Кубическая поверхность

редактировать

В математике, кубическая поверхность - это поверхность в трехмерном пространстве, заданном одним полиномиальным уравнением степени 3. Кубические поверхности являются фундаментальными примерами в алгебраической геометрии. Теория упрощается, если работать в проективном пространстве, а не в аффинном пространстве, поэтому кубические поверхности обычно рассматриваются в проективном 3-пространстве $P 3 {\ displaystyle \ mathbf {P } ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3 }}$ . Теория также становится более единообразной, если сосредоточить внимание на поверхностях над комплексными числами, а не с действительными числами ; обратите внимание, что сложная поверхность имеет действительную размерность 4. Простым примером является кубическая поверхность Ферма

x 3 + y 3 + z 3 + w 3 = 0 {\ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3 } + z ^ {3} + w ^ {3} = 0}

{\ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} + w ^ {3} = 0}

в $P 3 {\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3 }}$ . Многие свойства кубических поверхностей в целом сохраняются для поверхностей дель Пеццо.

Гладкая кубическая поверхность (поверхность Клебша)

Содержание

1 Рациональность кубических поверхностей
2 27 линий на кубической поверхности
3 Специальные кубические поверхности
4 Реальные кубические поверхности
5 Пространство модулей кубических поверхностей
6 Конус кривых
7 Кубические поверхности над полем
8 См. Также
9 Примечания
10 Ссылки
11 Внешние ссылки

Рациональность кубических поверхностей

Центральная особенность гладких кубических поверхностей X над алгебраически замкнутым полем состоит в том, что все они рациональны, как показано Альфредом Клебшем в 1866 году. То есть существует взаимно однозначное соответствие, определяемое рациональными функциями между проективная плоскость $P 2 {\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {2}}$ ${\ mathbf {P}} ^ {2}$ минус подмножество меньшего измерения и X минус подмножество меньшего измерения. В более общем смысле любая неприводимая кубическая поверхность (возможно, особая) над алгебраически замкнутым полем является рациональной, если она не является проективным конусом над кубической кривой. В этом отношении кубические поверхности намного проще, чем гладкие поверхности степени не ниже 4 из $P 3 {\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3 }}$ , которые никогда не являются рациональными. В характеристике ноль гладкие поверхности степени не менее 4 в $P 3 {\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3 }}$ даже не uniruled.

Более строго, Клебш показал, что каждая гладкая кубическая поверхность в $P 3 {\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3 }}$ над алгебраически замкнутым полем изоморфна удару -up из $P 2 {\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {2}}$ ${\ mathbf {P}} ^ {2}$ в 6 точках. В результате каждая гладкая кубическая поверхность над комплексными числами диффеоморфна связной сумме $CP 2 # 6 (- CP 2) {\ displaystyle \ mathbf {CP} ^ {2} \ # 6 (- \ mathbf {CP} ^ {2})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {CP} ^ {2} \ # 6 (- \ mathbf {CP} ^ {2})}$ , где знак минус означает изменение ориентации . И наоборот, раздутие $P 2 {\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {2}}$ ${\ mathbf {P}} ^ {2}$ в 6 точках изоморфно кубической поверхности тогда и только тогда, когда точки находятся в общем положении, что означает, что никакие три точки не лежат на прямой, и все 6 не лежат на конике . Как комплексное многообразие (или алгебраическое многообразие ), поверхность зависит от расположения этих 6 точек.

27 линий на кубической поверхности

Большинство доказательств рациональности кубических поверхностей начинается с поиска линии на поверхности. (В контексте проективной геометрии линия в $P 3 {\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3 }}$ изоморфна $P 1 {\ displaystyle \ mathbf {P } ^ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {1}}$ .) Точнее, Артур Кэли и Джордж Сэлмон показали в 1849 году, что каждая гладкая кубическая поверхность над алгебраически замкнутым полем содержит ровно 27 линий. Это отличительная черта кубиков: гладкая поверхность квадрики (степени 2) покрыта непрерывным семейством линий, в то время как большинство поверхностей степени не менее 4 в $P 3 {\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3 }}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3 }}$ не содержат строк. Другой полезный метод нахождения 27 линий включает исчисление Шуберта, которое вычисляет количество линий с использованием теории пересечения грассманиана линий на $P 3 {\ displaystyle \ mathbf { P} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3 }}$ .

