backslash \; right)\}\}\}$

(уравнение 81a)

Для стационарного распределения $ln\; \; xs\; ¯\; =\; ln\; \; xs\; -\; 1\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; ln\; x\_\; \{s\}\}\}\; =\; \{\; \backslash \; overline\; \{\backslash \; ln\; x\_\; \{s-1\}\}\}\}$, и в силу симметрии функции P (δ) также $ln\; \; \delta \; s\; ¯\; =\; ln\; \; (\delta \; s\; +\; 1)\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; ln\; \backslash \; delta\; \_\; \{s\}\}\}\; =\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\backslash \; delta\; \_\; \{s\; +\; 1\}\; \backslash \; right)\}\}\}$. Следовательно,

$\xi \; ¯\; =\; -\; 2\; ln\; \; x\; ¯\; =\; -\; 2\; \int \; 0\; 1\; w\; (x)\; ln\; \; xdx\; =\; \pi \; 2\; 6\; ln\; \; 2\; =\; 2,37\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; xi\}\}\; =\; -\; 2\; \{\; \backslash \; overline\; \{\backslash \; ln\; x\}\}\; =\; -\; 2\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; w\; (x)\; \backslash \; ln\; x\; \backslash \; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; ^\; \{2\}\}\; \{6\; \backslash \; ln\; 2\}\}\; =\; 2.37\}$

(w (x) из ур. 74 ). Таким образом,

$\tau \; s\; ¯\; =\; 2,37\; с,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; tau\; \_\; \{s\}\}\}\; =\; 2,37\; с,\}$

(уравнение 82)

, которое определяет среднее дважды логарифмическое время интервал, содержащий s последовательных эпох.

Для больших s количество членов в сумме ур. 81 большой и согласно общим теоремам эргодической теории значения τ s распределены вокруг $\tau \; s\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; tau\; \_\; \{s\; \}\}\}\}$согласно закону Гаусса с плотностью

$\rho \; (\tau \; s)\; =\; (2\; \pi \; D\; \tau )\; -\; 1/2\; exp\; \; [-\; (\tau \; s\; -\; \tau \; s\; ¯)\; 2/2\; D\; \tau ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; (\backslash \; tau\; \_\; \{s\})\; =\; \backslash \; left\; (2\; \backslash \; pi\; D\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1/2\}\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; [-\; \backslash \; left\; (\backslash \; tau\; \_\; \{s\}\; -\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; tau\; \_\; \{s\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; /\; 2D\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; \backslash \; right]\}$

(уравнение 82a)

Вычисление дисперсии D τ сложнее, поскольку не только знание $\xi \; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; xi\}\}\}\}$и $\xi \; 2\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; xi\; ^\; \{2\}\}\}\}$необходимы, но также необходимы корреляции $\xi \; p\; \xi \; p\; \prime \; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; xi\; \_\; \{p\}\; \backslash \; xi\; \_\; \{p\; \backslash \; prime\}\}\}\}$. Расчет можно упростить, переставив члены в сумме экв. 81 . Используя экв. 81a сумму можно переписать как

$\sum \; p\; =\; 1\; s\; \xi \; p\; =\; ln\; \; \prod \; p\; =\; 1\; s\; \delta \; p\; (1\; -\; \delta \; p\; +\; 1)\; xpxp\; -\; 1\; =\; ln\; \; \prod \; p\; =\; 1\; s\; \delta \; п\; (1\; -\; \delta \; p)\; xp\; -\; 1\; 2\; +\; пер\; \; x\; 0\; xs\; +\; ln\; \; 1\; -\; \delta \; 1\; 1\; -\; \delta \; s\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{p\; =\; 1\}\; ^\; \{s\}\; \backslash \; xi\; \_\; \{\; p\}\; =\; \backslash \; ln\; \backslash \; prod\; \_\; \{p\; =\; 1\}\; ^\; \{s\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; delta\; \_\; \{p\}\}\; \{\backslash \; left\; (1-\; \backslash \; delta\; \_\; \{p\; +\; 1\}\; \backslash \; right)\; x\_\; \{p\}\; x\_\; \{p-1\}\}\}\; =\; \backslash \; ln\; \backslash \; prod\; \_\; \{p\; =\; 1\}\; ^\; \{s\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; delta\; \_\; \{p\}\}\; \{\backslash \; left\; (1-\; \backslash \; delta\; \_\; \{p\}\; \backslash \; right)\; x\_\; \{\; p-1\}\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{0\}\}\; \{x\_\; \{s\}\}\}\; +\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; frac\; \{1-\; \backslash \; delta\; \_\; \{1\}\}\; \{1-\; \backslash \; delta\; \_\; \{s\; +\; 1\}\}\}\}$

Последние два члена не увеличиваются с сегодняшнего дня s; эти слагаемые можно опустить, поскольку превалируют предельные законы для больших s. Тогда

$\sum \; п\; знак\; равно\; 1\; s\; \xi \; п\; знак\; равно\; \sum \; п\; знак\; равно\; 1\; s\; пер\; \; хр\; -\; хр\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{p\; =\; 1\}\; ^\; \{s\}\; \backslash \; xi\; \_\; \{p\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{p\; =\; 1\}\; ^\; \{s\}\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{p\}\; ^\; \{-\}\}\; \{x\_\; \{p\}\; ^\; \{+\}\}\}\}$

(уравнение 82b)

(выражение уравнение 79d для δ p учитывается). S равенство

$\sum \; p\; =\; 1\; s\; \xi \; p\; +\; =\; \sum \; p\; =\; 1\; s\; \xi \; p\; -\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{p\; =\; 1\}\; ^\; \{s\}\; \backslash \; xi\; \_\; \{p\}\; ^\; \{+\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{p\; =\; 1\}\; ^\; \{s\}\; \backslash \; xi\; \_\; \{p\}\; ^\; \{-\}\}$

(уравнение 82c)

является действительным. Действительно, в силу экв. 79e

$xp\; +\; 1\; +\; +\; 1\; xp\; +\; 1\; -\; =\; 1\; xp\; +\; +\; xp\; -\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{p\; +\; 1\}\; ^\; \{+\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\_\; \{p\; +\; 1\}\; ^\; \{\; -\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\_\; \{p\}\; ^\; \{+\}\}\}\; +\; x\_\; \{p\}\; ^\; \{-\}\}$

и, следовательно,

$ln\; \; (1\; +\; xp\; +\; 1\; +\; xp\; +\; 1\; -)\; -\; пер\; xp\; +\; 1\; -\; =\; пер\; \; (1\; +\; xp\; +\; xp\; -)\; -\; пер\; \; xp\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (1\; +\; x\_\; \{p\; +\; 1\}\; ^\; \{+\}\; x\_\; \{\; p\; +1\}\; ^\; \{-\}\; \backslash \; right)\; -\; \backslash \; ln\; x\_\; \{p\; +\; 1\}\; ^\; \{-\}\; =\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (1\; +\; x\_\; \{p\}\; ^\; \{+\}\; x\_\; \{p\}\; ^\; \{-\}\; \backslash \; right)\; -\; \backslash \; ln\; x\_\; \{p\}\; ^\; \{+\}\}$

Суммируя это тождество по p ур. 82c получается. Наконец, снова с той же точностью $xp\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{p\}\; ^\; \{+\}\}$заменяется на x p под знаком суммы и, таким образом, представляет τ s как

$\tau \; s\; =\; \sum \; p\; =\; 1\; \infty \; \eta \; p,\; \eta \; p\; =\; -\; 2\; ln\; \; xp\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; \_\; \{s\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{p\; =\; 1\}\; ^\; \{\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{p\},\; \backslash \; quad\; \backslash \; eta\; \_\; \{p\}\; =\; -\; 2\; \backslash \; ln\; x\_\; \{p\}\}$

(уравнение 83)

