Бозе-газ

редактировать

Состояние вещества многих бозонов

Идеальный Бозе-газ является квантово-механическим фаза вещества, аналогичная классическому идеальному газу. Он состоит из бозонов, которые имеют целочисленное значение спина и подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна. Статистическая механика бозонов была разработана Сатьендрой Нат Бозом для фотонного газа и распространена на массивные частицы Альбертом Эйнштейном, который понял, что идеальный газ бозонов образовал бы конденсат при достаточно низкой температуре, в отличие от классического идеального газа. Этот конденсат известен как конденсат Бозе – Эйнштейна.

Содержание

1 Введение и примеры
2 Макроскопический предел
- 2.1 Макроскопический предел, результат для неконденсированной фракции
- 2.2 Ограничение количества частиц в неконденсированной фазе, критическая температура
- 2.3 Включение основного состояния
3 Примерное поведение в малых бозе-газах
- 3.1 Термодинамика малых газов
4 Ссылки
- 4.1 Общие ссылки

Введение и примеры

Бозоны - это квантово-механические частицы, которые следуют статистике Бозе – Эйнштейна или, что эквивалентно, имеют целочисленный спин. Эти частицы можно классифицировать как элементарные: это бозон Хиггса, фотон, глюон, W / Z и гипотетический гравитон ; или составной, как атом водорода, атом O, ядро дейтерия, мезоны и т. д. Кроме того, некоторые квазичастицы в более сложных системах также могут считаться бозонами, такими как плазмоны (кванты волн зарядовой плотности ).

Первой моделью, которая рассматривала газ с несколькими бозонами, был фотонный газ, газ фотонов, разработанный Бозе. Эта модель привела к лучшему пониманию закона Планка и излучения черного тела. Фотонный газ можно легко расширить до любого ансамбля безмассовых невзаимодействующих бозонов. фононный газ, также известный как модель Дебая, является примером, в котором нормальные моды колебаний кристаллической решетки металла можно рассматривать как эффективные безмассовые бозоны. Питер Дебай использовал модель фононного газа, чтобы объяснить поведение теплоемкости металлов при низкой температуре.

Интересным примером бозе-газа является ансамбль атомов гелия-4. Когда система атомов He охлаждается до температуры, близкой к абсолютному нулю, возникает множество квантово-механических эффектов. Ниже 2,17 кельвина ансамбль начинает вести себя как сверхтекучая, жидкость с почти нулевой вязкостью. Бозе-газ является наиболее простой количественной моделью, объясняющей этот фазовый переход. В основном, когда газ бозонов охлаждается, он образует конденсат Бозе – Эйнштейна, состояние, в котором большое количество бозонов занимает самую низкую энергию, основное состояние и квантовые эффекты макроскопически видны как интерференция волн.

Теория конденсатов Бозе-Эйнштейна и бозе-газов также может объяснить некоторые особенности сверхпроводимости, где носители заряда соединяются парами (Куперовские пары ) и ведут себя как бозоны. В результате сверхпроводники ведут себя как не имеющие удельного электрического сопротивления при низких температурах.

Эквивалентная модель для полуцелых частиц (например, электронов или атомов гелия-3 ), следующих за статистикой Ферми – Дирака, является называется ферми-газом (ансамбль невзаимодействующих фермионов ). При достаточно низкой числовой плотности и высокой температуре и ферми-газ, и бозе-газ ведут себя как классический идеальный газ.

Макроскопический предел

Термодинамика идеального бозе-газа gas лучше всего рассчитывать с помощью большого канонического ансамбля. Большой большой потенциал для бозе-газа определяется как:

Ω = - ln ⁡ (Z) = ∑ i g i ln ⁡ (1 - z e - β ϵ i). {\ displaystyle \ Omega = - \ ln ({\ mathcal {Z}}) = \ sum _ {i} g_ {i} \ ln \ left (1-ze ^ {- \ beta \ epsilon _ {i}} \ справа).}

\ Omega = - \ ln ({\ mathcal {Z}}) = \ sum _ {i} g_ {i} \ ln \ left (1-ze ^ {{- \ beta \ epsilon _ {i}}} \ right).