Поскольку коэффициенты гладкой комплексной кубической поверхности меняются, 27 линий непрерывно перемещаются. В результате замкнутый цикл в семействе гладких кубических поверхностей определяет перестановку из 27 линий. Группа перестановок 27 прямых, возникающих таким образом, называется группой монодромии семейства кубических поверхностей. Замечательное открытие XIX века заключалось в том, что группа монодромии не является ни тривиальной, ни всей симметрической группой $S 27 {\ displaystyle S_ {27}}$ ${\ displaystyle S_ {27}}$ ; это группа порядка 51840, действующая транзитивно на множестве строк. Эта группа постепенно была признана (Эли Картаном (1896), Артуром Коблом (1915-17) и Патриком дю Валь (1936)) как Группа Вейля типа $E 6 {\ displaystyle E_ {6}}$ $E_ {6}$ , группа, порожденная отражениями в 6-мерном реальном векторном пространстве, связанная с Ли группа $E 6 {\ displaystyle E_ {6}}$ $E_ {6}$ размерности 78.

Та же самая группа порядка 51840 может быть описана в комбинаторных терминах, как группа автоморфизмов графа из 27 линий, с вершиной для каждой линии и ребром, когда встречаются две линии. Этот график был проанализирован в XIX веке с использованием таких подграфов, как конфигурация двойной шестерки Шлефли. Дополнительный граф (с ребром, когда две прямые не пересекаются) известен как граф Шлефли.

Граф Шлефли

Многие проблемы, связанные с кубическими поверхностями, могут быть решены с использованием комбинаторики $E 6 { \ displaystyle E_ {6}}$ $E_ {6}$ корневая система. Например, 27 строк могут быть идентифицированы с помощью весов фундаментального представления группы Ли $E 6 {\ displaystyle E_ {6}}$ $E_ {6}$ . Возможные наборы особенностей, которые могут возникать на кубической поверхности, могут быть описаны в терминах подсистем корневой системы $E 6 {\ displaystyle E_ {6}}$ $E_ {6}$ . Одно из объяснений этой связи состоит в том, что решетка $E 6 {\ displaystyle E_ {6}}$ $E_ {6}$ возникает как ортогональное дополнение к антиканоническому классу $- KX {\ displaystyle -K_ {X}}$ ${\ displaystyle -K_ {X}}$ в группе Пикара $Pic ⁡ (X) ≅ Z 7 {\ displaystyle \ operatorname {Pic} (X) \ cong \ mathbf { Z} ^ {7}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Pic} (X) \ cong \ mathbf {Z} ^ {7}}$ с его формой пересечения (исходя из теории пересечений кривых на поверхности). Для гладкой комплексной кубической поверхности решетку Пикара также можно отождествить с группой когомологий $H 2 (X, Z) {\ displaystyle H ^ {2} (X, \ mathbf {Z})}$ ${\ displaystyle H ^ {2} (X, \ mathbf {Z})}$ .

Точка Эккардта - это точка пересечения 3 из 27 линий. Большинство кубических поверхностей не имеют точки Эккарда, но такие точки встречаются на подмножестве коразмерности -1 семейства всех гладких кубических поверхностей.

Учитывая отождествление кубической поверхности на X и при увеличении $P 2 {\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {2}}$ ${\ mathbf {P}} ^ {2}$ в 6 точках в общем положении 27 линий на X можно рассматривать как: 6 созданных исключительных кривых путем взрыва, бирациональные преобразования 15 линий через пары из 6 точек в $P 2 {\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {2}}$ ${\ mathbf {P}} ^ {2}$ , а бирациональные преобразования 6 коники, содержащие все 6 точек, кроме одной. Данную кубическую поверхность можно рассматривать как раздутие $P 2 {\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {2}}$ ${\ mathbf {P}} ^ {2}$ более чем одним способом (фактически, 72 различными способами), поэтому описание как раздутие не обнаруживает симметрии всех 27 линий.

Связь между кубическими поверхностями и корневой системой $E 6 {\ displaystyle E_ {6}}$ $E_ {6}$ обобщается на связь между всеми поверхностями дель Пеццо и корневыми системами. Это одна из многих классификаций ADE в математике. Продолжая эти аналогии, Вера Серганова и Алексей Скоробогатов установили прямую геометрическую связь между кубическими поверхностями и группой Ли $E 6 {\ displaystyle E_ {6}}$ $E_ {6}$ .

