Ультрарелятивистский предел

редактировать

В физике частица называется ультрарелятивистской, если ее скорость очень близка к скорости света c.

Выражение для релятивистской энергии частицы с массой покоя m и импульсом p дается как

E 2 знак равно m 2 c 4 + p 2 c 2. {\ displaystyle E ^ {2} = m ^ {2} c ^ {4} + p ^ {2} c ^ {2}.}

E ^ {2} = m ^ {2} c ^ {4} + p ^ {2} c ^ { 2}.

Энергия ультрарелятивистской частицы почти полностью определяется ее импульсом (шт. ≫ mc) и, таким образом, может быть аппроксимирован соотношением E = pc. Это может быть результатом сохранения фиксированной массы и увеличения p до очень больших значений (обычный случай); или удерживая фиксированную энергию E и уменьшая массу m до незначительных значений. Последний используется для получения орбит безмассовых частиц, таких как фотон, из орбит массивных частиц (см. проблема Кеплера в общей теории относительности ).

В общем, ультрарелятивистский предел выражения является результирующим упрощенным выражением, когда предполагается pc ≫ mc. Или, аналогично, в пределе, когда фактор Лоренца γ = 1 / √1 - v / c очень велик (γ ≫ 1).

Содержание

1 Выражение, включающее значение массы
2 Ультрарелятивистские приближения
3 Точность приближения
4 Другие ограничения
5 См. Также
6 Примечания
7 Ссылки

Выражение, включающее значение массы

Пока можно использовать приближение $E = pc {\ displaystyle E = pc}$ $E = pc$ , это не учитывает всю информацию о массе. В некоторых случаях, даже с $p ≫ m {\ displaystyle p \ gg m}$ ${\ displaystyle p \ gg m}$ , массу нельзя игнорировать, как при выводе осцилляции нейтрино. Простой способ сохранить эту информацию о массе - использовать разложение Тейлора, а не простой предел. Следующий вывод предполагает $c = 1 {\ displaystyle c = 1}$ $c = 1$ (и ультрарелятивистский предел $pc ≫ mc 2 {\ displaystyle pc \ gg mc ^ {2}}$ ${\ displaystyle pc \ gg mc ^ {2}}$ ). Без потери общности, то же самое можно показать, включая соответствующие термины $c {\ displaystyle c}$ $c$ .

Вывод
$E = (p 2 + m 2) 1/2 {\ displaystyle E = (p ^ {2} + m ^ {2}) ^ {1/2}}$ ${\ displaystyle E = (p ^ {2} + m ^ {2}) ^ {1/2}}$ $E = p (1 + м 2 п 2) 1/2 {\ displaystyle E = p (1 + {\ frac {m ^ {2}} {p ^ {2}}}) ^ {1/2}}$ ${\ displaystyle E = p (1 + {\ frac {m ^ {2}} {p ^ {2}}}) ^ {1/2}}$ общее выражение $(1 + x) 1/2 {\ displaystyle (1 + x) ^ {1/2}}$ ${\ displaystyle (1 + x) ^ {1/2}}$ может быть расширено по Тейлору, давая: $(1 + x 2) 1/2 = 1 + х 2 2 - х 4 8 +... {\ displaystyle (1 + x ^ {2}) ^ {1/2} = 1 + {\ frac {x ^ {2}} {2}} - {\ frac {x ^ {4}} {8}} +...}$ ${\ displaystyle (1 + x ^ {2}) ^ { 1/2} = 1 + {\ frac {x ^ {2}} {2}} - {\ frac {x ^ {4}} {8}} +...}$ Используя только первые два термина, это можно заменить в приведенное выше выражение (с $mp {\ displaystyle {\ frac {m} {p}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {m} {p}}}$ действующим как $x {\ displaystyle x}$ $x$ ), как: $E = p (1 + m 2 2 p 2) {\ displaystyle E = p (1 + {\ frac {m ^ {2}} {2p ^ {2}}})}$ ${\ displaystyle E = p (1+ { \ frac {m ^ {2}} {2p ^ {2}}})}$ $E = p + m 2 2 p {\ displaystyle E = p + {\ frac {m ^ {2}} {2p}}}$ ${\ displaystyle E = p + {\ frac {m ^ {2}} {2p}}}$

