Геометрическая теория инвариантов

В математике, геометрической теории инвариантов (или GIT ) - это метод построения частных по групповым действиям в алгебраической геометрии, используемый для построения пространств модулей. Он был разработан Дэвидом Мамфордом в 1965 году с использованием идей из статьи (Hilbert 1893) по классической теории инвариантов.

Геометрическая теория инвариантов изучает действие группа G на алгебраическом многообразии (или схема ) X и предоставляет методы для формирования «частного» X по G как схемы с разумными свойствами. Одним из мотивов было построение пространств модулей в алгебраической геометрии как частных схем, параметризующих отмеченные объекты. В 1970-х и 1980-х годах теория развивала взаимодействия с симплектической геометрией и эквивариантной топологией и использовалась для построения пространств модулей объектов в дифференциальной геометрии, например инстантоны и монополи.

• 1 Предпосылки
• 2 Книга Мамфорда
• 3 Стабильность
• 4 См. Также
• 5 Ссылки

Теория инвариантов связана с групповым действием группы группы G на алгебраическом многообразии (или схеме ) X. Классический Теория инвариантов рассматривает ситуацию, когда X = V является векторным пространством, а G либо конечной группой, либо одной из классических групп Ли, которая действует линейно на V. Это действие индуцирует линейное действие G на пространстве полиномиальных функций R (V) на V по формуле

$g\; \cdot \; f\; (v)\; =\; f\; (g\; -\; 1\; v),\; g\; \in \; G,\; v\; \in \; V.\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \backslash \; cdot\; f\; (v)\; =\; f\; (g\; ^\; \{-\; 1\}\; v),\; \backslash \; quad\; g\; \backslash \; in\; G,\; v\; \backslash \; in\; V.\}$

Многочлен инвариант группы G -действие на V - это те полиномиальные функции f на V, которые фиксируются при «замене переменных» из-за действия группы, так что g · f = f для всех g в G. Они образуют коммутативную алгебру A = R (V), и эта алгебра интерпретируется как алгебра функций на 'факторе теории инвариантов ' V // G, потому что любая из этих функций дает одинаковое значение для всех точек которые эквивалентны (то есть $f\; (v)\; =\; f\; (gv)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (v)\; =\; f\; (gv)\}$для всех g). На языке современной алгебраической геометрии,

$V\; /\; /\; G\; =\; Spec\; \; A\; =\; Spec\; \; R\; (V)\; G.\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; /\; \backslash !\; \backslash !\; /\; G\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; A\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; R\; (V)\; ^\; \{G\}.\}$

Из этого описания возникает несколько трудностей. Первый из них, успешно решенный Гильбертом в случае общей линейной группы, - это доказать, что алгебра A конечно порождена. Это необходимо, если нужно, чтобы фактор был аффинным алгебраическим многообразием. Справедливость аналогичного факта для произвольных групп G была предметом четырнадцатой проблемы Гильберта, а Нагата продемонстрировал, что ответ в целом был отрицательным. С другой стороны, в ходе развития теории представлений в первой половине двадцатого века был идентифицирован большой класс групп, для которых ответ положительный; они называются редуктивными группами и включают все конечные группы и все классические группы.

Конечное поколение алгебры A - это всего лишь первый шаг к полному описанию A и прогрессу в разрешении этой проблемы. более тонкий вопрос был довольно скромным. Классически инварианты описывались только в ограниченном диапазоне ситуаций, и сложность этого описания за пределами первых нескольких случаев оставляла мало надежды на полное понимание алгебр инвариантов в целом. Более того, может случиться так, что любой полиномиальный инвариант f принимает одно и то же значение в данной паре точек u и v в V, но эти точки находятся на разных орбитах G-действия. Простой пример представлен мультипликативной группой C ненулевых комплексных чисел, которая действует на n-мерное комплексное векторное пространство C посредством скалярного умножения. В этом случае каждый полиномиальный инвариант является константой, но существует множество различных орбит действия. Нулевой вектор сам по себе образует орбиту, а ненулевые кратные любого ненулевого вектора образуют орбиту, так что ненулевые орбиты параметризуются точками комплексного проективного пространства CP. Если это происходит (разные орбиты имеют одинаковые значения функций), говорят, что «инварианты не разделяют орбиты», и алгебра A отражает топологическое фактор-пространство X / G довольно несовершенно. Действительно, последнее пространство с фактор-топологией часто не разделено (не Хаусдорф ). (Так обстоит дело в нашем примере - нулевая орбита не открыта, потому что любая окрестность нулевого вектора содержит точки на всех других орбитах, поэтому в фактор-топологии любая окрестность нулевой орбиты содержит все другие орбиты.) В 1893 году Гильберт сформулировал и доказал критерий для определения тех орбит, которые не отделены от нулевой орбиты инвариантными многочленами. Примечательно то, что в отличие от его более ранних работ по теории инвариантов, приведших к быстрому развитию абстрактной алгебры, этот результат Гильберта оставался малоизвестным и мало использовался в течение следующих 70 лет. Большая часть развития теории инвариантов в первой половине двадцатого века была связана с явными вычислениями с инвариантами и, во всяком случае, следовала логике алгебры, а не геометрии.