In физике 27 линий можно отождествить с 27 возможными зарядами М-теории на шестимерном торе (6 импульсов; 15 мембран ; 6 fivebranes ), а группа E 6 естественно действует как группа U-двойственности. Эта карта между поверхностями дель Пеццо и M-теорией на торах известна как таинственная двойственность.

Специальные кубические поверхности

Гладкая комплексная кубическая поверхность в $P 3 {\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3 }}$ с наибольшей группой автоморфизмов - это кубическая поверхность Ферма, определяемая формулой

x 3 + y 3 + z 3 + w 3 = 0. {\ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} + w ^ {3} = 0.}

{\ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} + w ^ {3} = 0.}

Его группа автоморфизмов является расширением $3 3: S 4 {\ displaystyle 3 ^ {3}: S_ {4}}$ ${\ displaystyle 3 ^ {3}: S_ {4}}$ , порядка 648.

Следующей наиболее симметричной гладкой кубической поверхностью является поверхность Клебша, который может быть определен в $P 4 {\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {4}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {4}}$ двумя уравнениями

x 0 + x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = x 0 3 + x 1 3 + x 2 3 + x 3 3 + x 4 3 = 0. {\ displaystyle x_ {0} + x_ {1} + x_ {2} + x_ {3} + x_ {4} = x_ {0} ^ {3} + x_ {1} ^ {3} + x_ {2} ^ {3} + x_ {3} ^ {3} + x_ {4} ^ {3} = 0.}

{\ displaystyle x_ {0} + x_ {1} + x_ {2} + x_ {3} + x_ {4} = x_ {0} ^ {3} + x_ {1} ^ {3} + x_ {2} ^ {3} + x_ {3} ^ {3} + x_ {4} ^ {3} = 0.}

Его группа автоморфизмов - это симметрическая группа $S 5 {\ displaystyle S_ {5}}$ $S_ {5}$ порядка 120. После сложной линейной замены координаты, поверхность Клебша также может быть определена уравнением

x 2 y + y 2 z + z 2 w + w 2 x = 0 {\ displaystyle x ^ {2} y + y ^ {2} z + z ^ {2} w + w ^ {2} x = 0}

{\ displaystyle x ^ {2 } y + y ^ {2} z + z ^ {2} w + w ^ {2} x = 0}

в $P 3 {\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3 }}$ .

узловая кубическая поверхность Кэли

Среди сингулярных комплексных кубические поверхности, узловая кубическая поверхность Кэли - это уникальная поверхность с максимальным числом узлов, 4:

wxy + xyz + yzw + zwx = 0. {\ displaystyle wxy + xyz + yzw + zwx = 0.}

{\ displaystyle wxy + xyz + yzw + zwx = 0.}

Его группа автоморфизмов $S 4 {\ displaystyle S_ {4}}$ $S_ {4}$ порядка 24.

Реальные кубические поверхности

В отличие от сложного случая, пространство гладких кубических поверхностей над действительными числами не связно в классической топологии (на основе топологии R ). Его компоненты связности (другими словами, классификация гладких вещественных кубических поверхностей с точностью до изотопии ) были определены Людвигом Шлефли (1863), Феликсом Кляйном (1865).) и H. Г. Цойтен (1875). А именно, существует 5 изотопических классов гладких вещественных кубических поверхностей X в $P 3 {\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3 }}$ , различающихся топологией пространства вещественные точки $X (R) {\ displaystyle X (\ mathbf {R})}$ ${\ displaystyle X (\ mathbf {R})}$ . Пространство вещественных точек диффеоморфно либо $W 7, W 5, W 3, W 1 {\ displaystyle W_ {7}, W_ {5}, W_ {3}, W_ {1}}$ ${\ displaystyle W_ {7}, W_ {5}, W_ {3}, W_ {1}}$ , или непересекающееся объединение $W 1 {\ displaystyle W_ {1}}$ $W_1$ и 2-сферы, где $W r {\ displaystyle W_ {r}}$ ${\ displaystyle W_ {r}}$ обозначает связную сумму r копий реальной проективной плоскости $RP 2 {\ displaystyle \ mathbf {RP} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {RP} ^ {2}}$ . Соответственно, количество вещественных прямых, содержащихся в X, равно 27, 15, 7, 3 или 3.

