Теория Черна – Саймонса

Трехмерная топологическая квантовая теория поля, действие которой представляет собой форму Черна – Саймонса

Теория Черна – Саймонса - это трехмерная топологическая квантовая теория поля типа типа Шварца, разработанная Эдвардом Виттеном. Впервые его открыл физик-математик Альберт Шварц. Он назван в честь математиков Шиинг-Шен Черна и Джеймса Харриса Саймонса, которые представили 3-форму Черна – Саймонса. В теории Черна – Саймонса действие пропорционально интегралу от 3-формы Черна – Саймонса.

. В физике конденсированных сред, теории Черна – Саймонса описывает топологический порядок в состояниях дробного квантового эффекта Холла. В математике он использовался для вычисления инвариантов узлов и трехмногообразных инвариантов, таких как многочлен Джонса.

. В частности, теория Черна – Саймонса задается выбором простой группы Ли G, известной как калибровочная группа теории, а также числа, называемого уровнем теории, которое является константой, умножающей действие. Действие зависит от калибровки, однако статистическая сумма квантовой теории четко определена, когда уровень является целым числом, а калибровочная напряженность поля исчезает на всех границах трехмерного пространства-времени.

Он также использовался для создания топологических квантовых компьютеров (TQC). В частности, теория SU (2) Черна – Саймонса описывает простейшую неабелеву анионную модель TQC, модель Янга-Ли-Фибоначчи. Его правила слияния также описываются теорией WZW и конформной теорией поля.

• 1 Классическая теория
  • 1.1 Математическое происхождение
  • 1.2 Конфигурации
  • 1.3 Динамика
• 2 Квантование
• 3 Наблюдаемые
  • 3.1 Петли Вильсона
  • 3.2 Полиномы ХОМФЛИ и Джонса
• 4 Связь с другими теориями
  • 4.1 Топологические теории струн
  • 4.2 WZW и матричные модели
  • 4.3 Теория гравитации Черна – Саймонса
  • 4.4 Теории материи Черна – Саймонса
• 5 Термины Черна – Саймонса в других теориях
  • 5.1 Однопетлевые перенормировки уровня
• 6 См. также
• 7 Источники
• 8 Внешние ссылки

Математическое происхождение

В 1940-е годы С. С. Черн и А. Вейль изучал свойства глобальной кривизны гладких многообразий M как когомологии де Рама (теория Черна – Вейля ), что является важным шагом в теории характеристических классов в дифференциальной геометрии. Для плоского G- главного расслоения P на M существует единственный гомоморфизм, называемый гомоморфизмом Черна – Вейля, из алгебры G-сопряженных инвариантных многочленов на g (алгебра Ли G) когомологиям $H\; \ast \; (M,\; R)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{*\}\; (M,\; \backslash \; mathbb\; \{R\})\}$. Если инвариантный многочлен однороден, то конкретную k-форму замкнутой связности ω можно записать как некоторую 2k-форму соответствующей формы кривизны Ω связности ω.

В 1974 г. С.С. Черн и Дж. Х. Саймонс конкретно построил (2k - 1) -форму df (ω) такую, что

$d\; T\; f\; (\omega )\; =\; f\; (\Omega \; k),\; \{\backslash \; displaystyle\; dTf\; (\backslash \; omega)\; =\; f\; (\; \backslash \; Omega\; ^\; \{k\}),\}$

где T - гомоморфизм Черна – Вейля. Эта форма называется формой Черна – Саймонса. Если df (ω) замкнуто, можно проинтегрировать указанную выше формулу

$T\; f\; (\omega )\; =\; \int \; C\; f\; (\Omega \; k),\; \{\backslash \; displaystyle\; Tf\; (\backslash \; omega)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{C\}\; f\; (\backslash \; Omega\; ^\; \{k\}),\}$

где C - (2k - 1) -мерный цикл на M. Этот инвариант называется инвариантом Черна – Саймонса . Как указывалось во введении к статье Черна – Саймонса, инвариант Черна – Саймонса CS (M) - это граничный член, который не может быть определен какой-либо чистой комбинаторной формулировкой. Его также можно определить как