Вывод

$E = (p 2 + m 2) 1/2 {\ displaystyle E = (p ^ {2} + m ^ {2}) ^ {1/2}}$ ${\ displaystyle E = (p ^ {2} + m ^ {2}) ^ {1/2}}$
$E = p (1 + м 2 п 2) 1/2 {\ displaystyle E = p (1 + {\ frac {m ^ {2}} {p ^ {2}}}) ^ {1/2}}$ ${\ displaystyle E = p (1 + {\ frac {m ^ {2}} {p ^ {2}}}) ^ {1/2}}$

общее выражение $(1 + x) 1/2 {\ displaystyle (1 + x) ^ {1/2}}$ ${\ displaystyle (1 + x) ^ {1/2}}$ может быть расширено по Тейлору, давая:

$(1 + x 2) 1/2 = 1 + х 2 2 - х 4 8 +... {\ displaystyle (1 + x ^ {2}) ^ {1/2} = 1 + {\ frac {x ^ {2}} {2}} - {\ frac {x ^ {4}} {8}} +...}$ ${\ displaystyle (1 + x ^ {2}) ^ { 1/2} = 1 + {\ frac {x ^ {2}} {2}} - {\ frac {x ^ {4}} {8}} +...}$

Используя только первые два термина, это можно заменить в приведенное выше выражение (с $mp {\ displaystyle {\ frac {m} {p}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {m} {p}}}$ действующим как $x {\ displaystyle x}$ $x$ ), как:

$E = p (1 + m 2 2 p 2) {\ displaystyle E = p (1 + {\ frac {m ^ {2}} {2p ^ {2}}})}$ ${\ displaystyle E = p (1+ { \ frac {m ^ {2}} {2p ^ {2}}})}$
$E = p + m 2 2 p {\ displaystyle E = p + {\ frac {m ^ {2}} {2p}}}$ ${\ displaystyle E = p + {\ frac {m ^ {2}} {2p}}}$

Ультрарелятивистский аппроксимации

Ниже приведены некоторые ультрарелятивистские приближения в единицах с c = 1. Скорость обозначается φ:

1 - v ≈ ⁄ 2γ
E - p = E (1 - v) ≈ ⁄ 2E = ⁄ 2γ
φ ≈ ln (2γ)
Движение с постоянным собственным ускорением: d ≈ e / (2a), где d - расстояние пройдено, a = dφ / dτ - собственное ускорение (при aτ ≫ 1), τ - собственное время, и движение начинается в состоянии покоя и без изменения направления ускорения (подробнее см. собственное ускорение ).
Фиксированное столкновение цели с ультрарелятивистским движением центра масс: E C M ≈ √2E 1E2}, где E 1 и E 2 - энергии частицы и цели соответственно (поэтому E 1 ≫ E 2), а E CM - энергия в системе координат центра масс.

Точность аппроксимации

Для расчета энергии частицы относительная погрешность ультрарелятивистского предела для скорости v = 0,95c составляет около 10%, а для v = 0,99c - всего 2%. Для таких частиц, как нейтрино, у которых γ (фактор Лоренца ) обычно больше 10 (v практически неотличимо от c), приближение является по существу точным.

Другие ограничения

Противоположный случай (pc ≪ mc) - это так называемая классическая частица, скорость которой намного меньше, чем c, и поэтому ее энергия может быть аппроксимировано E = mc + ⁄ 2m.

См. также

Примечания

Ссылки

Dieckmann, ME (2005). «Частичное моделирование ультрарелятивистской двухпотоковой неустойчивости». Phys. Rev. Lett. 94 (15): 155001. Bibcode : 2005PhRvL..94o5001D. doi : 10.1103 / PhysRevLett.94.155001. PMID 15904153. CS1 maint: ref = harv (ссылка )