Группа классов отображения

В математике, в подполе геометрической топологии, группа классов отображений является важным алгебраическим инвариантом топологического пространства. Вкратце, группа классов отображений - это некоторая дискретная группа, соответствующая симметриям пространства.

• 1 Мотивация
• 2 Определение
• 3 Примеры
  • 3.1 Сфера
  • 3.2 Тор
  • 3.3 Поверхности
    • 3.3.1 Неориентируемые поверхности
  • 3.4 3-многообразия
• 4 Отображение групп классов пар
  • 4.1 Группа симметрии узла и зацеплений
• 5 группа Торелли
• 6 Стабильная группа классов отображения
• 7 См. Также
• 8 ссылки
  • 8.1 Группа классов стабильного отображения
• 9 Внешние ссылки

Рассмотрим топологическое пространство, то есть пространство с некоторым понятием близости между точками в пространстве. Мы можем рассматривать множество гомеоморфизмов из пространства в себя, то есть непрерывные отображения с непрерывными обратными : функции, которые непрерывно растягивают и деформируют пространство, не нарушая и не склеивая пространство. Этот набор гомеоморфизмов можно рассматривать как само пространство. Он образует группу по функциональному составу. Мы также можем определить топологию на этом новом пространстве гомеоморфизмов. В открытых множествах этого новой функции пространства будет состоять из наборов функций, отображающие компактные подмножества K в открытые подмножества U в K и U в диапазон на протяжении всего нашего оригинального топологического пространства, завершенного с их конечными пересечениями (которые должны быть открыты по определению топологии) и произвольные союзы (опять же, которые должны быть открытыми). Это дает понятие непрерывности на пространстве функций, так что мы можем рассматривать непрерывную деформацию самих гомеоморфизмов, называемую гомотопиями. Мы определяем группу классов отображений, беря гомотопические классы гомеоморфизмов и индуцируя структуру группы из структуры функциональной композиционной группы, уже имеющейся в пространстве гомеоморфизмов.

Группа классов отображения терминов имеет гибкое использование. Чаще всего он используется в контексте многообразия М. Группа классов отображений из М интерпретируется как группа классов изотопии от автоморфизмов из М. Таким образом, если M является топологическим многообразием, класс отображения группы является группой изотопических классов гомеоморфизмов на М. Если M является гладким многообразием, класс отображения группой является группой изотопических классов диффеоморфизмов на М. Всякий раз, когда группа автоморфизмов объекта X имеет естественную топологию, группа классов отображения X определяется как, где - компонент пути тождества в. (Обратите внимание, что в компактно-открытой топологии компоненты пути и изотопические классы совпадают, т. Е. Два отображения f и g находятся в одной компоненте пути тогда и только тогда, когда они изотопны). Для топологических пространств это обычно компактно-открытая топология. В литературе по низкоразмерной топологии группа классов отображения X обычно обозначается MCG ( X), хотя она также часто обозначается, где вместо Aut заменяют соответствующую группу для категории, к которой принадлежит X. Здесь обозначает 0-ю гомотопическую группу пространства. ${\ Displaystyle \ OperatorName {Aut} (X) / \ Operatorname {Aut} _ {0} (X)}$${\ displaystyle \ operatorname {Aut} _ {0} (X)}$ ${\ Displaystyle \ OperatorName {Aut} (X)}$ ${\ displaystyle \ pi _ {0} (\ operatorname {Aut} (X))}$ ${\ displaystyle \ pi _ {0}}$

В общем, существует короткая точная последовательность групп:

${\ Displaystyle 1 \ rightarrow \ OperatorName {Aut} _ {0} (X) \ rightarrow \ OperatorName {Aut} (X) \ rightarrow \ OperatorName {MCG} (X) \ rightarrow 1.}$

Часто эта последовательность не разбивается.

При работе в гомотопической категории, отображение класс группа X есть группа гомотопических классов из гомотопических эквивалентностей из X.

Есть много подгрупп групп классов отображений, которые часто изучаются. Если M - ориентированное многообразие, то были бы сохраняющие ориентацию автоморфизмы M, и поэтому группа классов отображений M (как ориентированное многообразие) будет индексом два в группе классов отображений M (как неориентированное многообразие) при условии, что M допускает обращающий ориентацию автоморфизм. Аналогичным образом, подгруппа, которая действует тождественно на все группы гомологии с M называется группой Торелла из М. ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (M)}$

Сфера

В любой категории (гладкой, PL, топологической, гомотопической)

${\ Displaystyle \ OperatorName {MCG} (S ^ {2}) \ simeq \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z},}$

соответствующие отображениям степени  ± 1.

