Статистическая механика

редактировать
Физика статистического поведения большого числа частиц

Статистическая механика, один из столпов современного Physics, описывает, как макроскопические наблюдения (такие как температура и давление ) связаны с микроскопическими параметрами, которые колеблются около среднего значения. Он связывает термодинамические величины (такие как теплоемкость ) с микроскопическим поведением, тогда как в классической термодинамике единственным доступным вариантом будет измерение и табулирование таких величин для различных материалов.

Статистическая механика необходима для фундаментального изучения любой физической системы, имеющей много степеней свободы. Подход основан на статистических методах, теории вероятностей и микроскопических физических законах.

Его можно использовать для объяснения термодинамическое поведение больших систем. Эта область статистической механики, которая рассматривает и расширяет классическую термодинамику, известна как статистическая термодинамика или равновесная статистическая механика.

Статистическая механика также может использоваться для изучения систем, находящихся вне равновесия. Важная подотрасль, известная как неравновесная статистическая механика (иногда называемая статистической динамикой), занимается проблемой микроскопического моделирования скорости необратимых процессов, которые вызваны дисбалансами. Примеры таких процессов включают химические реакции или потоки частиц и тепла. Теорема о флуктуации-диссипации - это базовые знания, полученные в результате применения неравновесной статистической механики для изучения простейшей неравновесной ситуации стационарного течения тока в системе многих частиц.

Содержание
  • 1 Принципы: механика и ансамбли
  • 2 Статистическая термодинамика
    • 2.1 Фундаментальный постулат
    • 2.2 Три термодинамических ансамбля
    • 2.3 Методы расчета
      • 2.3.1 Точные
      • 2.3. 2 Монте-Карло
      • 2.3.3 Прочее
  • 3 Неравновесная статистическая механика
    • 3.1 Стохастические методы
    • 3.2 Почти равновесные методы
    • 3.3 Гибридные методы
  • 4 Приложения вне термодинамики
  • 5 История
  • 6 См. Также
  • 7 Примечания
  • 8 Ссылки
  • 9 Внешние ссылки
Принципы: механика и ансамбли

В физике обычно рассматриваются два типа механики: классическая механика и квантовая механика. Для обоих типов механики стандартный математический подход заключается в рассмотрении двух концепций:

  1. Полное состояние механической системы в данный момент времени, математически закодированное как фазовая точка (классическая механика) или чистая вектор квантового состояния (квантовая механика).
  2. Уравнение движения, которое переносит состояние вперед во времени: уравнения Гамильтона (классическая механика) или время -зависимое уравнение Шредингера (квантовая механика)

Используя эти две концепции, в принципе можно вычислить состояние в любое другое время, прошлое или будущее. Однако существует разрыв между этими законами и повседневным жизненным опытом, поскольку мы не считаем необходимым (или даже теоретически возможным) точно знать на микроскопическом уровне одновременные положения и скорости каждой молекулы при выполнении процессов в человеческом масштабе ( например, при проведении химической реакции). Статистическая механика заполняет это несоответствие между законами механики и практическим опытом неполного знания, добавляя некоторую неопределенность в отношении того, в каком состоянии находится система.

В то время как обычная механика рассматривает только поведение одного состояния, статистическая механика представляет статистический ансамбль , который представляет собой большую коллекцию виртуальных независимых копий системы в различных состояниях. Статистический ансамбль - это распределение вероятностей по всем возможным состояниям системы. В классической статистической механике ансамбль - это распределение вероятностей по фазовым точкам (в отличие от одной фазовой точки в обычной механике), обычно представленное как распределение в фазовом пространстве с каноническими координатами. В квантовой статистической механике ансамбль представляет собой распределение вероятностей по чистым состояниям, и его можно компактно представить в виде матрицы плотности.

Как обычно для вероятностей, ансамбль можно интерпретировать по-разному:

  • ансамбль могут быть взяты для представления различных возможных состояний, в которых может находиться одна система (эпистемическая вероятность, форма знания), или
  • члены ансамбля могут пониматься как состояния систем в экспериментах, повторенных на независимых системах, которые были приготовлены аналогичным, но несовершенно контролируемым способом (эмпирическая вероятность ), в пределах бесконечного числа испытаний.