Геометрическая теория инвариантов была основана и развита Мамфордом в монографии, впервые опубликованной в 1965 году, в которой были применены идеи теории инвариантов XIX века, включая некоторые результаты Гильберта, к вопросам современной алгебраической геометрии. (Книга была значительно расширена в двух более поздних изданиях, с дополнительными приложениями Фогарти и Мамфорда и главой о симплектических факторах Кирвана.) В книге используется как теория схем, так и вычислительные методы, доступные в примерах. Используемая абстрактная настройка - это настройка группового действия на схеме X. Простая идея орбитального пространства

G \ X,

т.е. факторное пространство X по действию группы сталкивается с трудностями в алгебраической геометрии по причинам, которые можно объяснить в абстрактных терминах. Фактически нет общей причины, по которой отношения эквивалентности должны хорошо взаимодействовать с (довольно жесткими) регулярными функциями (полиномиальными функциями), которые лежат в основе алгебраической геометрии. Функции на пространстве орбит G \ X, которые следует рассматривать, - это те функции на X, которые инвариантны под действием G. Прямой подход может быть выполнен с помощью поля функций множества (т.е. рациональных функций ): возьмите G-инвариантные рациональные функции на нем в качестве функционального поля факторного разнообразия. К сожалению, это - точка зрения бирациональной геометрии - может дать только первое приближение к ответу. Как выразился Мамфорд в предисловии к книге:

Проблема в том, что в наборе всех моделей результирующего бирационального класса есть одна модель, геометрические точки которой классифицируют набор орбит в некоторых действие, или набор алгебраических объектов в некоторой задаче о модулях.

В главе 5 он дополнительно выделяет конкретную рассматриваемую техническую проблему в задаче о модулях вполне классического типа - классифицирует большой «набор» все алгебраические многообразия подлежат только тому, чтобы быть невырожденными (и при наличии необходимого условия). Модули должны описывать пространство параметров. Например, для алгебраических кривых со времен Римана было известно, что должны быть соединенные компоненты размерностей

0, 1, 3, 6, 9,…

в соответствии с родом g = 0, 1, 2, 3, 4,…, и модули являются функциями для каждого компонента. В грубой задаче модулей Мамфорд считает препятствиями:

• неотделимую топологию на пространстве модулей (т. Е. Недостаточное количество параметров в хорошем состоянии)
• бесконечно много неприводимых компонентов (которые не избежать, но локальная конечность может иметь место)
• невозможность представления компонентов в виде схем, хотя и респектабельных топологически.

Это третий пункт, который мотивировал всю теорию. Как выражается Мамфорд, если первые две трудности разрешены,

[третий вопрос] становится по существу эквивалентным вопросу о том, является ли пространство орбит некоторого локально замкнутого подмножества Hilbert или схемы Чоу по проективной группе существуют.

Чтобы справиться с этим, он ввел понятие (фактически три) из стабильности . Это позволило ему открыть ранее опасную область - многое было написано, в частности, Франческо Севери, но методы, используемые в литературе, имели ограничения. Бирациональная точка зрения может позволить себе пренебречь подмножествами коразмерности 1. Наличие пространства модулей в качестве схемы - это, с одной стороны, вопрос о характеристике схем как представимых функторов (как это увидела бы школа Гротендика ); но геометрически это больше похоже на вопрос компактификации, как показали критерии устойчивости. Ограничение на неособые многообразия не приведет к компактному пространству ни в каком смысле как к пространству модулей: многообразия могут вырождаться до наличия особенностей. С другой стороны, точки, которые соответствовали бы очень сингулярным разновидностям, определенно слишком «плохи», чтобы включать их в ответ. Правильная золотая середина, из точек, достаточно устойчивых, чтобы ее можно было признать, была выделена работой Мамфорда. Эта концепция не была полностью новой, поскольку некоторые ее аспекты можно было найти в последних идеях Дэвида Гильберта по теории инвариантов, прежде чем он перешел к другим областям.

Предисловие к книге также провозглашает гипотезу Мамфорда, позже доказанную Уильямом Хабушем.

Если редуктивная группа G действует линейно на векторном пространстве V, то ненулевая точка V называется

• нестабильной, если 0 находится в замыкании его орбиты,
• полустабильной, если 0 не находится в замыкании своей орбиты,
• стабильный, если его орбита замкнута, а его стабилизатор конечен.

Существуют эквивалентные способы их формулирования (этот критерий известен как критерий Гильберта – Мамфорда ):

• Ненулевая точка x нестабильна тогда и только тогда, когда существует однопараметрическая подгруппа группы G, все веса которой относительно x положительны.
• Ненулевая точка x нестабильна тогда и только тогда, когда каждый инвариантный многочлен имеет одно и то же значение на 0 и x.
• Ненулевая точка x полустабильна тогда и только тогда, когда не существует 1-параметрической подгруппы группы G, все веса которой относительно x положительны.
• Ненулевая точка x полустабильна тогда и только тогда, когда некоторая инвариантная многочлен omial имеет разные значения на 0 и x.
• Ненулевая точка x стабильна тогда и только тогда, когда каждая 1-параметрическая подгруппа G имеет положительные (и отрицательные) веса по отношению к x.
• Ненулевая точка x стабильна тогда и только тогда, когда для каждого y, не находящегося на орбите x, существует некоторый инвариантный многочлен, который имеет разные значения на y и x, а кольцо инвариантных многочленов имеет степень трансцендентности dim (V) −dim (G).

Точка соответствующего проективного пространства V называется нестабильной, полустабильной или стабильной, если это образ точки в V с тем же свойством. «Неустойчивый» - это противоположность «полустабильному» (не «стабильному»). Неустойчивые точки образуют замкнутое множество Зарисского проективного пространства, в то время как полустабильные и стабильные точки образуют открытые множества Зарисского (возможно, пустые). Эти определения взяты из (Мамфорд 1977) и не эквивалентны определениям в первом издании книги Мамфорда.

Многие пространства модулей могут быть построены как факторпространства стабильных точек некоторого подмножества проективного пространства по некоторому групповому действию. Эти пространства часто можно компактифицировать, добавляя определенные классы эквивалентности полустабильных точек. Разные стабильные орбиты соответствуют разным точкам фактора, но две разные полустабильные орбиты могут соответствовать одной и той же точке фактора, если их замыкания пересекаются.

Пример: (Deligne Mumford 1969) устойчивая кривая - это приведенная связная кривая рода ≥2, у которой единственными особенностями являются обычные двойные точки и каждая неособая рациональная компонента пересекает другие компоненты не менее чем в 3 точках. Пространство модулей стабильных кривых рода g является фактором подмножества схемы Гильберта кривых в P с многочленом Гильберта (6n − 1) (g − 1) по группа PGL 5g − 5.

Пример: векторное расслоение W над алгебраической кривой (или над римановой поверхностью ) является стабильным векторным расслоением тогда и только тогда, когда

для всех собственных ненулевых подрасслоений V группы W и является полустабильным, если это условие выполняется с < replaced by ≤.

• GIT частное
• Геометрическая теория сложности
• Геометрическое частное
• Категориальное частное
• Квантование коммутирует с редукцией
• K-устойчивость
• Условие устойчивости Бриджеланда

• Делинь, Пьер ; Мамфорд, Дэвид (1969), «Неприводимость пространства кривых данного рода», Publications Mathématiques de l'IHÉS, 36(1): 75– 109, doi : 10.1007 / BF02684599, MR 0262240
• Hilbert, D. (1893), "Über die vollen Invariantensysteme", Math. Annalen, 42 (3): 313, doi : 10.1007 / BF01444162
• Кирван, Фрэнсис, Когомологии частных в симплектической и алгебраической геометрии. Mathematical Notes, 31. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1984. i + 211 pp. MR 0766741 ISBN 0-691-08370-3
• Kraft, Hanspeter, Geometrische Methoden in der Invariantentheorie. (Немецкий) (Геометрические методы в теории инвариантов) Аспекты математики, D1. Фридр. Vieweg Sohn, Braunschweig, 1984. x + 308 стр. MR 0768181 ISBN 3-528-08525-8
• Мамфорд, Дэвид (1977), «Устойчивость проективных многообразий», L'Enseignement Mathématique. Revue Internationale. IIE Série, 23 (1): 39–110, ISSN 0013-8584, MR 0450272, заархивировано с оригинала на 2011-07-07
• Мамфорд, Дэвид ; Fogarty, J.; Кирван, Ф. (1994), Геометрическая теория инвариантов, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Результаты в математике и смежных областях (2)], 34 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-3-642-57916-5, hdl : 2433/102881, ISBN 978-3-540-56963-3, MR 1304906 ; MR 0214602 (1-е издание, 1965 г.); MR 0719371 (2-е изд.)
• В. Л. Попов, Э. Б. Винберг, Теория инвариантов, в алгебраической геометрии. IV. Энциклопедия математических наук, 55 (перевод с русского издания 1989 г.) Springer-Verlag, Berlin, 1994. vi + 284 pp. ISBN 3-540-54682-0