Тор

В гомотопической категории

${\ displaystyle \ operatorname {MCG} (\ mathbf {T} ^ {n}) \ simeq \ operatorname {GL} (n, \ mathbb {Z}).}$

Это связано с тем, что n-мерный тор является пространством Эйленберга – Маклейна. ${\ Displaystyle \ mathbf {T} ^ {n} = (S ^ {1}) ^ {n}}$

Для других категорий if используются следующие последовательности с точным разделением: ${\ displaystyle n \ geq 5}$

В категории топологических пространств

${\ displaystyle 0 \ to \ mathbb {Z} _ {2} ^ {\ infty} \ to \ operatorname {MCG} (\ mathbf {T} ^ {n}) \ to \ operatorname {GL} (n, \ mathbb {Z}) \ to 0}$

В категории PL

${\ displaystyle 0 \ to \ mathbb {Z} _ {2} ^ {\ infty} \ oplus {\ binom {n} {2}} \ mathbb {Z} _ {2} \ to \ operatorname {MCG} (\ mathbf {T} ^ {n}) \ to \ operatorname {GL} (n, \ mathbb {Z}) \ to 0}$

(⊕ представляет прямую сумму ). В категории гладких

${\ displaystyle 0 \ to \ mathbb {Z} _ {2} ^ {\ infty} \ oplus {\ binom {n} {2}} \ mathbb {Z} _ {2} \ oplus \ sum _ {я = 0 } ^ {n} {\ binom {n} {i}} \ Gamma _ {i + 1} \ to \ operatorname {MCG} (\ mathbf {T} ^ {n}) \ to \ operatorname {GL} (n, \ mathbb {Z}) \ to 0}$

где являются Керверы-Милноры конечных абелевых групп гомотопических сфер и являются группой 2 - го порядка. ${\ displaystyle \ Gamma _ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$

Поверхности

Основная статья: Отображение группы классов поверхности

Группы классов отображений поверхностей были тщательно изучены и иногда называются модулярными группами Тейхмюллера (обратите внимание на специальный случай выше), поскольку они действуют на пространстве Тейхмюллера, а фактор - это пространство модулей римановых поверхностей, гомеоморфных поверхности. Эти группы обладают чертами, сходными как с гиперболическими группами, так и с линейными группами более высокого ранга. У них есть много приложений в теории геометрических трехмерных многообразий Терстона (например, к поверхностным расслоениям ). Элементы этой группы также были изучены сами по себе: важным результатом является классификационная теорема Нильсена – Терстона, а порождающее семейство для группы задается скручиваниями Дена, которые в некотором смысле являются «простейшими» классами отображений. Каждая конечная группа является подгруппой группы классов отображений замкнутой ориентируемой поверхности; на самом деле можно реализовать любую конечную группу как группу изометрий некоторой компактной римановой поверхности (что немедленно означает, что она вводит в группу классов отображений лежащей в основе топологической поверхности). ${\ Displaystyle \ OperatorName {MCG} (\ mathbf {T} ^ {2})}$

Неориентируемые поверхности

Некоторые неориентируемые поверхности имеют группы классов отображений с простыми представлениями. Например, каждый гомеоморфизм реальной проективной плоскости изотопен тождеству: ${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {2} (\ mathbb {R})}$

${\ displaystyle \ operatorname {MCG} (\ mathbf {P} ^ {2} (\ mathbb {R})) = 1.}$

Группа классов отображения бутылки Клейна K:

${\ displaystyle \ operatorname {MCG} (K) = \ mathbb {Z} _ {2} \ oplus \ mathbb {Z} _ {2}.}$

Эти четыре элемента идентичность, A поворот деновского на двусторонний кривой, которая не ограничивает ленту Мёбиуса, то у-гомеоморфизм из Lickorish, и продукт крутки и у-гомеоморфизма. Это хорошее упражнение, чтобы показать, что квадрат твиста Дена изотопен тождеству.

Отметим также, что замкнутая неориентируемая поверхность N 3 рода три (связная сумма трех проективных плоскостей) имеет:

${\ displaystyle \ operatorname {MCG} (N_ {3}) = \ operatorname {GL} (2, \ mathbb {Z}).}$

Это связано с тем, что поверхность N имеет уникальный класс односторонних кривых, так что при разрезании N вдоль такой кривой C результирующая поверхность представляет собой тор с удаленным диском. Как неориентированная поверхность, ее группа классов отображений равна. (Лемма 2.1). ${\ Displaystyle N \ setminus C}$${\ Displaystyle \ OperatorName {GL} (2, \ mathbb {Z})}$

3-манифольды

Группы классов отображений 3-многообразий также получили значительное исследование и тесно связаны с группами классов отображений 2-многообразий. Например, любая конечная группа может быть реализована как группа классов отображений (а также группа изометрий) компактного трехмерного гиперболического многообразия.

Для пары пространств (X, A) группа классов отображений пары является изотопическими классами автоморфизмов пары, где автоморфизм (X, A) определяется как автоморфизм X, сохраняющий A, т. Е. F: X → X обратим и F (A) =.

Группа симметрии узла и звеньев

Если K ⊂ S ³ - узел или зацепление, группа симметрии узла (соответственно зацепления) определяется как группа классов отображений пары ( S ³, K). Группа симметрии гиперболического узла, как известно, является диэдральной или циклической, более того, каждая диэдральная и циклическая группа может быть реализована как группы симметрии узлов. Группа симметрии торического узла, как известно, имеет второй порядок Z 2.