$CS\; (M)\; =\; \int \; s\; (M)\; 1\; 2\; T\; p\; 1\; \in \; R\; /\; Z,\; \{\backslash \; displaystyle\; CS\; (M)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{s\; (M)\}\; \{\backslash \; tfrac\; \{\; 1\}\; \{2\}\}\; Tp\_\; \{1\}\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; /\; \backslash \; mathbb\; \{Z\},\}$

, где $p\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{1\}\}$- это первое число Понтрягина, а s (M) - сечение нормального ортогонального расслоения P. Более того, член Черна – Саймонса описывается как эта-инвариант, определенный Атьей, Патоди и Сингером.

Калибровочную инвариантность и метрическую инвариантность можно рассматривать как инвариантность относительно действия присоединенной группы Ли в теории Черна – Вейля. интеграл действия (интеграл по путям ) теории поля в физике рассматривается как лагранжиан интеграл формы Черна – Саймонса и Петля Вильсона, голономия векторного расслоения на M. Это объясняет, почему теория Черна – Саймонса тесно связана с топологической теорией поля.

Конфигурации

Теории Черна – Саймонса могут быть определены на любом топологическое 3-многообразие M, с краем или без него. Поскольку эти теории являются топологическими теориями типа Шварца, не нужно вводить метрику на M.

Теория Черна – Саймонса является калибровочной теорией, что означает, что классическая конфигурация в теории Черна – Саймонса на M с калибровочной группой G описывается главным G-расслоением на M. Связность этого пучка характеризуется связной одной формой A, которая значна в алгебре Ли gгруппы Ли G. В общем, соединение A определяется только на отдельных участках координат , а значения A на разных участках связаны картами, известными как преобразование датчика. Они характеризуются утверждением, что ковариантная производная, которая является суммой внешней производной оператора d и связи A, преобразуется в присоединенное представление калибровочная группа G. Квадрат ковариантной производной с самим собой можно интерпретировать как g -значную 2-форму F, называемую формой кривизны или напряжённостью поля. Он также преобразуется в присоединенное представление.

Динамика

Действие S теории Черна – Саймонса пропорционально интегралу от 3-формы Черна – Саймонса

$S\; =\; k\; 4\; \pi \; \int \; M\; tr\; (A\; \wedge \; d\; A\; +\; 2\; 3\; A\; \wedge \; A\; \wedge \; A).\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; \{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{4\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{M\}\; \{\backslash \; text\; \{tr\}\}\; \backslash ,\; (A\; \backslash \; wedge\; dA\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{2\}\; \{3\}\}\; A\; \backslash \; wedge\; A\; \backslash \; wedge\; A).\}$

Постоянная k называется уровнем теории. Классическая физика теории Черна – Саймонса не зависит от выбора уровня k.

Классически система характеризуется своими уравнениями движения, которые представляют собой экстремумы действия по отношению к вариациям поля A. В терминах кривизны поля

$F\; =\; d\; A\; +\; A\; \wedge \; A\; \{\; \backslash \; displaystyle\; F\; =\; dA\; +\; A\; \backslash \; wedge\; A\; \backslash ,\}$

уравнение поля явно имеет вид

$0\; =\; \delta \; S\; \delta \; A\; =\; k\; 2\; \pi \; F.\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; delta\; S\}\; \{\backslash \; delta\; A\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; F.\}$

Следовательно, классические уравнения движения выполняются тогда и только тогда, когда кривизна везде равна нулю, и в этом случае соединение называется плоским. Таким образом, классические решения теории Дж. Черна – Саймонса - это плоские связности главных G-расслоений на M. Плоские связности полностью определяются голономиями вокруг несжимаемых циклов на базе M. Точнее, они находятся во взаимно однозначном соответствии с классы эквивалентности гомоморфизмов фундаментальной группы группы M калибровочной группе G с точностью до сопряжения.