Дисперсия этой суммы в пределе большого s составляет

$D\; \tau \; s\; знак\; равно\; (\tau \; s\; -\; \tau \; s\; ¯)\; 2\; ¯\; \approx \; s\; \{\eta \; 2\; ¯\; -\; \eta \; ¯\; 2\; +\; 2\; \sum \; p\; =\; 1\; \infty \; (\eta \; 0\; \eta \; p\; ¯\; -\; \eta \; ¯\; 2)\}\; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\; \{\{\backslash \; tau\}\; \_\; \{s\}\}\; =\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; left\; (\backslash \; tau\; \_\; \{s\}\; -\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; tau\; \_\; \{s\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; s\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; eta\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; eta\}\}\; ^\; \{2\}\; +2\; \backslash \; sum\; \_\; \{p\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; overline\; \{\backslash \; eta\; \_\; \{0\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{p\}\}\}\; -\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; eta\}\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$

(ур. 84)

Учтено, что в в силу статистической однородности последовательности X корреляции $\eta \; p\; \eta \; p\; \prime \; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; eta\; \_\; \{p\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{p\; \backslash \; prime\}\}\}\}$зависят только от разностей | p - p ′ |. Среднее значение $\eta \; ¯\; =\; \xi \; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; eta\}\}\; =\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; xi\}\}\}$; средний квадрат

$\eta \; 2\; ¯\; =\; 4\; \int \; 0\; 1\; w\; (x)\; ln\; 2\; \; xdx\; =\; 6\; \xi \; (3)\; ln\; \; 2\; =\; 10,40\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; eta\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; 4\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; w\; (x)\; \backslash \; ln\; ^\; \{2\}\; x\; \backslash \; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{6\; \backslash \; xi\; (3)\}\; \{\backslash \; ln\; 2\}\}\; =\; 10.40\}$

С учетом учитывать также значения корреляций $\eta \; 0\; \eta \; p\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; eta\; \_\; \{0\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{p\}\}\}\}$с p = 1, 2, 3 (рассчитано численно) получается окончательный результат D τs= (3,5 ± 0,1) с.

При увеличении s относительная флуктуация $D\; \tau \; s\; /\; \tau \; s\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \_\; \{\{\backslash \; tau\}\; \_\; \{s\}\}\; /\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; tau\; \_\; \{s\}\}\}\}$стремится к нулю как s. Другими словами, статистическое отношение ур. 82 становится почти определенным при больших s. Это позволяет инвертировать отношение, т. Е. Представить его как зависимость среднего числа эпох s τ, которые меняются местами в заданном интервале двойного логарифмического времени:

$s\; \tau \; ¯\; =\; 0,47\; \tau .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{s\; \_\; \{\backslash \; tau\}\}\}\; =\; 0,47\; \backslash \; tau.\}$

(ур. 85)

Статистическое распределение точных значений s τ вокруг среднего гауссовский с дисперсией

$D\; s\; \tau \; =\; 3,5\; s\; \tau \; ¯\; 3\; \tau \; 2\; =\; 0,26\; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\; \{s\; \_\; \{\backslash \; tau\}\}\; =\; 3,5\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; overline\; \{s\; \_\; \{\; \backslash \; tau\}\}\}\; ^\; \{3\}\}\; \{\backslash \; tau\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; 0,26\; \backslash \; tau\}$

Соответствующее статистическое распределение дается тем же распределением Гаусса, в котором случайная величина теперь s τ при заданном τ:

$\rho \; (s\; \tau )\; \propto \; exp\; \; \{-\; (s\; \tau \; -\; 0,47\; \tau )\; 2\; /\; 0,43\; \tau \}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; (s\; \_\; \{\backslash \; tau\})\; \backslash \; propto\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; \backslash \; \{-\; \backslash \; left\; (s\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; -0,47\; \backslash \; tau\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; /\; 0,43\; \backslash \; tau\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

(уравнение 86)

С этой точки зрения наблюденного поведения являетсяволу в выборе начальной точки интервала τ, наложенного на бесконечную последовательность чередующихся эпох.

В зависимости от плотности вещества экв. 79 можно переписать с учетом ур. 80 в виде

$ln\; \; ln\; \; \epsilon \; (s\; +\; 1)\; \epsilon \; (s)\; =\; \eta \; s\; +\; \sum \; p\; =\; 0\; s\; -\; 1\; \xi \; p,\; \eta \; s\; =\; ln\; \; [2\; \delta \; (s)\; (К\; (s)\; +\; Икс\; (s)\; -\; 1)\; \Omega \; (0)]\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; ln\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; varepsilon\; ^\; \{(s\; +\; 1)\}\}\; \{\backslash \; varepsilon\; ^\; \{(s)\}\; \}\}\; =\; \backslash \; eta\; \_\; \{s\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{p\; =\; 0\}\; ^\; \{s-1\}\; \backslash \; xi\; \_\; \{p\},\; \backslash \; quad\; \backslash \; eta\; \_\; \{s\}\; =\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; [2\; \backslash \; delta\; ^\; \{\; (s)\}\; \backslash \; left\; (k\; ^\; \{(s)\}\; +\; x\; ^\; \{(s)\}\; -\; 1\; \backslash \; right)\; \backslash \; Omega\; ^\; \{(0)\}\; \backslash \; right]\}$

а для полного изменения энергии в течение s эпоха,

$ln\; \; ln\; \; \epsilon \; (s)\; \epsilon \; (0)\; =\; ln\; \; \sum \; p\; =\; 0\; s\; -\; 1\; exp\; \; \{\sum \; q\; =\; 0\; p\; \xi \; q\; +\; \eta \; p\}.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; ln\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; varepsilon\; ^\; \{(s)\}\}\; \{\backslash \; varepsilon\; ^\; \{(0)\}\}\}\; =\; \backslash \; ln\; \backslash \; sum\; \_\; \{p\; =\; 0\}\; ^\; \{s-1\}\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; sum\; \_\; \{q\; =\; 0\}\; ^\; \{p\}\; \backslash \; xi\; \_\; \{q\}\; +\; \backslash \; eta\; \_\; \{p\}\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

(ур. 87)

Член с sum by p дает основной вклад в это выражение, поскольку содержит показатель степени с большая степенью. Оставляя только этот член и усредняя экв. 87, в правой части получается выражение $s\; \xi \; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; xi\}\}\}$, которое совпадает с экв. 82 ; все остальные члены в сумме (также члены η s в своей степени) приводят только к поправкам относительного порядка 1 / с. Следовательно,

$ln\; \; ln\; \; (\epsilon \; (s)\; \epsilon \; (0))\; ¯\; =\; ln\; \; (\Omega \; (s)\; \Omega \; (0))\; ¯.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; ln\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; varepsilon\; ^\; \{(s)\}\}\; \{\backslash \; varepsilon\; ^\; \{(0)\}\}\}\; \backslash \; right)\}\}\; =\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Omega\; ^\; \{(s)\}\}\; \{\backslash \; Omega\; ^\; \{(0)\}\}\}\; \backslash \; right)\}\}.\}$

(ур. 88)

В силу почти определенного характера связи между τ s и s экв. 88 можно записать как

$ln\; \; ln\; \; (\epsilon \; \tau \; /\; \epsilon \; (0))\; ¯\; =\; \tau \; или\; ln\; \; ln\; \; (\epsilon \; (s)\; /\; \epsilon \; (0))\; ¯\; =\; 2,1\; с.,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; ln\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\backslash \; varepsilon\; \_\; \{\backslash \; tau\}\; /\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{(0)\}\; \backslash \; right)\}\}\; =\; \backslash \; tau\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{или\}\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; ln\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\backslash \; varepsilon\; ^\; \{(s)\}\; /\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{(0)\}\; \backslash \; right)\}\}\; =\; 2,1\; с,\}$

определить двойное значение логарифма увеличения плотности, усредненное по заданным двойным логарифмическим временным интервалам или по заданному количеству эр s.

