Войти
Титульная страница логарифма Джона Нэпьера 1620 года История логарифмов - это история одного соответствие (в современных терминах, изоморфизм группы ) между умножением на положительных действительных чисел и сложением на прямой числовой линии, которое было формализовано в Европе семнадцатого века и широко использовался для упрощения вычислений до появления цифрового компьютера. логарифмы Напьера были впервые опубликованы в 1614 году. Генри Бриггс ввел обычные (с основанием 10) логарифмы, которые было проще использовать. Таблицы логарифмов публиковались во многих формах за четыре столетия. Идея логарифмов также использовалась для построения логарифмической линейки , которая стала повсеместной в науке и технике до 1970-х годов. Прорыв в создании натурального логарифма стал результатом поиска выражения area на фоне прямоугольной гиперболы , и потребовал ассимиляции нового функция в стандартную математику.
Canon logarithmorum Поскольку десятичный логарифм равен одному, сто - двум, а тысяча - трем, концепция десятичного логарифма очень близка к десятично-позиционной системе счисления. Считается, что общий журнал имеет основание 10, но основание 10,000 является древним и до сих пор распространено в Восточной Азии. В своей книге The Sand Reckoner, Архимед использовал мириады как основу системы счисления, предназначенной для подсчета песчинок во Вселенной. Как было отмечено в 2000 году:
В 1616 году Генри Бриггс посетил Джона Нэпиера в Эдинбурге, чтобы обсудить предлагаемое изменение логарифмов Нэпьера. В следующем году он снова посетил с той же целью. Во время этих конференций было согласовано изменение, предложенное Бриггсом, и по возвращении из своего второго визита в Эдинбург в 1617 году он опубликовал первую хилиаду своих логарифмов.
В 1624 году Бриггс опубликовал свою Arithmetica Logarithmica в фолио, работу, содержащую логарифмы тридцати тысяч натуральных чисел с точностью до четырнадцати десятичных знаков (от 1 до 20 000 и от 90 001 до 100 000). Позднее эта таблица была расширена Адрианом Влаком, но до 10 позиций, и Александром Джоном Томпсоном до 20 позиций в 1952 году.
Бриггс был одним из первых, кто использовать конечно-разностные методы для вычисления таблиц функций. Он также заполнил таблицу логарифмических синусов и касательных для сотой части каждого градуса с точностью до четырнадцати десятичных знаков с таблицей натуральных синусов к пятнадцати разрядам и касательные и секанты для тех же десяти разрядов, все из которых были напечатаны в Гауда в 1631 году и опубликованы в 1633 году под заголовком Trigonometria Britannica; эта работа, вероятно, была преемником его 1617 года Logarithmorum Chilias Prima («Первая тысяча логарифмов»), в котором дается краткий отчет о логарифмах и длинная таблица первых 1000 целых чисел, вычисленных до 14-го десятичного знака.
Opus geometryum posthumum, 1668 В 1649 году Альфонс Антонио де Сараса, бывший ученик Грегуара де Сен-Винсент, родственник логарифм к квадратуре гиперболы, указав, что область A (t) под гиперболой от x = 1 до x = t удовлетворяет
Сначала реакция на гиперболический логарифм Сен-Винсента была продолжением исследований квадратуры, как в Христиан Гюйгенс (1651) и Джеймс Грегори (1667). Впоследствии индустрия создания логарифмов возникла как «logaritmotechnia», так назывались работы Николаса Меркатора (1668), Евклида Спейделла (1688) и Джона Крейга (1710)
Благодаря использованию геометрического ряда с его условным радиусом сходимости, переменный ряд называется рядом Меркатора. выражает функцию логарифма в интервале (0,2). Поскольку ряд отрицательный в (0,1), «область под гиперболой» должна считаться здесь отрицательной, поэтому показатель со знаком вместо чисто положительной площади определяет гиперболический логарифм.