Эти два значения эквивалентны для для многих целей и будут использоваться в этой статье как взаимозаменяемые.

Как бы ни интерпретировалась вероятность, каждое состояние в ансамбле развивается со временем в соответствии с уравнением движения. Таким образом, сам ансамбль (распределение вероятностей по состояниям) также развивается, поскольку виртуальные системы в ансамбле постоянно покидают одно состояние и переходят в другое. Эволюция ансамбля задается уравнением Лиувилля (классическая механика) или уравнением фон Неймана (квантовая механика). Эти уравнения просто выводятся путем применения механического уравнения движения отдельно к каждой виртуальной системе, содержащейся в ансамбле, с вероятностью сохранения виртуальной системы с течением времени по мере ее развития от состояния к состоянию.

Один особый класс ансамблей - это те ансамбли, которые не развиваются с течением времени. Эти ансамбли известны как равновесные ансамбли, а их состояние известно как статистическое равновесие. Статистическое равновесие возникает, если для каждого состояния в ансамбле ансамбль также содержит все его будущие и прошлые состояния с вероятностями, равными вероятности нахождения в этом состоянии. Изучение равновесных ансамблей изолированных систем находится в центре внимания статистической термодинамики. Неравновесная статистическая механика обращается к более общему случаю ансамблей, которые изменяются во времени, и / или ансамблей неизолированных систем.

Статистическая термодинамика

Основная цель статистической термодинамики (также известной как равновесная статистическая механика) состоит в том, чтобы вывести классическую термодинамику материалов с точки зрения свойств их составляющих. частицы и взаимодействия между ними. Другими словами, статистическая термодинамика обеспечивает связь между макроскопическими свойствами материалов в термодинамическом равновесии и микроскопическим поведением и движениями, происходящими внутри материала.

В то время как собственно статистическая механика включает динамику, здесь внимание сосредоточено на статистическом равновесии (устойчивом состоянии). Статистическое равновесие не означает, что частицы перестали двигаться (механическое равновесие ), скорее, это означает только то, что ансамбль не развивается.

Фундаментальный постулат

A Достаточным (но не необходимым) условием статистического равновесия с изолированной системой является то, что распределение вероятностей является функцией только сохраняемых свойств (полная энергия, общее количество частиц и т. Д.). Можно рассматривать множество различных равновесных ансамблей, и лишь некоторые из них соответствуют термодинамике. Дополнительные постулаты необходимы, чтобы мотивировать, почему ансамбль для данной системы должен иметь ту или иную форму.

Обычный подход, который можно найти во многих учебниках, - принять постулат равной априорной вероятности. Этот постулат гласит, что

для изолированной системы с точно известной энергией и точно известным составом систему можно с равной вероятностью найти в любом микросостоянии, согласующемся с этим знанием.

Равное априори Таким образом, постулат вероятности обеспечивает мотивацию для описанного ниже микроканонического ансамбля. Существуют различные аргументы в пользу постулата равной априорной вероятности:

  • Эргодическая гипотеза : эргодическая система - это система, которая со временем развивается, чтобы исследовать «все доступные» состояния: все с одинаковой энергией и составом. В эргодической системе микроканонический ансамбль является единственно возможным равновесным ансамблем с фиксированной энергией. Этот подход имеет ограниченную применимость, поскольку большинство систем не являются эргодическими.
  • Принцип безразличия : При отсутствии какой-либо дополнительной информации мы можем присвоить только равные вероятности каждой совместимой ситуации.
  • Максимальная информационная энтропия : Более продуманная версия принципа безразличия утверждает, что правильный ансамбль - это ансамбль, который совместим с известной информацией и имеет наибольшую энтропию Гиббса (информационная энтропия ).

Другие фундаментальные были также предложены постулаты статистической механики.

