Войти
В теоретическая физика и прикладная математика, уравнение поля - это уравнение в частных производных, которое определяет динамику физического поля, в частности, эволюция во времени и пространственное распределение поля. Решениями уравнения являются математические функции, которые непосредственно соответствуют полю как функции времени и пространства. Поскольку уравнение поля является уравнением в частных производных, существуют семейства решений, которые представляют собой множество физических возможностей. Обычно существует не просто одно уравнение, а набор связанных уравнений, которые необходимо решать одновременно. Уравнения поля не являются обыкновенными дифференциальными уравнениями, поскольку поле зависит от пространства и времени, что требует как минимум двух переменных.
В то время как «волновое уравнение », «уравнение диффузии » и «уравнение неразрывности » имеют стандартные формы (и различные частные случаи или обобщения) не существует единого специального уравнения, называемого «уравнением поля».
Тема в общих чертах разделяется на уравнения классической теории поля и квантовой теории поля. Классические уравнения поля описывают многие физические свойства, такие как температура вещества, скорость жидкости, напряжения в упругом материале, электрические и магнитные поля от тока и т. Д. Они также описывают фундаментальные силы природы, такие как электромагнетизм и гравитация. В квантовой теории поля частицы или системы «частиц», такие как электроны и фотоны, связаны с полями, что позволяет иметь бесконечные степени свободы (в отличие от конечных степеней свободы в механике частиц) и переменное количество частиц, которые могут быть созданы или уничтожены.
Обычно уравнения поля постулируются (например, уравнения поля Эйнштейна и уравнение Шредингера, лежащее в основе всех уравнений квантового поля) или полученные из результатов экспериментов (например, уравнения Максвелла ). Степень их достоверности - это степень их правильного предсказания и согласия с экспериментальными результатами.
С теоретической точки зрения уравнения поля могут быть сформулированы в рамках лагранжевой теории поля, гамильтоновой теории поля и теоретико-полевых формулировок принципа . стационарного действия. При наличии подходящей плотности лагранжиана или гамильтониана, функции полей в данной системе, а также их производных, принцип стационарного действия приведет к уравнению поля.
Как в классической, так и в квантовой теориях уравнения поля удовлетворяют симметрии базовой физической теории. В большинстве случаев симметрии Галилея достаточно для скоростей (распространяющихся полей) намного меньших, чем скорость света. Когда частицы и поля распространяются со скоростью, близкой к скорости света, симметрия Лоренца является одним из наиболее распространенных параметров, поскольку уравнение и его решения в этом случае согласуются со специальной теорией относительности.
Другая симметрия возникает из калибровочной свободы, которая присуща уравнениям поля. Поля, которые соответствуют взаимодействиям, могут быть калибровочными полями, что означает, что они могут быть получены из потенциала, а определенные значения потенциалов соответствуют одному и тому же значению поля.
Уравнения поля можно классифицировать по-разному: классические или квантовые, нерелятивистские или релятивистские, в зависимости от спина или массы поле, а также количество компонентов, которые имеет поле, и то, как они меняются при преобразовании координат (например, скалярные поля, векторные поля, тензорные поля, спинор поля, твисторные поля и т. д.). Они также могут унаследовать классификацию дифференциальных уравнений как линейные или нелинейные, порядок старшей производной или даже как дробно-дифференциальные уравнения. Калибровочные поля могут быть классифицированы как в теории групп, как абелевы или неабелевы.
Уравнения поля лежат в основе волновых уравнений, поскольку периодически изменяющиеся поля генерируют волны. Волновые уравнения можно рассматривать как уравнения поля в том смысле, что их часто можно вывести из уравнений поля. В качестве альтернативы, при наличии подходящей плотности лагранжиана или гамильтониана и использования принципа стационарного действия также могут быть получены волновые уравнения.
Например, уравнения Максвелла можно использовать для вывода уравнений неоднородных электромагнитных волн, а из уравнений поля Эйнштейна можно вывести уравнения для гравитационных волн.
Не каждое уравнение в частных производных (PDE) в физике автоматически называется «уравнением поля», даже если в нем участвуют поля. Это дополнительные уравнения, обеспечивающие дополнительные ограничения для данной физической системы.
"Уравнения неразрывности "и" уравнения диффузии "описывают явления переноса, даже если они могут включать поля, которые влияют на процессы переноса.
Если «Материальное уравнение » принимает форму УЧП и включает поля, его обычно не называют уравнением поля, потому что оно не управляет динамическим поведением полей. Они связывают одно поле с другим в заданном Материальные уравнения используются вместе с уравнениями поля, когда необходимо учитывать влияние материи.
Классические уравнения поля возникают в механике сплошной среды (включая эластодинамику и механику жидкости ), теплопередачу, электромагнетизм и гравитацию.
Фундаментальные классические уравнения поля включают
Важные уравнения, выведенные из фундаментальных законов, включают:
Как часть реального математического моделирования, классические уравнения поля сопровождаются другими уравнениями движения, уравнениями состояния, материальными уравнениями и уравнениями неразрывности.
В квантовой теории поля частицы описываются квантовыми полями, которые удовлетворяют уравнению Шредингера. Они также являются операторами создания и уничтожения, которые удовлетворяют коммутационным соотношениям и подпадают под действие теоремы спиновой статистики.
Частные случаи релятивистских квантовых уравнений поля включить
В уравнениях квантового поля обычно используются компоненты импульса частицы вместо координат положения частицы, поля находятся в импульсном пространстве, и преобразования Фурье связывают их с позиционным представлением.