Эти устойчивые статистические зависимости существуют для дважды логарифмических интервалов времени и увеличения плотности. Для других характеристик, например ln (ε / ε) или Ω / Ω = exp τ s, относительная флуктуация экспоненциально возрастает с ухудшением диапазона усреднения, тем самым теряя устойчивое значение термина «среднее значение».

Источник статистической связи ур. 88 можно проследить уже из первоначального изменения плотности в отдельных казнеровских эпохи. Согласно ур. 21, на протяжении всей эволюции мы имеем

$ln\; \; ln\; \; \epsilon \; (t)\; =\; const\; +\; ln\; \; \Omega \; +\; ln\; \; 2\; (1\; -\; p\; 3\; (t)),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; \backslash \; ln\; \backslash \; varepsilon\; (t)\; =\; \{\backslash \; text\; \{const\}\}\; +\; \backslash \; ln\; \backslash \; Omega\; +\; \backslash \; ln\; 2\; (1-p\_\; \{3\}\; (t)),\}$

с 1 - p 3 (t) меняется от эпохи к эпохе, пробегая значения в интервале от 0 до 1. Член ln Ω = ln ln (1 / t) монотонно возрастает; с другой стороны, член ln2 (1 - p 3) может принимать большие значения (сравнимые с ln Ω) только тогда, когда появляются значения p 3, очень близкие к единице (т. е. очень маленький | p 1 |). Это как раз «опасные» случаи, которые нарушают регулярный ход эволюции, выраженные повторяющиеся отношениями ур. 77 –экв. 79 .

Осталось показать, что таких случаев в асимптотическом предельном режиме на самом деле не возникает. Самопроизвольная эволюция модели начинается в конкретный момент, когда произвольным образом задаются начальные условия. Соответственно, под «асимптотическим» режимом, достаточно удаленный от выбранного начального момента.

Опасными являются случаи, когда в конце эры появляются слишком малые значения параметров u = x (и, следовательно, | p 1 | ≈ x). Критерием отбора таких случаев является неравенство

$x\; (s)\; exp\; \; |\; \alpha \; (s)\; |\; \lesssim \; 1,\; \{\backslash \; Displaystyle\; х\; ^\; \{(s)\}\; \backslash \; ехр\; \backslash \; влево\; |\; \backslash \; alpha\; ^\; \{(s)\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; lesssim\; 1,\}$

(ур. 89)

где | α | - начальная глубина минимума функций, которые осциллируют в эпоху (было бы более подходящим выбрать конечную амплитуду, но это только усилитель бы критерия выбора).

Значение x в первой эре определяет начальные условия. Опасными являются значения в интервале δx ~ exp (- | α |), а также в интервалах, которые могут привести к опасным случаям в следующих эпохах. Чтобы x попадал в опасный интервал δx ~ exp (- | α |), начальное значение x должно лежать в интервале шириной δx ~ δx / k... k. Следовательно, из одного интервала всех случаев появятся в частях этого интервала:

$\lambda \; =\; exp\; \; (|\; -\; \alpha \; (s)\; |)\; +\; \sum \; s\; =\; 1\; \infty \; \sum \; k\; exp\; \; (|\; -\; \alpha \; (s)\; |)\; К\; (\; 1)\; 2\; К\; (2)\; 2\dots \; К\; (s)\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; лямбда\; =\; \backslash \; ехр\; \backslash \; влево\; (\backslash \; влево\; |\; -\; \backslash \; альфа\; ^\; \{(s)\}\; \backslash \; вправо\; |\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{s\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; |\; -\; \backslash \; alpha\; ^\; \{(s)\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; right)\}\; \{k\; ^\; \{(1)\; ^\; \{\; 2\}\}\; k\; ^\; \{(2)\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \; dots\; k\; ^\; \{(s)\; ^\; \{2\}\}\}\}\}$

(уравнение 90)

(внутренняя сумма берется по всем значениям k, k,..., k от 1 до ∞). Легко показать, что эта эпоха сходится к значению λ $\ll \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ll\}$1, порядок значений которого определяется первым членом в ур. 90 . Это может быть установлено сильным преобладанием эпохи, которое заменяется | α | = (s + 1) | α | независимо от длины стилей k, k,... (На самом деле | α | увеличиваются быстрее; k = k =... = 1 значения | α | увеличиваются по мере того, как q | α | с q>1.) отмеченная, что

$\sum \; k\; 1\; k\; (1)\; 2\; k\; (2)\; 2\dots \; k\; (s)\; 2\; =\; (\pi \; 2/6)\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k\; ^\; \{(1)\; ^\; \{2\}\}\; k\; ^\; \{(2)\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \; dots\; k\; ^\; \{(s)\; ^\; \{2\}\}\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; /\; 6\; \backslash \; right)\; ^\; \{s\}\}$

получаем

$\lambda \; =\; exp\; \; (|\; -\; \alpha \; (0)\; |)\; \sum \; s\; =\; 0\; \infty \; [(\pi \; 2/6)\; exp\; exp\; (|\; -\; \alpha \; (0)\; |)]\; s\; \approx \; ехр\; \; (|\; -\; \alpha \; (0)\; |).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; =\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; |\; -\; \backslash \; alpha\; ^\; \{(0)\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; right)\; \backslash \; sum\; \_\; \{s\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; /\; 6\; \backslash \; right)\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; |\; -\; \backslash \; alpha\; ^\; \{(0)\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; ^\; \{s\}\; \backslash \; приблизительно\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; |\; -\; \backslash \; alpha\; ^\; \{(0)\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; right).\}$

Если начальное значение x лежит за пределами опасной области λ, опасных случаев не будет. Если он находится внутри этой области, существует опасные случаи, но по их завершению возобновляет «регулярную» с новым начальным периодом, которое лишь изредка (с вероятностью λ) может попадать в опасный интервал. Повторяются опасные случаи с вероятностями λ, λ,..., асимптотически сходящимися к нулю.

В указанных моделях эволюция метрики вблизи сингулярности изучается на примере метрики однородного пространства. Аналитическое построение решений для форм типа выдавать отдельно для каждой из основных составляющих эволюции: для перехода между эпохами, вызванного "возмущения", для длинных эпох, когда одновременно два два возмущения. В эпоху Каснера (т.е. при возмущениях) метрика задается формулой ур. 7 без условий λ = 0.

BKL также разработал модель, не зависящую от Распределение материи (однородную или неоднородную) для долгой эпохи с небольшими колебаниями. 869>

Однако удобно построить общее решение в системе координат, несколько отличной от синхронной ссылки frame: g 0α = 0, как в синх ронном кадре, но вместо g 00 = 1 теперь g 00 = -g 33. Снова определяя пространственный метрический тензор γ αβ = −g αβ, мы имеем, следовательно,

$g\; 00\; =\; \gamma \; 33,\; g\; 0\; \alpha \; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{00\; \}\; =\; \backslash \; gamma\; \_\; \{33\},\; \backslash \; quad\; g\_\; \{0\; \backslash \; alpha\}\; =\; 0.\}$

(уравнение 91)

Специальная пространственная координата записывается как x = z, а временная координата записывается как x = ξ (в отличие от собственного времени t); будет показано, что ξ соответствует той же модели, которая соответствует однородным моделям. Дифференцирование по ξ и z обозначает точку и штрихом соответственно. Латинские индексы a, b, c принимают значения 1, 2, пространственным координатам x, x, которые также будут записываться как x, y. Следовательно, метрика равна

$d\; s\; 2\; =\; \gamma \; 33\; (d\; \xi \; 2\; -\; d\; z\; 2)\; -\; \gamma \; a\; b\; d\; x\; a\; d\; x\; b\; -\; 2\; \gamma \; a\; 3\; d\; x\; a\; d\; z.\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; gamma\; \_\; \{33\}\; \backslash \; left\; (d\; \backslash \; xi\; ^\; \{2\}\; -dz\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; -\; \backslash \; gamma\; \_\; \{ab\}\; dx\; ^\; \{a\}\; dx\; ^\; \{b\; \}\; -2\; \backslash \; gamma\; \_\; \{a3\}\; dx\; ^\; \{a\}\; dz.\}$

(ур. 92)

Требуемое решение должно удовлетворять неравенствам

$\gamma \; 33\; \ll \; \gamma \; ab,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{33\; \}\; \backslash \; ll\; \backslash \; gamma\; \_\; \{ab\},\}$

(ур. 93)

$\gamma \; a\; 3\; 2\; \ll \; \gamma \; aa\; \gamma \; 33\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{a3\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; ll\; \backslash \; gamma\; \_\; \{\; aa\}\; \backslash \; gamma\; \_\; \{33\}\}$

(ур. 94)

(эти условия определяют, что одна из функций a, b, c мала по сравнению с двумя другими, что также имело место с однородным модели).