Историк Том Уайтсайд описал переход к аналитической функции следующим образом:
Леонард Эйлер обрабатывает логарифм как показатель некоторого числа, называемого основанием логарифма. Он отметил, что число 2,71828 и его обратная величина дают точку на гиперболе xy = 1, такую, что площадь в одну квадратную единицу лежит под гиперболой, справа от (1,1) и над асимптотой. гиперболы. Затем он назвал логарифм, взяв это число за основу, натуральным логарифмом.
Как отметил Говард Ивс, «Одна из аномалий в истории математики - это тот факт, что логарифмы были обнаружены до того, как стали использоваться показатели». Карл Б. Бойер писал: «Эйлер был одним из первых, кто трактовал логарифмы как экспоненты, как теперь уже хорошо знакомо».
Вавилоняне где-то в 2000–1600 годах до нашей эры, возможно, изобрели алгоритм умножения на четверть квадрата для умножения двух чисел, используя только сложение, вычитание и таблицу четверть квадратов. Таким образом, такая таблица служит той же цели, что и таблицы логарифмов, которые также позволяют вычислять умножение с помощью сложения и поиска в таблице. Однако метод четверти квадрата нельзя было использовать для деления без дополнительной таблицы обратных величин (или знания достаточно простого алгоритма для генерации обратных чисел ). Большие таблицы четвертей квадратов использовались для упрощения точного умножения больших чисел с 1817 года до тех пор, пока это не было заменено использованием компьютеров.
Индийский математик Вирасена работал с концепцией ардхаччеда. : сколько раз число в форме 2n могло быть уменьшено вдвое. Для точных степени 2 это равно двоичному логарифму, но отличается от логарифма для других чисел. Он описал формулу продукта для этой концепции, а также ввел аналогичные концепции для основания 3 (тракачеда) и основания 4 (катуртхачеда).
Майкл Стифель опубликовал Arithmetica Integra в Нюрнберге в 1544 году, который содержит таблица целых чисел и степеней двойки, которая считалась ранней версией таблицы двоичных логарифмов.
В 16-м и начале 17-го веков алгоритм под названием простафаэрез использовался для приближенного умножения и деление. Это использовало тригонометрическое тождество
![\ cos \ alpha \ cos \ beta = {\ frac {1} {2}} [\ cos (\ alpha + \ beta) + \ cos (\ alpha - \ beta)]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/259d10c33d35f3017b2e39b6ac29f444f38ae291)
или аналогичный для преобразования умножения в сложение и поиск в таблице. Однако логарифмы более простые и требуют меньше усилий. Используя формулу Эйлера, можно показать, что эти два метода взаимосвязаны.
Швейцарский математик Jost Bürgi построил таблицу прогрессий, которую можно рассматривать как таблицу антилогарифмов независимо от Джона Напьера., публикация которого (1614 г.) была известна к тому времени, когда Бюрги опубликовал по указанию Иоганна Кеплера. Мы знаем, что Бурджи имел некоторый способ упростить вычисления примерно в 1588 году, но, скорее всего, этим способом было использование протокафереза, а не использование его таблицы прогрессий, которая, вероятно, восходит к 1600 году. Действительно, Виттих, который был в Касселе с 1584 года. в 1586 г., он принес с собой знания простафереза , метода, с помощью которого умножения и деления могут быть заменены сложениями и вычитание тригонометрических значений... Эта процедура дает то же самое, что и логарифмы несколько лет спустя.
Джон Нэпир (1550–1617), изобретатель логарифмов Метод логарифмов был публично предложен Джоном Нэпиром в 1614 году в книге под названием Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Описание чудесного правила логарифмов).
Иоганн Кеплер, который широко использовал таблицы логарифмов для составления своих эфемерид и поэтому посвятил их Нэпиеру, заметил:
... акцент в вычислениях вел Юстус Биргиус [Joost Bürgi] на пути к этим самым логарифмам за много лет до появления системы Напьера; но... вместо того, чтобы вырастить своего ребенка для общественного блага, он бросил его при рождении.