Три термодинамических ансамбля

Существуют три равновесных ансамбля с простой формой, которые могут быть определены для любой изолированной системы, ограниченной внутри конечный объем. Это наиболее часто обсуждаемые ансамбли в статистической термодинамике. В макроскопическом пределе (определенном ниже) все они соответствуют классической термодинамике.

Микроканонический ансамбль
описывает систему с точным g iven энергии и фиксированного состава (точное количество частиц). Микроканонический ансамбль содержит с равной вероятностью каждое возможное состояние, которое согласуется с этой энергией и составом.
Канонический ансамбль
описывает систему фиксированного состава, которая находится в тепловом равновесии с теплом ванна с точной температурой. Канонический ансамбль содержит состояния разной энергии, но идентичного состава; различным состояниям в ансамбле присваиваются разные вероятности в зависимости от их полной энергии.
Большой канонический ансамбль
описывает систему с нефиксированным составом (неопределенное количество частиц), которая находится в тепловом и химическом равновесии с термодинамическим резервуаром. Резервуар имеет точную температуру и точные химические потенциалы для различных типов частиц. Большой канонический ансамбль содержит состояния с различной энергией и различным числом частиц; различным состояниям в ансамбле присваиваются разные вероятности в зависимости от их полной энергии и общего числа частиц.

Для систем, содержащих много частиц (термодинамический предел ), все три перечисленных выше ансамбля имеют тенденцию давать идентичное поведение. Тогда просто вопрос математического удобства, какой ансамбль используется. Теорема Гиббса об эквивалентности ансамблей была развита в теорию явления концентрации меры, которая находит применение во многих областях науки, от функционального анализа до методов искусственного интеллекта и <171.>технология больших данных.

Важные случаи, когда термодинамические ансамбли не дают идентичных результатов, включают:

  • Микроскопические системы.
  • Большие системы при фазовом переходе.
  • Большие системы с дальнодействующими взаимодействиями.

В этих случаях необходимо выбрать правильный термодинамический ансамбль, поскольку между этими ансамблями наблюдаются различия не только в размере флуктуаций, но и в средних величинах, таких как распределение частиц. Правильный ансамбль - это тот ансамбль, который соответствует тому, как система была подготовлена ​​и охарактеризована - другими словами, ансамбль, который отражает знания об этой системе.

Термодинамические ансамбли
Микроканонический Канонический Большой канонический
Фиксированные переменные
E, N, V ​​{\ displaystyle E, N, V}{\ displaystyle E, N, V}
T, N, V ​​{\ displaystyle T, N, V}{\ displaystyle T, N, V}
T, μ, V {\ displaystyle T, \ mu, V}{\ displaystyle T, \ mu, V}
Микроскопические особенности
Макроскопическая функция

Методы вычисления

После того, как характеристическая функция состояния для ансамбля была рассчитана для данной системы, эта система «решается» (макроскопические наблюдаемые могут быть извлечены из характеристической функции состояния). Однако вычисление характеристической функции состояния термодинамического ансамбля не обязательно является простой задачей, поскольку оно включает рассмотрение всех возможных состояний системы. Хотя некоторые гипотетические системы были решены точно, самый общий (и реалистичный) случай слишком сложен для точного решения. Существуют различные подходы для аппроксимации истинного ансамбля и расчета средних величин.

Точное

В некоторых случаях возможно точное решение.

Монте-Карло

Один приблизительный подход, который Особенно хорошо подходит для компьютеров метод Монте-Карло, который исследует лишь несколько возможных состояний системы, причем состояния выбираются случайным образом (с достаточным весом). Пока эти состояния образуют репрезентативную выборку всего множества состояний системы, получается приближенная характеристическая функция. По мере включения все большего и большего количества случайных выборок ошибки снижаются до сколь угодно низкого уровня.