где каждый член в произведении соответствует конкретному уровню энергии одной частицы ε i ; g i - количество состояний с энергией ε i ; z - абсолютная активность (или «летучесть»), которую также можно выразить через химический потенциал μ, определив:

z (β, μ) = e β μ {\ displaystyle z (\ beta, \ mu) = e ^ {\ beta \ mu}}

z (\ beta, \ mu) = e ^ {{\ beta \ mu}}

и β определяется как:

β = 1 k BT {\ displaystyle \ beta = {\ frac {1} {k _ {\ rm {B}} T}}}

{\ displaystyle \ beta = {\ frac {1} {k _ {\ rm {B}} T}}}

где k B - это постоянная Больцмана, а T - это температура. Все термодинамические величины могут быть выведены из большого потенциала, и мы будем рассматривать все термодинамические величины как функции только трех переменных z, β (или T) и V. Все частные производные берутся по одной из этих трех переменных, а две другие остаются постоянными.

Допустимый диапазон z - от отрицательной бесконечности до +1, так как любое значение за его пределами приведет к бесконечному количеству частиц в состояниях с уровнем энергии 0 (предполагается, что уровни энергии смещены так что самый низкий уровень энергии равен 0).

Макроскопический предел, результат для неконденсированной фракции

Кривые зависимости давления от температуры для классических и квантовых идеальных газов (Ферми-газ, Бозе-газ ) в трех измерениях. Давление бозе-газа ниже, чем у эквивалентного классического газа, особенно ниже критической температуры (отмеченной знаком ★), когда частицы начинают массово перемещаться в конденсированную фазу с нулевым давлением.

Следуя процедуре, описанной в газе в В статье в рамке мы можем применить приближение Томаса – Ферми, которое предполагает, что средняя энергия велика по сравнению с разностью энергий между уровнями, так что указанная выше сумма может быть заменена интегралом. Эта замена дает макроскопическую большую потенциальную функцию $Ω m {\ displaystyle \ Omega _ {m}}$ $\ Omega _ {m}$ , что близко к $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ :

Ω m = ∫ 0 ∞ ln ⁡ (1 - ze - β E) dg ≈ Ω. {\ Displaystyle \ Omega _ {\ rm {m}} = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ ln \ left (1-ze ^ {- \ beta E} \ right) \, dg \ приблизительно \ Omega.}

{\ displaystyle \ Omega _ {\ rm {m}} = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ ln \ left (1-ze ^ {- \ beta E} \ справа) \, dg \ приблизительно \ Omega.}

Вырождение dg может быть выражено для многих различных ситуаций общей формулой:

dg = 1 Γ (α) E α - 1 E c α d E {\ displaystyle dg = {\ frac {1} {\ Gamma (\ alpha)}} \, {\ frac {E ^ {\, \ alpha -1}} {E _ {\ rm {c}} ^ {\ alpha}}} ~ dE}

{\ displaystyle dg = {\ frac {1} {\ Gamma (\ alpha)}} \, {\ frac {E ^ {\, \ alpha -1}} {E _ {\ rm {c}} ^ {\ alpha}}} ~ dE }

где α - постоянная, E c - критическая энергия, а Γ - Гамма-функция. Например, для массивного бозе-газа в ящике α = 3/2, а критическая энергия определяется выражением:

1 (β E c) α = V f Λ 3 {\ displaystyle {\ frac {1} { (\ beta E _ {\ rm {c}}) ^ {\ alpha}}} = {\ frac {Vf} {\ Lambda ^ {3}}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {(\ beta E _ {\ rm {c}}) ^ {\ alpha}}} = {\ frac {Vf} {\ Lambda ^ {3}}}}