Неравенство ур. 94 означает, что компоненты γ a3 малы в том смысле, что при любом сдвигове сдвигов dx и dz элементы с произведениями dxdz могут быть опущены в квадрате элемента пространственной длины dl. Следовательно, первое приближение к решению - это метрическое уравнение. 92 с γ a3 = 0:

$d\; s\; 2\; =\; \gamma \; 33\; (d\; \xi \; 2\; -\; d\; z\; 2)\; -\; \gamma \; a\; b\; d\; x\; a\; d\; x\; b.\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; gamma\; \_\; \{33\}\; \backslash \; left\; (d\; \backslash \; xi\; ^\; \{2\}\; -dz\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; -\; \backslash \; gamma\; \_\; \{ab\}\; dx\; ^\; \{a\}\; dx\; ^\; \{b\; \}.\}$

(уравнение 95)

В этом легко убедиться, вычислив компоненты тензора Риччи $R\; 0\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{0\}\; ^\; \{0\}\}$, $R\; 3\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{3\}\; ^\; \{0\}\}$, $R\; 3\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{3\}\; ^\; \{3\}\}$, $R\; ab\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\}$с использование метрики экв. 95 и условие ур. 93 <2>видно, что все члены, основные производные по координатам x, малы по членам с производными по ξ и z (их отношение составляет ~ γ 33 / γ ab). Другими словами, чтобы получить уравнения основного приближения, γ 33 и γ ab в ур. 95 следует различать, как если бы они не зависели от x. Обозначая

$\gamma \; 33\; =\; e\; \psi ,\; \gamma \; \dot{}\; a\; b\; =\; \varkappa \; a\; b,\; \gamma \; a\; b\; \prime \; =\; \lambda \; a\; b,\; |\; \gamma \; a\; b\; |\; Знак\; равно\; G\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{33\}\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; psi\},\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; gamma\}\}\; \_\; \{ab\}\; =\; \backslash \; varkappa\; \_\; \{ab\},\; \backslash \; quad\; \backslash \; gamma\; \_\; \{\; ab\}\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{ab\},\; \backslash \; quad\; |\; \backslash \; gamma\; \_\; \{ab\}\; |\; =\; G\; ^\; \{2\},\}$

(уравнение 96)

получаем следующие уравнения:

$2\; е\; \psi \; R\; ab\; знак\; равно\; G\; -\; 1\; (G\; \lambda \; ab)\; \prime \; -\; G\; -\; 1\; (G\; \varkappa \; ab)\; \dot{}\; знак\; равно\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; 2e\; ^\; \{\backslash \; psi\}\; R\_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; =\; G\; ^\; \{-1\}\; \backslash \; left\; (G\; \backslash \; lambda\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; prime\; \}\; -G\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; left\; (G\; \backslash \; varkappa\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; dot\; \{\}\}\; =\; 0,\}$

(уравнение 97)

$2\; e\; \psi \; R\; 3\; 0\; Знак\; равно\; 1\; 2\; \varkappa \; \psi \; \prime \; +\; 1\; 2\; \lambda \; \psi \; \dot{}\; -\; \varkappa \; \prime \; -\; 1\; 2\; \varkappa \; ab\; \lambda \; ba\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; 2e\; ^\; \{\backslash \; psi\}\; R\_\; \{3\}\; ^\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{2\}\}\; \backslash \; varkappa\; \backslash \; psi\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; lambda\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; psi\}\}\; -\; \backslash \; varkappa\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; varkappa\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{b\}\; ^\; \{a\}\; =\; 0,\}$

(уравнение 98)

$2\; e\; \psi \; (R\; 0\; 0\; -\; R\; 3\; 3)\; знак\; равно\; \lambda \; \psi \; \prime \; +\; \varkappa \; \psi \; \dot{}\; -\; \varkappa \; \dot{}\; -\; \lambda \; \prime \; -\; 1\; 2\; \varkappa \; ab\; \varkappa \; ba\; -\; 1\; 2\; \lambda \; ab\; \lambda \; ba\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; 2e\; ^\; \{\backslash \; psi\}\; (R\_\; \{0\}\; ^\; \{0\}\; -\; R\_\; \{3\}\; ^\; \{3\})\; =\; \backslash \; lambda\; \backslash \; psi\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; +\; \backslash \; varkappa\; \{\backslash \; точка\; \{\backslash \; psi\}\}\; -\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; varkappa\}\}\; -\; \backslash \; lambda\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; -\; \{\backslash \; гидроразрыв\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; varkappa\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \backslash \; varkappa\; \_\; \{b\}\; ^\; \{а\}\; -\; \{\backslash \; fr\; ac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{b\}\; ^\; \{a\}\; =\; 0.\}$

(ур. 99)

Повышение и понижение индекса здесь осуществляется с помощью γ ab. Величины $\varkappa \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varkappa\}$и λ - это сокращения $\varkappa \; aa\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varkappa\; \_\; \{a\}\; ^\; \{a\}\}$и $\lambda \; aa\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{a\}\; ^\; \{a\}\}$, где

$\varkappa \; =\; 2\; G\; \dot{}\; /\; G,\; \lambda \; =\; 2\; G\; \text{'}/\; G.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varkappa\; =\; 2\; \{\backslash \; dot\; \{G\}\}\; /\; G,\; \backslash \; quad\; \backslash \; lambda\; =\; 2G\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; /\; G.\}$

(ур. 100)

Что касается компонентов тензора Риччи $R\; a\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{a\}\; ^\; \{0\}\}$, $R\; a\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{a\}\; ^\; \{3\}\}$, при этом вычислении они равны нулю. В следующем приближении (т.е. с учетом малого γ a3 и производных по x, y) они определяют γ a3 по уже известному γ 33 и γ ab.

сжатие экв. 97 дает $G\; \prime \; \prime \; +\; G\; ¨\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; ^\; \{\backslash \; prime\; \backslash \; prime\}\; +\; \{\backslash \; ddot\; \{G\}\}\; =\; 0\}$, и, Следовательно,

$G\; =\; f\; 1\; (x,\; y,\; \xi \; +\; z)\; +\; f\; 2\; (x,\; y,\; \xi \; -\; z).\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; =\; f\_\; \{1\}\; (x,\; y,\; \backslash \; xi\; +\; z)\; +\; f\_\; \{2\}\; (x,\; y,\; \backslash \; xi\; -z).\}$

(ур. 101)

Различные случаи возможно в зависимости от модели G. В приведенном выше случае g = γ $\gg \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gg\}$γ и $N\; \approx \; g\; 00\; (G\; \dot{})\; 2\; -\; \gamma \; 33\; (G\; \prime )\; 2\; =\; 4\; \gamma \; 33\; е\; \dot{}\; 1\; е\; \dot{}\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; N\; \backslash \; приблизительно\; g\; ^\; \{00\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; dot\; \{G\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; gamma\; ^\; \{33\}\; \backslash \; left\; (G\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; \backslash \; справа)\; ^\; \{2\}\; =\; 4\; \backslash \; gamma\; ^\; \{33\}\; \{\backslash \; dot\; \{f\}\}\; \_\; \{1\}\; \{\backslash \; dot\; \{f\}\}\; \_\; \{2\}\}$. Случай N>0 (величина N временная) приводит к интересующим временным особенностям. Подставляя в ур. 101 f1= 1/2 (ξ + z) sin y, f 2 = 1/2 (ξ - z) sin y приводит к G типа