— Иоганн Кеплер, Таблицы Рудольфина (1627)Нэпье вообразил две точки P и Q, движущиеся вниз по двум линиям, одна из которых бесконечна. по длине, а другой конечен. Точка конечной длины замедлилась, когда достигла конца линии, так что на самом деле так и не достигла ее. Он использовал расстояние между P и Q для определения логарифма.
Путем повторных вычитаний Нэпье вычислил (1–10) для L в диапазоне от 1 до 100. Результат для L = 100 составляет приблизительно 0,99999 = 1–10 Затем Нэпьер вычислил произведение этих чисел с 10 (1–10) для L от 1 до 50 и сделал то же самое с 0,9998 ≈ (1–10) и 0,9 ≈ 0,995. Эти вычисления, занявшие 20 лет, позволили ему дать для любого числа N от 5 до 10 миллионов число L, которое решает уравнение
Напье сначала назвал L «искусственным числом», но позже ввел слово «логарифм» для обозначения число, обозначающее соотношение: λόγος (logos ) означает пропорцию, а ἀριθμός (арифмос) означает число. В современных обозначениях отношение к натуральным логарифмам следующее:
где очень близкое приближение соответствует наблюдению, что
Изобретение быстро и широко было встречено с одобрением. Помогли работы Бонавентура Кавальери (Италия), Эдмунда Вингейта (Франция), Сюэ Фэнцзуо (Китай) и Иоганна Кеплера Chilias logarithmorum (Германия). распространить концепцию дальше.
График уравнения y = 1 / x. Здесь число Эйлера eделает заштрихованную область равной 1. Примерно в 1730 году Леонард Эйлер определил экспоненциальную функцию и натуральный логарифм как
![{\ begin {align} e ^ {x} = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left (1 + {\ frac {x} {n}} \ right) ^ {n}, \\ [6pt] \ ln (x) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} n (x ^ {1 / n} -1). \ end { выровнено}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce99b5c7839127c5fa09b2bb7699e96df1bc71cf)
В его учебнике 1748 года Введение в анализ бесконечного, Эйлер опубликовал теперь стандартный подход к логарифмам через обратную функцию : в главе 6 «Об экспонентах и логарифмах» он начинает с постоянной базы a и обсуждает трансцендентную функцию 
Страница из Генри Бриггс '1617 Logarithmorum Chilias Prima, показывающий десятичный (общий) логарифм целых чисел от 0 до 67 до четырнадцати десятичных знаков. 
Часть таблицы 20-го века десятичных логарифмов в справочнике Абрамовиц и Стегун.
Страница из таблицы логарифмов тригонометрических функций из 2002 American Practical Navigator. Столбцы разностей включены для помощи интерполяции.Математические таблицы, содержащие десятичные логарифмы (с основанием 10), широко использовались в вычислениях до появления компьютеров и калькуляторы, не только потому, что логарифмы преобразуют задачи умножения и деления в гораздо более простые задачи сложения и вычитания, но и из-за дополнительного свойства, которое является уникальным для оснований 10 и оказывается полезным: любое положительное число может быть выражено как произведение числа из интервала [1,10) и целой степени 10. Это можно представить как сдвиг десятичного разделителя данного числа влево, дающий положительный результат, и вправо, дающий отрицательный показатель степени 10.. Только логарифмы этих нормализованных чисел (округленных определенным числом цифр), которые называются мантиссами, должны быть сведены в списки с аналогичной точностью (аналогичное количество цифр). Все эти мантиссы положительны и заключены в интервал [0,1). Затем десятичный логарифм любого положительного числа получается путем прибавления его мантиссы к десятичному логарифму второго множителя. Этот логарифм называется характеристикой данного числа. Поскольку десятичный логарифм степени 10 является показателем степени, характеристика представляет собой целое число, что делает десятичный логарифм исключительно полезным при работе с десятичными числами. Для чисел меньше 1 характеристика делает результирующий логарифм отрицательным, если требуется. Подробнее об использовании характеристик и мантисс см. десятичный логарифм.