Гладкая вещественная кубическая поверхность рациональна над R тогда и только тогда, когда ее пространство вещественные точки связаны, следовательно, в первых четырех из пяти предыдущих случаев.

Пространство модулей кубических поверхностей

Две гладкие кубические поверхности изоморфны как алгебраические многообразия тогда и только тогда, когда они эквивалентны некоторым линейным автоморфизмом $P 3 {\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3 }}$ . Геометрическая теория инвариантов дает пространство модулей кубических поверхностей с одной точкой для каждый класс изоморфизма гладких кубических поверхностей. Это пространство модулей имеет размерность 4. Точнее, это открытое подмножество взвешенного проективного пространства P (12345) Салмона и Клебша (1860). В частности, это рациональное четырехмерное многообразие.

Конус кривых

Прямые на кубической поверхности X над алгебраически замкнутым полем могут быть описаны внутренне, без ссылки на вложение X в $P 3 {\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3 }}$ : это в точности (−1) -кривые на X, что означает, что кривые изоморфны на $P 1 {\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {1}}$ , которые имеют самопересечение −1. Кроме того, классы прямых в решетке Пикара X (или, что эквивалентно, группа классов делителей ) - это в точности элементы u из Pic (X), такие что $u 2 = - 1 {\ displaystyle u ^ {2} = - 1}$ ${\ displaystyle u ^ {2} = - 1}$ и $- KX ⋅ u = 1 {\ displaystyle -K_ {X} \ cdot u = 1}$ ${\ displaystyle -K_ {X} \ cdot u = 1}$ . (Здесь используется, что ограничение линейного пучка гиперплоскости O (1) на $P 3 {\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3 }}$ на X является антиканонический линейный пучок $- KX {\ displaystyle -K_ {X}}$ ${\ displaystyle -K_ {X}}$ , по формуле присоединения.)

Для любого проективного многообразия X, конус кривых означает выпуклый конус, натянутый на все кривые в X (в реальном векторном пространстве $N 1 (X) {\ displaystyle N_ {1} (X)}$ $N_ {1} (X)$ 1-циклов по модулю числовой эквивалентности, или в группе гомологии $H 2 (X, R) {\ displaystyle H_ {2} (X, \ mathbf {R}) }$ ${\ displaystyle H_ {2} (X, \ mathbf {R})}$ , если базовое поле - комплексные числа). Для кубической поверхности конус кривых натянут на 27 прямых. В частности, это рациональный многогранный конус в $N 1 (X) ≅ R 7 {\ displaystyle N_ {1} (X) \ cong \ mathbf {R} ^ {7}}$ ${\ displaystyle N_ {1} (X) \ cong \ mathbf {R} ^ {7}}$ с большая группа симметрии, группа Вейля $E 6 {\ displaystyle E_ {6}}$ $E_ {6}$ . Аналогичное описание конуса кривых существует для любой поверхности дель Пеццо.

Кубические поверхности над полем

Гладкая кубическая поверхность X над полем k, которая не является алгебраически замкнутой, не обязательно должна быть рациональной над k. В крайнем случае, есть гладкие кубические поверхности над рациональными числами Q(или p-адическими числами $Q p {\ displaystyle \ mathbf {Q} _ {p} }$ ${\ mathbf {Q}} _ {p}$ ) без рациональных точек, и в этом случае X определенно не рационально. Если X (k) непусто, то X по крайней мере унирационально над k, согласно Бениамино Сегре и Яношу Коллару. Для бесконечного k унирациональность означает, что множество k-рациональных точек плотно по Зарискому в X.

абсолютная группа Галуа k переставляет 27 линий X над алгебраическим замыканием $k ¯ {\ displaystyle {\ overline {k}}}$ $\ overline {k}$ of k (через некоторую подгруппу группы Вейля $E 6 {\ displaystyle E_ {6}}$ $E_ {6}$ ). Если некоторая орбита этого действия состоит из непересекающихся прямых, то X - раздутие «более простой» поверхности дель Пеццо над k в замкнутой точке. В противном случае X имеет число Пикара 1. (Группа Пикара X является подгруппой геометрической группы Пикара $Pic ⁡ (X k ¯) ≅ Z 7 {\ displaystyle \ operatorname {Pic} (X _ {\ overline {k }}) \ cong \ mathbf {Z} ^ {7}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Pic} (X _ {\ overline {k}}) \ cong \ mathbf {Z} ^ {7}}$ .) В последнем случае Сегре показал, что X никогда не бывает рациональным. Более строго, Юрий Манин доказал утверждение бирациональной жесткости: две гладкие кубические поверхности с числом Пикара 1 над совершенным полем k являются бирациональными тогда и только тогда, когда они изоморфный. Например, эти результаты дают множество кубических поверхностей над Q, которые унирациональны, но не рациональны.