Обратите внимание, что есть индуцированное действие группы классов отображений на гомологии (и когомологий ) пространства X. Это потому, что (ко) гомологии функториальны и Homeo 0 действует тривиально (потому что все элементы изотопны, следовательно, гомотопны единице, которая действует тривиально, а действие на (ко) гомологиях инвариантно относительно гомотопии). Ядром этого действия является группа Торелли, названная в честь теоремы Торелли.

В случае ориентируемых поверхностей это действие на первых когомологиях H ¹ (Σ) ≅ Z ^{2 g}. Сохраняющих ориентацию карты являются именно те, которые действуют тривиально на верхней когомологий H ² (a) ≅ Z. H ¹ (Σ) имеет симплектическую структуру, происходящую от чашечного произведения ; поскольку эти отображения являются автоморфизмами, а отображения сохраняют кубовое произведение, группа классов отображений действует как симплектические автоморфизмы, и действительно, все симплектические автоморфизмы реализуются, давая короткую точную последовательность :

${\ displaystyle 1 \ to \ operatorname {Tor} (\ Sigma) \ to \ operatorname {MCG} (\ Sigma) \ to \ operatorname {Sp} (H ^ {1} (\ Sigma)) \ cong \ operatorname {Sp } _ {2g} (\ mathbf {Z}) \ to 1}$

Можно распространить это на

${\ displaystyle 1 \ to \ operatorname {Tor} (\ Sigma) \ to \ operatorname {MCG} ^ {*} (\ Sigma) \ to \ operatorname {Sp} ^ {\ pm} (H ^ {1} (\ Sigma)) \ cong \ operatorname {Sp} _ {2g} ^ {\ pm} (\ mathbf {Z}) \ to 1}$

Симплектическая группа хорошо изучена. Следовательно, понимание алгебраической структуры группы классов отображений часто сводится к вопросам о группе Торелли.

Заметим, что для тора (род 1) отображение в симплектическую группу является изоморфизмом, а группа Торелли обращается в нуль.

Можно встроить поверхность рода g и 1 компонент границы в, прикрепив дополнительное отверстие на конце (т. Е. Склеив вместе и), и, таким образом, автоморфизмы малой поверхности, фиксирующие границу, распространятся на большую поверхность. Переход к прямому пределу этих групп и включений дает стабильную группу классов отображений, рациональное кольцо когомологий которой было предположено Дэвидом Мамфордом (одна из гипотез, называемых гипотезами Мамфорда ). Целочисленное (не только рациональное) кольцо когомологий было вычислено в 2002 году Иб Мадсеном и Майклом Вайссом, доказав гипотезу Мамфорда. ${\ displaystyle \ Sigma _ {g, 1}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {g + 1,1}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {g, 1}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {1,2}}$

• Группы кос, группы классов отображений проколотых дисков
• Гомотопические группы
• Гомеотопические группы
• Фонарное отношение

• Бирман, Джоан (1974). Косы, связи и группы классов отображения. Анналы математических исследований. 82. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN   978-0691081496. Руководство по ремонту   0375281.
• Автоморфизмы поверхностей после Нильсен и Тёрстона по Эндрю Кассон и Стив Блейлер.
• "Группы классов отображений" Николая В. Иванова в Справочнике по геометрической топологии.
• Учебник по составлению карт класса групп по Бенсон Фарб и Дэн Маргалит
• Пападопулос, Атанас, изд. (2007), Справочник по теории Тейхмюллера. Vol. I, Лекции IRMA по математике и теоретической физике, 11, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, DOI : 10.4171 / 029, ISBN   978-3-03719-029-6, MR   2284826
• Пападопулос, Атанас, изд. (2009), Справочник по теории Тейхмюллера. Vol. II, Лекции IRMA по математике и теоретической физике, 13, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, arXiv : math / 0511271, doi : 10.4171 / 055, ISBN   978-3-03719-055-5, Руководство по ремонту   2524085
• Пападопулос, Атанас, изд. (2012), Справочник по теории Тейхмюллера. Vol. III, Лекции IRMA по математике и теоретической физике, 17, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, DOI : 10.4171 / 103, ISBN   978-3-03719-103-3, MR   2961353
• Пападопулос, Атанас, изд. (2014), Справочник по теории Тейхмюллера. Vol. IV, Лекции IRMA по математике и теоретической физике, 19, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, DOI : 10.4171 / 117, ISBN   978-3-03719-117-0

Группа классов стабильного отображения

• Стабильное пространство модулей римановых поверхностей: гипотеза Мамфорда, Иб Мадсен и Майкл С. Вайсс, 2002 г.

  Опубликовано как: Стабильное пространство модулей римановых поверхностей: гипотеза Мамфорда, Иб Мадсен и Майкл С. Вайс, 2007, Annals of Mathematics

• Семинар Madsen-Weiss MCG ; много ссылок