Майкл Стифель опубликовал Arithmetica Integra в Нюрнберге в 1544 году, который содержит таблицу целых чисел и степеней двойки, которая считалась ранней версией логарифмической таблицы.
Метод логарифмов был публично предложен Джоном Напье в 1614 году в книге под названием Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Описание чудесного правила логарифмов). Книга содержала пятьдесят семь страниц пояснительного материала и девяносто страниц таблиц, относящихся к натуральным логарифмам. Английский математик Генри Бриггс посетил Нэпиера в 1615 году и предложил изменить масштаб логарифмов Нэпьера, чтобы сформировать то, что теперь известно как обычное или десятичное. логарифмы. Напье поручил Бриггсу вычисление пересмотренной таблицы, и они позже опубликовали, в 1617 году, Logarithmorum Chilias Prima («Первая тысяча логарифмов»), в котором дается краткий отчет о логарифмах и таблице для первых 1000 целых чисел, рассчитанных до 14 числа. десятичный разряд.
В 1624 году в фолио появилась его Arithmetica Logarithmica, работа, содержащая логарифмы тридцати тысяч натуральных чисел с точностью до четырнадцати десятичных знаков (1-20,000 и 90,001-100,000). Позднее эта таблица была расширена Адрианом Влаком, но до 10 позиций, и Александром Джоном Томпсоном до 20 позиций в 1952 году.
Бриггс был одним из первых, кто использовать конечно-разностные методы для вычисления таблиц функций.
Таблица Vlacq, как позже было обнаружено, содержала 603 ошибки, но «это не может считаться большим числом, если учесть, что таблица была результатом первоначального расчета, и более 2 100 000 напечатанных цифр подвержены ошибкам ". Издание работы Влака, содержащее множество исправлений, было выпущено в Лейпциге в 1794 году под заголовком Thesaurus Logarithmorum Completetus семизначной таблицей Юрия Вега.
(Paris, 1795), вместо того, чтобы останавливаться на 100000, дал восьмизначные логарифмы чисел от 100000 до 108000, чтобы уменьшить ошибки интерполяции, которые были наибольшими в начале таблицы., и это дополнение обычно включалось в семизначные таблицы. Единственное важное опубликованное расширение таблицы Влака было сделано г-ном Сангом в 1871 году, чья таблица содержала семизначные логарифмы всех чисел меньше 200000.
Бриггс и Влак также опубликовали оригинальные таблицы логарифмов тригонометрических функций. Бриггс заполнил таблицу логарифмических синусов и логарифмических тангенсов для сотой части каждого градуса с точностью до четырнадцати десятичных знаков с таблицей натуральных синусов до пятнадцати разрядов и касательных и секущих для тех же десяти разрядов, все из которых были напечатаны в Гауда в 1631 году и опубликованы в 1633 году под названием Trigonometria Britannica. Табличные логарифмы тригонометрических функций упрощают ручные вычисления, когда функция угла должна быть умножена на другое число, как это часто бывает.
Помимо таблиц, упомянутых выше, под руководством Гаспара де Прони с помощью оригинальных вычислений под эгидой была создана большая коллекция под названием Tables du Cadastre. Французское республиканское правительство 1790-х гг. Эта работа, содержащая логарифмы всех чисел от 100000 до девятнадцати знаков и чисел от 100000 до 200000 до двадцати четырех знаков, существует только в рукописи, «в семнадцати огромных фолиантах» Парижской обсерватории. Он был начат в 1792 году, и «все расчеты, которые для обеспечения большей точности были выполнены в двух экземплярах, а две рукописи, впоследствии тщательно сопоставляемые, были завершены в короткие два года». Кубическая интерполяция может использоваться для нахождения логарифма любого числа с аналогичной точностью.