где Λ - длина тепловой волны. Для массивного бозе-газа в гармонической ловушке мы будем иметь α = 3, а критическая энергия определяется как:

1 (β E c) α = f (ℏ ω β) 3 {\ displaystyle {\ frac {1} {(\ beta E_ {c}) ^ {\ alpha}}} = {\ frac {f} {(\ hbar \ omega \ beta) ^ {3}}}}

{\ frac {1} {(\ beta E_ {c}) ^ {\ alpha}}} = {\ frac {е} {(\ hbar \ omega \ beta) ^ {3}}}

где V (r) = mωr / 2 - гармонический потенциал. Видно, что E cявляется функцией только объема.

Это интегральное выражение для большого потенциала оценивается как:

Ω m = - Li α + 1 (z) (β E c) α, {\ displaystyle \ Omega _ {\ rm {m}} = - {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha +1} (z)} {\ left (\ beta E_ {c} \ right) ^ {\ alpha}}},}

{\ displaystyle \ Omega _ {\ rm {m}} = - {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha +1} (z)} {\ left (\ beta E_ {c} \ right) ^ {\ alpha}}},}

где Li s (x) - функция полилогарифма .

Проблема с этим приближением континуума для бозе-газа заключается в том, что основное состояние фактически игнорируется, что дает нулевое вырождение для нулевой энергии. Эта неточность становится серьезной при работе с конденсатом Бозе – Эйнштейна и будет рассмотрена в следующих разделах. Как будет видно, даже при низких температурах вышеупомянутый результат по-прежнему полезен для точного описания термодинамики только неконденсированной части газа.

Предел количества частиц в неконденсированной фазе, критическая температура

Общее количество частиц находится из большого потенциала как

N m = - z ∂ Ω m ∂ z = Li α (z) (β E c) α. {\ displaystyle N _ {\ rm {m}} = - z {\ frac {\ partial \ Omega _ {m}} {\ partial z}} = {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha} (z)} {(\ beta E_ {c}) ^ {\ alpha}}}.}

{ \ Displaystyle N _ {\ rm {m}} = - z {\ frac {\ partial \ Omega _ {m}} {\ partial z}} = {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha} ( z)} {(\ beta E_ {c}) ^ {\ alpha}}}.}

Это значение монотонно увеличивается с увеличением z (вплоть до максимального значения z = +1). Однако поведение при приближении к z = 1 в значительной степени зависит от значения α (то есть зависит от того, является ли газ 1D, 2D, 3D, находится ли он в плоской или гармонической потенциальной яме).

Для α>1 количество частиц увеличивается только до конечного максимального значения, т. Е. $N m {\ displaystyle N _ {\ rm {m}}}$ ${\ displaystyle N _ {\ rm {m}}}$ равно конечный в точке z = 1:

N m, max = ζ (α) (β E c) α, {\ displaystyle N _ {\ rm {m, max}} = {\ frac {\ zeta (\ alpha)} {(\ beta E _ {\ rm {c}}) ^ {\ alpha}}},}

{\ displaystyle N _ {\ rm {m, max}} = {\ frac {\ zeta (\ alpha)} {(\ beta E _ {\ rm {c}}) ^ {\ alpha} }},}

где ζ (α) - дзета-функция Римана (с использованием Li α (1) = ζ (α)). Таким образом, для фиксированного числа частиц $N {\ displaystyle N}$ $N$ наибольшее возможное значение, которое может иметь β, является критическим значением β c. Это соответствует критической температуре T c = 1 / k Bβc, ниже которой приближение Томаса – Ферми не работает (континуум состояний просто больше не может поддерживать такое количество частиц при этой температуре). Приведенное выше уравнение может быть решено для критической температуры:

T c = (N ζ (α)) 1 / α E ck B {\ displaystyle T _ {\ rm {c}} = \ left ({\ frac {N } {\ zeta (\ alpha)}} \ right) ^ {1 / \ alpha} {\ frac {E _ {\ rm {c}}} {k _ {\ rm {B}}}}}

