Анзац Бете

В физике анзац Бете представляет собой метод анзаца для нахождения точных волновых функций некоторых одномерных квантовые многочастичные модели. Он был изобретен Гансом Бете в 1931 году для нахождения точных собственных значений и собственных векторов одномерной антиферромагнитной модели Гейзенберга Гамильтониан. С тех пор метод был расширен на другие модели в одном измерении: (анизотропная) цепочка Гейзенберга (модель XXZ), взаимодействующий бозе-газ Либа-Линигера, модель Хаббарда, модель Кондо, модель примесей Андерсона, модель Ричардсона и т. Д.

• 1 Обсуждение
• 2 Пример: антиферромагнитная цепочка Гейзенберга
• 3 Хронология
• 4 Ссылки
• 5 Внешние ссылки

В рамках многочастичной квантовой механики модели, решаемые с помощью анзаца Бете, можно противопоставить моделям свободных фермионов. Можно сказать, что динамика свободной модели является одночастичной сводимой: многочастичная волновая функция для фермионов (бозонов ) является антисимметризованным (симметризованным) произведением одного волновые функции тела. Модели, решаемые с помощью анзаца Бете, не являются бесплатными: двухчастичный сектор имеет нетривиальную матрицу рассеяния, которая в общем случае зависит от импульсов.

С другой стороны, динамика моделей, решаемых анзацем Бете, сводима по двум телам: матрица многочастичного рассеяния является продуктом двухчастичных матриц рассеяния. Столкновения многих тел происходят как последовательность столкновений двух тел, и волновая функция многих тел может быть представлена ​​в форме, содержащей только элементы из волновых функций двух тел. Матрица многочастичного рассеяния равна произведению матриц попарного рассеяния.

Общая форма анзаца Бете для волновой функции многих тел:

$\Psi \; M\; (j\; 1,\; \cdots ,\; j\; M)\; =\; \prod \; M\; \ge \; a>b\; \ge \; 1\; sign\; (ja\; -\; jb)\; \sum \; P\; \in \; PM\; (-\; 1)\; [P]\; ei\; \sum \; a\; =\; 1\; M\; k\; P\; aja\; +\; i\; 2\; \sum \; M\; \ge \; a>b\; \ge \; 1\; sign\; (ja\; -\; jb)\; \varphi \; (k\; P\; a,\; k\; P\; b)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Psi\; \_\; \{M\}\; (j\_\; \{1\},\; \backslash \; cdots,\; j\_\; \{M\})\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{M\; \backslash \; geq\; a>b\; \backslash \; geq\; 1\}\; \{\backslash \; text\; \{sgn\}\}\; (j\_\; \{a\}\; -j\_\; \{b\; \})\; \backslash \; sum\; \_\; \{P\; \backslash \; in\; P\_\; \{M\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{[P]\}\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; sum\; \_\; \{a\; =\; 1\}\; ^\; \{M\}\; k\_\; \{P\_\; \{a\}\}\; j\_\; \{a\; \}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{i\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{M\; \backslash \; geq\; a>b\; \backslash \; geq\; 1\}\; \{\backslash \; text\; \{sgn\}\}\; (j\_\; \{a\}\; -j\_\; \{b\})\; \backslash \; phi\; (k\_\; \{P\_\; \{a\}\},\; k\_\; \{P\_\; \{b\}\})\}\}$

в котором $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$- количество частиц, $ja,\; a\; =\; 1,\; \cdots \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; j\_\; \{a\},\; a\; =\; 1,\; \backslash \; cdots\; M\}$их положение, $P\; M\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{M\}\}$- это набор всех перестановок целых чисел $1,\; \cdots ,\; M\; \{\backslash \; displaystyle\; 1,\; \backslash \; cdots,\; M\}$, $ka\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{a\}\}$- (квази) импульс $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$-ой частицы, $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$- функция фазового сдвига рассеяния, а $sgn\; \{\backslash \; displaystyle\; sgn\}$- знаковая функция. Эта форма универсальна (по крайней мере, для невложенных систем), при этом функции импульса и рассеяния зависят от модели.

Уравнение Янга – Бакстера гарантирует непротиворечивость конструкции. Принцип исключения Паули действителен для моделей, решаемых анзацем Бете, даже для моделей взаимодействующих бозонов.

основное состояние - это сфера Ферми. Периодические граничные условия приводят к уравнениям анзаца Бете. В логарифмической форме уравнения анзаца Бете могут быть сгенерированы с помощью действия Янга. Квадрат нормы волновой функции Бете равен определителю матрицы вторых производных действия Янга. Недавно разработанный алгебраический анзац Бете привел к существенному прогрессу, заявив, что

квантовый метод обратной задачи рассеяния... хорошо разработанный метод... позволил широкому классу решаемые нелинейные эволюционные уравнения. Это объясняет алгебраическую природу анзаца Бете.

Точные решения так называемой sd-модели (П.Б. Вигманна в 1980 г. и независимо Н. Андрея, также в 1980 г.) и модели Андерсона (П.Б. Вигманна в 1981 г., а также Н. Каваками и А. Окиджи в 1981 г.) также оба основаны на анзаце Бете. Существуют многоканальные обобщения этих двух моделей, также поддающиеся точным решениям (Н. Андреем и К. Дестри, а также К. Дж. Болехом и Н. Андреем). В последнее время несколько моделей, решаемых анзацем Бете, были экспериментально реализованы в твердых телах и оптических решетках. Важную роль в теоретическом описании этих экспериментов сыграли Жан-Себастьен Ко и Алексей Цвелик.