$G\; =\; \xi \; sin\; \; y.\; \{\backslash \; Displaystyle\; G\; =\; \backslash \; xi\; \backslash \; грех\; у.\; \backslash ,\}$

(ур. 102)

Этот выбор не умаляет общности выводов; можно показать, что общность возможна (в первом приближении) именно за счет оставшихся допустимых преобразований. При N < 0 (quantity N is space-like) one can substitute G = z which generalizes the well-known метрика Эйнштейна - Розена. При N = 0 мы приходим к волновой метрике Робинсона - Бонди, которая зависит только от ξ + z или только от ξ - z (см.). Коэффициент sin y в ур. 102 ставится для удобного сравнения с однородными моделями. Принимая во внимание ур. 102, уравнения ур. 97 – экв. 99 стать

$\varkappa \; \dot{}\; ab\; +\; \xi \; -\; 1\; \varkappa \; ab\; -\; \lambda \; ab\; \prime \; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; varkappa\}\}\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; +\; \backslash \; xi\; ^\; \{-1\}\; \backslash \; varkappa\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; -\; \{\backslash \; lambda\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\}\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; =\; 0,\}$

(уравнение 103)

$\psi \; \dot{}\; =\; -\; \xi \; -\; 1\; +\; 1\; 4\; \xi \; (\varkappa \; ab\; \varkappa \; ba\; +\; \lambda \; ab\; \lambda \; ba).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; psi\}\}\; =\; -\; \backslash \; xi\; ^\; \{-\; 1\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; xi\; \backslash \; left\; (\backslash \; varkappa\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \backslash \; varkappa\; \_\; \{\; b\}\; ^\; \{a\}\; +\; \backslash \; lambda\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{b\}\; ^\; \{a\}\; \backslash \; right).\}$

(ур. 104)

$\psi \; \prime \; =\; 1\; 2\; \xi \; ab\; \lambda \; ba.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; xi\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{b\}\; ^\; \{a\}.\}$

(ур. 105)

Основные уравнения: экв. 103 определение компонентов γ ab ; тогда функция ψ является простым интегрированием ур. 104 –экв. 105 .

Переменная ξ пробегает значения от 0 до ∞. Решение ур. 103 на двух границах: ξ $\gg \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gg\}$1 и $\ll \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ll\}$1. При больших значениях ξ можно искать решение, которое принимает форму разложения 1 / √ξ:

$\gamma \; ab\; =\; \xi \; [aab\; (x,\; y,\; z)\; +\; O\; (1\; /\; \xi )],\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{ab\; \}\; =\; \backslash \; xi\; \backslash \; left\; [a\_\; \{ab\}\; (x,\; y,\; z)\; +\; O\; (1\; /\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; xi\}\})\; \backslash \; right],\}$

(ур. 106)

, при этом

$|\; а\; а\; б\; |\; Знак\; равно\; 2\; \; Y\; \{\backslash \; Displaystyle\; |\; a\_\; \{ab\}\; |\; =\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; y\; \backslash ,\}$

(уравнение 107)

(уравнение 107 необходимо, чтобы условие 102 было истинным). Подставляя экв. 103 в ур. 106, получаем в первом порядке

$(aac\; \prime \; abc)\; \prime \; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; left\; (\{a\; ^\; \{ac\}\}\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; a\_\; \{bc\}\; \backslash \; справа)\; \}\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; =\; 0,\}$

(ур. 108)

где величина составляет матрицу, обратную матрице a ac. Решение ур. 108 имеет вид

$aab\; =\; lalbe\; -\; 2\; \rho \; z\; +\; mambe\; 2\; \rho \; z,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{ab\}\; =\; l\_\; \{a\}\; l\_\; \{b\}\; e\; ^\; \{-\; 2\; \backslash \; rho\; z\}\; +\; m\_\; \{a\}\; m\_\; \{b\}\; e\; ^\; \{2\; \backslash \; rho\; z\},\}$

(уравнение 109)

$l\; 1\; m\; 2\; +\; l\; 2\; m\; 1\; =\; грех\; \; y,\; \{\backslash \; displaystyle\; l\_\; \{1\}\; m\_\; \{2\}\; +\; l\_\; \{2\}\; m\_\; \{1\}\; =\; \backslash \; sin\; y,\}$

(ур. 110)

где l a, m a, ρ, - произвольные функции координат x, y, связанные условием ур. 110 получено из ур. 107 .

Чтобы найти высшие члены этого разложения, удобно записать матрицу искомых величин γ ab в

$\gamma \; ab\; =\; \xi \; (L\; ~\; e\; HL)\; ab,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{ab\}\; =\; \backslash \; xi\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tilde\; \{L\}\}\; e\; ^\; \{H\}\; L\; \backslash \; right)\; \_\; \{ab\},\}$

(ур. 111)

$L\; =\; [l\; 1\; e\; -\; \rho \; zl\; 2\; e\; -\; \rho \; zm\; 1\; e\; \rho \; zm\; 2\; e\; \rho \; z],\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; l\_\; \{1\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; rho\; z\}\; l\_\; \{2\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; rho\; z\}\; \backslash \; \backslash \; m\_\; \{1\}\; e\; ^\; \{\backslash \; rho\; z\}\; m\_\; \{2\}\; e\; ^\; \{\backslash \; rho\; z\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\}$

(ур. 112)

где символ ~ означает транспонирование матрицы. Матрица H симметрична, и ее след равен нулю. Презентация экв. 111 обеспечивает симметрию γ ab и выполнение условий ур. 102 . Если exp H заменяется на 1, из экв. 111 γab= ξa ab с ab из ур. 109 . Другими словами, первый член разложения γ ab соответствует H = 0; высшие члены получаются разложением по степеням матрицы H, компоненты которой считаются малыми.

Независимые компоненты матрицы H записываются как σ и φ, так что

$H\; =\; [\sigma \; \phi \; \phi \; -\; \sigma ].\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; sigma\; \backslash \; varphi\; \backslash \backslash \backslash \; varphi\; -\; \backslash \; sigma\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$

(ур. 113)

Подстановка экв. 111 в ур. 103 и оставляя только члены, линейные по H, получается для σ и φ

$\sigma \; ¨\; +\; \xi \; -\; 1\; \sigma \; \dot{}\; -\; \sigma \; \prime \; \prime \; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; ddot\; \{\backslash \; sigma\}\}\; +\; \backslash \; xi\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; sigma\}\}\; -\; \backslash \; sigma\; ^\; \{\backslash \; prime\; \backslash \; prime\}\; =\; 0,\}$

$\phi \; ¨\; +\; \xi \; -\; 1\; \phi \; \dot{}\; -\; \phi \; \prime \; \prime \; +\; 4\; \rho \; 2\; \phi \; Знак\; равно\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; ddot\; \{\backslash \; varphi\}\}\; +\; \backslash \; xi\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; varphi\}\}\; -\; \backslash \; varphi\; ^\; \{\backslash \; prime\; \backslash \; prime\}\; +4\; \backslash \; rho\; ^\; \{2\}\; \backslash \; varphi\; =\; 0.\}$

(ур. 114)

Если попытаться найти решение этих уравнений как ряд Фурье по координатам z, то для коэффициентов ряда функций ξ, получаются уравнения Бесселя. Основные астотимпические члены решения при больших ξ:

$\sigma \; =\; 1\; \xi \; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; (A\; 1\; nein\; \omega \; \xi \; +\; B\; 1\; ne\; -\; in\; \omega \; \xi )\; ein\; \omega \; z,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; xi\}\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (A\_\; \{1n\}\; e\; ^\; \{in\; \backslash \; omega\; \backslash \; xi\}\; +\; B\_\; \{1n\}\; e\; ^\; \{\; -\; в\; \backslash \; omega\; \backslash \; xi\}\; \backslash \; right)\; e\; ^\; \{in\; \backslash \; omega\; z\},\}$