  • Алгоритм Метрополиса – Гастингса - классический метод Монте-Карло, который изначально использовался для выборки канонического ансамбля.
  • Интеграл по траекториям Монте-Карло, также использовался для выборки канонического ансамбля. 360>Другое
    Не- равновесная статистическая механика

    Есть много интересных физических явлений, которые включают квазитермодинамические процессы, выходящие из равновесия, например:

    Все эти процессы происходят во времени с характерными скоростями, и эти скорости важны для инженерных Неринг. Область неравновесной статистической механики занимается пониманием этих неравновесных процессов на микроскопическом уровне. (Статистическая термодинамика может использоваться только для расчета окончательного результата после того, как внешние дисбалансы были устранены и ансамбль вернулся в состояние равновесия.)

    В принципе, неравновесная статистическая механика может быть математически точной: ансамбли для изолированной системы со временем развиваются в соответствии с детерминированными уравнениями, такими как уравнение Лиувилля или его квантовый эквивалент, уравнение фон Неймана. Эти уравнения являются результатом применения механических уравнений движения независимо к каждому состоянию в ансамбле. К сожалению, эти уравнения эволюции ансамбля наследуют большую часть сложности лежащего в основе механического движения, поэтому получить точные решения очень сложно. Более того, уравнения эволюции ансамбля полностью обратимы и не уничтожают информацию (сохраняется энтропия Гиббса ансамбля). Чтобы продвинуться вперед в моделировании необратимых процессов, помимо вероятности и обратимой механики необходимо учитывать дополнительные факторы.

    Неравновесная механика, таким образом, является активной областью теоретических исследований, поскольку диапазон применимости этих дополнительных предположений продолжает изучаться. Некоторые подходы описаны в следующих подразделах.

    Стохастические методы

    Один из подходов к неравновесной статистической механике состоит во включении в систему стохастического (случайного) поведения. Стохастическое поведение разрушает информацию, содержащуюся в ансамбле. Хотя это технически неточно (помимо гипотетических ситуаций, связанных с черными дырами, система не может сама по себе вызвать потерю информации), случайность добавляется, чтобы отразить, что интересующая информация со временем преобразуется в тонкие корреляции в пределах система или корреляции между системой и окружающей средой. Эти корреляции выглядят как хаотические или псевдослучайные влияния на интересующие переменные. Заменив эти корреляции собственно случайностью, вычисления можно значительно упростить.

    • Уравнение переноса Больцмана : Ранняя форма стохастической механики появилась еще до появления термина «статистическая механика» в исследованиях кинетической теории. Джеймс Клерк Максвелл продемонстрировал, что столкновения молекул приведут к очевидно хаотическому движению внутри газа. Людвиг Больцман впоследствии показал, что, если принять этот молекулярный хаос как должное как полную рандомизацию, движения частиц в газе будут следовать простому уравнению переноса Больцмана это быстро восстановило бы газ до состояния равновесия (см. H-теорему ).

      Уравнение переноса Больцмана и связанные с ним подходы являются важными инструментами в неравновесной статистической механике из-за их чрезвычайной простоты. Эти приближения хорошо работают в системах, где «интересная» информация немедленно (после всего лишь одного столкновения) превращается в тонкие корреляции, которые по существу ограничивают их разреженными газами. Было обнаружено, что уравнение переноса Больцмана очень полезно при моделировании переноса электронов в слаболегированных полупроводникахтранзисторах ), где электроны действительно аналогичны разреженному газу.

      Квантовая техника, связанная с этой темой, - это приближение случайных фаз.
    • иерархия BBGKY : в жидкостях и плотных газах нельзя сразу отбрасывать корреляции между частицами после одного столкновения. Иерархия ББГКИ (иерархия Боголюбова – Борна – Грина – Кирквуда – Ивона) дает метод вывода уравнений типа Больцмана, но также расширяет их за пределы случая разреженного газа, чтобы включить корреляции после нескольких столкновений.
    • Формализм Келдыша (также известный как NEGF - неравновесные функции Грина): квантовый подход к включению стохастической динамики можно найти в формализме Келдыша. Этот подход часто используется в электронных расчетах.
    • Стохастический уравнение Лиувилля

    Методы, близкие к равновесию

    Другой важный класс неравновесных статистических механических моделей имеет дело с системами, которые только очень слегка нарушено равновесие. При очень малых возмущениях отклик может быть проанализирован с помощью теории линейного отклика. Замечательный результат, формализованный теоремой флуктуации-диссипации, заключается в том, что реакция системы, когда она находится почти в равновесии, точно связана с флуктуациями, которые происходят, когда система находится в полном равновесии.. По сути, система, которая немного отошла от равновесия - независимо от того, поставлена ​​ли туда внешними силами или флуктуациями - релаксирует к равновесию таким же образом, поскольку система не может отличить разницу или «знать», как она оказалась в стороне от равновесия.