Если M имеет границу N, то есть дополнительные данные, описывающие выбор тривиализации главного G-расслоения на N. Такой выбор характеризует отображение из N в G. Описывается динамика этого отображения. по модели Весса – Зумино – Виттена (WZW) на N на уровне k.

Для канонического квантования теории Черна – Саймонса нужно определить состояние на каждой двумерной поверхности Σ в M. Как и в любой квантовой теории поля, состояния соответствуют к лучам в гильбертовом пространстве. В топологической теории поля типа Шварца нет предпочтительного понятия времени, поэтому можно потребовать, чтобы Σ была поверхностью Коши, фактически, состояние может быть определено на любой поверхности.

Σ имеет коразмерность один, поэтому можно разрезать M вдоль Σ. После такого разрезания M будет многообразием с краем, и, в частности, классически динамика Σ будет описываться моделью WZW. Виттен показал, что это соответствие сохраняется даже квантово-механически. Точнее, он продемонстрировал, что гильбертово пространство состояний всегда конечномерно и может быть канонически отождествлено с пространством конформных блоков модели G WZW на уровне k.

Например, когда Σ является 2-сферой, это гильбертово пространство одномерно и поэтому существует только одно состояние. Когда Σ является 2-тором, состояния соответствуют интегрируемым представлениям аффинной алгебры Ли, соответствующей g на уровне k. Для решения Виттена теории Черна – Саймонса характеризации конформных блоков высших родов не требуется.

Петли Вильсона

Наблюдаемые теории Черна – Саймонса - это n-точечные корреляционные функции калибровочно- инвариантные операторы. Наиболее часто изучаемым классом калибровочно-инвариантных операторов являются лупы Вильсона. Петля Вильсона - это голономия вокруг петли в M, прослеженная в данном представлении R группы G. Поскольку нас будут интересовать произведения петель Вильсона, без ограничения общности мы можем ограничить наше внимание неприводимые представления R.

Более конкретно, учитывая неприводимое представление R и цикл K в M, можно определить цикл Вильсона $WR\; (K)\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{R\}\; (K)\}$на

$WR\; (K)\; =\; Tr\; RP\; exp\; \; (я\; \oint \; KA)\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{R\}\; (K)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Tr\}\; \_\; \{R\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (i\; \backslash \; oint\; \_\; \{K\}\; A\; \backslash \; right)\}$

где A - форма связи 1, и мы берем главное значение Коши из контурного интеграла и $P\; exp\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; \backslash \; exp\}$- это экспонента с упорядоченным по пути.

полиномы ХОМФЛИ и Джонса

Рассмотрим ссылку L в M, которое является набором ℓ непересекающихся петель. Особенно интересной наблюдаемой является ℓ-точечная корреляционная функция, сформированная из произведения петель Вильсона вокруг каждой непересекающейся петли, каждая из которых прослеживается в фундаментальном представлении G. Можно сформировать нормализованную корреляционную функцию, разделив эту наблюдаемую статистической суммой Z (M), которая является просто нулевой корреляционной функцией.

В частном случае, когда M представляет собой 3-сферу, Виттен показал, что эти нормализованные корреляционные функции пропорциональны известным полиномам узла. Например, в теории G = U (N) Черна – Саймонса на уровне k нормализованная корреляционная функция с точностью до фазы равна

$sin\; \; (\pi \; /\; (k\; +\; N))\; sin\; \; (\pi \; N\; /\; (к\; +\; N))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; (\backslash \; pi\; /\; (k\; +\; N))\}\; \{\backslash \; sin\; (\backslash \; pi\; N\; /\; (k\; +\; N))\}\}\}$

умножить на Полином ХОМФЛИ. В частности, когда N = 2, многочлен ХОМФЛИ сводится к многочлену Джонса. В случае SO (N) можно найти аналогичное выражение с полиномом Кауфмана.