$\phi \; =\; 1\; \xi \; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; (A\; 2\; nein\; \omega \; \xi \; +\; B\; 2\; ne\; -\; в\; \omega \; \xi )\; ein\; \omega \; z,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; xi\}\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (A\_\; \{2n\}\; e\; ^\; \{in\; \backslash \; omega\; \backslash \; xi\}\; +\; B\_\; \{2n\}\; e\; ^\; \{-\; in\; \backslash \; omega\; \backslash \; xi\}\; \backslash \; right)\; e\; ^\; \{in\; \backslash \; omega\; z\},\}$

(уравнение 115)

$\omega \; n\; 2\; =\; п\; 2\; ю\; 2\; +\; 4\; р\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{n\}\; ^\; \{2\}\; =\; n\; ^\; \{2\}\; \backslash \; omega\; ^\; \{2\}\; +4\; \backslash \; rho\; ^\; \{2\}.\}$

Коэффициенты A и B являются произвольными комплексными системы координат x, y и удовлетворяют необходимым условиям для действительных σ и φ; Базовая частота ω является произвольной действующей функцией x, y. Теперь из экв. 104 –экв. 105 легко получить первый член функции ψ:

$\psi \; =\; \rho \; 2\; \xi \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; =\; \backslash \; rho\; ^\; \{2\}\; \backslash \; xi\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\}$

(уравнение 116)

(этот член обращается в нуль, если ρ = 0; в этом случае главный член является линейным для ξ из разложения: ψ = ξq (x, y), где q - положительная функция).

Следовательно, при значениях ξ компоненты метрического большого тензора γ ab осциллируют при уменьшении ξ на фоне медленного уменьшения, вызванном уменьшением фактора ξ в экв. 111 . Составляющая γ 33 = e быстро убивает по закону, близкому к exp (ρξ); это делает возможным условие ур. 93 .

Затем BKL рассмотрим случай ξ $\ll \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ll\}$1. Первое приближение к решению ур. 103 находится исходя из предположения (подтвержденного), что в этих уравнениях члены с производными координатами могут быть опущены:

$\varkappa \; \dot{}\; ab\; +\; \xi \; -\; 1\; \varkappa \; ab\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; varkappa\}\}\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; +\; \backslash \; xi\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; varkappa\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; =\; 0.\}$

(ур. 117)

Это уравнение вместе с условием экв. 102 дает

$\gamma \; ab\; =\; \lambda \; a\; \lambda \; b\; \xi \; 2\; s\; 1\; +\; \mu \; a\; \mu \; b\; \xi \; 2\; s\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{ab\}\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{a\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{b\}\; \backslash \; xi\; ^\; \{2s\_\; \{1\}\}\; +\; \backslash \; mu\; \_\; \{a\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{b\}\; \backslash \; xi\; ^\; \{2s\_\; \{2\}\},\; \backslash ,\}$

(уравнение 118)

где λ a, μ a, s 1, s 2 - произвольные функции всех трех координат x, y, z, которые связаны с

$\lambda \; 1\; \mu \; 2\; -\; \lambda \; 2\; \mu \; других\; =\; грех\; \; y,\; s\; 1\; +\; s\; 2\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; =\; \backslash \; sin\; y,\; \backslash \; quad\; s\_\; \{1\}\; +\; s\_\; \{2\}\; =\; 1.\; \backslash ,\}$

(ур. 119)

Уравнения ур. 104 –экв. 105 теперь получаем

$\gamma \; 33\; =\; e\; \psi \; \sim \; \xi \; -\; (1\; -\; s\; 1\; 2\; -\; s\; 2\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{33\}\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; psi\}\; \backslash \; sim\; \backslash \; xi\; ^\; \{-\; (1-s\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; -s\_\; \{2\}\; ^\; \{2\})\}.\; \backslash ,\}$

(ур. 120)

Производные $\lambda \; ab\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; lambda\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\}\; ^\; \{\backslash \; prime\}\}$, вычисленные по экв. 118, члены ~ ξ и ~ ξ, в то время как члены, оставленные в ур. 117 равны ~ ξ. Следовательно, применение ур. 103 вместо экв. 117 разрешено при условиях s 1>0, s 2>0; отсюда 1 - $s\; 1\; 2\; -\; s\; 2\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; -s\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\}$>0.

Таким образом, при малых ξ колебания функций γ ab прекращаются, функция γ 33 начинает расти при уменьшении ξ. Это режим Каснера, и когда γ 33 сравнивается с γ ab, указанное выше приближение неприменимо.

Чтобы проверить совместимость этого анализа, BKL изучил уравнения $R\; \alpha \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; ^\; \{0\}\}$= 0, $R\; \alpha \; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; ^\; \{3\}\}$= 0, и, вычисляя по ним компоненты γ a3, подтвердил, что неравенство ур. 94 имеет место. Это исследование показало, что в обеих асимптотических областях компоненты γ a3 были ~ γ 33. Следовательно, справедливость неравенства ур. 93 сразу подразумевает правильность неравенства ур. 94 .

Это решение содержит, как и в общем случае поля в вакууме, четыре произвольные функции от трех пространственных координат x, y, z. В области ξ $\ll \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ll\}$1 этими функциями являются, например, λ 1, λ 2, μ 1., с 1. В области ξ $\gg \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gg\}$1 четыре функции определяются рядом Фурье по координате z из ур. 115 с коэффициентами, которые являются функциями x, y; хотя разложение в ряд Фурье (или интеграл?) характеризует особый класс функций, этот класс достаточно велик, чтобы охватить любое конечное подмножество множества всех возможных начальных условий.

Решение содержит также ряд других произвольных функций координат x, y. Такие двумерные произвольные функции появляются, вообще говоря, потому, что отношения между трехмерными функциями в решениях уравнений Эйнштейна являются дифференциальными (а не алгебраическими), оставляя в стороне более глубокую проблему геометрического смысла этих функций. BKL не рассчитал количество независимых двумерных функций, потому что в этом случае трудно сделать однозначные выводы, так как трехмерные функции определяются набором двумерных функций (см. Подробнее).

Наконец, BKL продолжает показывать, что общее решение содержит частное решение, полученное выше для однородных моделей.

Подстановка базисных векторов для однородного пространства Бьянки типа IX в ур. 7 метрика пространства-времени этой модели принимает вид

$ds\; IX\; 2\; =\; dt\; 2\; -\; [(a\; 2\; sin\; 2\; \; z\; +\; b\; 2\; cos\; 2\; \; z)\; sin\; 2\; \; y\; +\; c\; 2\; соз\; 2\; \; y]\; dx\; 2\; -\; [a\; 2\; cos\; 2\; \; z\; +\; b\; 2\; sin\; 2\; \; z]\; dy\; 2\; -\; c\; 2\; dz\; 2\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\_\; \{IX\}\; ^\; \{2\}\; =\; dt\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (a\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; z\; +\; b\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; z\; \backslash \; right)\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; y\; +\; c\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; y\; \backslash \; right]\; dx\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; left\; [a\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; z\; +\; b\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; z\; \backslash \; right]\; dy\; ^\; \{2\}\; -\; c\; ^\; \{2\}\; dz\; ^\; \{2\}\; +\}$ $(b\; 2\; -\; a\; 2)\; sin\; \; 2\; z\; sin\; \; ydxdy\; -\; 2\; c\; 2\; cos\; \; ydxdz.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (b\; ^\; \{2\}\; -a\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; sin\; \{2z\}\; \backslash \; sin\; \{y\}\; \backslash \; dxdy-2c\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cos\; \{y\}\; \backslash \; dxdz.\}$

(ур. 121)