{\ displaystyle T _ {\ rm {c}} = \ left ({\ frac {N} {\ zeta (\ alpha)}} \ right) ^ {1 / \ alpha} {\ frac {E _ {\ rm {c}}} {k _ {\ rm {B}}}}}

Например, для трехмерного бозе-газа в коробке ( $α = 3/2 {\ displaystyle \ alpha = 3/2}$ $\ alpha = 3/2$ и с использованием указанного выше значения $E c {\ textstyle E _ {\ rm {c}}}$ ${\ textstyle E _ {\ rm {c}}}$ ) получаем:

T c = (NV f ζ (3/2)) 2/3 час 2 2 π mk B {\ displaystyle T_ { \ rm {c}} = \ left ({\ frac {N} {Vf \ zeta (3/2)}} \ right) ^ {2/3} {\ frac {h ^ {2}} {2 \ pi mk _ {\ rm {B}}}}}

{\ displaystyle T _ {\ rm {c}} = \ left ({\ frac {N} {Vf \ zeta (3 / 2)}} \ right) ^ {2/3} {\ frac {h ^ {2}} {2 \ pi mk _ {\ rm {B}}}}}

Для α ≤ 1 нет верхнего предела на количество частиц ( $N m {\ displaystyle N _ {\ rm {m}}}$ ${\ displaystyle N _ {\ rm {m}}}$ расходится по мере приближения z к 1), и, таким образом, например, для газа в одномерном или двухмерном блоке ( $α = 1/2 {\ displaystyle \ alpha = 1/2}$ $\alpha=1/2$ и $α = 1 {\ displaystyle \ alpha = 1}$ $\ alpha = 1$ соответственно) критической температуры нет.

Включение основного состояния

Приведенная выше проблема поднимает вопрос для α>1: если бозе-газ с фиксированным числом частиц опускается ниже критической температуры, что происходит? Проблема здесь в том, что приближение Томаса – Ферми установило вырождение основного состояния равным нулю, что неверно. Нет основного состояния, которое могло бы принять конденсат, и поэтому частицы просто «исчезают» из континуума состояний. Оказывается, однако, что макроскопическое уравнение дает точную оценку количества частиц в возбужденных состояниях, и это неплохое приближение, чтобы просто «привязать» член основного состояния, чтобы принять частицы, которые выпадают из континуум:

N = N 0 + N m = N 0 + Li α (z) (β E c) α {\ displaystyle N = N_ {0} + N _ {\ rm {m}} = N_ {0} + {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha} (z)} {(\ beta E _ {\ rm {c}}) ^ {\ alpha}}}}

{\ displaystyle N = N_ {0} + N _ {\ rm {m}} = N_ {0} + {\ гидроразрыв {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha} (z)} {(\ beta E _ {\ rm {c}}) ^ {\ alpha}}}}

где N 0 - количество частиц в конденсате основного состояния.

Таким образом, в макроскопическом пределе, когда T < Tc, значение z закреплено на 1, а N 0 занимает остаток частиц. Для T>T c наблюдается нормальное поведение с N 0 = 0. Этот подход дает долю конденсированных частиц в макроскопическом пределе:

N 0 N = { 1 - (TT c) α, если α>1 и T < T c, 0 otherwise. {\displaystyle {\frac {N_{0}}{N}}={\begin{cases}1-\left({\frac {T}{T_{\rm {c}}}}\right)^{\alpha }{\t_dv{if }}\alpha>1 {\ t_dv {и}} T

{\frac {N_{0}}{N}}={\begin{cases}1-\left({\frac {T}{T_{\rm {c}}}}\right)^{\alpha }{\t_dv{if }}\alpha>1 {\ t_dv {и}} T <T_{\rm {c}},\\0{\t_dv{otherwise}}.\end{cases}}

Примерное поведение в малых бозе-газах

Рисунок 1. Различные параметры бозе-газа в зависимости от нормированной температуры τ. Значение α составляет 3/2. Сплошные линии соответствуют N = 10 000, пунктирные линии - N = 1000. Черные линии - это фракция возбужденных частиц, синие - фракция конденсированных частиц. Отрицательное значение химического потенциала μ показано красным цветом, а зеленые линии представляют собой значения z. Предполагалось, что k = ε c = 1.