См. Также

Примечания

Ссылки

Брюс, Дж. У.; Wall, CTC (1979), «О классификации кубических поверхностей», Журнал Лондонского математического общества, 19 (2): 245–256, doi : 10.1112 / jlms / s2-19.2.245, ISSN 0024-6107, MR 0533323
Кэли, Артур (1849), «О тройных касательных плоскостях поверхностей третьего порядка», Cambridge and Dublin Math. J., 4 : 118–138
Кэли, Артур (1869), «Мемуары о кубических поверхностях», Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Королевское общество, 159 : 231–326, doi : 10.1098 / rstl.1869.0010, ISSN 0080-4614, JSTOR 108997
Дегтярев А.И.; Харламов, В.М. (2000), «Топологические свойства вещественных алгебраических многообразий: путь Рохлина», Российские математические обзоры, 55 (4): 735–814, arXiv : math / 0004134, doi : 10.1070 / RM2000v055n04ABEH000315, MR 1786731
Долгачев, Игорь (2012), Классическая алгебраическая геометрия: современный view, Cambridge University Press, doi : 10.1017 / CBO9781139084437, ISBN 9781139084437, MR 2964027
Робин Хартсхорн (1997) [1977]. Алгебраическая геометрия. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9. MR 0463157.
Хендерсон, Арчибальд (2015) [1911], Двадцать семь линий на кубической поверхности, Cambridge Tracts in Mathematics, Cambridge University Press, ISBN 978-1107493513, JFM 42.0661.01
Holzer, Stephan; Labs, Оливер (2006), «Иллюстрируя классификацию реальных кубических поверхностей» (PDF), Алгебраическая геометрия и геометрическое моделирование, Springer, стр. 119–134, MR 2279847
Исковских В.А. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
Коллар, Янош ; Смит, Карен Э. ; Корти, Алессио (2004), Рациональные и почти рациональные разновидности, Cambridge University Press, doi : 10.1017 / CBO9780511734991, ISBN 978-0-521-83207-6, MR 2062787, S2CID 117569533
Манин, Юрий Иванович (1986), Cubic формы, Математическая библиотека Северной Голландии, 4 (2-е изд.), Амстердам: Северная Голландия, ISBN 978-0-444-87823-6, MR 0833513
Рейд, Майлз (1988). Бакалавриат по алгебраической геометрии. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-35662-6. MR 0982494.
Шлефли, Людвиг (1863), «О распределении поверхностей третьего порядка по видам, в ссылка на отсутствие или наличие особых точек и реальность их линий », Philosophical Transactions of the Royal Society of London, The Royal Society, 153 : 193–241, doi : 10.1098 / rstl.1863.0010, ISSN 0080-4614, JSTOR 108795
Сегре, Бениамино (1942), Неособые кубические поверхности, Oxford University Press, MR 0008171
Серганова, Вера ; Скоробогатов, Алексей (2007), «Поверхности Дель Пеццо и теория представлений», Алгебра и теория чисел, 1 (4): 393–419, doi : 10.2140 / ant.2007.1.393, MR 2368955
Силхол, Роберт (1989), Вещественные алгебраические поверхности, Лекционные заметки по математике, 1392, Springer-Verlag, doi : 10.1007 / BFb0088815, ISBN 3-540-51563-1, MR 1015720

Внешние ссылки

На Викискладе есть материалы, связанные с Кубические поверхности.

О'Коннор, Джон Дж. ; Робертсон, Эдмунд Ф., «Кубическая поверхность», Архив истории математики MacTutor, Университет Сент-Эндрюс.
Линии на кубической поверхности Райана Хобана (Лаборатория экспериментальной геометрии в Университете Мэриленда), на основе работы Уильяма Голдмана, Демонстрационный проект Вольфрама.
DVD с кубическими поверхностями (54 анимации кубических поверхностей, загружаемые отдельно или как DVD)