Индекс Виттена

В квантовой теории поля и статистической механики, индекс Виттена при обратной температуре β определяется как модификация стандартной статистической суммы :

$Tr\; [(-\; 1)\; F\; e\; -\; \beta \; H]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textrm\; \{Tr\}\}\; [(-\; 1)\; ^\; \{F\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; beta\; H\}]\}$

Обратите внимание на (-1) оператор, где F - числовой оператор fermion . Это то, что отличает его от обычной функции раздела . Иногда это называют спектральной асимметрией.

. В суперсимметричной теории каждое собственное значение с ненулевой энергией содержит равное количество бозонных и фермионных состояний. По этой причине индекс Виттена не зависит от температуры и дает количество бозонных вакуумных состояний с нулевой энергией минус количество фермионных вакуумных состояний с нулевой энергией. В частности, если суперсимметрия спонтанно нарушается, то основные состояния с нулевой энергией отсутствуют, и поэтому индекс Виттена равен нулю.

Индекс Виттена суперсимметричной сигма-модели на многообразии задается эйлеровой характеристикой многообразия.

$Tr\; [(-\; 1)\; F\; e\; -\; \beta \; H]\; =\; \sum \; p\; \in \; Z\; (-\; 1)\; pbp\; =\; \chi \; (M).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textrm\; \{Tr\}\}\; [(-\; 1)\; ^\; \{F\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; beta\; H\}]\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{p\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{p\}\; b\_\; \{p\}\; =\; \backslash \; chi\; (M)\; \backslash .\}$

Это пример квазитопологической величины, которая зависит только от F-терминов, а не от D-члены в лагранжиане. Более тонкий инвариант в двумерных теориях, построенный с использованием только правой части оператора числа фермионов вместе с двухпараметрическим семейством вариаций, - это эллиптический род.

• Ограничения Эдварда Виттена о нарушении суперсимметрии, Nucl. Phys. B202 (1982) 253-316

.