Для более мелких, мезоскопических систем (например, только с тысячами частиц) член основного состояния может быть более явно аппроксимируется добавлением фактического дискретного уровня при энергии ε = 0 в большой потенциал:

Ω = g 0 ln ⁡ (1 - z) + Ω m {\ displaystyle \ Omega = g_ {0} \ ln ( 1-z) + \ Omega _ {\ rm {m}}}

{\ displaystyle \ Omega = g_ {0} \ ln (1-z) + \ Omega _ {\ rm {m}} }

, что дает вместо $N 0 = g 0 z 1 - z {\ displaystyle N_ {0} = {\ frac {g_ {0} \, z} {1-z}}}$ $N_ {0} = {\ frac {g_ {0} \, z} {1-z}}$ . Теперь поведение плавное при пересечении критической температуры, и z очень близко приближается к 1, но не достигает ее.

Теперь это можно решить вплоть до абсолютного нуля температуры. На рисунке 1 показаны результаты решения этого уравнения для α = 3/2, где k = ε c = 1, что соответствует газу бозонов в ящике. Сплошная черная линия - это доля возбужденных состояний 1-N 0 / N для N = 10 000, а пунктирная черная линия - решение для N = 1000. Синие линии представляют собой долю конденсированных частиц N 0 / N. Красные линии представляют собой отрицательные значения химического потенциала μ, а зеленые линии - соответствующие значения z. По горизонтальной оси отложена нормализованная температура τ, определяемая формулой

τ = TT c {\ displaystyle \ tau = {\ frac {T} {T _ {\ rm {c}}}}}

{\ displaystyle \ tau = {\ frac {T} {T _ {\ rm {c}}}}}

Видно, что каждый Эти параметры становятся линейными по τ в пределе низкой температуры и, за исключением химического потенциала, линейными по 1 / τ в пределе высокой температуры. По мере увеличения числа частиц конденсированная и возбужденная фракции стремятся к разрыву при критической температуре.

Уравнение для числа частиц может быть записано в терминах нормированной температуры как:

N = g 0 z 1 - z + N Li α (z) ζ (α) τ α {\ displaystyle N = {\ frac {g_ {0} \, z} {1-z}} + N ~ {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha} (z)} {\ zeta (\ alpha)}} ~ \ tau ^ {\ alpha}}

N = {\ frac {g_ {0} \, z} {1-z }} + N ~ {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha} (z)} {\ zeta (\ alpha)}} ~ \ tau ^ {\ alpha}

Для заданных N и τ это уравнение может быть решено относительно τ, а затем может быть найдено решение в виде ряда для z методом либо по степеням τ, либо как асимптотическое разложение по обратным степеням τ. Из этих разложений мы можем найти поведение газа вблизи T = 0 и в газе Максвелла – Больцмана, когда T стремится к бесконечности. В частности, нас интересует предел, когда N стремится к бесконечности, который легко определяется из этих разложений.

Такой подход к моделированию малых систем может быть нереалистичным, однако, поскольку разброс числа частиц в основном состоянии очень велик, равный числу частиц. Напротив, дисперсия числа частиц в нормальном газе - это всего лишь квадратный корень из числа частиц, поэтому обычно им можно пренебречь. Эта высокая дисперсия обусловлена выбором использования большого канонического ансамбля для всей системы, включая состояние конденсата.