. Неоднозначность фазы отражает тот факт, что, как показал Виттен, квантовые корреляционные функции не полностью определяются классическими данными. Число связи петли с самим собой входит в расчет статистической суммы, но это число не инвариантно при малых деформациях и, в частности, не является топологическим инвариантом. Это число может быть четко определено, если выбрать кадрирование для каждого цикла, который представляет собой выбор предпочтительного ненулевого вектора нормали в каждой точке, вдоль которой происходит деформация цикла для вычисления его самосвязанного числа. Эта процедура является примером процедуры регуляризации, введенной Полем Дираком и Рудольфом Пайерлсом для определения явно расходящихся величин в квантовой теории поля в 1934.

Сэр Майкл Атия показал, что существует канонический выбор 2-обрамления, который обычно используется в современной литературе и приводит к четко определенному номеру связи. С каноническим обрамлением указанная выше фаза является экспонентой, умноженной на 2πi / (k + N) связующего числа L с самим собой.

Задача （Расширение полинома Джонса на общие трехмерные многообразия）

«Исходный многочлен Джонса был определен для 1-звеньев в 3-сфере (3-шар, 3-пространство R3). Можете ли вы определить полином Джонса для 1-звеньев в любом 3-многообразии? ''

См. Раздел 1.1 этой статьи, где описаны предпосылки и история этой проблемы. Кауфман представил решение в случае многообразия-произведения замкнутой ориентированной поверхности и отрезка, введя виртуальные 1-узлы. В остальных случаях он открыт. Интеграл по путям Виттена для полинома Джонса формально записывается для зацеплений в любом компактном 3-многообразии, но исчисление не выполняется даже на уровне физики в любом случае, кроме 3-сферы (3-шар, 3-пространство R ). Эта проблема также открыта на уровне физики. В случае полинома Александера эта проблема решена.

Топологические теории струн

В контексте теории струн, теория U (N) Черна – Саймонса на ориентированном Лагранжево 3-подмногообразие M 6-многообразия X возникает как теория поля струн открытых струн, оканчивающихся на D-бране, обертывающей X в A-модель топологическая теория струн на X. B-модель топологическая теория открытого струнного поля на заполняющем мировом объеме стопки D5-бран является 6-мерным вариантом теории Черна – Саймонса, известной как голоморфная теория Черна – Саймонса. теория.

WZW и матричные модели

Теории Черна – Саймонса связаны со многими другими теориями поля. Например, если рассматривать теорию Черна – Саймонса с калибровочной группой G на многообразии с краем, тогда все 3-мерные распространяющиеся степени свободы могут быть откалиброваны, оставляя двумерную конформную теорию поля известная как модель G Весса – Зумино – Виттена на границе. Кроме того, теории U (N) и SO (N) Черна – Саймонса при больших N хорошо аппроксимируются матричными моделями.

теорией гравитации Черна – Саймонса

В 1982 г. S. Дезер, Р. Джеки и С. Темплтон предложили теорию гравитации Черна – Саймонса в трех измерениях, в которой действие Эйнштейна – Гильберта в теории гравитации модифицируется путем добавления члена Черна – Саймонса. Дезер, Jackiw Templeton (1982)

В 2003 году R. Jackiw и SY Pi расширили эту теорию до четырех измерений Jackiw Pi (2003), и теория гравитации Черна – Саймонса оказывает значительное влияние не только на фундаментальные аспекты. физика, но также теория конденсированного состояния и астрономия.

Четырехмерный случай очень похож на трехмерный случай. В трех измерениях гравитационный член Черна – Саймонса равен

$C\; S\; (\Gamma )\; =\; 1\; 2\; \pi \; 2\; \int \; d\; 3\; x\; \epsilon \; i\; j\; k\; (\Gamma \; i\; q\; p\; \partial \; j\; \Gamma \; k\; p\; q\; +\; 2\; 3\; \Gamma \; i\; q\; p\; \Gamma \; j\; r\; q\; \Gamma \; k\; p\; r).\; \{\backslash \; Displaystyle\; CS\; (\backslash \; Gamma)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; int\; d\; ^\; \{3\}\; x\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{ijk\}\; \{\backslash \; biggl\; (\}\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{iq\}\; ^\; \{p\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{j\}\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{kp\}\; ^\; \{q\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\}\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{iq\}\; ^\; \{p\}\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{jr\}\; ^\; \{q\; \}\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{kp\}\; ^\; \{r\}\; \{\backslash \; biggr)\}.\}$