Для различных нужд были составлены таблицы логарифмов от небольших справочников до многотомных изданий:
| Год | Автор | Диапазон | Десятичный мест | Примечание |
|---|---|---|---|---|
| 1617 | Генри Бриггс, Logarithmorum Chilias Prima | 1–1000 | 14 | см. изображение |
| 1624 | Генри Бриггс Arithmetica Logarithmica | 1–20,000, 90,000–100,000 | 14 | |
| 1628 | Адриан Влак | 20,000–90,000 | 10 | содержал всего 603 ошибки |
| 1792–94 | Гаспар де Прони Таблицы кадастра | 1–100,000 и 100,000–200,000 | 19 и 24 соответственно | «семнадцать огромных фолиантов», никогда не публиковались |
| 1794 | Юрий Вега Thesaurus Logarithmorum Completus (Лейпциг ) | исправленное издание работы Влака | ||
| 1795 | Франсуа Калле (Париж ) | 100,000–108,000 | 7 | |
| 1871 | Пел | 1–200,000 | 7 |
Уильям Отред (1575–1660), изобретатель круговой логарифмической линейки. 
Коллекция логарифмических линейок в Музей e History of Science, Oxford Логарифм был изобретен примерно в 1620–1630 годах, вскоре после публикации Джоном Нэпиром концепции логарифма .. Эдмунд Гюнтер из Оксфорда разработал вычислительное устройство с единой логарифмической шкалой; с дополнительными измерительными инструментами его можно было использовать для умножения и деления. Первое описание этой шкалы было опубликовано в Париже в 1624 году Эдмундом Вингейтом (около 1593–1656), английским математиком, в книге под названием L'usage de la reigle de ratio en l'arithmetique геометрия. Книга содержит двойную шкалу, с одной стороны логарифмическую, с другой - табличную. В 1630 году Уильям Отред из Кембриджа изобрел круговую логарифмическую линейку, а в 1632 году объединил две портативные линейки Гюнтера, чтобы создать устройство, которое является узнаваемой современной логарифмической линейкой. Как и его современник в Кембридже Исаак Ньютон, Отред частным образом преподавал свои идеи своим ученикам. Так же, как Ньютон, он был вовлечен в яростную полемику по поводу приоритета со своим однокурсником Ричардом Деламеном и предыдущими утверждениями Вингейта. Идеи Отреда были обнародованы только в публикациях его ученика Уильяма Форстера в 1632 и 1653 годах.
В 1677 году Генри Коггесхолл создал двухфутовую складывающуюся линейку для измерения древесины, названную Логарифмическая линейка Coggeshall, расширяющая область применения логической линейки за пределы математических исследований.
В 1722 году Уорнер ввел шкалу двух и трех декад, а в 1755 году Эверард ввел перевернутую шкалу; логарифмическая линейка, содержащая все эти шкалы, обычно называется «многофазным» правилом.
В 1815 году Питер Марк Роджет изобрел логарифмическую логарифмическую линейку, которая включала шкалу, отображающую логарифм логарифма. Это позволяло пользователю напрямую выполнять вычисления с использованием корней и показателей степени. Это было особенно полезно для дробных степеней.
В 1821 году Натаниэль Боудитч описал в American Practical Navigator «скользящее правило», которое содержало тригонометрические функции шкалы на фиксированной части и строку логарифмического синусы и лог-таны на слайдере, используемые для решения задач навигации.
В 1845 году Пол Кэмерон из Глазго представил навигационное правило скольжения, способное отвечать на вопросы навигации, включая прямое восхождение и склонение солнца и главных звезд.
Инженер, использующий логарифмическую линейку с механическим калькулятором на заднем плане, середина 20 века Более современная форма логарифмической линейки была создана в 1859 году французским лейтенантом артиллерии Амеде Мангейм, «которому повезло, что его правление установила фирма с национальной репутацией и приняла его французская артиллерия». Примерно в это же время инженерное дело стало признанной профессией, что привело к широкому распространению логарифмической линейки в Европе, но не в Соединенных Штатах. Цилиндрическое правило Эдвина Тэчера утвердилось там после 1881 года. Дуплексное правило было изобретено Уильямом Коксом в 1891 году и разработано компанией Keuffel and Esser Co. из Нью-Йорка.
 | В Wikiquote есть цитаты, относящиеся к: История логарифмов |