Термодинамика малых газов

В развернутом виде большой потенциал:

Ω знак равно г 0 пер ⁡ (1 - z) - Li α + 1 (z) (β E c) α {\ displaystyle \ Omega = g_ {0} \ ln (1-z) - {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha +1} (z)} {\ left (\ beta E _ {\ rm {c}} \ right) ^ {\ alpha}}}}

{ \ Displaystyle \ Omega = g_ {0} \ ln (1-z) - {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha +1} (z)} {\ left (\ beta E _ {\ rm { c}} \ right) ^ {\ alpha}}}}

Все термодинамические свойства могут быть вычислены из этого потенциала. В следующей таблице перечислены различные термодинамические величины, рассчитанные в пределе низкой и высокой температуры, а также в пределе бесконечного числа частиц. Знак равенства (=) указывает на точный результат, а символ приближения указывает, что отображаются только первые несколько членов ряда в $τ α {\ displaystyle \ tau ^ {\ alpha}}$ $\ tau ^ {\ alpha}$ .

Количество	Общее	$T ≪ T c {\ displaystyle T \ ll T_ {c} \,}$ $T \ ll T_ {c} \,$	$T ≫ T c {\ displaystyle T \ gg T_ {c} \, }$ $T \ gg T_ {c} \,$
$z {\ displaystyle z}$ $z$		$≈ ζ (α) τ α - ζ 2 (α) 2 α τ 2 α {\ displaystyle \ приблизительно {\ frac {\ zeta (\ alpha)} {\ tau ^ {\ alpha}}} - {\ frac {\ zeta ^ {2} (\ alpha)} {2 ^ {\ alpha} \ tau ^ {2 \ alpha}}}}$ $\ приблизительно {\ frac {\ zeta (\ alpha)} {\ tau ^ {\ alpha}}} - {\ frac {\ zeta ^ {2} (\ альфа)} {2 ^ {\ альфа} \ тау ^ {{2 \ альфа}}}}$	$= 1 {\ displaystyle = 1 \,}$ $= 1 \,$
Паровая фракция. $1 - N 0 N {\ displaystyle 1 - {\ frac {N_ {0}} {N}} \,}$ $1 - {\ frac {N_ {0}} {N}} \,$	$= Li α (z) ζ (α) τ α {\ displaystyle = {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha} (z)} {\ zeta (\ alpha)}} \, \ tau ^ {\ alpha}}$ $= {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {{\ alpha}} (z)} {\ zeta (\ alpha)}} \, \ tau ^ {\ alpha}$	$= τ α {\ displaystyle = \ tau ^ {\ alpha} \,}$ $= \ tau ^ {\ alpha} \,$	$= 1 {\ displaystyle = 1 \,}$ $= 1 \,$
Уравнение состояния. $PV β N = - Ω N {\ displaystyle {\ frac {PV \ beta} {N}} = - {\ frac {\ Omega} {N}} \,}$ ${\ frac {PV \ beta} {N}} = - {\ frac {\ Omega} {N}} \,$	$= Li α + 1 (z) ζ (α) τ α { \ Displaystyle = {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha \! + \! 1} (z)} {\ zeta (\ alpha)}} \, \ tau ^ {\ alpha}}$ $= {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {{\ альфа \! + \! 1}} (z)} {\ zeta (\ alpha)}} \, \ tau ^ {\ alpha}$	$знак равно ζ (α + 1) ζ (α) τ α {\ displaystyle = {\ frac {\ zeta (\ alpha \! + \! 1)} {\ zeta (\ alpha)}} \, \ tau ^ { \ alpha}}$ $= {\ frac {\ zeta (\ alpha \! + \! 1)} {\ zeta (\ alpha)}} \, \ tau ^ { \ alpha}$	$≈ 1 - ζ (α) 2 α + 1 τ α {\ displ aystyle \ приблизительно 1 - {\ frac {\ zeta (\ alpha)} {2 ^ {\ alpha \! + \! 1} \ tau ^ {\ alpha}}}}$ $\ приблизительно 1 - {\ frac {\ zeta (\ alpha)} {2 ^ {{\ alpha \! + \! 1}} \ tau ^ {\ alph a}}}$
Свободная энергия Гиббса. <195 G = пер ⁡ (Z) {\ Displaystyle G = \ пер (z) \,} $G = \ ln (z) \,$	$= пер ⁡ (z) {\ Displaystyle = \ ln (z) \,}$ $= \ ln (z) \,$	$= 0 {\ Displaystyle Знак равно 0 \,}$ $= 0 \,$	$≈ пер ⁡ (ζ (α) τ α) - ζ (α) 2 α τ α {\ displaystyle \ приблизительно \ ln \ left ({\ frac {\ zeta (\ alpha)} { \ tau ^ {\ alpha}}} \ right) - {\ frac {\ zeta (\ alpha)} {2 ^ {\ alpha} \ tau ^ {\ alpha}}}}$ $\ приблизительно \ ln \ left ({\ frac {\ zeta (\ alpha)} {\ tau ^ {\ alpha}}} \ right) - {\ frac {\ zeta (\ alpha)} {2 ^ {{\ alpha}} \ tau ^ { \ alpha}}}$