Этот вариант дает тензор Коттона

$=\; -\; 1\; 2\; g\; (\epsilon \; mij\; D\; i\; R\; jn\; +\; \epsilon \; nij\; D\; i\; R\; jm).\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \{\backslash \; sqrt\; \{g\}\}\}\}\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{mij\}\; D\_\; \{i\}\; R\_\; \{j\}\; ^\; \{n\}\; +\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{\; nij\}\; D\_\; \{i\}\; R\_\; \{j\}\; ^\; \{m\}).\}$

Затем выполняется модификация трехмерной гравитации Черна – Саймонса путем добавления вышеупомянутого тензора Коттона к уравнению поля, которое может быть получено как вакуумное решение путем варьирования действия Эйнштейна – Гильберта.

См. Также (2 + 1) - трехмерная топологическая гравитация.

Теории материи Черна – Саймонса

В 2013 году Кеннет А. Интрилигатор и Натан Зайберг решили эти трехмерные калибровочные теории Черна – Саймонса и их фазы с использованием монополей, несущих дополнительные степени свободы. Индекс Виттена из множества обнаруженных вакуума был вычислен путем компактификации пространства путем включения массовых параметров и последующего вычисления индекса. В некоторых вакуумах была вычислена суперсимметрия, которая должна быть нарушена. Эти монополи были связаны с вихрями конденсированного состояния вихрями. (Intriligator Seiberg (2013))

Теория материи Черна – Саймонса с N = 6 представляет собой голографический двойственный М-теории на $A\; d\; S\; 4\; \times \; S\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; AdS\_\; \{4\}\; \backslash \; times\; S\_\; \{7\}\}$.

Термин Черна – Саймонса также может быть добавлен к моделям, которые не являются топологическими квантовыми теориями поля. В 3D это дает начало массивному фотону, если этот член добавить к действию теории Максвелла электродинамики. Этот член может быть вызван интегрированием по массивному заряженному полю Дирака. Он также проявляется, например, в квантовом эффекте Холла. Десятимерные и одиннадцатимерные обобщения членов Черна – Саймонса появляются в действиях всех десяти- и одиннадцатимерных супергравитации теории.

Однопетлевые перенормировки уровня

Если добавить материю к калибровочной теории Черна – Саймонса, то она, вообще говоря, перестанет быть топологической. Однако если добавить n майорановские фермионы тогда из-за аномалия четности, при интегрировании они приводят к чистой теории Черна – Саймонса с однопетлевой перенормировкой уровня Черна – Саймонса на −n / 2, другими словами к теории уровня k с n фермионов эквивалентна теории уровня k - n / 2 без фермионов.

• Калибровочная теория (математика)
• Форма Черна – Саймонса
• Топологическая квантовая теория поля
• многочлен Александера
• многочлен Джонса
• 2 + 1D топологическая гравитация