Когда c $\ll \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ll\}$a, b, можно игнорировать c везде, кроме члена c dz. Для перехода от синхронного кадра, используемого в ур. 121 в кадр с условиями экв. 91 выполняется преобразование dt = c dξ / 2 и замена z → z / 2. Предполагая также, что χ ≡ ln (a / b) $\ll \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ll\}$1, из eq. 121 в первом приближении:

$ds\; IX\; 2\; =\; 1\; 4\; c\; 2\; (d\; \xi \; 2\; -\; dz\; 2)\; -\; ab\; \{sin\; 2\; \; y\; (1\; -\; \chi \; cos\; \; z)\; dx\; 2\; +\; (\; 1\; +\; \chi \; cos\; \; z)\; +\; 2\; \chi \; sin\; \; z\; sin\; \; ydxdy\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\_\; \{IX\}\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{4\}\}\; c\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (d\; \backslash \; xi\; ^\; \{2\}\; -dz\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; -ab\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \{y\}\; \backslash \; left\; (1-\; \backslash \; chi\; \backslash \; cos\; \{z\}\; \backslash \; right)\; dx\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; left\; (1+\; \backslash \; chi\; \backslash \; cos\; \{z\}\; \backslash \; right)\; +2\; \backslash \; chi\; \backslash \; sin\; \{z\}\; \backslash \; sin\; \{y\}\; \backslash \; dx\; \backslash \; dy\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

(ур. 122)

Аналогично, с базисными векторами однородного пространства Бьянки типа VIII, получаем

$ds\; VIII\; 2\; =\; 1\; 4\; c\; 2\; (d\; \xi \; 2\; -\; dz\; 2)\; -\; ab\; \{sin\; 2\; y\; (ch\; \; z\; -\; \chi )\; dx\; 2\; +\; (ch\; \; z\; +\; \chi )\; +\; 2\; sh\; z\; sin\; \; ydxdy\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\_\; \{VIII\}\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{4\}\}\; c\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (d\; \backslash \; xi\; ^\; \{2\}\; -dz\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; -ab\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \{y\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; operatorname\; \{ch\}\; z-\; \backslash \; chi\; \backslash \; right)\; dx\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; left\; (\backslash \; operatorname\; \{ch\}\; z\; +\; \backslash \; chi\; \backslash \; right)\; +2\; \backslash \; operatorname\; \{sh\}\; z\; \backslash \; sin\; \{y\}\; \backslash \; dx\; \backslash \; dy\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

(ур. 123)

Согласно анализу однородных пространств, приведенному выше, в обоих случаях ab = ξ (упрощая $a\; 0\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\}$= ξ 0) и χ из ур. 51 ; функция c (ξ) задается формулами ур. 53 и экв. 61 соответственно для моделей типов IX и VIII.

Идентичная метрика для Типа VIII получается из ур. 112, ур. 115, экв. 116 выбор двумерных векторов l a и m a в виде

$l\; 1\; =\; m\; 1\; =\; 1\; 2\; sin\; \; y,\; l\; 2\; =\; м\; 2\; =\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; l\_\; \{1\}\; =\; m\_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \backslash \; sin\; \{y\},\; \backslash \; qquad\; l\_\; \{2\}\; =\; m\_\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}$

(ур. 124)

и подставив

$\rho \; =\; 1\; 2,\; A\; 20\; \ast \; =\; B\; 20\; =\; i\; A\; ei\; \xi \; 0,\; A\; 1\; N\; знак\; равно\; A\; 2\; N\; знак\; равно\; B\; 1\; N\; знак\; равно\; B\; 2\; N\; знак\; равно\; 0\; (N\; 0).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\},\; \backslash \; quad\; A\_\; \{20\}\; ^\; \{*\}\; =\; B\_\; \{20\}\; =\; iAe\; ^\; \{i\; \backslash \; xi\; \_\; \{0\}\},\; \backslash \; quad\; A\_\; \{1n\; \}\; =\; A\_\; \{2n\}\; =\; B\_\; \{1n\}\; =\; B\_\; \{2n\}\; =\; 0\; \backslash \; quad\; (n\; \backslash \; neq\; 0).\}$

(уравнение 125)

Чтобы получить метрику для типа IX, следует заменить

$\rho \; =\; 0,\; \omega \; =\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; =\; 0,\; \backslash \; omega\; =\; 1,\}$. $A\; 11\; =\; -\; B\; 11\; \ast \; =\; A\; 1,\; -\; 1\; \ast \; =\; -\; B\; 1,\; -\; 1\; =\; -\; 1\; 2\; A\; e\; -\; я\; \xi \; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{11\}\; =\; -\; B\_\; \{11\}\; ^\; \{*\}\; =\; A\_\; \{1,\; -1\}\; ^\; \{*\}\; =\; -\; B\_\; \{1,\; -1\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; Ae\; ^\; \{-\; i\; \backslash \; xi\; \_\; \{0\}\},\}$. $A\; 21\; =\; B\; 21\; \ast \; =\; A\; 2,\; -\; 1\; \ast \; =\; B\; 2,\; -\; 1\; =\; -\; 1\; 2\; я\; A\; е\; -\; я\; \xi \; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{21\}\; =\; B\_\; \{21\}\; ^\; \{*\}\; =\; A\_\; \{2,\; -1\}\; ^\; \{*\}\; =\; B\_\; \{2,\; -1\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{2\}\}\; iAe\; ^\; \{-\; i\; \backslash \; xi\; \_\; \{0\}\},\}$. $A\; 1\; n\; =\; A\; 2\; n\; =\; B\; 1\; n\; =\; B\; 2\; n\; =\; 0\; (n\; \ne \; \pm \; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{1n\}\; =\; A\_\; \{2n\}\; =\; B\_\; \{1n\}\; =\; B\_\; \{2n\}\; =\; 0\; \backslash \; quad\; (n\; \backslash \; neq\; \backslash \; pm\; 0)\}$

(уравнение 126)

(для вычисления c (ξ) аппроксимации в уравнении 116 недостаточно, и вычисляется член в ψ, линейный по ξ)

Этот анализ проводи лся для пустого пространства. Включение материи не делает решение менее общим и не меняет его качественных характеристик.

Ограничением, имеющим большое значение для общего решения, является то, что все трехмерные функции, содержащиеся в метрике экв.. 122 и экв. 123 должен иметь один общий интервал изменения характеристики. Только это позволяет аппроксимировать в уравнениях Эйнштейна все метрические производные пространственных компонент простыми произведениями этих компонент характеристическими волновыми числами, что приводит к обыкновенным дифференциальным уравнениям типа, полученного для однородной модели типа IX. В этом причина совпадения однородных и общих решений.

Отсюда следует, что и модель Типа IX, и ее обобщение содержат колебательный режим с одним пространственным масштабом произвольной величины, который не выбирается среди прочего никакими физическими условиями. Однако известно, что в нелинейных системах с бесконечными степенями свободы такой режим неустойчив и частично диссипирует на меньшие колебания. В общем случае малых возмущений с произвольным спектром всегда найдутся такие, амплитуда которых будет увеличиваться за счет полной энергии процесса. В результате возникает сложная картина разномасштабных движений с определенным распределением энергии и обменом энергией между колебаниями разного масштаба. Это не происходит только в том случае, когда развитие мелкомасштабных колебаний невозможно из-за физических условий. Для последнего должна существовать некоторая естественная физическая длина, которая определяет минимальный масштаб, в котором энергия выходит из системы с динамическими степенями свободы (что, например, имеет место в жидкости с определенной вязкостью). Однако нет врожденного физического масштаба для гравитационного поля в вакууме, и, следовательно, нет препятствий для развития колебаний сколь угодно малых масштабов.

BKL описывают особенности в космологическое решение уравнений Эйнштейна, имеющих сложный колебательный характер. Хотя эти особенности изучались в основном на пространственно однородных моделях, есть убедительные причины предполагать, что особенности в общем решении уравнений Эйнштейна имеют те же характеристики; это обстоятельство делает модель БКЛ важной для космологии.