Видно, что все величины приближаются к значениям для классического идеального газа в пределе больших температур. Приведенные выше значения можно использовать для расчета других термодинамических величин. Например, соотношение между внутренней энергией и произведением давления и объема такое же, как для классического идеального газа при всех температурах:

U = ∂ Ω ∂ β = α PV {\ displaystyle U = {\ frac { \ partial \ Omega} {\ partial \ beta}} = \ alpha PV}

U = {\ frac {\ partial \ Omega} {\ partial \ beta}} = \ alpha PV

Аналогичная ситуация имеет место для теплоемкости при постоянном объеме

CV = ∂ U ∂ T = k B (α + 1) U β {\ displaystyle C_ {V} = {\ frac {\ partial U} {\ partial T}} = k _ {\ rm {B}} (\ alpha +1) \, U \ beta}

{\ displaystyle C_ {V} = {\ frac {\ partial U} {\ partial T}} = k _ {\ rm {B}} ( \ alpha +1) \, U \ beta}

Дана энтропия по:

TS = U + PV - G {\ displaystyle TS = U + PV-G \,}

TS = U + PV-G \,

Обратите внимание, что в пределе высокой температуры мы имеем

TS = (α + 1) + пер ⁡ (τ α ζ (α)) {\ Displaystyle TS = (\ альфа +1) + \ пер \ влево ({\ гидроразрыва {\ тау ^ {\ альфа}} {\ zeta (\ alpha)}} \ вправо)}

TS = (\ alpha +1) + \ ln \ left ({\ frac {\ tau ^ {\ alpha}} {\ zeta (\ alpha) }} \ right)

которое при α = 3/2 является просто переформулировкой уравнения Сакура – Тетрода. В одномерном случае бозоны с дельта-взаимодействием ведут себя как фермионы, они подчиняются принципу исключения Паули. В одном измерении бозе-газ с дельта-взаимодействием может быть точно решен с помощью анзаца Бете. Объемная свободная энергия и термодинамические потенциалы были рассчитаны Chen-Ning Yang. В одномерном случае также оценивались корреляционные функции. В одном измерении бозе-газ эквивалентен квантовому нелинейному уравнению Шредингера.

Ссылки

Общие ссылки

Huang, Kerson (1967). Статистическая механика. Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья.
Исихара, А. (1971). Статистическая физика. Нью-Йорк: Academic Press.
Landau, L.D.; Э. М. Лифшиц (1996). Статистическая физика, 3-е издание, часть 1. Oxford: Butterworth-Heinemann.
Pethick, C.J.; Х. Смит (2004). Конденсация Бозе – Эйнштейна в разбавленных газах. Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
Ян, Зиджун (2000). «Общая длина тепловых волн и ее применение» (PDF). Евро. J. Phys. 21 (6): 625–631. Bibcode : 2000EJPh... 21..625Y. doi :10.1088/0143-0807/21/6/314.