Антиферромагнитная цепочка Гейзенберга определяется гамильтонианом (в предположении периодические граничные условия)

$H\; =\; J\; \sum \; j\; =\; 1\; NS\; j\; \cdot \; S\; j\; +\; 1,\; S\; j\; +\; N\; \equiv \; S\; j.\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; J\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\; \_\; \{j\; +\; 1\},\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\; \_\; \{j\; +\; N\}\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{S\}\}\; \_\; \{j\}.\}$

Эта модель разрешима с помощью анзаца Бете. Функция сдвига фазы рассеяния: $\varphi \; (ka\; (\lambda \; a),\; kb\; (\lambda \; b))\; =\; \theta \; 2\; (\lambda \; a\; -\; \lambda \; b)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (k\_\; \{a\}\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{a\})),\; k\_\; \{b\}\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{b\}))\; =\; \backslash \; theta\; \_\; \{2\}\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{a\}\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{b\})\}$, с $\theta \; n\; (\lambda )\; \equiv \; 2\; arctan\; \; 2\; \lambda \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \_\; \{n\}\; (\backslash \; lambda)\; \backslash \; Equ\; 2\; \backslash \; arctan\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; lambda\}\; \{n\}\}\}$в котором импульс был удобно перепараметризован как $k\; (\lambda )\; =\; \pi \; -\; 2\; arctan\; \; 2\; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; k\; (\backslash \; lambda)\; =\; \backslash \; pi\; -2\; \backslash \; arctan\; 2\; \backslash \; lambda\}$в терминах скорость $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$. Граничные условия (здесь периодические) накладывают уравнения Бете

$[\lambda \; a\; +\; i\; /\; 2\; \lambda \; a\; -\; i\; /\; 2]\; N\; =\; \prod \; b\; \ne \; a\; M\; \lambda \; a\; -\; \lambda \; b\; +\; i\; \lambda \; a\; -\; \lambda \; b\; -\; i,\; а\; =\; 1,...,\; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; lambda\; \_\; \{a\}\; +\; i\; /\; 2\}\; \{\backslash \; lambda\; \_\; \{a\}\; -i\; /\; 2\}\}\; \backslash \; right]\; ^\; \{N\}\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{b\; \backslash \; neq\; a\}\; ^\; \{M\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; lambda\; \_\; \{a\}\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{b\}\; +\; i\}\; \{\backslash \; lambda\; \_\; \{a\}\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{b\}\; -i\}\},\; \backslash \; qquad\; a\; =\; 1,...,\; M\}$

или, что более удобно, в логарифмической форме

$\theta \; 1\; (\lambda \; a)\; -\; 1\; N\; \sum \; b\; =\; 1\; M\; \theta \; 2\; (\lambda \; a\; -\; \lambda \; b)\; =\; 2\; \pi \; I\; a\; N\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \_\; \{1\}\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{a\})\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{b\; =\; 1\}\; ^\; \{M\}\; \backslash \; theta\; \_\; \{2\}\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{\; a\}\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{b\})\; =\; 2\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; frac\; \{I\_\; \{a\}\}\; \{N\}\}\}$

где квантовые числа $I\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{j\}\}$- разные получетные целые числа для $N\; -\; M\; \{\backslash \; displaystyle\; NM\}$четные, целые числа для $N\; -\; M\; \{\backslash \; displaystyle\; NM\}$нечетные (с $I\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{j\}\}$определенным модулем $(N)\; \{\backslash \; displaystyle\; (N)\}$).

• 1928: Вернер Гейзенберг публикует свою модель.
• 1930: Феликс Блох предлагает упрощенный анзац, в котором неправильно подсчитывается количество решений. уравнению Шредингера для цепочки Гейзенберга.
• 1931: Ганс Бете предлагает правильный анзац и тщательно показывает, что он дает правильное количество собственных функций.
• 1938: ( de ) получает точную энергию основного состояния модели Гейзенберга.
• 1958: Раймонд Ли Орбах использует анзац Бете для решения модели Гейзенберга с анизотропными взаимодействиями.
• 1962: Дж. Де Клуазо и Дж. Дж. Пирсон получают правильный спектр антиферромагнетика Гейзенберга (соотношение дисперсии спинонов), показывая, что он отличается от предсказаний спин-волновой теории Андерсона (постоянный префактор другой).
• 1963: Эллиотт Х. Либ и предоставить точное решение 1d δ-функции взаимодействующего бозе-газа (теперь известное как модель Либа-Линигера ). Либ изучает спектр и определяет два основных типа возбуждений.
• 1964: Роберт Б. Гриффитс получает кривую намагничивания модели Гейзенберга при нулевой температуре.
• 1966: CN Янга и строго докажите, что основное состояние цепи Гейзенберга задается анзацем Бете. Они изучают свойства и приложения в и.
• 1967: C.N. Ян обобщает решение Либа и Линигера δ-функции, взаимодействующей с бозе-газом, на произвольную перестановочную симметрию волновой функции, в результате чего родился вложенный анзац Бете.
• 1968 Эллиотт Х. Либ и решите 1d модель Хаббарда.
• 1969: CN Янга и получите термодинамику модели Либа-Линигера, что составляет основу термодинамического анзаца Бете (TBA).

.

• Введение в анзац Бете

.