    Это обеспечивает косвенный способ получения чисел, таких как омическая проводимость и теплопроводность, путем извлечения результатов из равновесной статистической механики. Поскольку равновесная статистическая механика математически хорошо определена и (в некоторых случаях) более удобна для расчетов, связь флуктуации и диссипации может быть удобным сокращением для расчетов в почти равновесной статистической механике.

    Некоторые теоретические инструменты, используемые для установления этой связи, включают:

    Гибридные методы

    Продвинутый подход использует комбинацию стохастических методов и теории линейного отклика. В качестве примера, один из подходов к вычислению эффектов квантовой когерентности (слабая локализация, флуктуации проводимости ) в проводимости электронной системы - это использование соотношений Грина-Кубо с включением стохастической дефазировки взаимодействием между различными электронами с использованием метода Келдыша.

    Приложения вне термодинамики

    Формализм ансамбля также может быть использован для анализа общих механических систем с неопределенностью в знаниях о состоянии системы. Ансамбли также используются в:

    История

    В 1738 году швейцарский физик и математик Даниэль Бернулли опубликовал Hydrodynamica, положивший начало кинетической теории газов. В этой работе Бернулли выдвинул аргумент, который все еще используется по сей день, что газы состоят из большого числа молекул, движущихся во всех направлениях, что их воздействие на поверхность вызывает давление газа, которое мы чувствуем, и что то, что мы ощущаем как тепло - это просто кинетическая энергия их движения.

    В 1859 году, после прочтения статьи о диффузии молекул Рудольфа Клаузиуса, шотландский физик Джеймс Клерк Максвелл сформулировал распределение Максвелла молекулярных скоростей, которое дает долю молекул, имеющих определенную скорость в определенном диапазоне. Это был первый статистический закон в физике. Максвелл также привел первый механический аргумент, что столкновения молекул влекут за собой выравнивание температур и, следовательно, тенденцию к равновесию. Пять лет спустя, в 1864 году, Людвиг Больцман, молодой студент из Вены, наткнулся на статью Максвелла и провел большую часть своей жизни, развивая эту тему.

    Собственно статистическая механика была начата в 1870-х годах работами Больцмана, большая часть которых была коллективно опубликована в его лекциях 1896 года по теории газа. Оригинальные работы Больцмана по статистической интерпретации термодинамики, H-теорема, теория переноса, тепловое равновесие, уравнение состояния газы и тому подобные предметы занимают около 2000 страниц в трудах Венской академии и других обществ. Больцман ввел понятие равновесного статистического ансамбля, а также впервые исследовал неравновесную статистическую механику с помощью своей H-теоремы.

    Термин «статистическая механика» был придуман американским физиком-математиком Дж.. Уиллард Гиббс в 1884 году. «Вероятностная механика» сегодня может показаться более подходящим термином, но «статистическая механика» прочно укоренилась. Незадолго до своей смерти Гиббс опубликовал в 1902 году Элементарные принципы статистической механики, книгу, которая формализовала статистическую механику как полностью общий подход к рассмотрению всех механических систем - макроскопических или микроскопических, газообразных или негазообразных. Методы Гиббса были первоначально выведены в рамках классической механики, однако они были настолько общими, что было обнаружено, что они легко адаптируются к более поздней квантовой механике и до сих пор составляют основу статистической механика по сей день.

    См. также

    Примечания
    Ссылки
    Внешние ссылки
    На Викискладе есть материалы, связанные с Статистическая механика.
Последняя правка сделана 2021-06-09 10:07:35
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте