Уравнение Сакура – ​​Тетроде

The Уравнение Сакура – ​​Тетрода является выражением для энтропии одноатомного идеального газа.

Оно названо в честь Хьюго Мартина Тетрода ( 1895–1931) и Отто Сакур (1880–1914), которые независимо разработали его как решение газовой статистики и уравнений энтропии Больцмана примерно в то же время, в 1912 году.

• 1 Формула
• 2 Константа Сакура – ​​Тетрода
• 3 Теоретико-информационная интерпретация
• 4 Ссылки
• 5 Дополнительная литература

Уравнение Сакура – ​​Тетрода выражает энтропию $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$одноатомного идеального газа с точки зрения его термодинамического состояния, а именно его объема $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$, внутренней энергии $U\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; U\}$и число частиц $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$:

$S\; k\; BN\; =\; ln\; \; [VN\; (4\; \pi \; m\; 3\; h\; 2\; UN)\; 3/2]\; +\; 5\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{S\}\; \{k\_\; \{B\}\; N\}\}\; =\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{V\}\; \{N\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\; m\}\; \{3h\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{U\}\; \{N\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{3/2\}\; \backslash \; right]\; +\; \{\backslash \; frac\; \{5\}\; \{2\}\}\}$

где

$k\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{B\}\}\}$=	постоянная Больцмана
$m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$=	Масса газовой частицы
$h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$=	постоянная Планка

Уравнение также может быть выражено в терминах тепловой длины волны $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\}$:

$S\; k\; BN\; =\; ln\; \; (VN\; \Lambda \; 3)\; +\; 5\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{S\}\; \{k\_\; \{B\}\; N\}\}\; =\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{V\}\; \{N\; \backslash \; Lambda\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{5\}\; \{2\}\}\}$

Кривые зависимости энтропии от температуры классических и квантовых идеальных газов (ферми-газ, бозе-газ ) в трех измерениях. Хотя все они хорошо согласуются при высоких температурах, они расходятся при низких температурах, когда классическая энтропия (уравнение Сакура – ​​Тетрода) начинает приближаться к отрицательным значениям.

Для вывода уравнения Сакура – ​​Тетрода см. Гиббс. парадокс. Об ограничениях, налагаемых на энтропию идеального газа только термодинамикой, см. Статью идеальный газ.

Приведенные выше выражения предполагают, что газ находится в классическом режиме и описывается статистикой Максвелла – Больцмана (с «правильным счетом Больцмана»). Из определения тепловой длины волны это означает, что уравнение Сакура – ​​Тетрода действительно только тогда, когда

$VN\; \Lambda \; 3\; \gg \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{V\}\; \{N\; \backslash \; Lambda\; ^\; \{3\}\; \}\}\; \backslash \; gg\; 1\}$

Фактически, энтропия, предсказанная уравнением Сакура – ​​Тетрода, приближается к отрицательной бесконечности, когда температура приближается к нулю.

Константа Сакура – ​​Тетрода, записанная S 0 / R, равна S / k B N, оцененный при температуре T = 1 кельвин, при стандартном давлении (100 кПа или 101,325 кПа, необходимо указать) на один моль идеального газа, состоящего из частиц с массой, равной постоянной атомной массы (mu= 1,66053906660 (50) × 10 кг). Его рекомендуемое значение CODATA для 2018 года:

S0/ R = -1,15170753706 (45) для p = 100 кПа

S0/ R = -1,16487052358 (45) для p = 101,325 кПа.

В дополнение к термодинамической перспективе энтропии, инструменты теории информации могут быть использованы для обеспечения информационной перспективы энтропии. В частности, можно вывести уравнение Сакура – ​​Тетрода в терминах теории информации. Общая энтропия представлена ​​как сумма четырех индивидуальных энтропий, то есть четырех различных источников недостающей информации. Это неопределенность положения, неопределенность импульса, квантово-механический принцип неопределенности и неотличимость частиц. Суммируя четыре части, получаем уравнение Сакура – ​​Тетрода как

$S\; k\; BN\; =\; [ln\; \; V]\; +\; [3\; 2\; ln\; \; (2\; \pi \; mk\; BT)]\; +\; [-\; 3\; ln\; \; h]\; +\; [-\; ln\; \; N!\; N]\; \approx \; ln\; \; [VN\; (2\; \pi \; mk\; BT\; h\; 2)\; 3\; 2]\; +\; 5\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{S\}\; \{k\_\; \{B\}\; N\}\}\; =\; [\backslash \; ln\; V\; ]\; +\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (2\; \backslash \; pi\; mk\_\; \{B\}\; T\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; +\; [-\; 3\; \backslash \; ln\; h]\; +\; \backslash \; left\; [-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; ln\; N!\}\; \{N\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \; \backslash \; приблизительно\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{V\}\; \{N\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; mk\_\; \{B\}\; T\}\; \{\; h\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right]\; +\; \{\backslash \; frac\; \{5\}\; \{2\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

В выводе используется Приближение Стирлинга, $ln\; \; N!\; \approx \; N\; ln\; \; N\; -\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; N!\; \backslash \; Приблизительно\; N\; \backslash \; ln\; N-N\}$. Строго говоря, использование аргументов с размерами логарифмов неверно, однако их использование является «ярлыком», сделанным для простоты. Если каждый логарифмический аргумент был разделен на неопределенное стандартное значение, выраженное в терминах неопределенной стандартной массы, длины и времени, эти стандартные значения аннулировались бы в окончательном результате, давая тот же вывод. Отдельные члены энтропии не будут абсолютными, а будут зависеть от выбранных стандартов и будут отличаться для разных стандартов на аддитивную константу.

• Emch, G.G.; Лю, К. (2002), Логика термостатистической физики, Springer-Verlag, Глава 3: Кинетическая теория газов.
• Кутсойаннис, Д. (2013), «Физика неопределенности, парадокс Гиббса и неразличимые частицы », Исследования по истории и философии науки, часть B, 44(4): 480–489, Bibcode : 2013SHPMP..44..480K, DOI : 10.1016 / j.shpsb.2013.08.007. (Это выводит уравнение Сакура – ​​Тетрода другим способом, также основанным на информации.)
• Paños, F.J.; Перес, Э. (2015), «Уравнение Сакура – ​​Тетрода в лаборатории», European Journal of Physics, 36(5): 055033, Bibcode : 2015EJPh... 36e5033J, doi : 10.1088 / 0143-0807 / 36/5/055033.
• Уильямс, Ричард (2009), «Уравнение Сакура – ​​Тетрода: как энтропия встречает квантовую механика », APS News, 18(8).