• Chern, S.-S. Simons, J. (1974). «Характерные формы и геометрические инварианты». Анналы математики. 99(1): 48–69. DOI : 10.2307 / 1971013. JSTOR 1971013.
• Дезер, Стэнли; Джекив, Роман; Темплтон, С. (1982). "Трехмерные массовые калибровочные теории" (PDF). Physical Review Letters. 48(15): 975–978. Bibcode : 1982PhRvL..48..975D. doi : 10.1103 / PhysRevLett.48.975. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Intriligator, Kenneth; Seiberg, Nathan (2013). Аспекты из 3d N = 2 теории материи Черна – Саймонса ». Journal of High Energy Physics. 2013 : 79. arXiv : 1305.1633. Bibcode : 2013JHEP... 07..079I. doi : 10.1007 / JHEP07 (2013) 079. S2CID 119106931. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Jackiw, Roman; Pi, S.-Y (2003). "Модификация общей теории относительности Черна – Саймонса". Physical Review D. 68(10): 104012. arXiv : gr-qc / 0308071. Bibcode : 2003PhRvD.. 68j4012J. doi : 10.1103 / PhysRevD.68.104012. S2CID 2243511. CS1 maint: ref = harv ( ссылка )
• Кульшрешта, Уша; Кульшрешта, Д.С.; Мюллер-Кирстен, HJW; Вари, JP (2009). «Гамильтониан, интеграл по путям и BRST-формулировки теории Черна-Саймонса-Хиггса при соответствующей фиксации калибровки». Physica Scripta. 79(4): 045001. Bibcode : 2009PhyS... 79d5001K. doi : 10.1088 / 0031-8949 / 79/04/045001.
• Кульшрешта, Уша; Kulshreshtha, D.S.; Вары, Дж. П. (2010). "Гамильтониан светового фронта, интеграл по путям и БРСТ-формулировки теории Черна-Саймонса-Хиггса при соответствующей фиксации калибровки". Physica Scripta. 82(5): 055101. Bibcode : 2010PhyS... 82e5101K. doi : 10.1088 / 0031-8949 / 82/05/055101.
• Лопес, Ана; Фрадкин, Эдуардо (1991). «Дробный квантовый эффект Холла и калибровочные теории Черна-Саймонса». Physical Review B. 44(10): 5246–5262. Bibcode : 1991PhRvB..44.5246L. doi : 10.1103 / PhysRevB.44.5246. PMID 9998334. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• (2005). «Теория Черна – Саймонса и топологические строки». Обзоры современной физики. 77(2): 675–720. arXiv : hep-th / 0406005. Bibcode : 2005RvMP... 77..675M. doi : 10.1103 / RevModPhys.77.675. S2CID 6207500.
• Marino, Marcos (2005). Chern– Теория Саймонса, матричные модели и топологические струны. Международная серия монографий по физике. Oxford University Press.
• Witten, Edward (1988). «Топологическая квантовая теория поля». Связь по математической физике. 117 (3): 353–386. Bibcode : 1988CMaPh.117..353W. doi : 10.1007 / BF01223371. S2CID 43230714.
• Эдвард Эдвард (1989). «Квантовая теория поля и многочлен Джонса». Связь по математической физике. 121 (3): 351–399. Bibcode : 1989CMaPh.121..351W. doi : 10.1007 / BF01217730. MR 0990772. S2CID 14951363.
• Виттен, Эдвард (1995). "Теория Черна – Саймонса как теория струн".. 133 : 637–678. arXiv : hep-th / 9207094. Bibcode : 1992hep.th.... 7094W.

Конкретный

1. ^Freedman, Michael H.; Китаев, Алексей; Ларсен, Майкл Дж.; Ван, Чжэнхань (20.09.2002). «Топологические квантовые вычисления». arXiv : Quant-ph / 0101025.
2. ^Ван, Чжэнхань. «Топологические квантовые вычисления» (PDF).
3. ^Кауфман, Л.Х.; Огаса, Э; Schneider, J (2018), Прядильная конструкция для виртуальных 1-узлов и 2-узлов, а также послойная и сварная эквивалентность виртуальных 1-узлов, arXiv : 1808.03023
4. ^Кауфман, Л. (1998), Обсуждения на заседании ИИГС в январе 1997 г., Встреча AMS в Университете Мэриленда, Колледж-Парк в марте 1997 г., Лекция в Институте Исаака Ньютона в ноябре 1997 г., Встреча Узлов в Элладе в Дельфи, Греция в июле 1998 г. Системы Янга-Бакстера, нелинейные модели и приложения в Сеуле, Корея, октябрь 1998 г., теория виртуальных узлов, European J. Combin. 20 (1999) 663–690, arXiv : math / 9811028

• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]