Основанием для такого утверждения является тот факт, что колебательный режим при приближении к сингулярности вызван единичным возмущением, которое также вызывает неустойчивость в обобщенном решении Казнера. Подтверждением общности модели является аналитическое построение на долгую эпоху с небольшими колебаниями. Хотя это последнее поведение не является необходимым элементом эволюции метрики вблизи сингулярности, оно имеет все основные качественные свойства: колебание метрики в двух пространственных измерениях и монотонное изменение в третьем измерении с определенным возмущением этой моды в конце некоторого времени. интервал. Однако переходы между казнеровскими эпохами в общем случае неоднородной пространственной метрики подробно не выяснены.

Проблема, связанная с возможными ограничениями геометрии пространства, вызванными сингулярностью, была оставлена ​​в стороне для дальнейшего изучения. Однако с самого начала ясно, что исходная модель BKL применима как к конечному, так и к бесконечному пространству; об этом свидетельствует существование моделей осцилляторных сингулярностей как для закрытого, так и для открытого пространства-времени.

Колебательный режим подхода к сингулярности придает новый аспект термину «конечность времени». Между любым конечным моментом мирового времени t и моментом t = 0 существует бесконечное количество колебаний. В этом смысле процесс приобретает бесконечный характер. Вместо времени t более подходящей переменной для его описания является ln t, с помощью которого процесс расширяется до $-\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; infty\}$.

BKL рассматривает эволюцию метрики в направлении уменьшения времени. Уравнения Эйнштейна симметричны относительно знака времени, так что эволюция метрики в сторону увеличения времени также возможна. Однако эти два случая принципиально различны, потому что прошлое и будущее не эквивалентны в физическом смысле. Будущая сингулярность может иметь физический смысл, только если она возможна при произвольных начальных условиях, существовавших в предыдущий момент. Распределение материи и поля в какой-то момент эволюции Вселенной не обязательно соответствуют конкретным условиям, необходимым для существования данного специального решения уравнений Эйнштейна.

Выбор решений, соответствующих реальному миру, связан с глубокими физическими требованиями, которые невозможно найти, используя только существующую теорию относительности, и которые могут быть найдены в результате будущего синтеза физических теорий. Таким образом, может оказаться, что этот выбор выделяет какой-то особый (например, изотропный) тип особенности. Тем не менее более естественно предположить, что в силу своего общего характера колебательный режим должен быть основной характеристикой начальных этапов эволюции.

В этом отношении значительный интерес представляет свойство модели «Mixmaster», показанное Миснером, связанное с распространением световых сигналов. В изотропной модели существует «световой горизонт», означающий, что для каждого момента времени существует какое-то наибольшее расстояние, на котором обмен световыми сигналами и, следовательно, причинная связь невозможны: сигнал не может достигать таких расстояний в течение время с момента появления особенности t = 0.

Распространение сигнала определяется уравнением ds = 0. В изотропной модели вблизи сингулярности t = 0 элемент интервала равен $ds\; 2\; =\; dt\; 2\; -\; 2\; tdl\; ¯\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; dt\; ^\; \{2\}\; -2td\; \{\backslash \; bar\; \{l\}\}\; ^\; \{2\}\}$, где $dl\; ¯\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \{\; \backslash \; bar\; \{l\}\}\; ^\; \{2\}\}$- не зависящая от времени пространственная дифференциальная форма. Подстановка $t\; =\; \eta \; 2/2\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; \backslash \; eta\; ^\; \{2\}\; /\; 2\}$дает

$d\; s\; 2\; =\; \eta \; 2\; (d\; \eta \; 2\; -\; d\; l\; ¯\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; eta\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (d\; \backslash \; eta\; ^\; \{2\}\; -d\; \{\backslash \; bar\; \{l\}\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right).\}$

(ур. 127)

«Расстояние» $\Delta \; l\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; bar\; \{l\}\}\}$, достигнутая сигналом, составляет

$\Delta \; l\; ¯\; =\; \Delta \; \eta .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; bar\; \{l\}\}\; =\; \backslash \; Delta\; \backslash \; eta.\}$

(уравнение 128)

Поскольку η, как и t, проходит через значения, начиная с 0, до «момента» η сигналы могут распространяться только на расстоянии $\Delta \; l\; ¯\; \le \; \eta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; bar\; \{l\}\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; eta\}$, которое фиксирует самое дальнее расстояние до горизонта.

Существование светового горизонта в изотропной модели создает проблему в понимании происхождения наблюдаемой в настоящее время изотропии реликтового излучения. Согласно изотропной модели, наблюдаемая изотропия означает изотропные свойства излучения, которое приходит к наблюдателю из таких областей пространства, которые не могут быть причинно связаны друг с другом. Ситуация в модели осцилляторной эволюции вблизи сингулярности может быть иной.

Например, в однородной модели для пространства Типа IX сигнал распространяется в направлении, в котором в течение долгой эпохи масштабы изменяются по закону, близкому к ~ t. Квадрат элемента расстояния в этом направлении равен dl = t $l\; ¯\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{l\}\}\; ^\; \{2\}\}$, а соответствующий элемент четырехмерного интервал равен $ds\; 2\; =\; dt\; 2\; -\; t\; 2\; l\; ¯\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; dt\; ^\; \{2\}\; -t\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; bar\; \{l\}\}\; ^\; \{2\}\}$. Замена $t\; =\; e\; \eta \; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; eta\}\}$помещает это в форму

$ds\; 2\; =\; e\; 2\; \eta \; (d\; \eta \; 2\; -\; dl\; ¯\; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; e\; ^\; \{2\; \backslash \; eta\}\; \backslash \; left\; (d\; \backslash \; eta\; ^\; \{2\}\; -d\; \{\backslash \; bar\; \{l\}\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right),\}$

(уравнение 129)

, а для распространения сигнала есть уравнение типа eq. 128 снова. Важное отличие состоит в том, что переменная η теперьпроходит через значения, начиная с $-\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; infty\}$(если метрика уравнение 129 справедливо для всех t, начиная с t = 0).

Следовательно, для каждого заданного «момента» η находятся промежуточные интервалы Δη, достаточные для того, чтобы сигнал преодолел каждое конечное расстояние.

Таким образом, в течение долгой эпохи светлый горизонт открывается в заданном направлении пространства. Хотя продолжительность каждой длинной эры все же конечна, в ходе мировой эволюции эры меняются бесконечное количество раз в разных направлениях пространства. Это обстоятельство заставляет ожидать, что в данной модели возможна причинная связь между событиями во всем пространстве. Из-за этого свойства Мизнер назвал эту модель «Вселенная Mixmaster» по названию тестомесильной машины.

По мере того как проходит время и человек уходит от сингулярности, влияние материи на эволюцию метрики, которое было незначительным на ранних стадиях эволюции, постепенно увеличивается и в конечном итоге становится доминирующим. Можно ожидать, что этот эффект приведет к постепенной «изотропизации» пространства, в результате чего его характеристики приближаются к модели Фридмана, адекватно описывающей современное состояние Вселенной.

Наконец, BKL ставят проблему о возможности рассмотрения «сингулярного состояния» мира с бесконечно плотной материей на основе существующей теории относительности. Физическое применение уравнений Эйнштейна в их нынешней форме в этих условиях может быть прояснено только в процессе будущего синтеза физических теорий, и в этом смысле проблема не может быть решена в настоящее время.

Важно, чтобы сама теория гравитации не теряла логической связности (т.е. не приводила к внутренним спорам) при любых плотностях материи. Другими словами, эта теория не ограничивается условиями, которые она налагает, которые могут сделать логически недопустимым и спорным ее применение при очень больших плотностях; Ограничения могут, в принципе, возникать только в результате факторов, «внешних» по отношению к теории гравитации. Это обстоятельство делает изучение сингулярностей в космологических моделях формально приемлемым и необходимым в рамках существующей теории.